Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
UNIVERSIDADE DE ITAÚNA Nivelamento em Matemática Prof. Tarcísio Valério Diniz 1 UNIDADE XII – FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS FUNÇÃO SENO Consideremos o ciclo trigonométrico e neste ciclo, um ponto “M” que se desloca no sentido positivo ( anti-horário ), até parar em um determinado lugar. ( Veja figura ). Este ponto ( )yxM , determinará um arco AM e consequentemente, um ângulo central de medida α . Definimos função seno de como sendo a função que associa cada ao valor de y , ordenada do ponto “M”. Assim, ysen =α . Como o maior valor de y é 1 e o menor valor – 1, 11 ≤≤− αsen VARIAÇÃO DE SINAIS Veja nos ciclos trigonométricos das figuras, os sinais das ordenadas de um ponto “M” localizado em cada um dos quadrantes: Observe que os pontos localizados no primeiro e segundo quadrantes, têm ordenadas positivas enquanto que pontos localizados no terceiro e quarto quadrantes, têm ordenadas negativas. Assim, os senos dos arcos localizados no primeiro ou segundo quadrantes, são positivos enquanto os senos dos arcos localizados no terceiro ou quarto quadrantes, são negativos. Resumindo os sinais dos senos, temos: α ( )yxM , A • y x y x α R∈α •• •• α − + + − α α α x x xx y y y y M M M M UNIVERSIDADE DE ITAÚNA Nivelamento em Matemática Prof. Tarcísio Valério Diniz 2 VARIAÇÃO DE VALORES Para estudarmos a variação de valores da função seno, atribuiremos a α os valores correspondentes aos arcos que têm extremidades nas divisões dos quadrantes. Veja a tabela de correspondência e o gráfico do seno ( senóide ) 02 1 2 3 0 1 2 00 pi pi pi pi αα − sen FUNÇÃO COSSENO Consideremos o ciclo trigonométrico e neste ciclo, um ponto “M” que se desloca no sentido positivo ( anti-horário ), até parar em um determinado lugar. ( Ver figura ). Este ponto ( )yxM , determinará um arco AM e consequentemente, um ângulo central de medida α . Definimos função cosseno de como sendo a função que associa cada ao valor de x , abscissa do ponto “M”. Assim, x=αcos Como o maior valor de x é 1 e o menor valor – 1, 1cos1 ≤≤− α VARIAÇÃO DE SINAIS Veja nos ciclos trigonométricos das figuras os sinais das abscissas de um ponto “M” localizado em cada um dos quadrantes: 2 pi 1− 1 pi 2 3pi pi2 0 2 pi − pi−2 3pi −pi2− α αsen α ( )yxM , A •y x y x α R∈α •• • • α α α α x x xx y y y y MM MM UNIVERSIDADE DE ITAÚNA Nivelamento em Matemática Prof. Tarcísio Valério Diniz 3 Observe que os pontos localizados no primeiro e quarto quadrantes, têm abscissas positivas enquanto que pontos localizados no segundo e terceiro quadrantes, têm abscissas negativas. Assim, os cossenos dos arcos localizados no primeiro ou quarto quadrantes, são positivos enquanto os cossenos dos arcos localizados no segundo ou terceiro quadrantes, são negativos. Resumindo os sinais dos senos, temos: VARIAÇÃO DE VALORES Para estudarmos a variação de valores da função cosseno, atribuiremos a α os valores correspondentes aos arcos que têm extremidades nas divisões dos quadrantes. Veja a tabela de correspondência e o gráfico do cosseno ( cossenóide ) 12 0 2 3 1 0 2 10 cos pi pi pi pi αα − FUNÇÃO TANGENTE Para o estudo da função tangente iremos acrescentar um eixo paralelo ao eixo das ordenadas, onde iremos medir os valores das tangentes de um arco. Veja a figura: − + +− 2 pi 1− 1 pi 2 3pi pi2 0 2 pi − pi−2 3pi − pi2− α αcos α A T M y x ATtg =α UNIVERSIDADE DE ITAÚNA Nivelamento em Matemática Prof. Tarcísio Valério Diniz 4 VARIAÇÃO DE SINAIS Veja nos ciclos trigonométricos das figuras, os sinais das tangentes de um arco localizado em cada um dos quadrantes: Observe que os arcos localizados no primeiro e terceiro quadrantes, têm tangentes positivas, enquanto que arcos localizados no segundo e quarto quadrantes, têm tangentes negativas. Resumindo os sinais das tangentes, temos: VARIAÇÃO DE VALORES Para estudarmos a variação de valores da função tangente, atribuiremos a α os valores correspondentes aos arcos que têm extremidades nas divisões dos quadrantes. Veja a tabela de correspondência e o gráfico da tangente. 02 2 3 0 2 00 pi pi pi pi αα ∞+ ∞+ tg Observe que arcos próximos de e têm tangentes muito grandes ( )∞+ ou senão, muito pequenas ( )∞− e nesses pontos, teremos assíntotas no gráfico. •• • • α α α α x x x x y y y y − + + − 2 pi pi 2 3pi pi2− 0 2 pi −pi−2 3pi − α αtg 2 pi 2 3pi ∞− ∞− pi2 M M M M UNIVERSIDADE DE ITAÚNA Nivelamento em Matemática Prof. Tarcísio Valério Diniz 5 FUNÇÃO COTANGENTE Para o estudo da função cotangente iremos acrescentar um eixo paralelo ao eixo das abscissas, onde iremos medir os valores das cotangentes de um arco. Veja a figura: VARIAÇÃO DE SINAIS Veja nos ciclos trigonométricos das figuras, os sinais das cotangentes de um arco localizado em cada um dos quadrante Observe que os arcos localizados no primeiro e terceiro quadrantes, têm cotangentes positivas enquanto que arcos localizados no segundo e quarto quadrantes, têm cotangentes negativas. Resumindo os sinais das cotangentes, temos: VARIAÇÃO DE VALORES Para estudarmos a variação de valores da função cotangente, atribuiremos a α os valores correspondentes aos arcos que têm extremidades nas divisões dos quadrantes. Veja a tabela de correspondência e o gráfico da cotangente. α A T M y x BTg =αcot − + + − B • α x y • α x y • α x y • α x y M M M M UNIVERSIDADE DE ITAÚNA Nivelamento em Matemática Prof. Tarcísio Valério Diniz 6 ∞− ∞− ∞+ pi pi pi pi αα 2 0 2 3 0 2 0 tgco Observe que arcos próximos de e têm cotangentes muito grandes ( )∞+ ou senão, muito pequenas ( )∞− e nesses pontos, teremos assíntotas no gráfico. ( O eixo das ordenadas já é uma assíntota. FUNÇÃO SECANTE Consideremos o ciclo trigonométrico e neste ciclo, um ponto “M” que se desloca no sentido positivo ( anti-horário ), até parar em um determinado lugar. ( Ver figura ). Este ponto ( )yxM , determinará um arco AM e consequentemente, um ângulo central de medida . VARIAÇÃO DE SINAIS Veja nos ciclos trigonométricos das figuras, os sinais das secantes de um arco localizado em cada um dos quadrantes:2 pi pi 2 3pi pi2− 0 2 pi − pi−2 3pi − α αgcot 0 pi ∞+ pi2 •• • • α α α α x x x x y y y y α A T M y x OT=αsec O α M M M M UNIVERSIDADE DE ITAÚNA Nivelamento em Matemática Prof. Tarcísio Valério Diniz 7 Observe que os arcos localizados no primeiro e quarto quadrantes, têm secantes positivas enquanto que arcos localizados no segundo e terceiro quadrantes, têm secantes negativas. Resumindo os sinais das secantes, temos: VARIAÇÃO DE VALORES Para estudarmos a variação de valores da função secante, atribuiremos a α os valores correspondentes aos arcos que têm extremidades nas divisões dos quadrantes. Veja a tabela de correspondência e o gráfico da secante. 12 2 3 1 2 10 sec pi pi pi pi αα ∞− − ∞+ Observe que arcos próximos de e têm secantes muito grandes ( )∞+ ou senão, muito pequenas ( )∞− e nesses pontos, teremos assíntotas no gráfico. FUNÇÃO COSSECANTE Consideremos o ciclo trigonométrico e neste ciclo, um ponto “M” que se desloca no sentido positivo ( anti-horário ), até parar em um determinado lugar. ( Ver figura ). Este ponto ( )yxM , determinará um arco AM e consequentemente, um ângulo central de medida . − + + − 2 pi pi 2 3pi pi2− 0 2 pi −pi−2 3pi − α αsec 2 pi 2 3pi ∞− ∞+ pi2 α A T M y x OT=αseccos O α 1 1− UNIVERSIDADE DE ITAÚNA Nivelamento em Matemática Prof. Tarcísio Valério Diniz 8 VARIAÇÃO DE SINAIS Veja nos ciclos trigonométricos das figuras, os sinais das cossecantes de um arco localizado em cada um dos quadrantes: Observe que os arcos localizados no primeiro e segundo quadrantes, têm cossecantes positivas enquanto que arcos localizados no terceiro e quarto quadrantes, têm cossecantes negativas. Resumindo os sinais das cossecantes, temos: VARIAÇÃO DE VALORES Para estudarmos a variação de valores da função cossecante, atribuiremos a α os valores correspondentes aos arcos que têm extremidades nas divisões dos quadrantes. Veja a tabela de correspondência e o gráfico da secante. ∞− − ∞+ ∞+ pi pi pi pi αα 2 1 2 3 1 2 0 seccos Observe que arcos próximos de e têm cossecantes muito grandes ( )∞+ ou senão, muito pequenas ( )∞− e nesses pontos, teremos assíntotas no gráfico.O eixo das ordenadas já é uma assíntota. •• • • α α α α x x x x y y y y − + + − 2 pi pi 2 3pi pi2− 0 2 pi −pi− 2 3pi − α αseccos 0 2 pi ∞− pi2 1− 1 MM M M UNIVERSIDADE DE ITAÚNA Nivelamento em Matemática Prof. Tarcísio Valério Diniz 9 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTAIS a c a b sen = = α α cos Elevando ao quadrado e somando as igualdades: 2 22 22 2 2 2 2 2 2 cos cos a cb sen a c a b sen + =+⇒ = = αα α α Pelo teorema de Pitágoras 222 cba += . Substituindo na igualdade acima, 1coscos 222 2 22 =+⇒=+ αααα sen a a sen c b tg =α . Dividindo o numerador e o denominador desta fração por “a” : a c a b tg =α Como a c a b sen = = α α cos α α α cos sen tg =⇒ b cg =αcot . Dividindo o numerador e o denominador desta fração por “a” : Como c a =αsec . Dividindo o numerador e o denominador desta fração por “a” : a c a a =αsec Como α α cos 1 sec =⇒ b a =αseccos . Dividindo o numerador e o denominador desta fração por “a” : α c b a a b a c g =αcot a c a b sen = = α α cos αα α α tgsen g 1coscot ==⇒ a c =αcos UNIVERSIDADE DE ITAÚNA Nivelamento em Matemática Prof. Tarcísio Valério Diniz 10 a b a a =αseccos Como Tomemos agora a primeira identidade demonstrada : 1cos 22 =+ ααsen Dividindo esta igualdade por α2cos , teremos: αα α α α 22 2 2 2 cos 1 cos cos cos =+ sen . Daí, αα 22 sec1 =+tg Dividindo a mesma igualdade por α2sen , teremos: αα α α α 22 2 2 2 1cos sensensen sen =+ . Daí, αα 22 seccos1cot =+g Vamos agora montar uma tabela com as identidades fundamentais: α α α α αα α α αα α α α αααα sen tgsen g g sen tg tgsen 1 seccos cos 1 sec 1cos cot seccos1cot cos sec11cos 22 2222 = = == =+= =+=+ REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE Quando temos um arco localizado no segundo, terceiro ou quarto quadrantes, é possível determinar um arco localizado no primeiro quadrante de tal forma que suas funções trigonométricas sejam iguais ( em valor absoluto ) às dos arcos localizados em outros quadrantes. Para isto, usamos as fórmulas de redução ao primeiro quadrante que passaremos a determinar a b sen =α α α sen 1 seccos =⇒ UNIVERSIDADE DE ITAÚNA Nivelamento em Matemática Prof. Tarcísio Valério Diniz 11 A) O ARCO ESTÁ LOCALIZADO NO SEGUNDO QUADRANTE Observando a figura, vemos que Daí, que é a fórmula que nos permite determinar o arco do primeiro quadrante que é equivalente ao do segundo Veja o exemplo: Calcule o valor de 0150cos Como vemos, 0150 é um arco compreendido entre 090 e 0180 sendo portanto, um arco do segundo quadrante. Teremos: 0000 30150180180 =−=⇒−= αβα Como o cosseno de um arco do segundo quadrante é negativo, 2 3 30cos150cos 00 −=−= . Então, 2 3 150cos 0 −= Quando o arco é medido em radianos, a fórmula de redução é Exemplo: Calcule 3 2pi tg 3 2pi é um arco cuja medida está compreendida entre 2 pi e pi e é portanto, um arco do segundo quadrante. Teremos: : 33 2 pipi piαβpiα =−=⇒−= Como a tangente de um arco do segundo quadrante é negativa, 3 33 2 −=−= pipi tgtg . Então, 3 3 2 −= pi tg M A O N α β 0180=+ βα βα −= 0180 βpiα −= UNIVERSIDADE DE ITAÚNA Nivelamento em Matemática Prof. Tarcísio Valério Diniz 12 B) O ARCO ESTÁ LOCALIZADO NO TERCEIRO QUADRANTE Observando a figura, vemos que Daí, que é a fórmulaque nos permite determinar o arco do primeiro quadrante que é equivalente ao do terceiro Veja o exemplo: Calcule o valor de 0225sen Como vemos, 0225 é um arco compreendido entre 0180 e 0270 sendo portanto, um arco do terceiro quadrante. Teremos: 0000 45180225180 =−=⇒−= αβα Como o seno de um arco do terceiro quadrante é negativo, 2 2 45225 00 −=−= sensen . Então, Quando o arco é medido em radianos, a fórmula de redução é piβα −= Exemplo: Calcule 3 4 cos pi 3 4pi é um arco cuja medida está compreendida entre pi e 2 3 pi e é portanto, um arco do terceiro quadrante. Teremos: : 33 4 pi pi pi αpiβα =−=⇒−= Como o cosseno de um arco do terceiro quadrante é negativo, 2 1 3 cos 3 4 cos −=−= pipi . Então, 2 1 3 4 cos −= pi M A O N α β 0180=− αβ 0180−= βα 2 20225 −=sen UNIVERSIDADE DE ITAÚNA Nivelamento em Matemática Prof. Tarcísio Valério Diniz 13 C) O ARCO ESTÁ LOCALIZADO NO QUARTO QUADRANTE Observando a figura, vemos que Daí, que é a fórmula que nos permite determinar o arco do primeiro quadrante que é equivalente ao do quarto. Veja o exemplo: Calcule o valor de 0330cos Como vemos, 0330 é um arco compreendido entre 0270 e 0360 sendo portanto, um arco do quarto quadrante. Teremos: 0000 30330360360 =−=⇒−= αβα Como o cosseno de um arco do quarto quadrante é positivo, 2 3 30cos330cos 00 == . Então, 2 3 330cos 0 = Quando o arco é medido em radianos, a fórmula de redução é βpiα −= 2 Calcule 3 5pi tg 3 5pi é um arco cuja medida está compreendida entre 2 3 pi e pi2 e é portanto, um arco do quarto quadrante. Teremos: : 33 522 pipipiαβpiα =−=⇒−= Como a tangente de um arco do quarto quadrante é negativa, 3 33 5 −=−= pipi tgtg . Então, 3 3 5 −= pi tg M A N α β βα −= 0360 0360=+ βα UNIVERSIDADE DE ITAÚNA Nivelamento em Matemática Prof. Tarcísio Valério Diniz 14 EXERCÍCIOS 01-) Calcule os valores das expressões: 3 32 :Re 3 29 seccos) −spA pi 1:Re 4 35 cot) −spgB pi 2:Re 3 41 sec) spC pi 2 1 :Re 6 55) −spsenD pi 02-) Sendo 3 2 =xsen e x um arco do segundo quadrante, calcule xgcot 2 5 :Re −sp 03-) Sendo 3=xtg e x um arco do terceiro quadrante, calcule xsen 10 103 :Re −sp 04-) Determine Rm ∈ tal que 2 1− = m xtg e 8cot =xg 4 5 :Re =msp 05-) Dado 5 4 cos =x e 2 0 pi<< x , calcule o valor de − − = xg xx y cot1 seccossec .12 15:Re =ysp 06-) Sabendo que 4 5 seccos =x e x um arco do primeiro quadrante, calcule o valor da expressão xtgxsen 22 925 − 0:Re sp 07-) Determine o valor da expressão xxxg xsen x tgx y 8secseccos.cot 2 2 24cos + − + = para 2 pi =x 3:Re =ysp
Compartilhar