11 - Anuidades - Modelos Genéricos (continuação) - Marcia Rebello da Silva

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UFRRJ/ICSA/DCAC (Notas de Aula - 2015/I) U.A. 11: ANUIDADES 
 MODELOS GENÉRICOS 
MARCIA REBELLO DA SILVA 
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U.A. 11: ANUIDADES - MODELOS GENÉRICOS 
 
 
 
 
 
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OBJETIVOS: 
 Ao final desta unidade, você será capaz de: 
 
Ao final desta unidade, você será capaz de: 
 
1- Entender o conceito de valor acumulado e valor atual em anuidades antecipadas. 
 
2- Calcular as variáveis: valor acumulado; valor atual; termo; prazo e taxa de juros nas 
anuidades antecipadas. 
 
3- Calcular as variáveis nas anuidade em que o período dos termos não coincide com aquela a que se 
refere a Taxa de Juros. 
 
4- Interpretar e resolver os exercícios propostos na UA11. 
 
 
 
 
 
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1- Anuidades Antecipadas 
Anuidades Antecipadas aquelas nas quais os termos são efetuados no início dos períodos. 
Podemos chegar facilmente às fórmulas de equivalência com raciocínio análogo das demonstrações 
anteriores. 
 
1.1- Valor Acumulado (S) em função dos Termos (R) 
 
 
O Valor Acumulado na Data Focal "n" será : 
 S = R (1 + i) + R (1 + i)2 + … + R (1 + i)n 
Colocando R (1 + i) em evidência fica: 
 S = R (1 + i) [1 + (1 +i) + (1 + i)2 + … + (1 + i)n − 1] 
 
Podemos observar que dentro do colchete trata-se da soma dos termos de uma progressão 
geométrica finita em que o primeiro termo é um e a razão (q) é igual a (1+i). 
Logo se aplicarmos a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica que é: 
 
 [a1
 
(qn − 1)] 
 q − 1 
 
então, teremos: 
 
 S = R [(1 + i)n − 1] (1 + i) ou S = R (sn i) (1 + i) 
 i 
 
 
Ex. 1: Quanto terei acumulado daqui a dois anos se aplicar $ 350 no início de cada mês a uma taxa de 
3% a.m.? 
 
 R = $ 350 i = 3% a.m. n = 24 X = ? 
Solução: Data Focal = Vinte e quatro meses 
 
R = [$/T] 
0 1 
i = [1/T] 
Anuidade Antecipada 
S 
n−1 n 
 
DF 
Termos Antecipados 
Prazo = n 
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∑ Dep.(DF = 24) − ∑ Ret.(DF = 24) = Saldo(DF = 24) 
∑ Dep.(DF = 24) = S = R [(1 + i)n − 1] (1 + i) = R (sn i) (1 + i) 
 i 
∑ Dep.(DF = 24) = 350 (s24 3%) (1,03) = 350 [(1,03)24 − 1] (1,03) 
 0,03 
∑ Ret.(DF = 24) = 0 
Saldo(DF = 24) = X =? 
Equação de Valor: Data Focal = 24 meses 350 (s24 3%) (1,03) = X 
350 [(1,03)24 − 1] (1,03) = X 
 0,03 
 X = $ 12.410,74 
Resposta: $ 12.410,74 
 
 
Ex. 2: São feitos oito depósitos a vencer em cada semestre de $ 4.900 e uma retirada de $ 33.000 no 
quinto ano em uma poupança. Calcular o saldo um ano após a retirada para uma taxa de juros de 5% 
a.s. 
 
R = $ 4.900 i = 5% a.s. n = 8 
Ret. (10º sem) = $ 33.000 X (12º sem) = ? 
Solução: Data Focal = Doze semestres 
 ∑ Dep.(DF = 12) − ∑ Ret.(DF = 12) = Saldo(DF = 12) 
 ∑ Dep.(DF = 12) = S (1,05)4 = R (sn i) (1 + i) (1,05)4 
 ∑ Dep.(DF = 12) = 4.900 (s8 5%) (1,05) (1,05)4 
∑ Ret.(DF = 12) = 33.000 (1,05)2 
R = $ 350/mês 
0 1 
Prazo = n = 24 
i = 3% a.m. 
Anuidade Antecipada 
S 
 
23 24 
 
meses 
DF 
Saldo = X = ? 
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Saldo(DF = 12) = X =? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação de Valor: Data Focal = 12 sem. 
 4.900 (s8 5%) (1,05) (1,05)4 − 33.000 (1,05)2 = X 
 4.900 [(1,05)8 − 1] (1,05)5 − 33.000 (1,05)2 = X 
 0,05 
X = $ 23.335,52 
Resposta: $ 23.335,52 
 
 
Ex. 3: Um comerciante deve quinze pagamentos mensais antecipados de $ 5.800. Não podendo pagar 
nestes prazos quer substituir por dois pagamentos iguais, vencendo respectivamente em dezoito e vinte 
e cinco meses. Se a taxa de juros cobrada for 4% a.m, qual será o valor de cada pagamento? 
 
R = $ 5.800/mês n = 15 
X (18º mês) = ? X (25º mês) = ? i = 4% a.m. 
Solução: Data Focal = Vinte e cinco meses 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R = $ 4.900/sem. 
0 1 
Prazo = n = 8 
i = 5% a.s. 
Termos Antecipados S 
 
7 8 
 
Sem. 
DF 
10 
$ 33.000 
Saldo = X = ? 
12 
R = $ 5.800/mês. 
0 1 
Prazo = n = 15 
i = 4% a.m. 
Termos Antecipados S 
 
14 15 
Meses. 
DF 
18 
X 
 X 
25 
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∑ Obr(DF = 25) = ∑ Pag.(DF = 25) 
 ∑ Obr.(DF = 25) = S (1,04)10 = 5.800 (s15 4%) (1,04) (1,04)10 
∑ Pag(DF = 25) = X (1,04)7 + X 
Equação de Valor: Data Focal = 25 meses. 
 5.800 (s15 4%) (1,04) (1,04)10 = X (1,04)7 + X 
 5.800 [(1,04)15 − 1] (1,04)11 = X (1,04)7 + X 
 0,04 
X = $ 77.198,85 
Resposta: $$ 77.198,85 
 
 
Ex. 4: Foi depositado inicialmente em uma poupança $ 9.200 e a partir do final do sexto bimestre 
foram feitos mais trinta depósitos bimestrais de $ 1.700. Calcular o saldo um ano após o último 
depósito para uma taxa de juros de 3,5% a.b. 
 
Inv. Inicial = $ 9.200 
R = $ 1.700/bim. (1º: final do 6º bim.) → n = 30 
i = 3,5% a.b. 
Saldo = X = ? (1 ano após último depósito: 35 + 6 = 41) 
Solução: Data Focal = Quarenta e um bimestres 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑ Dep.(DF) − ∑ Ret.(DF) = Saldo(DF) 
Dep. Inicial(DF = 41) = 9.200 (1,035)41 
0 1 35 
DF 
 Prazo = n = 30 
 6 + 30 = 36 
 
i = 3,5% a.b. 
bim. 
S 
6 5 
Termos Antecipados 
$ 9.200 R = $ 1.700/bim. 
36 
X 
41 
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∑ Dep.(DF = 41) = S (1,035)5 = 1.700 [(1,035)30 − 1] (1,035) (1,035)5 
 0,035 
∑ Ret.(DF = 41) = 0 
Saldo(DF = 41) = X 
Equação de Valor (DF = 31 bim.): 9.200 (1,035)41 + 1.700 (s30 3,5%) (1,035) (1,035)5 = X 
9.200 (1,035)41 + (1.700) [(1,035)30 − 1] (1,035)6 = X 
 0,035 
X = $ 145.577,74 
Resposta: $ 145.577,74 
 
 
 
1.2- Valor Atual (A) em função dos Termos (R) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vimosem (1.1) que: S = R [(1 + i)n −1] (1 + i) 
 i 
 
Data Focal = Zero ⇒ "A" e "S" são Equivalentes, então: 
 
A = R [(1 + i)n − 1] (1 + i) (1 + i)−n 
 i
 
 
A = R [1 − (1 + i)−n]
 
(1 + i) ou A = R (an i) (1 + i) 
 i 
 
 
Ex. 5: Um lojista deseja financiar a venda de uma moto em dezessete prestações mensais a vencer de $ 
850. Se a taxa de juros cobrada no financiamento for de 4% a.m, qual seria o valor da moto à vista? 
 
 R = $ 850/mês n = 17 i = 4% a.m. 
R = [$/T] 
0 1 
Prazo = n 
i = [1/T] 
Anuidade Antecipada 
A 
 
n−1 n 
 
DF 
Termos Antecipados 
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 Valor da moto = X =? 
Solução: Data Focal = Zero 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) 
Preço a Prazo(DF = 0) = Prestações(DF = 0) = A = 850 (a17 4%) (1,04) 
 Preço à Vista(DF = 0) = X = ? 
Equação de Valor: Data Focal = Zero 850 (a17 4%) (1,04) = X 
 850 [1 − (1,04)− 17]
 
(1,04) = X 
 0,04 
X = $ 10.754,45 
Resposta: $ 10.754,45 
 
 
Ex. 6: Uma lancha a prazo tem que dar uma entrada de $ 85.000 e mais quarenta e cinco prestações 
mensais de $ 9.700; sendo que a primeira prestação no final do sétimo mês. Se a taxa de juros cobrada 
no financiamento for 4% a.m, qual seria o preço à vista? 
 
E = $ 85.000 R = $ 9.700/mês (1o Ret.: final do 7o mês) 
 i = 4% a.m. n = 45 Preço à Vista = X = ? 
Solução: Data Focal = Zero 
Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) 
Preço a Prazo(DF = 0) = E(DF = 0) + Prestações(DF = 0) 
Preço a Prazo(DF = 0) = 85.000 + A (1,04)−7 = 85.000 + 9.700 (a45 4%) (1,04) (1,04)−7 
Preço à Vista(DF = 0) = X = ? 
R = $ 850/mês 0 1 
Prazo = n = 17 
i = 4%/mês 
Anuidade Antecipada 
16 17 
DF 
X = ? 
A 
meses 
Termos Antecipados 
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Equação de Valor: DF = Zero 85.000 + 9.700 (a45 4%) (1,04) (1,04)−7 = X 
85.000 + 9.700 [1 − (1,04)−45] (1,04)−6 = X 
 0,04 
X = $ 243.840,88 
Resposta: $ 243.840,88 
 
 
Ex. 7: Qual seria o preço à vista de uma máquina industrial, se a prazo são necessários pagamentos 
bimestrais antecipados de $ 7.350 durante dois anos, sendo que a taxa cobrada no financiamento é 
6,7% a.b? 
 
R = $ 7.350/bim n = (2) (6) = 12 i = 6,7% a.b. 
 Valor à vista = X =? 
Solução: Data Focal = Zero 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 X = ? 
0 1 51 
Prazo = n = 45 
7 + 45 = 52 
i = 4% a.m. 
meses. 
R = $ 9.700/mês 
A 
7 6 
Termos Antecipados $ 85.000 
52 
DF 
R = $ 7.350/bim. 0 1 
Prazo = n = 12 
i = 6,7%/bim. 
Anuidade Antecipada 
11 12 
DF 
X = ? 
A 
Bim. 
Termos Antecipados 
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Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) 
Preço a Prazo(DF = 0) = Prestações(DF = 0) = A = 7.350 (a12 6,7%) (1,067) 
 Preço à Vista(DF = 0) = X = ? 
Equação de Valor: Data Focal = Zero 7.350 (a12 6,7%) (1,067) = X 
7.350 [1 − (1,067)− 12]
 
(1,067) = X 
 0,067 
X = $ 63.298,34 
Resposta: $ 63.298,34 
 
 
1.3- Cálculo dos Termos (R) 
 
Ex. 8: Se João fizesse quinze depósitos antecipados quadrimestrais em uma poupança cuja 
rentabilidade fosse de 12% a.a. composto quadrimestralmente, e se tivesse acumulado na poupança no 
final do prazo $ 78.000, quanto foi depositado? 
 
R = ? ($/quadr.) n = 15 i = (12%) (1/3) = 4% a.q. Saldo = $ 78.000 
Solução: Data Focal = Quinze quad. 
∑ Dep.(DF = 15) − ∑ Ret.(DF = 15) = Saldo(DF = 15) 
∑ Dep.(DF = 15) = S = R [(1 + i)n − 1] (1 + i) = R (sn i) (1 + i) 
 i 
∑ Dep.(DF = 15) = R (s15 4%) (1,04) = R [(1,04)15 − 1] (1,04) 
 0,04 
∑ Ret.(DF = 15) = 0 
Saldo(DF = 15) = $ 78.000 
Equação de Valor: Data Focal = 15 quad. R (s15 4%) (1,04) = 78.000 
 
 
 
 
 
 
 
 
R = ? ($/quadr.) 
0 1 
Prazo = n = 15 
i = 4% a.q. 
Anuidade Antecipada S 
Quad. 
DF 
15 
Saldo = $ 78.000 
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R [(1,04)15 − 1] (1,04) = 78.000 
 0,04 
R = . (78.000) (0,04) . 
 [(1,04)15 − 1] (1,04) 
R = $ 3.745,58/quad. 
Resposta: $ 3.745,58/quad. 
 
 
Ex. 9: Um aparelho de som à vista custa $ 2.960 e a prazo tem que pagar prestações no início de cada 
mês durante um ano e meio. Se a loja cobrar uma taxa de juros de 36% a.s. acumulada mensalmente, 
qual será o valor de cada prestação? 
 
 Preço à vista = $ 2.960 n = 18 i = 6% a.m. R =? 
Solução: Data Focal = Zero 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) 
Preço a Prazo(DF = 0) = Prestações(DF = 0) = A = R (a18 6%) (1,06) 
 Preço à Vista(DF = 0) = $ 2.960 
Equação de Valor: Data Focal = Zero R (a18 6%) (1,06) = 2.960 
R [1 − (1,06)− 18]
 
(1,06) = 2.960 
 0,06 
R = $ 257,90 
Resposta: $ 257,90 
 
 
R = ? ($/mês) 0 1 
Prazo = n = 18 
i = 6%/mês 
Anuidade Antecipada 
 
17 18 
 
DF 
$ 2.960 
A 
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Ex. 10: Marta fez depósitos trimestrais a vencer durante quatro anos em um fundo. Se o saldo no sexto 
ano for $ 57.300 e taxa de juros 1% a.m. composta trimestralmente, qual foi o valor de cada depósito? 
 
R = ? ($/trim.) n = (4) (4) = 16 
i = (1%) (3) = 3% a.t. Saldo = $ 57.300 (6 x 4 = 24º trim.) 
Solução: Data Focal = Vinte e quatro meses 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑ Dep.(DF = 24) − ∑ Ret.(DF = 24) = Saldo(DF = 24) 
 ∑ Dep.(DF = 24) = S (1 + i)8= R [(1 + i)n − 1] (1 + i) (1 + i)8 ou S = R (sn i) (1 + i) (1 + i)8 
 i 
∑ Dep.(DF = 24) = R (s16 3%) (1,03) (1,03)8 = R [(1,03)16 − 1] (1,03) (1,03)8 
 0,03 
∑ Ret.(DF = 24) = 0 
Saldo(DF = 24) = $ 57.300 
Equação de Valor: Data Focal = 24 trim. R (s16 3%) (1,03) (1,03)8 = 57.300 
 R [(1,03)16 − 1] (1,03)9 = 57.300 
 0,03 
R = . (57.300) (0,03) . 
 [(1,03)16 − 1] (1,03)9 
 
R = $ 2.178,69 
Resposta: $ 2.178,69 
 
 
Ex. 11: Um investidor depositouinicialmente em uma poupança $ 38.500 para serem feitas retiradas 
mensais iguais e durante dois anos. Se a primeira retirada for início do sexto mês e se a taxa de juros da 
poupança for 4,5% a.m; quanto poderá o investidor retirar mensalmente? 
 
R = ? ($/trim.) 
0 1 
Prazo = n = 16 
i = 3% a.t. 
Termos Antecipados S 
Trim. 
DF 
16 15 24 
Saldo = $ 57.300 
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Inv. Inicial = $ 38.500 
R = ? (1ª retirada: 5º mês) Prazo = 2 anos => n = 24 i = 4,5% a.m. 
Solução: Data Focal = Cinco meses 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑ Dep.(DF) − ∑ Ret.(DF) = Saldo(DF) 
Dep. Inicial(DF = 5) = 38.500 (1,045)5 
 
∑ Ret(DF = 5) = A = R [1 − (1 + i)−n] (1 + i) ou A = R (an i) (1 + i) 
 i 
 
∑ Ret(DF = 5) = R [1 − (1,045−24] (1,045) ou A = R (a24 4,5%) (1,045) 
 0,045 
Saldo(DF = 5) = 0 
 
Equação de Valor (DF = 5 meses): 38.500 (1,045)5 = R (a24 4,5%) (1,045). 
38.500 (1,045)5 = R [1 − (1,045−24] 
 (1,045) 0,045 
38.500 (1,045)4 = R [1 − (1,045−24] 
 0,045 
R = $ 3.167,33 
Resposta: $ 3.167,33 
 
 
1.4- Cálculo do número de termos 
O prazo pode ser obtido das seguintes fórmulas: 
0 1 29 
 DF 
Prazo = n = 24 
5 + 24 = 29 
i = 4,5% a.m. 
meses. 
R = ? 
 
A 
5 4 
Termos Antecipados 
$ 38.500 
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S = R [(1 + i)n − 1] (1 + i) = R (sn i) (1 + i) 
 i 
Ou 
A = R [1 − (1 + i)−n] = R (an i) (1 + i) 
 i 
 
 O cálculo de "n" terá que ser resolvido por logarítimo neperiano (ln) ou por logarítimo 
decimal (log). 
 
 
Ex. 12: Uma poupança de $ 98.000 deve ser acumulada em depósitos trimestrais antecipados de $ 
2.501,20. Se o fundo render 3,3% a.t, quantos depósitos trimestrais serão necessários para acumular tal 
quantia? 
 
S = $ 98.000 R = $ 2.501,20/trim. i = 3,3% a.t. n = ? 
Solução: Data Focal = ”n” trim. 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑ Dep.(DF = n) − ∑ Ret.(DF = n) = Saldo(DF = n) 
∑ Dep.(DF = n) = S = R (sn i) (1 + i) = 2.501,20 [(1,033)n − 1] (1,033) 
 0,33 
 ∑ Ret.(DF = n) = 0 
 Saldo(DF = n) = 98.000,00 
Equação de Valor: Data Focal = ”n” trim. 2.501,20 [(1,033)n − 1] (1,033) = 98.000 
 0,033 . 
 (1,033)n = 2,25 
Ln (1,033)n = Ln (2,25) 
n Ln (1,033) = Ln (2,25) 
n ≈ 24,98 = 25 
Resposta: 25 
 
R = $ 2.501,20/trim 
0 1 n−1 
DF 
S 
n = ? 
Trim. 
Saldo = $ 98.000 
n 
Anuidade Antecipada 
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14
Ex. 13: Uma máquina à vista custa $ 315.000 e a prazo são necessárias prestações mensais a vencer no 
valor de $ 20.909,40. Se a taxa de juros cobrada no financiamento for 6,5% a.m, quantos pagamentos 
mensais serão necessários no financiamento? 
 
 Preço à vista = $ 315.000 R = $ 20.909,40/mês 
i = 6,5% a.m. n = ? 
Solução: Data Focal = Zero 
Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) 
Preço a Prazo(DF = 0) = Prestações(DF = 0) 
Prestações(DF = 0) = A = 20.909,40 (an 6,5%) (1,065) 
 Preço à Vista(DF = 0) = $ 315.000 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação de Valor na Data Focal = 0 20.909,40 (an 6,5%) (1,065) = 315.000 
 20.909,40 [1 − (1,065)−n]
 
(1,065) = 315.000 
 0,065 
 1 − (1,065)−n
 
= .(315.000) (0,065) . 
 (20.909,40) (1,065) 
1 − (1,065)−n = 0,92 
1 − 0,92 = (1,065)−n 
 0,08 = (1,065)−n 
 n = − Ln 0,08 
 Ln 1,065 
R = $ 20.909,40/mês 0 1 
Prazo = n = ? 
i = 6,5%/mês 
Anuidade Antecipada 
 
n−1 n 
 
DF 
$ 315.000 
A 
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15
n = − (–2,5257) ≈ 40,09 
 0,0630 
Resposta: Quarenta meses 
 
Ex. 14: João fez depósitos a vencer quadrimestrais de $ 950 em um fundo de investimento. Se o 
montante for $ 195.546,70 e a taxa de juros 4,5% a.q, qual foi o prazo? 
 
S = $ 195.546,70 R = $ 950/quad. i = 4,5% a.q. prazo = ? 
Solução: Data Focal = ”n” quad. 
 ∑ Dep.(DF = n) − ∑ Ret.(DF = n) = Saldo(DF = n) 
∑ Dep.(DF = n) = S = R (sn i) (1 + i) 
∑ Ret.(DF = n) = 0 
Saldo(DF = n) = 98.000 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação de Valor: 950 [(1,045)n − 1] (1,045) = 195.546,70 
 . 0,045 . 
 (1,045)n − 1 = 8,86 
Ln (1,045)n = Ln (9,86) 
n Ln (1,045) = Ln (9,86) 
n ≈ 52 
Resposta: 52 quad. 
 
 
Ex. 15: Um empresário depositou inicialmente em um fundo para pagamentos de bolsas de estudo $ 
155.000. Se as retiradas forem trimestrais antecipadas no valor de $ 7.080 e a taxa de juros do fundo 
for 1,5% a.m. capitalizado trimestralmente; quantas retiradas poderão ser feitas? 
 
Inv. Inicial = $ 155.000 i = (1,5%) (3) = 4,5% a.t. 
R = $ 950/quad. 
0 1 n−1 
DF 
S 
n = ? 
Quad. 
Saldo = $ 195.546,70 
n 
Anuidade Antecipada 
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16
 R = $ 7.080/trim. (antecipada) n = ? 
Solução: Data Focal = Zero 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑ Dep.(DF) − ∑ Ret.(DF) = Saldo(DF) 
Dep. Inicial(DF = 0) = 155.000 
 
∑ Ret(DF = 0) = A = R [1 − (1 + i)−n] (1 + i) ou A = R (an i) (1 + i) 
 i 
∑ Ret(DF = 0) = 7.080 [1 − (1,045−n] (1,045) ou A = R (an 4,5%) (1,045) 
 0,045 
Saldo(DF = 0) = 0 
Equação de Valor na Data Focal = Zero 155.000 − 7.080(an 4,5%) (1,045) = 0 
 155.000 = 7.080 [1 − (1,045)−n] (1,045) 
 0,045 
(155.000) (0,045) = 1 − (1,045)−n 
 (7.080) (1,045) 
 
0,94 = 1 − (1,045)−n 
(1,045)−n = 1 − 0,94 = 0,06 
n = − Ln 0,06. ≈ 63,92 ≈ 64 
 Ln 1,045 
Resposta: 64 
 
 
 
 
R = $ 7.080/trim. 0 1 
Prazo = n = ? 
i = 4,5%/mês 
Anuidade Antecipada 
 
n−1 n 
 
DF 
$ 155.000 
A 
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17
1.5- Cálculo da Taxa de Juros 
 
Ex.16: São feitos depósitos bimestrais antecipados de $ 850 durante três anos e meio em uma 
poupança. Se o valor acumulado no final do prazo for $ 30.741, qual será a taxa de juros ao semestre 
capitalizado bimestralmente? (Solução por interpolação linear) 
 
 Saldo = $ 30.741 R = $ 850/bim 
 taxa = ? (a.s. capitalizado bim.) n = (3,5) (6) = 21 
Solução: Data Focal = Vinte e um bimestres 
∑ Dep.(DF = 21) − ∑ Ret.(DF = 21) = Saldo(DF = 21) 
∑ Dep.(DF = 21) = 850 (s21 i) (1+ i) = 850 [(1 + i)21 −1] (1+ i) 
 i 
∑ Ret.(DF = 21) = 0 
Saldo(DF = 21) = $ 30.741 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação de Valor na Data Focal = 21 bim. 850 [(1 + i)21 −1] (1+ i) = 30.741 
 . i . 
(s21 i) (1+ i) = 36,17 
 
1o. Chute: i = 7% a.b. 
s21 7% (1,07) = [(1,07)21 −1] (1,07) 
 1,07 
s21 7% (1,07) = 48,01 
 
2o. Chute: i = 3% a.b. 
s21 3% (1,03) = [(1,03)21 −1] (1,03) 
 0,03 
 s21 3% (1,03) = 29,54 
R = $ 850/bim. 
0 1 20 
DF 
S 
n = 21 
i = ? 
Bim. 
Saldo = $ 30.741 
21 
Anuidade Antecipada 
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18
 X = . 7% − 3% . 
36,17 − 29,54 48,01 − 29,54 
X = 1,4% 
 i = 3% + 1,4% 
i ≅ 4,4% a.b 
s21 4,4% (1,044) = [(1,044)21 −1] (1,044) = 34,88 
 0,044 
Gráfico a seguir. 
 
Como o fator é 36,17, então, faremos mais um chute, que será os 4,4% que acabamos de achar por 
interpolação. 
 
 
 
 
3o. Chute: i = 4,4% a.b. 
 
 
 X = . 7% − 4,4% . 
36,17 − 34,88 48,01 − 34,88 
X = 0,26% 
i = 4,4% + 0,3% 
i ≅ 4,7% a.b. 
s21 4,7% (1,044) = [(1,047)21 −1] (1,047) = 36,17 
 0,047 
29,54 
36,17 
48,01 
s21 i (1 + i) 
3% i = ? 7% 
i% (a.b) 
0 X 
i = 3% + x 
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19
A taxa de juro é 4,7% ao bimestre 
 
Taxa ao semestre capitalizado bimestralmente = (4,7%) (3) = 14,10% 
Resposta: 14,10% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 17: Uma casa de campo à vista custa $ 147.000 e prazo tem que pagar quarenta e duas parcelas 
mensais a vencer de $ 10.772,40. Calcular a taxa de juros que está sendo cobrada no financiamento. 
(Solução por interpolação linear). 
 
Preço à vista = $ 147.000 R = $ 10.772,40/mês n = 42 
 i = ? 
Solução: Data Focal = Zero 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R = $ 10.772,40/mês 0 1 
Prazo = n = 42 
i = ? 
Anuidade Antecipada 
41 42 
DF 
$ 147.000 
A 
meses 
34,88 
36,17 
48,01 
s21 i (1 + i) 
4,4% i = ? 7% 
i% (a.b) 
0 
X 
i = 4,4% + x 
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20
Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) 
Preço a Prazo(DF = 0) = Prestações(DF = 0) 
 
Prestações(DF = 0) = 10.772,40 [1 − (i)−42]
 
(1 + i) = 10.772,40 (a42 i) (1 + i) 
 i 
 Preço à Vista(DF = 0) = $ 147.000 
Equação de Valor na Data Focal = 0 147.000 = 10.772,40 a42 i (1 + i) 
 13,65 = a42 i (1 + i) = [1 – (1 + i)─42] (1 + i) 
 i 
1o. Chute: 5% a.m. 
 a42 i (1 + i) = 18,29 
2o. Chute: 10% a.m 
a42 i (1 + i) = 10,80 
 X .= 10% – 5% . 
18,29 – 13,65 18,29 – 10,80 
 X = 3,10% 
i = 5% + 3,1%. 
i ≅ 8,1% a.m 
a42 8,1% = 12,84 
 
10,80 
13,65 
18,29 
a42 i 
5% i = ? 10% i% 0 
X 
i = 5% + x 
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21
3o. Chute: 8,1% a.m => a42 i (1 + i) = 12,84 
 
 
 
 X .= 8,1% – 5% . 
18,29 – 13,65 18,29 – 12,84 
 X = 2,6% 
i = 5% + 2,6%. i ≅ 7,6% a.m 
a42 7,6% = 13,5 
Reposta: ~ 7,6% a.m. 
Nota: 
Podemos transformar em uma anuidade de modelo básico, o que ficaria: 
 Preço à vista − Entrada = (42 − 1 = 41) prestações (de um modelo básico). 
147.000 − 10.772,40 = 10.772,40 [1 − (i)−41]
 
 
 i 
Equação de Valor na Data Focal = Zero: 
 136.227,60 = 10.772,40 [1 − (i)−41]
 
 
 i . 
 
 
 
12,84 
13,65 
18,29 
a42 i 
5% i = ? 8,1% i% 0 
x 
i = 5% + X 
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22
1.6- Anuidades Perpétuas Antecipadas 
Uma anuidade é dita perpétua quando o prazo da anuidade não tem limite, isto é, o prazo é 
infinito, e os termos acontecem no inicio cada intervalo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se pegarmos a fórmula do valor descontado de uma anuidade antecipada, a seguir: 
 A = R an i = R [1 − (1 + i)-n] (1 + i) 
 i 
 
e aplicarmos o limite e fazermos “n” tender ao infinito: 
 
A = lim. R an i = lim. R [1 − (1 + i)-n] (1 + i) 
 i 
 
A = lim. R [1 − 1 ] (1 + i) 
 n→∞ i i (1 + i)n 
 
Então: 
 1 . = 0 
 (1 + i)n 
 
Logo: 
A = R (1 + i) 
 i 
 
 
Ex. 18: Quanto terá que ser investido hoje em um fundo para pagamentos de bolsa de estudo, sabendo 
que serão feitas retiradas bimestrais antecipadas de $ 67.000 deste fundo, e que o fundo pagará uma 
taxa de 4% a.b? 
 
X = ? i = 4% a.b. n = infinito R = $ 67.000/bim. 
Solução: Data Focal = Zero 
R = [$/T] 
0 1 
DF 
Prazo = n = infinito = ∞ 
i = [1/T] 
Perpetuidade Antecipada 
A 
∞ 
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23
 
 
∑ Dep.(DF = 0) − ∑ Ret.(DF = 0) = Saldo(DF = 0) 
∑ Dep.(DF = 0) = X = ? 
∑ Ret.(DF = 0) = A = (R / i) (1 + i) 
Saldo(DF = 0) = 0 
Equação de Valor na Data Focal = 0 X − (67.000) (1,04) = 0. 
 . 0,04 . 
 . X = (67.000) (1,04) 
 0,04 
X = $ 1.742.000 
Reposta: $ 1.742.000 
 
 
Ex. 19: Foi depositado inicialmente em um fundo parapesquisa no valor de $ 550.000 no qual serão 
feitas retiradas quadrimestrais a vencer. Se a taxa do fundo for 3,5% a.q, quanto poderá ser retirado 
deste fundo? 
 
Dep. Inicial = $ 550.000 i = 3,5% a.q. 
R = ? ($/quad.) n = infinito 
Solução: Data Focal = Zero 
∑ Dep.(DF = 0) − ∑ Ret.(DF = 0) = Saldo(DF = 0) 
∑ Dep.(DF = 0) = $ 550.000 
∑ Ret.(DF = 0) = A = (R / i) (1 + i) 
Saldo(DF = 0) = 0 
R = $ 67.000/bim 0 1 
DF 
Prazo = n = infinito = ∞ 
i = 4% a.b. 
Perpetuidade Antecipada 
∞ 
X = ? 
A 
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Equação de Valor na Data Focal = 0 550.000 − . (R) (1,035) = 0 
 . 0,035 . 
550.000 = (R / 0,035) (1,035) 
R = $ 18.599,03/quad. 
Reposta: $ 18.599,03/quad. 
 
 
Ex. 20 Quanto terá que ser investido hoje em um fundo para pagamentos de bolsa de estudo, sabendo 
que serão feitas retiradas quadrimestrais de $ 154.000, sendo a primeira retirada no quinto 
quadrimestre, e que o fundo pagará uma taxa de 5% a.q? 
 
X = ? i = 5% a.q. R = $ 154.000/quad. n = infinito 
Solução: Data Focal = Zero 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑ Dep.(DF = 0) − ∑ Ret.(DF = 0) = Saldo(DF = 0) 
 
R = ? ($/quad.) 0 1 
DF 
Prazo = n = infinito = ∞ 
i = 3,5% a.q. 
Perpetuidade Antecipada 
∞ 
$ 550.000 
R = $ 154.000/quad. 0 5 
DF 
Prazo = n = infinito = ∞ 
i = 5% a.q. 
Termos Antecipados 
∞ 
X = ? 
A 
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25
∑ Dep.(DF = 0) = X = ? 
∑ Ret.(DF = 0) = A = (R / i) (1 + i) (1 + i)−5 
Saldo(DF = 0) = 0 
Equação de Valor na Data Focal = 0 X − (154.000) (1,05) (1,05)−5= 0 
 . 0,05 . 
 . X = (154.000) (1,05)−4 
 0,05 
X = $ 2.533.923,62 
Reposta: $ 2.533.923,62 
 
 
 
 
 
1.7- Anuidade em que o Período dos Termos não coincide com aquela a que se refere a 
Taxa de Juros 
 
Quando os períodos de uma anuidade não coincidem com a taxa de juros a que se refere, a 
transformação pode ser feito das seguintes maneiras: 
 
� Transforma-se o período de capitalização da taxa de juros para o mesmo período em que 
estão os termos, e isto, será através taxas equivalentes porque estamos mudando o período de 
capitalização. 
 
� Muda-se o período dos termos da anuidade geral para o mesmo período da taxa de juros, 
transformando-a assim em anuidade simples. 
 
Nota: Só será abordada a utilização de taxas equivalentes. 
 
 
Ex. 21: Foram feitos depósitos trimestrais de $ 700,00 em uma poupança durante dois anos que pagou 
uma taxa de juros de 6% a.m. Qual foi o valor acumulado na poupança no final do prazo? 
 
R = $ 700,00/trim taxa = 6% a.m. 
prazo = 2 anos → n = 8. Saldo = X = ? 
 
Solução: 
Mudando o período de capitalização da taxa 
 Como "R" está por trimestre e "i" (taxa efetiva) é por mês ⇒ que a anuidade é geral, então para 
transformá-la em anuidade simples, transforma-se a taxa de juros efetiva que é mensal para a taxa 
efetiva trimestral, que será através de taxas equivalentes. 
 
Taxas equivalentes: P (1 + it) = P (1 + im)3 
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26
(1 + it) = (1,06)3 
i = 19,1% a.t. 
Data Focal = Oito trimestres 
 ∑ Dep.(DF = 8) − ∑ Ret.(DF = 8) = Saldo(DF = 8) 
∑ Dep.(DF = 8) = S = 700 [(1,191)8 − 1] 
 0,191 
∑ Ret.(DF = 8) = 0 
Saldo(DF = 8) = X = ? 
Equação de Valor na Data Focal = Oito trim. .X = 700 [(1,191)8 − 1] 
 . 0,191 . 
X = $ 11.172,51 
Reposta: $ 11.172,51 
 
 
Ex. 22: Um aparelho de jantar à vista custa $ 1.870; e a prazo tem que dar uma entrada e mais quinze 
prestações mensais de $ 186,65. Se a taxa de juros for 14% a.m. capitalizado anualmente, qual será o 
valor da entrada? 
 
Preço à Vista = $ 1.870 
R = $ 186,65/mês n = 15 
 Entrada = X = ? 
Taxa = 14% a.m. cap. anualm. → i = (14%) (12) = 168% a.a. cap. anualmente 
Solução: Mudando o período de capitalização da taxa 
Taxas equivalentes: 
P (1 + ia) = P (1 + im)12 
(1 + 1,68) = (1 + im)12 
im = (2,68)1/12 − 1 
im = 8,56% a.m cap. mensalm. 
Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) 
Preço a Prazo(DF = 0) = Entrada(DF = 0) + Prestações(DF = 0) 
Entrada(DF = 0) = X = ? 
Prestações(DF = 0) = A = 186,65 (a15 8,56%) 
Equação de Valor na Data Focal = 0 X + 186,65 (a15 8,56%) = 1.870 
 X + 186,65 [1 − (1,0856)−15] = 1.870 
 0,0856 
X = $ 325,58 
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27
Reposta: $ 325,58 
 
 
Ex. 23: São feitos dez depósitos bimestrais em uma poupança. Se a rentabilidade foi 30% a.a. e valor 
acumulado for $ 320.000; quanto foi depositado bimestralmente? 
 
R = ? n = 10 taxa = 30% a.a. Saldo = $ 320.000 
Solução: 
Taxas equivalentes: 
(1 + ib)6 = (1 + 1,30)1 
(1 + ib) = (1,30)1/6 
ib = (1,30)1/6 – 1 
ib = 4,47% a.b. 
Solução: Equação de Valor na Data Focal = Dez bimestres 
Equação de Valor na Data Focal = 10 bim. R [(1,0447)10 − 1] = 320.000 
 0,0447 . 
R = $ 26.077,59 
Reposta: $ 26.077,59 
 
 
Ex. 24: Foi depositado inicialmente em uma poupança $ 65.000 para serem feitas vinte retiradas 
mensais. Se a rentabilidade for 7% a.m. acumulado semestralmente, qual será o valor de cada retirada? 
 
Dep. Inicial = $ 65.000 taxa = (7%) (6) = 42% a.s. 
R = ? ($/mês) n = 20 
 
Solução: 
Taxas equivalentes 
(1,42)1/6 = 1 + i 
i = 6,02% a.m. 
Equação de Valor na Data Focal = Zero 65.000 = R [1 − (1,0602)−20] 
 0,0602 . 
R = $ 5.676,20 
Reposta: $ 5.676,20 
 
 
Ex. 25: Pedro fez vinte depósitos trimestrais em um fundo. Se o saldo dois anos após o último depósito 
for $ 155.000; e a taxa de juros 1,5% a.m, quanto depositou Pedro por trimestre? 
 
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28
Saldo(28 trim) = $ 155.000 i = 1,5% a.m. 
R = ? ($/trim.) n = 20 
Solução: 
Taxas equivalentes 
(1,015)3 = 1 + i => i = 4,6% a.t. 
Data Focal = Vinte e oito trimestres 
155.000 = R [(1,046)20 − 1)] (1,046)8 
 0,046 
R = $ 3.411,86 
Reposta:$ 3.411,86 
 
 
Ex. 26: Calcular o preço à vista de um quadro, sendo que a prazo tem que dar uma entrada no valor de 
$ 3.270; e mais onze parcelas quadrimestrais de $ 840 e que a taxa de juros cobrada é 6,5% a.q. 
capitalizado anualmente. 
 
Preço à vista = X = ? E = $ 3.270,00 
R = $ 840/quad. n = 11 
i = (6,5%) (3) = 19,5% a.a. 
Solução: 
Taxas equivalentes 
(1,195)1/3 = 1 + i => i = 6,1% a.q. 
Data Focal = Zero 
X = 3.270 + 840 [1 − (1,061)−11] 
 0,061 
X = $ 9.861,22 
Reposta: $ 9.861,22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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29
EXERCÍCIOS PROPOSTOS: U.A.11. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FORMULÁRIO 
 
 
S = P + J J = P i n S = P (1 + i n) D = N − V 
 
N = (Vr) (1 + i n) Dr = (Vr) (i) (n) Dr = .N i n Dc = N i n 
 1 + i n 
 
Vc = N (1 − i n) ief = . i S = P (1 + i)n J = P [(1 + i)n − 1] 
 1 − i n 
 
S = R [(1 + i)n − 1] = R (sn┐i) S = R [(1 + i)n − 1] (1 + i) = R (sn┐i ) (1 + i) 
 i i 
 
A = R [1 − (1 + i)− n] = R (an┐i) A = R [1 − (1 + i)− n] (1 + i) = R (an┐i) (1 + i) 
 i i 
 
A = R A = R (1 + i) 
 i i 
 
Cn = . In . − 1 Cac = . In −1 
 In−1 I0 
 
Cac = [(1 + C1) (1 + C2)…(1 + Cn)] − 1 (1 + i) = (1 + r) (1 + θ) 
 
 
 
O uso do formulário abaixo é útil: 
 (1) Para resolver os exercícios propostos, 
 (2) Para desenvolver as questões das avaliações, pois o mesmo será 
anexado as mesmas e 
 
 (3) Porque não serão aceitas as questões nas avaliações em que o 
desenvolvimento foram pelas teclas financeiras de uma calculadora. 
 
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30
 
Lembrete: 
1- Façam sempre os cálculos usando a calculadora científica que irão usar nas avaliações. 
2- Não será permitido o uso de celular para efetuar as contas nas avaliações. 
3- Os arredondamentos se forem feitos terão que ser no mínimo duas casas decimais. O ideal 
seria usar a memória da calculadora. 
 
 
 
1) São feitos quinze depósitos bimestrais antecipados de $ 1.250. Para uma taxa de 3,5% a.b, calcular o 
montante. 
 
2) São feitos depósitos mensais a vencer de $ 4.700 durante dois anos e meio em um fundo. Qual será 
o valor acumulado um ano após o final do prazo para uma taxa de 3,7% a.m.? 
 
3) Foi depositado inicialmente em uma poupança $ 175.000 e a partir do quinto trimestre foram feitos 
vinte retiradas trimestrais $ 2.300. Calcular o saldo meio ano após o último depósito para uma taxa de 
juros de 3% a.t.. 
 
4) Calcular o preço à vista de uma mercadoria, se a prazo é necessário prestações mensais a vencer de 
$ 375 durante um ano e meio. A taxa de juros cobrada no financiamento é 13,5% a.t. capitalizado 
mensalmente. 
 
5) Uma loja de eletrodomésticos deseja financiar a venda de suas TV’s de 52 polegadas em dez 
prestações mensais antecipados de $ 720. Se a taxa de juros cobrada no financiamento for de 2,5% 
a.m, qual seria o preço à vista das TV’s? 
 
6) Uma máquina a prazo tem que dar uma entrada de $ 26.200 e mais trinta e sete prestações mensais 
de $ 3.340; sendo que a primeira prestação no início do quinto mês. Se a taxa de juros cobrada no 
financiamento for 3,8% a.m, qual seria o preço à vista? 
 
7) Um casal depositou no início de cada bimestre durante três anos em um fundo a uma taxa de juros 
de 3% a.b. Quanto depositou por bimestre o casal se o montante foi $ 21.400? 
 
8) O preço à vista de uma mercadoria é $ 2.460; e a prazo serão necessárias prestações no início de 
cada mês durante dois anos. Se a taxa de juros cobrada no financiamento for 5% a.m, qual será o valor 
de cada prestação? 
 
9) Foram feitos depósitos vinte depósitos antecipados em uma poupança. Se o saldo no trigésimo mês 
for $ 198.300 e taxa de juros de 4% a.m, qual foi o valor de cada depósito? 
 
10) Um terreno à vista a custa $ 220.000 e prazo tem que fazer pagamentos mensais durante quatro 
anos. Se o primeiro pagamento for oito meses depois da compra e se a taxa de juros for 33% a.s 
capitalizado mensalmente; quanto será o valor de cada pagamento mensal? 
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31
 
11) Uma mercadoria à vista custa $ 4.900 e a prazo tem que pagar vinte e duas prestações mensais a 
vencer. Se a taxa de juros no financiamento for 5% a.m. qual será o valor de cada prestação? 
 
12) São feitos depósitos antecipados antecipados de $ 1.300 em uma poupança a uma taxa de juros de 
3% a.m. Se o valor acumulado no final do prazo for $ 115.000; quantos depósitos mensais foram 
feitos? 
 
13) O preço à vista de uma máquina é $ 78.000; e a prazo são necessários prestações a vencer de $ 
4.007,50. Se a taxa de juros cobrada no financiamento for 15% a.s. composta mensalmente, quantos 
prestações serão necessárias na compra a prazo? 
 
14) Foi depositado inicialmente em um fundo para pesquisa no valor de $ 420.000 no qual serão feitas 
retiradas bimestrais a vencer. Se a taxa do fundo for 5,5% a.b; quanto poderá ser retirado deste fundo 
bimestralmente? 
 
15) Quanto terá que ser investido inicialmente em um fundo, sabendo que serão feitas retiradas 
semestrais antecipadas no valor de $ 135.000 e taxa de 6,5% a.s? 
 
16) Quanto terá que ser investido hoje, sabendo que serão feitas retiradas trimestrais de $ 49.000, 
sendo a primeira retirada daqui a um ano e meio, e que o fundo a taxa de juros será 7% a.t? 
 
17) Quanto tenho que depositar por semestre em uma poupança para no final de seis anos termos 
acumulado $ 62.000, sendo que a taxa de juros é 4% a.m? 
 
18) Foi depositado inicialmente em uma poupança $ 32.000 para serem feitas vinte e cinco retiradas 
mensais. Se a rentabilidade for 42% a.s, qual será o valor de cada retirada? 
 
19) Um jogo de estofados à vista custa $ 7.400; e a prazo tem que dar uma entrada e mais parcelas 
bimestrais de $ 850 durante dois anos . Se a taxa de juros for 60% a.a. qual será o valor da entrada? 
 
20) Foi depositado ao final de cada mês $ 2.400 durante um ano e meio em uma poupança. Calcular o 
saldo após o último depósito para uma taxa de juros de 42% a.s. 
 
21) Calcular o preço à vista de um quadro, sendo que a prazo tem que dar uma entrada no valor de $ 
3.270,00 e mais onze parcelas quadrimestrais de $ 840,00 e que a taxa de juros cobrada é 6,5% a.q. 
capitalizado anualmente. 
 
 
SOLUÇÃO DO EXERCÍCIOS PROPOSTOS: U.A.11. 
 
 
1) R = $ 1.250/bim. n = 15 i = 3,5% ab. S = ? 
Solução: Data Focal: Quinze bimestres 
∑ Dep.(DF = 15) − ∑ Ret.(DF = 15) = Saldo(DF = 15) 
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∑ Dep.(DF = 15) = S 
∑ Ret.(DF = 15) = 0 
Saldo(DF = 15) = X = ? 
S = 1.250 [(1,035)15 − 1] (1,035) 
 0,035 
S = $ 24.963,79 
Resposta: $ 24.963,79 
 
 
2) R = $ 4.700 n = (2,5) (12) = 30 i = 3,7% a.m. X = ? 
 
Solução: Equação de Valor: Data Focal = Quarenta e dois meses 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como os termos são antecipados (início de cada período), então, o final do prazo é em trinta 
(2,5 x 12 = 30) 
 
Dep.(DF = 42) − ∑ Ret.(DF = 42) = Saldo(DF = 42) 
∑ Dep.(DF = 42) = (Sant) (1,037)12 = 4.700 (s30 3,7%) (1,037) (1,037)
12 
 
 ∑ Ret.(DF = 42) = 0 
Saldo(DF = 42) = X =? 
Equação de Valor: Data Focal = 42 meses 4.700 (s30 3,7%) (1,037) (1,037)12 = X 
X = (260.048,75) (1,037)12 
X = $ 402.160,90 
Resposta: $ 402.160,90 
R = $ 4.700/mês 
0 1 
Prazo = n = (2,5) (12) = 30 
i = 3,7% a.m. 
Termos Antecipados 
S 
 
 30 
 
Sem. 
DF 
Saldo = X = ? 
42 
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3) Inv. Inicial = $ 175.000 
R = $ 2.300/trim. (1º ret: final do 5º trim.) → n = 20 
i = 3% a.t. Saldo = X = ? (6 meses após último depósito) 
Solução: Data Focal = Vinte e seis trimestres 
 
∑ Dep.(DF) − ∑ Ret.(DF) = Saldo(DF) 
Dep. Inicial(DF = 27) = 175.0000 (1,03)26 
∑ Ret.(DF = 27) = S(ant) (1,03)1 = 2.300 [(1,03)20 − 1] (1,03) (1,03) 
 0,03 
Saldo(DF = 27) = X 
Equação de Valor (DF = 26 trim.): 175.000 (1,03)26 − 2.300 (s20 3%) (1,03) (1,03) = X 
175.000 (1,03)26 − (2.300) [(1,03)20 − 1] (1,03)2 = X 
 0,03 
X = $ 311.837,88 
Resposta: $ 311.837,88 
 
4) Preço à vista = X = ? 
R = $ 375,00/mês (a vencer => Anuid. antecipada) → n = 18 
i = (13,5%) (1/3) = 4,5% a.m. 
Solução: Data Focal = Zero 
 Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) 
 Preço a Prazo(DF = 0) = A(DF = 0) (anuidade antecipada) = 375 [1 − (1,045)−18] (1,45) 
 0,045 
 375 [1 − (1,045)−18] (1,45) = X 
 0,045 
X = $ 4.765,20 
Resposta: $ 4.765,20 
 
 
5) R = $ 720/mês n = 10 i = 2,5% a.m. 
 Valor à vista = X =? 
Solução: Data Focal = Zero 
Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) 
Preço a Prazo(DF = 0) = Prestações(DF = 0) = A = 720 (a10 2,5%) (1,025) 
 Preço à Vista(DF = 0) = X = ? 
Equação de Valor: Data Focal = Zero 720 (a10 2,7%) (1,027) = X 
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 720 [1 − (1,027)− 10]
 
(1,027) = X 
 0,027 
X = $ 6.405,25 
Resposta: $ 6.405,25 
 
 
6) E = $ 26.200 R = $ 3.340/mês (1o Ret.: final do 4o mês) 
 i = 3,8% a.m. n = 37 
Preço à Vista = X = ? 
Solução: Data Focal = Zero 
Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) 
Preço a Prazo(DF = 0) = E(DF = 0) + Prestações(DF = 0) 
Preço a Prazo(DF = 0) = 26.200 + A (1,04)−4 = 26.200 + 3.340 (a37 3,8%) (1,038) (1,038)−4 
Preço à Vista(DF = 0) = X = ? 
Equação de Valor: DF = Zero 26.200 + 3.340 (a37 3,8%) (1,038) (1,038)−4 = X 
26.200 + 3.340 [1 − (1,038)−37] (1,038)−3 = X 
 0,038 
X = $ 85.017,81 
Resposta: $ 85.017,81 
 
 
7) R = ? ($/bim.) i = 3% a.b. n = (3) (6) = 18 Saldo = $ 21.400 
Solução: Data Focal = Vinte e um bim. 
∑ Dep.(DF = 18) − ∑ Ret.(DF = 18) = Saldo(DF = 18) 
∑ Dep. = R (s18 3%) (1,03) = R [(1,03)18 − 1] (1,03) 
 0,03 
∑ Ret. = 0 
Saldo = $ 21.400 
Equação de Valor: Data Focal = 21 bim. R (s18 3%) (1,03) = 21.400 
 R [(1,03)18 − 1] (1,03) = 21.400 
 0,03 
R = $ 887,35 
Resposta: $ 887,35 
 
 
8) Preço à vista = $ 2.460 i = 5% a.m 
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R = ? (início de cada período => antecipada) n = 24 
Solução: Data Focal = Zero 
 Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) 
 Preço a Prazo(DF = 0) = A(DF = 0) (anuidade antecipada) = R [1 − (1,05)−24] (1,05) 
 0,05 
Preço à Vista(DF = 0) = $ 2.460 
 2.460,00 = R [1 − (1,05)24] (1,05) 
 0,05 
R = $ 169,79 
Resposta: $ 169,79 
 
 
9) R = ? ($/mês) n = 20 
i = 4% a.m. Saldo = $ 198.300 (30º mês) 
Solução: Data Focal = Trinta meses 
∑ Dep.(DF = 30) − ∑ Ret.(DF = 30) = Saldo(DF = 30) 
∑ Dep.(DF = 30) = R (s20 4%) (1,04) (1,04)10 
 ∑ Ret.(DF = 30) = 0 
Saldo(DF = 30) = $ 98.300 
Equação de Valor: Data Focal = 30 meses R (s20 4%) (1,04) (1,04)10 = 198.300 
 R [(1,04)20 − 1] (1,04)11 = 198.300 
 0,04 
R [(1,04)20 − 1] = 198.300 
 0,04 (1,04)11 
R = $ 4.325,73 
Resposta: $ 4.325,73 
 
10) Preço à Vista = $ 220.000 i = 5,5% a.m. 
R = ? (1ª pagam.: 8º mês) n = 48 
Solução: Data Focal = Oito meses 
Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) 
Preço a Prazo(DF = 8) = Prestações(DF = 8) = A = R (a22 5,5%) (1,055) 
 Preço à Vista(DF = 8) = $ 220.000 (1,055)8 
Equação de Valor: Data Focal = Oito meses 
 R (a48 5,5%) (1,055) = 220.000 (1,055)8 
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R [1 − (1,055)− 48]
 
(1,055) = 220.00 (1,055)8 
 0,055 
R [1 − (1,055)− 48] = 220.00 (1,055)7 
 0,055 
R = $ 19.060,49 
Resposta: $ 19.060,49 
 
11) Preço à vista = $ 4.900 n = 22 i = 5% a.m. 
R =? 
Solução: Data Focal = Zero 
Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) 
Preço a Prazo(DF = 0) = Prestações(DF = 0) = A = R (a22 5%) (1,05) 
 Preço à Vista(DF = 0) = $ 4.900 
Equação de Valor: Data Focal = Zero R (a22 5%) (1,05) = 4.900 
R [1 − (1,05)− 22]
 
(1,05) = 4.900 
 0,05 
R = $ 354,53 
Resposta: $ 354,53 
 
12) R = $ 1.300/mês i = 3% a.m S = $ 115.000 n = ? 
Solução: Data Focal = “n” meses 
 ∑ Dep.(DF = n) − ∑ Ret.(DF = n) = Saldo(DF = n) 
∑ Dep.(DF = n) = S (Antecipada) 
∑ Ret.(DF = n) = 0 
Saldo(DF = n) = $ 115.000 
1.300 [(1,03)n − 1] (1,03) = 115.000 
 0,03 
 
(1,03)n − 1 = (115.000) (0,03) 
 (1.300) (1,03) 
(1,03)n = 2,58 + 1 
 
(1,03)n = 3,58 
n Ln 1,03 = Ln 3,58 
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n = Ln 3,58 
 Ln 1,03 
n = 43,15 
Resposta: ≈ 43 
 
13) Preço à vista = $ 78.000 
R = $ 4.007,50/mês (prestações a vencer => termos antecipados) 
i = (15%) (1/6) = 2,5% a.m. n = ? 
Solução: Data Focal = Zero 
 Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) 
 Preço a Prazo(DF = 0) = A(DF = 0) (anuidade antecipada) = 4.007,50 [1 − (1,025)−24] (1,025) 
 0,025 
Preço à Vista(DF = 0) = $ 2.460 
 78.000 = 4.007,50 [1 − (1,025)−n] (1,025) 
 0,025 
 (78.000) (0,025) = 1 − (1,025)−n 
 (4.007,50) (1,025) 
 (1,025)−n = 1 − 0,47 
(1,025)−n = 0,53 
 n = − Ln 0,53 
 Ln 1,025 
n = 25,71 
Resposta: ≈ 26 
 
 
14) Dep. Inicial = $ 420.000 i = 5,5% a.b. 
R = ? ($/bim.) n = infinito (termos: a vencer => Perpetuidade antecipada) 
Solução: Data Focal = Zero 
 
 ∑ Dep.(DF = 0) − ∑ Ret.(DF = 0) = Saldo(DF = 0) 
∑ Dep.(DF = 0) = $ 420.000 
∑ Ret.(DF = 0) = A = (R / i) (1 + i) 
Saldo(DF = 0) = 0 
Equação de Valor na Data Focal = Zero 
420.000 = . (R) (1,055) . 
 . 0,055 
R = $ 21.895,73/bim. 
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38
Reposta: $ 21.895,73 
 
 
15) X = ? i = 6,5% a.s. n = infinito R = $ 135.000/sem. 
Solução: Data Focal = Zero 
∑ Dep.(DF = 0) − ∑ Ret.(DF = 0) = Saldo(DF = 0) 
∑ Dep.(DF = 0) = X = ? 
∑ Ret.(DF = 0) = A = (135.000) (1,065) 
 0,065 
Saldo(DF = 0) = 0 
Equação de Valor na Data Focal = Zero X = (135.000) (1,065) . 
 0,065. 
X = $ 2.211.923,08 
Reposta: $ 2.211.923,08 
 
 
16) X = ? i = 7% a.t. n = infinito R = $ 49.000/trim. (1ª ret.: 6º trim.) 
Solução: Data Focal = Zero 
∑ Dep.(DF = 0) − ∑ Ret.(DF = 0) = Saldo(DF = 0) 
∑ Dep.(DF = 0) = X = ? 
∑ Ret.(DF = 0) = A = (R / i) (1 + i) (1 + i)−6 
Saldo(DF = 0) = 0 
Equação de Valor na Data Focal = Zero 
X − (49.000) (1,07) (1,07)−6= 0. 
 . 0,07 . 
 . X = (49.000) (1,07)−5 
 0,07 
X = $ 499.090,33 
Reposta: $ 499.090,33 
 
17) Saldo = $ 62.000 i = 4% a.m 
R = ? ($/semestre) → n = (6) (2) = 12 
 
Solução: Data Focal = Doze semestres 
(1,04)6 = (1 + is)1 
i = 26,53% a.s 
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39
∑ Dep.(DF = 12) − ∑ Ret.(DF = 12) = Saldo(DF = 12) 
62.000 − R [(1,2653)12− 1] = 0 
 0,2653 
R (59,70) = (62.000) 
R = $ 1.038,53 
Resposta: $ 1.038,53 
 
18) Dep. Inicial = $ 32.000,00 i = 42% a.s. 
R = ? ($/mês) → n = 25 
Solução: Data Focal = Zero 
(1,42)1/6 = 1 + i 
i = 6,02% a.m. 
∑ Dep.(DF = 0) − ∑ Ret.(DF = 0) = Saldo(DF = 0) 
R [1 − (1,0602)−25] − 0 = 32.000 
 0,0602 
R = $ 2.508,01 
Resposta: $ 2.508,01 
 
 
19) Preço à Vista = $ 7.400 
R = $ 850/bim. n = (2) (6) = 12 
 
 Entrada = X = ? 
Solução: Mudando o período de capitalização da taxa 
Taxas equivalentes: 
(1 + ia) = (1 + ib)6 
(1,6) = (1 + ib)6 
ib = (1,6)1/6 − 1 = 0,0815 
Preço a Prazo(DF) = Preço à Vista(DF) 
Preço a Prazo(DF = 0) = Entrada(DF = 0) + Prestações(DF = 0) 
Entrada(DF = 0) = X = ? 
Prestações(DF = 0) = A = 850 (a15 8,15%) 
Equação de Valor na Data Focal = 0 X + 186,65 (a12 8,15%) = 7.400 
 X + 850 [1 − (1,0815)−12] = 7.400 
 0,0815 
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X = $ 1.043,82 
Reposta: $ 1.043,82 
 
20) Saldo(18 meses) = X = ? i = 42% a.s. R = $ 2.400/mês n = 18 
Solução: Data Focal = Dezoito meses 
(1,42)1/6 = 1 + i i = 6,02% a.m. 
2.400 [(1,0602)18 − 1] = X 
 0,0602 
X = $ 74.314,23 
Resposta: $ 74.314,23 
 
 
21) Preço à vista = X = ? E = $ 3.270 
i = (6,5%) (3) = 19,5% a.a 
R = $ 1.270,00/quad. → n = 30 
Solução: Data Focal = Zero 
 (1,195)1/3 = 1 + i i = 6,1% a.q. 
3.270 + 840 [1 − (1,061)−11] = X 
 0,061 
X = $ 9.861,22 
Resposta: $ 9.861,22