prova resolvida - integrais (calculo 1)

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Ministério da Educação 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
Departamento Acadêmico de Matemática 
Cálculo Diferencial e Integral I - EAD 
3a Avaliação 
 
 
P3 – INTEGRAIS - RESOLUÇÃO 
Questão 01: (15 pontos cada item) Calcule as seguintes integrais 
a) ∫ (𝑥2 − 2𝑥 +
1
𝑥
)
2
1
𝑑𝑥 
 
Solução: 
∫ (𝑥2 − 2𝑥 +
1
𝑥
)
2
1
𝑑𝑥 =
𝑥3
3
− 𝑥2 + 𝑙𝑛𝑥|
1
2
= (
23
3
− 2.2 + 𝑙𝑛2) − (
1
3
− 1 + 𝑙𝑛1) =
7
3
− 3 + 𝑙𝑛2 
∫ (𝑥2 − 2𝑥 +
1
𝑥
)
2
1
𝑑𝑥 =
−2
3
+ 𝑙𝑛2 = 0,026 
 
b) ∫
𝑥𝑑𝑥
√𝑥2+1
 
𝒖 = 𝒙𝟐 + 𝟏 ⇒ 𝒅𝒖 = 𝟐𝒙𝒅𝒙 ⇒ 𝒙𝒅𝒙 =
𝒅𝒖
𝟐
 
∫
𝑥𝑑𝑥
√𝑥2 + 1
= ∫
𝑑𝑢/2
√𝑢
=
1
2
∫ 𝑢−
1
2𝑑𝑢 =
1
2
𝑢
1
2
1/2
+ 𝑐 = 𝑢
1
2 + 𝑐 = √𝑥2 + 1 + 𝑐 
 
c) ∫ 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 
Usando a integração por partes: 
𝑢 = 𝑒𝑥 ⇒ 𝑑𝑢 = 𝑒𝑥𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 = ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 
Aplicando na fórmula ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢: 
∫ 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = 𝒆𝒙. 𝒔𝒆𝒏𝒙 − ∫ 𝒔𝒆𝒏𝒙 . 𝒆𝒙𝒅𝒙 (𝑰) 
Vamos calcular essa segunda integral: ∫ 𝒔𝒆𝒏𝒙 . 𝒆𝒙𝒅𝒙 
𝑢 = 𝑒𝑥 ⇒ 𝑑𝑢 = 𝑒𝑥𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 = ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 = −cos (𝑥) 
Assim, 
∫ 𝒔𝒆𝒏𝒙 . 𝒆𝒙𝒅𝒙 = 𝒆𝒙. (−𝒄𝒐𝒔𝒙) − ∫(−𝒄𝒐𝒔𝒙). 𝒆𝒙𝒅𝒙 (𝑰𝑰) 
Substituindo II em I: 
∫ 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = 𝒆𝒙. 𝒔𝒆𝒏𝒙 − ∫ 𝒔𝒆𝒏𝒙 . 𝒆𝒙𝒅𝒙 
∫ 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = 𝒆𝒙. 𝒔𝒆𝒏𝒙 − [𝒆𝒙. (−𝒄𝒐𝒔𝒙) − ∫(−𝒄𝒐𝒔𝒙). 𝒆𝒙𝒅𝒙 ] 
∫ 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = 𝒆𝒙. 𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒆𝒙. 𝒄𝒐𝒔𝒙 − ∫ 𝒄𝒐𝒔𝒙. 𝒆𝒙𝒅𝒙 
 
∫ 𝒄𝒐𝒔𝒙. 𝒆𝒙𝒅𝒙 + ∫ 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = 𝒆𝒙. 𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒆𝒙. 𝒄𝒐𝒔𝒙 
∫ 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 =
𝒆𝒙. 𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒆𝒙. 𝒄𝒐𝒔𝒙
𝟐
+ 𝒄 
∫ 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 =
𝒆𝒙. ( 𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝒙)
𝟐
+ 𝒄 
 
 
 
d)∫ √9 − 𝑥2
3
0
𝑑𝑥 
Vamos resolver usando a substituição trigonométrica: 
𝑥 = 3𝑠𝑒𝑛𝜃 ⇒ 𝑑𝑥 = 3𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 
9 − 𝑥2 = 9 − 9𝑠𝑒𝑛2𝜃 = 9(1 − 𝑠𝑒𝑛2𝜃) = 9(cos2 𝜃) 
Os novos limites de integração são: 
𝑥 = 3𝑠𝑒𝑛𝜃 
Quando 𝑥 = 0, 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0 ⇒ 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛0 = 0 𝑟𝑎𝑑 
Quando 𝑥 = 3, 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 1 ⇒ 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛1 =
𝜋
2
 𝑟𝑎𝑑 
∫ √9 − 𝑥2
3
0
𝑑𝑥 = ∫ √9 cos2 𝜃
𝜋/2
0
. 3𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃 = 9 ∫ cos2 𝜃 𝑑𝜃
𝜋/2
0
= 9 ∫ (
1 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃
2
) 𝑑𝜃
𝜋/2
0
 
=
9
2
∫ (1 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃) 𝑑𝜃
𝜋/2
0
=
9
2
(𝜃 +
𝑠𝑒𝑛2𝜃
2
)
0
𝜋/2
=
9
2
(
𝜋
2
) =
9𝜋
4
 
 
e) ∫
𝑑𝑥
(𝑥−1)(2𝑥+1)
 
Vamos escrever a função em somas parciais. Como o denominador já está fatorado, basta escrever a 
soma parcial. 
1
(𝑥 − 1)(2𝑥 + 1)
=
𝑎
𝑥 − 1
+
𝑏
2𝑥 + 1
 
1
(𝑥 − 1)(2𝑥 + 1)
=
𝑎(2𝑥 + 1) + 𝑏(𝑥 − 1)
(𝑥 − 1)(2𝑥 + 1)
 
1
(𝑥 − 1)(2𝑥 + 1)
=
(2𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎 − 𝑏
(𝑥 − 1)(2𝑥 + 1)
 
De onde segue o sistema: 
{
2𝑎 + 𝑏 = 0
𝑎 − 𝑏 = 1
 
O resultado é 𝑎 =
1
3
 e 𝑏 = −
2
3
 
Logo, 
1
(𝑥 − 1)(2𝑥 + 1)
=
1/3
𝑥 − 1
+
−2/3
2𝑥 + 1
 
Portanto, 
∫
𝑑𝑥
(𝑥 − 1)(2𝑥 + 1)
= ∫ (
1/3
𝑥 − 1
+
−2/3
2𝑥 + 1
) 𝑑𝑥 = ∫
1/3
𝑥 − 1
𝑑𝑥 − ∫
2/3
2𝑥 + 1
𝑑𝑥 
=
1
3
∫
1
𝑥 − 1
𝑑𝑥 −
2
3
∫
1
2𝑥 + 1
𝑑𝑥 
=
1
3
ln|𝑥 − 1| −
2
3
.
1
2
ln|2𝑥 + 1| + 𝑐 
=
1
3
ln|𝑥 − 1| −
1
3
ln|2𝑥 + 1| + 𝑐 
=
1
3
[ln|𝑥 − 1| − ln|2𝑥 + 1|] + 𝑐 
=
1
3
[ln
|𝑥 − 1|
|2𝑥 + 1|
] + 𝑐 
 
∫
𝑑𝑥
(𝑥 − 1)(2𝑥 + 1)
==
1
3
[ln
|𝑥 − 1|
|2𝑥 + 1|
] + 𝑐 
 
 
Questão 02: (a) 15 pontos; b) 10 pontos). 
a) Usando integrais, calcule a área da região limitada pelas curvas 𝑓(𝑥) = 𝑥2 e 𝑔(𝑥) = −𝑥2 + 2. 
b) Esboce os gráficos das funções 𝑓 e 𝑔 no mesmo plano cartesiano e hachure a região cuja área foi 
calculada. 
 
Para encontrar os limites de integração, basta resolver a equação 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥): 
𝑥2 = −𝑥2 + 2 ⇒ 2𝑥2 = 2 ⇒ 𝑥2 = 1 ⇒ 𝑥 = ±1 
 
 
Á𝑟𝑒𝑎 = ∫ (−𝑥2 + 2 − 𝑥2)𝑑𝑥
1
−1
= ∫ (−2𝑥2 + 2)𝑑𝑥
1
−1
= −
2𝑥3
3
+ 2𝑥|
−1
1
= (−
2
3
+ 2) − (
2
3
− 2) 
Á𝑟𝑒𝑎 = −
4
3
+ 4 =
8
3
𝑢𝑎 (𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎)