Aula 2 Tensão (Normal e de Cisalhamento)

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULA 2 Capítulo 1
✓ Tensão Normal e de Cisalhamento
Prof. Dra. Denise Andrade. 
E-mail: deniseandrade.fis@gmail.com
Manaus –AM
2018/2
TENSÃO NORMAL E DE CISALHAMENTO
MOTIVAÇÃO
✓ Você já se perguntou como são dimensionados os elementos estruturais? Vigas,
lajes, colunas, cabos postes....
✓ Calcular as forças internas que atuam em um corpo.
TENSÃO NORMAL E DE CISALHAMENTO
✓A tensão descreve a intensidade da força interna sobre um plano
específico (área) que passa por um ponto.
TENSÃO NORMAL E DE CISALHAMENTO
❑ Tensão Normal (σ) e de Cisalhamento (τ) :
TENSÃO NORMAL E DE CISALHAMENTO
❑ Tensão Normal, σ:
✓ Intensidade da força que age perpendicularmente à ΔA
A
Fz
A
z


=
→ 0
lim
❑ Tensão de Cisalhamento, τ :
✓ Intensidade da força que age tangente à ΔA
A
F
A
F
y
A
zy
x
A
zx


=


=
→
→
0
0
lim
lim


TENSÃO NORMAL E DE CISALHAMENTO
❑ Tensão Normal Média em uma Barra com Carga
Axial
✓Quando a área da seção transversal da barra está
submetida à força axial pelo
centroide, ela está submetida
somente à tensão nominal.
✓A força resultante interna que
age na área da seção transversal deve ter valor igual, direção oposta e
ser colinear a força externa que age na parte inferior da barra.
TENSÃO NORMAL E DE CISALHAMENTO
✓ Distribuição da tensão normal média:
• Quando a barra é submetida a uma deformação
uniforme e constante, essa deformação é
resultado de uma tensão normal constante.
A
P
AP
dAdF
A
=
=
= 



 
 
σ = tensão normal média
P = força normal interna resultante
A = área da seção transversal da barra
❑ Tensão Normal Média em uma Barra com Carga
Axial
TENSÃO NORMAL E DE CISALHAMENTO
✓Equilíbrio
• As duas componentes da tensão normal no elemento têm valores
iguais mas direções opostas.
❑ Tensão Normal Média em uma Barra com Carga
Axial
Se : 
Carga P = 1N
Área A1 = 0,5m
2
Área A2 = 1m
2
h1 = h2
TENSÃO NORMAL E DE CISALHAMENTO
❑ Exemplo 1:
21
2
2
1
1
 :Portanto
Pa 1
1
1
Pa 2
5,0
1




===
===
A
P
A
P
A
1
> A
1
h
1
= h
2
Se :
Carga P = 1N
Área A1 = A2 = 0,5m
2
h1 > h2
TENSÃO NORMAL E DE CISALHAMENTO
A
1
= A
1
h
1
> h
2
❑ Exemplo 2:
21
2
2
1
1
 :Portanto
Pa 2
5,0
1
Pa 2
5,0
1



=
===
===
A
P
A
P
Se :
Carga P1 = 1N
Carga P2 = 2N
Área A1 = A2 = 0,5m
2
h1 > h2
TENSÃO NORMAL E DE CISALHAMENTO
A
1
= A
1
h
1
> h
2
❑ Exemplo 3:
21
2
2
2
1
1
1
 :Portanto
Pa 4
5,0
2
Pa 2
5,0
1




===
===
A
P
A
P
TENSÃO NORMAL E DE CISALHAMENTO
Vídeo Aula 2 - Ensaio de Tração
www.youtube.com/watch?v=xZklefu6EMg
❑ Exemplo 1.6:
Imagine uma força de 10000 N agindo num cabo de aço num cabo de aço de 10mm. 
Qual seria a tensão normal nesse cabo de aço?
❑ Exemplo 1.6:
TENSÃO NORMAL E DE CISALHAMENTO
A barra tem largura constante de 35 mm e espessura de 10 mm.
Determine a tensão normal média máxima na barra quando ela é
submetida à carga mostrada.
✓ Resolução - Exemplo 1.6
TENSÃO NORMAL E DE CISALHAMENTO
Por inspeção, as forças internas axiais são constantes, mas têm
valores diferentes.
Graficamente, o diagrama da força normal é como mostrado abaixo:
TENSÃO NORMAL E DE CISALHAMENTO
Por inspeção, a maior carga é na região BC, onde:
kN. 30=BCP
Visto que a área da seção transversal da barra é constante, a maior
tensão normal média é:
( )
( )( )
MPa 7,85
01,0035,0
1030 3
===
A
PBC
BC
✓ Resolução - Exemplo 1.6
TENSÃO NORMAL E DE CISALHAMENTO
❑ Exemplo 1.7:
A luminária de 80 kg é sustentada por duas hastes, AB e BC. Se AB
tiver  de 10mm e BC de 8mm, determine a tensão normal média
em cada haste.
TENSÃO NORMAL E DE CISALHAMENTO
✓ Resolução - Exemplo 1.7
TENSÃO NORMAL E DE CISALHAMENTO
❑ Exemplo 1.7:
TENSÃO NORMAL E DE CISALHAMENTO
✓ Resolução - Exemplo 1.7
TENSÃO NORMAL E DE CISALHAMENTO
A peça fundida mostrada é feita de aço, cujo peso específico é
. Determine a tensão de compressão média que
age nos pontos A e B.
3
aço kN/m 80=
❑ Exemplo 1.8
TENSÃO NORMAL E DE CISALHAMENTO
Desenhando um diagrama de corpo livre do segmento superior, a 
força axial interna P nesta seção é:
( )( ) ( )
kN 042,8 
02,08,080 
0 ;0
2
aço
=
=−
=−=+ 
P
P
WPFz

A tensão de compreensão média 
torna-se:
( )
2
2
kN/m 0,64
2,0
042,8
===


A
P
✓ Resolução - Exemplo 1.8
❑ Tensão de Cisalhamento Média:
TENSÃO NORMAL E DE CISALHAMENTO
A
V
=méd
τméd = tensão de cisalhamento média
V = força de cisalhamento interna resultante
A = área na seção
✓A tensão de cisalhamento distribuída sobre cada área secionada
que desenvolve essa força de cisalhamento é definida por:
TENSÃO NORMAL E DE CISALHAMENTO
a) Cisalhamento simples: 
juntas sobrepostas
b) Cisalhamento duplo: 
juntas de dupla 
sobreposição
✓Dois tipos diferentes de cisalhamento:
❑ Tensão de Cisalhamento Média:
TENSÃO NORMAL E DE CISALHAMENTO
O elemento inclinado está submetido a uma força de compressão de
3000 N. Determine a tensão de compressão média ao longo das áreas
de contato lisas definidas por AB e BC e a tensão de cisalhamento
média ao longo do plano horizontal definido por EDB.
❑ Exemplo 1.12
TENSÃO NORMAL E DE CISALHAMENTO
✓ Resolução - Exemplo 1.12
TENSÃO NORMAL E DE CISALHAMENTO
As forças de compressão agindo nas áreas de contato são:
( )
( ) N 240003000 ;0
N 180003000 ;0
5
4
5
3
==−=+
==−=→+


BCBCy
ABABx
FFF
FFF
A força de cisalhamento agindo no plano horizontal secionado EDB 
é:
N 1800 ;0 ==→+  VFx
✓ Resolução - Exemplo 1.12
TENSÃO NORMAL E DE CISALHAMENTO
As tensões de compressão médias ao longo dos planos horizontal e
vertical do elemento inclinado são
( )( )
( )( )
2
2
N/mm 20,1
4050
2400
N/mm 80,1
4025
1800
==
==
BC
AB


( )( )
2
méd N/mm 60,0
4075
1800
==
A tensão de cisalhamento média que age no plano horizontal
definido por BD é
✓ Resolução - Exemplo 1.12
TENSÃO NORMAL E DE CISALHAMENTO
✓Pontos Importantes:
✓ Restringir a tensão no material a um nível seguro.
✓ Análise periódica.
✓ Realizar os cálculos usando-se uma tensão segura ou admissível.
✓ A carga realizada no projeto pode ser diferente a aplicada na prática
✓ As máquinas não podem ser exatas.
✓ Vibrações, impactos ou cargas acidentais desconhecidas.
✓ Corrosão atmosférica, deterioração ou desgaste.
✓ As propriedades mecânicas de madeira, concreto ou compósitos reforçados
com fibras podem apresentar alta variabilidade.
❑ Tensão Admissível:
TENSÃO NORMAL E DE CISALHAMENTO
✓O Fator de Segurança é um método para especificação da
carga admissível para o projeto ou análise de um
elemento.
✓O fator de segurança (FS) é a razão entre a carga de
ruptura e a carga admissível.
✓Frup é determinada por ensaios experimentais do material.
✓Fadm é determinado pela experiência.
❑ Tensão Admissível:
1FS
adm
rup
=
F
F
TENSÃO NORMAL E DE CISALHAMENTO
A barra rígida AB é sustentada por uma haste de aço AC com 20 mm de diâmetro e
um bloco de alumínio com área de seção transversal de 1800 mm2. Os pinos de 18
mm de diâmetro em A e Cestão submetidos a cisalhamento simples. Se a tensão de
ruptura do aço e do alumínio forem e ,
respectivamente, e a tensão de ruptura por cisalhamento para cada pino for
, determine a maior carga P que pode ser aplicada à barra. Aplique
um fator de segurança FS=2.
❑ Exemplo 1.17:
( ) MPa 680
rupaço
= ( ) MPa 70
rupal
=
MPa 900rup =
TENSÃO NORMAL E DE CISALHAMENTO
❑ Solução:
As tenções admissíveis são:( )
( )
( )
( )
MPa 450
2
900
FS
MPa 35
2
70
FS
MPa 340
2
680
FS
rup
adm
rupal
admal
rupaço
admaço
===
===
===






Há três incógnitas e nós aplicaremos as equações de equilíbrio
( ) ( )
( ) ( ) (2) 075,02 ;0
(1) 0225,1 ;0
=−=+
=−=+


PFM
FPM
BA
ACB
Agora, determinaremos cada valor de P que crie a tensão admissível na haste, no bloco 
e nos pinos, respectivamente.
A haste AC exige
( ) ( ) ( ) ( )  kN 8,10601,010340 26
admaço
===  ACAC AF
TENSÃO NORMAL E DE CISALHAMENTO
Usando a Equação 1,
( )( )
kN 171
25,1
28,106
==P
Para bloco B,
( ) ( ) ( )  kN 0,6310800.11035 66
admal
=== −BB AF 
Usando a Equação 2,
( )( )
kN 168
75,0
20,63
==P
Para o pino A ou C, ( ) ( )  kN 5,114009,010450 26adm ====  AFV AC
Usando a Equação 1, ( )( ) kN 183
25,1
25,114
==P
Quando P alcança seu menor valor (168 kN), desenvolve a tensão normal 
admissível no bloco de alumínio. Por consequência,
(Resposta) kN 168=P
❑ Solução:
TENSÃO NORMAL E DE CISALHAMENTO
•1.3
❑ Lista de Exercícios (Livro Hibbeler, Capítulo 1, pg 25)
❑ Engenharia de Materiais.
TENSÃO NORMAL:
• Na determinação da distribuição das tensões normais ao longo dos pontos
da seção transversal de uma barra reta submetida a esforço normal,
faremos a hipótese simplificadora de que a seção reta permanece plana
após a deformação (hipótese de Bernoulli). Isto implica em que as
deformações específicas e das fibras longitudinais da barra sejam
uniformes e, levando em conta a proporcionalidade entre as tensões e
deformações (Lei de Hooke) para o regime elástico, conclui-se que as
tensões se distribuirão uniformemente ao longo dos diversos pontos da
seção.