Revisao para AL 60h

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Escola de Cieˆncia e Tecnologia
Revisa˜o para A´lgebra Linear 60h
Fabiana T. Santana
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 1 / 58
Equac¸o˜es e Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 2 / 58
Equac¸o˜es Lineares
Definic¸a˜o 1
Dados os nu´meros reais a1, a2, . . . , an e b, a equac¸a˜o
a1x1 + a2x2 + . . . + anxn = b (1)
recebe o nome de equac¸a˜o linear nas varia´veis x1, x2, . . . , xn.
Observac¸a˜o 1
(a) Uma equac¸a˜o linear na˜o envolve produtos ou raizes de varia´veis.
(b) Em uma equac¸a˜o linear todas as varia´veis ocorrem na primeira
poteˆncia e na˜o aparecem como argumentos de func¸o˜es
trigonome´tricas, logar´ıtmicas ou exponenciais.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 3 / 58
Equac¸o˜es Lineares
Exemplo 1
As seguintes equac¸o˜es sa˜o lineares:
(a) x + 3y = 7
(b) 12x − y + 3z = −1
(c) x1 − 2x2 − 3x3 + x4 = 0
Exemplo 2
As seguintes equac¸o˜es na˜o sa˜o lineares:
(a) x + 3y2 = 7
(b) senx + y = 0
(c)
√
x1 + 2x2 + x3 = 1
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 4 / 58
Equac¸o˜es Lineares
Uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o (1) e´ uma sequeˆncia de nu´meros reais (na˜o
necessariamente distintos entre si), indicada por (b1, b2, . . . , bn), tal que
a1b1 + a2b2 + . . . + anbn = b e´ verdadeira. A sequeˆncia (b1, b2, . . . , bn) e´
chamada de n-upla de nu´meros reais. Para n = 2 e n = 3, a sequeˆncia
recebe o nome de par ordenado e terno ordenado, respectivamente.
Exemplo 3
O terno ordenado (1, 1, 0) e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o 2x1 − x2 + x3 = 1,
pois fazendo x1 = 1, x2 = 1 e x3 = 0, temos que 2.1− 1 + 0 = 1, isto e´,
1 = 1.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 5 / 58
Equac¸o˜es Lineares
Definic¸a˜o 2
No caso especial em que b = 0, a equac¸a˜o 1 tem a forma
a1x1 + a2x2 + . . . + anxn = 0 (2)
e e´ denominada equac¸a˜o linear homogeˆnea.
Note que a equac¸a˜o linear homogeˆnea sempre tem soluc¸a˜o, pois
x1 = x2 = . . . = xn = 0 satisfaz a equac¸a˜o (2).
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 6 / 58
Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Definic¸a˜o 3
Um sistema linear de m equac¸o˜es e n inco´gnitas e´ um conjunto de m
equac¸o˜es lineares com n inco´gnitas que pode ser representado por :
S :

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
onde m, n ≥ 1, x1, x2, . . . , xn sa˜o inco´gnitas e aij , bj , 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m,
sa˜o escalares reais.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 7 / 58
Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Se a n-upla (b1, b2, . . . , bn) de nu´meros reais e´ simultaneamente soluc¸a˜o
de cada uma das equac¸o˜es do sistema, enta˜o ela sera´ soluc¸a˜o do sistema.
A soluc¸a˜o tambe´m pode ser expressa de uma das formas:
x1 = b1, x2 = b2, . . . , xn = bn
(x1, x2, . . . , xn) = (b1, b2, . . . , bn)[
x1 x2 . . . xn
]
=
[
b1 b2 . . . bn
]

x1
x2
. . .
xn
 =

b1
b2
. . .
bn

Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 8 / 58
Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Exemplo 4
(a) Observe que (1,−2) e´ soluc¸a˜o do sistema
 5x + y = 32x − y = 4 , pois
fazendo x = 1 e y = −2 em ambas as equac¸o˜es obtemos 3 = 3 e
4 = 4, que sa˜o sentenc¸as verdadeiras, por isso, dizemos que os valores
substitu´ıdos satisfazem a`s equac¸o˜es.
(b) Observe que (0,−1) na˜o e´ soluc¸a˜o do sistema
 2x − y = 1−x + 3y = 2 , pois
fazendo x = 0 e y = −1 a segunda equac¸a˜o na˜o e´ satisfeita, uma vez
que −3 = 2 e´ uma sentenc¸a falsa.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 9 / 58
Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Definic¸a˜o 4
Um sistema de equac¸o˜es lineares pode ser classificado quanto a`s suas
soluc¸o˜es da seguinte maneira:
(i) consistente (ou compat´ıvel ou poss´ıvel) determinado: quando admite
apenas uma soluc¸a˜o;
(ii) consistente indeterminado: quando admite mais de uma soluc¸a˜o
(infinitas);
(iii) inconsistente (ou imcompat´ıvel ou imposs´ıvel): na˜o possui soluc¸a˜o.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 10 / 58
Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Exemplo 5
(a) O sistema
 x − y = 12x + y = 6 possui uma u´nica soluc¸a˜o.
(b) O sistema
 x + y = 43x + 3y = 6 na˜o tem soluc¸a˜o.
(c) O sistema
 4x − 2y = 116x − 8y = 4 possui infinitas soluc¸o˜es.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 11 / 58
Equac¸a˜o Matricial
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 12 / 58
Equac¸a˜o Matricial
Pela operac¸a˜o de igualdade de matrizes, o sistema linear
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = bn
...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
e´ equivalente a` equac¸a˜o matricial
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn
...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn
 =

b1
b2
...
bm

Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 13 / 58
Equac¸a˜o Matricial
Agora, pela operac¸a˜o de multiplicac¸a˜o de matrizes, a equac¸a˜o matricial anterior
pode ser escrita como:
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
... . . .
...
am1 am2 . . . amn

︸ ︷︷ ︸
A

x1
x2
...
xn

︸ ︷︷ ︸
→
x
=

b1
b2
...
bm

︸ ︷︷ ︸
→
b
onde:
A: matriz dos coeficientes
→
x : matriz ou vetor de varia´veis
→
b : matriz ou vetor de termos independentes
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 14 / 58
Equac¸a˜o Matricial
Logo, associa-se ao sistema
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = bn
...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
a equac¸a˜o matricial A
→
x =
→
b , onde a matriz A e´ a matriz formada pelos
coeficientes das varia´veis,
→
x e´ o vetor formado pelas varia´veis e
→
b o vetor
formado pelos termos independentes.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 15 / 58
Equac¸a˜o Matricial
Exemplo 6
O sistema linear

x1 + 3x2 − 2x3 + 2x5 = 0
2x1 + 6x2 − 5x3 − 2x4 + 4x5 − 3x6 = −1
5x3 + 10x4 + 15x6 = 5
2x1 + 6x2 + 8x4 + 4x5 + 18x6 = 6
pode ser
representado pela seginte equac¸a˜o matricial:

1 3 −2 0 2 0
2 6 −5 −2 4 −3
0 0 5 10 0 15
2 6 0 8 4 18


x1
x2
x3
x4
x5
x6

=

0
−1
5
6

Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 16 / 58
Eliminac¸a˜o Gassiana
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 17 / 58
Eliminac¸a˜o Gaussiana
A matriz aumentada do sistema
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
...
...
...
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
,
constitu´ıda pelos coeficientes das varia´veis e pelos termos independentes, e´
representada por 
a11 a12 . . . a1n b1
a21 a22 . . . a2n b2
...
... . . .
...
...
am1 am2 . . . amn bm

Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 18 / 58
Eliminac¸a˜o Gaussiana
Eliminac¸a˜o Gaussiana e´ um me´todo de resoluc¸a˜o de sistemas lineares que
consiste em aplicar operac¸o˜es elementares sobres as linhas de sua matriz
aumentada a fim de obter uma matriz ta˜o simplificada que o sistema linear
associado a ela e´ automaticamente resolvido e cuja soluc¸a˜o coincide com a
soluc¸a˜o do sistema inicial.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 19 / 58
Eliminac¸a˜o Gaussiana
As operac¸o˜es elementares aplicadas nas linhas da matriz aumentada sa˜o:
1 Multiplicar uma linha inteira por uma constante na˜o nula.
2 Trocar duas linhas entre si.
3 Somar uma constante vezes uma linha a uma outra linha.
A aplicac¸a˜o das operac¸o˜es elementaresnas linhas da matriz aumentada
tem por objetivo converteˆ-la a uma matriz bem simples chamada forma
escalonada por linhas, com a qual a soluc¸a˜o do sistema e´ facilmente obtida.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 20 / 58
Eliminac¸a˜o Gaussiana
Uma matriz esta´ na forma escalonada por linhas se tiver as seguintes
propriedades:
1. O primeiro termo das linhas na˜o nulas e´ igual a 1. Esse termo e´
denominado pivoˆ ou elemento l´ıder;
2. Linhas nulas, se existirem, aparecem no final da matriz, isto e´, na˜o
havera´ linhas na˜o nulas, apo´s linhas nulas;
3. Em linhas sucessivas, o pivoˆ da linha inferior ocorre mais a` direita que
o pivoˆ da linha superior.
As propriedades acima garantem a` matriz um formato que lembra uma
escada, por isso, alguns livros utilizam a nomenclatura forma escada.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 21 / 58
Eliminac¸a˜o Gaussiana
Se ale´m das propriedades anteriores, uma matriz tambe´m atender a`
propriedade:
4. Cada coluna que conte´m um pivoˆ tem zeros nas demais entradas;
ela recebe o nome de forma escalonada reduzida por linhas. Este
formato de matriz esta´ associado ao algoritmo de Gauss Jordan tambe´m
utilizado para solucionar sistemas lineares e ta˜o importante quanto a`
Eliminac¸a˜o Gaussiana. Observe que uma matriz na forma escalonada
reduzida por linhas esta´ tambe´m na forma escalonada por linhas.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 22 / 58
Eliminac¸a˜o Gaussiana
Exemplo 7
(a) As matrizes

1 4 −3 7
0 1 6 2
0 0 1 5
,

0 1 2 6 0
0 0 1 −1 0
0 0 0 0 1
 esta˜o na forma
escalonada por linhas.
(b) As matrizes

1 0 0 4
0 1 0 7
0 0 1 −1
,

0 1 −2 0 1
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
 esta˜o na forma
escalonada por linhas e tambe´m na forma escalonada reduzida por
linhas.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 23 / 58
Aplicac¸a˜o do Algoritmo Eliminac¸a˜o Gassiana
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 24 / 58
Eliminac¸a˜o Gaussiana
O exemplo seguinte e´ um modelo que ilustra os passos necessa´rios para a
aplicac¸a˜o do algoritmo Eliminac¸a˜o Gaussiana. Esses passos sera˜o seguidos
sempre que formos resolver um sistema utilizando este algoritmo.
Exemplo 8
Resolva o sistema linear

−2x3 + 7x5 = 12
2x1 + 4x2 − 10x3 + 6x4 + 12x5 = 28
2x1 + 4x2 − 5x3 + 6x4 − 5x5 = −1
utilizando a Eliminac¸a˜o Gaussiana.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 25 / 58
Eliminac¸a˜o Gaussiana
Soluc¸a˜o:
Comec¸amos escrevendo a matriz aumentada associada ao sistema. Para
isso, identifique os coeficientes de cada varia´vel. Esses valores, juntamente
com os termos independentes do sistema, constituira˜o as colunas da
matriz aumentada.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 26 / 58
Eliminac¸a˜o Gaussiana
Passo 1. Localizar a coluna mais a esquerda na˜o nula.
0 0 −2 0 7 12
2 4 −10 6 12 28
2 4 −5 6 −5 −1

A coluna 1 conte´m elementos na˜o nulos.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 27 / 58
Eliminac¸a˜o Gaussiana
Passo 2. A coluna identificada no Passo 1 deve ter um termo na˜o nulo no
topo. Fac¸a permutac¸o˜es de linhas se for necessa´rio.

0 0 −2 0 7 12
2 4 −10 6 12 28
2 4 −5 6 −5 −1

︸ ︷︷ ︸
L1↔L2
∼

2 4 −10 6 12 28
0 0 −2 0 7 12
2 4 −5 6 −5 −1

Permutar Linha 1 com Linha 2.
Notac¸a˜o: L1 ↔ L2.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 28 / 58
Eliminac¸a˜o Gaussiana
Passo 3. Introduzir um pivoˆ no topo. Se necessa´rio, aplicar operac¸o˜es
elementares na linha correspondente ao topo da coluna selecionada para
converteˆ-lo em 1. Se o topo da matriz for a, enta˜o multiplica-se a linha
correspondente por 1a .
2 4 −10 6 12 28
0 0 −2 0 7 12
2 4 −5 6 −5 −1

︸ ︷︷ ︸
L1→ 12L1
∼

1 2 −5 3 6 14
0 0 −2 0 7 12
2 4 −5 6 −5 −1

Multiplicar a Linha 1 por 12 .
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 29 / 58
Eliminac¸a˜o Gaussiana
Passo 4. Zerar os termos abaixo do pivoˆ. Se k e´ o valor do termo da linha
i localizado abaixo do pivoˆ, enta˜o soma-se a ela −k vezes a linha do pivoˆ.

1 2 −5 3 6 14
0 0 −2 0 7 12
2 4 −5 6 −5 −1

︸ ︷︷ ︸
L3→L3−2L1
∼

1 2 −5 3 6 14
0 0 −2 0 7 12
0 0 5 0 −17 −29

Linha 3 somada com -2 vezes Linha 1. Notac¸a˜o: L3 → L3 − 2L1
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 30 / 58
Eliminac¸a˜o Gaussiana
Passo 5. Quando todos os termos abaixo do pivoˆ sa˜o nulos, completou-se
um ciclo do algoritmo. Reaplique os passos anteriores na submatriz obtida
ao desconsiderar as linhas que ja´ possuem pivoˆ. Fac¸a isso ate´ que se tenha
inserido pivoˆ em todas as linhas na˜o nulas.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 31 / 58
Eliminac¸a˜o Gaussiana
Passo 5.1 A coluna 3 e´ a coluna da submatriz localizada mais a esquerda
que possui termos na˜o nulos.
1 2 −5 3 6 14
0 0 −2 0 7 12
0 0 5 0 −17 −29

Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 32 / 58
Eliminac¸a˜o Gaussiana
Passo 5.2 Introduzir o pivoˆ. Multiplique a Linha por um nu´mero
apropriado.

1 2 −5 3 6 14
0 0 −2 0 7 12
0 0 5 0 −17 −29

︸ ︷︷ ︸
L2→− 12L2
∼

1 2 −5 3 6 14
0 0 1 0 −7/2 −6
0 0 5 0 −17 −29

Multiplicar a Linha 2 por − 12 . Notac¸a˜o: L2 → − 12L2
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 33 / 58
Eliminac¸a˜o Gaussiana
Passo 5.3 Zerar os termos abaixo do pivoˆ. Use a linha do atual pivoˆ para
fazer as operac¸o˜es elementares.

1 2 −5 3 6 14
0 0 1 0 −7/2 −6
0 0 5 0 −17 −29

︸ ︷︷ ︸
L3→L3−5L2
∼

1 2 −5 3 6 14
0 0 1 0 −7/2 −6
0 0 0 0 1/2 1

Linha 3 somada com -5 vezes a Linha 2. Notac¸a˜o: L3 → L3 − 5L2
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 34 / 58
Eliminac¸a˜o Gaussiana
Passo 6 Mais um ciclo do algoritmo foi completado, pois abaixo do pivoˆ
inserido so´ ha´ termos nulos. Enta˜o reaplicar o algoritmo na submatriz
obtida desconsiderando as linhas que possuem pivoˆ.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 35 / 58
Eliminac¸a˜o Gaussiana
Passo 6.1 A coluna 5 e´ a coluna da submatriz localizada mais a esquerda
com termos na˜os nulos.

1 2 −5 3 6 14
0 0 1 0 −7/2 −6
0 0 0 0 1/2 1

Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 36 / 58
Eliminac¸a˜o Gaussiana
Passo 6.2 Introduzir o pivoˆ no topo da submatriz. Fac¸a uma
multiplicac¸a˜o apropriada.
1 2 −5 3 6 14
0 0 1 0 −7/2 −6
0 0 0 0 1/2 1

︸ ︷︷ ︸
L3→2L3
∼

1 2 −5 3 6 14
0 0 1 0 −7/2 −6
0 0 0 0 1 2

Linha 3 multiplicada por 2. Notac¸a˜o: L3 → 2L3
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 37 / 58
Eliminac¸a˜o Gaussiana
Passo 6.3 Na˜o ha´ linhas abaixo do pivoˆ. Fim do algoritmo!
1 2 −5 3 6 14
0 0 1 0 −7/2 −6
0 0 0 0 1/2 1

︸ ︷︷ ︸
L3→2L3
∼

1 2 −5 3 6 14
0 0 1 0 −7/2 −6
0 0 0 0 1 2

A matriz obtida esta´ na forma escalonada por linhas.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 38 / 58
Eliminac¸a˜o Gaussiana
Passo 7 Obter o sistema associado a` matriz escalonada por linhas.
1 2 −5 3 6 14
0 0 1 0 −7/2 −6
0 0 0 0 1 2
⇒

x1 + 2x2 − 5x3 + 3x4 + 6x5 = 14
x3 − 72x5 = −6
x5 = 2
Observe que agora temos um sistema bem mais simples que o inicial e,
ainda, e´ poss´ıvel identificar o valor de pelo menos uma das varia´veis. Neste
caso, temos x5 = 2.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 39 / 58
Eliminac¸a˜o Gaussiana
Passo 7.1 Para obter o valor das demais varia´veis e´ necessa´rio acrescentar
ao sistema as varia´veis livres (assumem todos os valores reais) que sa˜o
identificadas pela AUSEˆNCIA de pivoˆ nas colunas correspondentes. Neste
caso, as varia´veisx2 e x3 sa˜o livres.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 40 / 58
Eliminac¸a˜o Gaussiana
Passo 7.2 Reescreva o sistema acrescentando as varia´veis livres.
x1 + 2x2 − 5x3 + 3x4 + 6x5 = 14
x3 − 72x5 = −6
x5 = 2
x2 = r
x4 = t
Agora ja´ encontramos treˆs das cinco varia´veis: x2 = r , x4 = tex5 = 2. As
demais varia´veis sera˜o encontradas por retro subistituic¸a˜o que consiste em
substituir as equac¸o˜es nas equac¸o˜es anteriores a fim de obter as varia´veis
ainda desconhecidas.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 41 / 58
Eliminac¸a˜o Gaussiana
Passo 7.3 Obtenha as varia´veis ainda na˜o identificadas e exiba a soluc¸a˜o
do sistema.
Substituindo x5 = 2 em x3 − 72x5 = −6, obtemos x3 = 1.
Substituindo x2 = r , x3 = 1, x4 = t e x5 = 2 em
x1 + 2x2 − 5x3 + 3x4 + 6x5 = 14, obtemos x1 = 7− 2r − 3t.
Logo, a soluc¸a˜o do sistema e´: (x1, x2, x3, x4, x5) = (7− 2r − 3t, r , 1, t, 2),
com r , t ∈ R.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 42 / 58
Eliminac¸a˜o Gaussiana
Observac¸a˜o: Na soluc¸a˜o (x1, x2, x3, x4, x5) = (7− 2r − 3t, r , 1, t, 2) as
varia´veis x2 e x4 assumem qualquer valor real. Isto quer dizer que existem
infinitas soluc¸o˜es para o sistema dado. Sempre que o escalonamento
retornar varia´veis livres, o sistema tera´ infinitas soluc¸o˜es.
Se quisermos uma soluc¸a˜o nume´rica particular, basta atribuir um valor
para os paraˆmetros r e t. Os valores escolhidos na˜o precisam ser iguais,
uma vez que r e t sa˜o independentes um do outro.
Para testar, fac¸a r = 0 e t = 1. Nesse caso, uma soluc¸a˜o do sistema e´
(x1, x2, x3, x4, x5) = (4, 0, 1, 1, 2).
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 43 / 58
Eliminac¸a˜o Gaussiana
Observac¸a˜o: Voltando ao sistema inicial e substituindo a soluc¸a˜o
particular (x1, x2, x3, x4, x5) = (4, 0, 1, 1, 2), isto e´
x1 = 4, x2 = 0, x3 = 1, x4 = 1, x5 = 2, observe abaixo que todas as
equac¸o˜es sa˜o satisfeitas simultaneamente:
−2x3 + 7x5 = 12
2x1 + 4x2 − 10x3 + 6x4 + 12x5 = 28
2x1 + 4x2 − 5x3 + 6x4 − 5x5 = −1
⇒

−2.4 + 7.1 = 12
2.4 + 4.0− 10.1 + 6.1 + 12.2 = 28
2.4 + 4.0− 5.1 + 6.1− 5.2 = −1
⇒

12 = 12
28 = 28
−1 = −1
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Eliminac¸a˜o Gaussiana
Continuac¸a˜o da Observac¸a˜o: A substituic¸a˜o tambe´m poderia ter sido feita no
u´ltimo sistema obtido, considerando r = 0 e t = 1:
x1 + 2x2 − 5x3 + 3x4 + 6x5 = 14
x3 − 72x5 = −6
x5 = 2
x2 = r
x4 = t
⇒

4 + 2.0− 5.1 + 3.1 + 6.2 = 14
1− 72 .2 = −6
2 = 2
0 = r
1 = 1
⇒

14 = 14
−6 = −6
2 = 2
0 = 0
1 = 1
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 45 / 58
Eliminac¸a˜o Gaussiana
Continuac¸a˜o da Observac¸a˜o: Os sistemas anteriores sa˜o equivalentes,
isto e´, possuem a mesma soluc¸a˜o. O sistema final corresponde a` forma
escalonada por linhas, obtida aplicando operac¸o˜es elementares na matriz
aumentada do sistema inicial. Matrizes obtidas atrave´s de operac¸o˜es
elementares sa˜o linha equivalentes e seus sistemas correspondentes
possuem a mesma soluc¸a˜o.
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Determinantes
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 47 / 58
Determinantes
Com o dispositivo pra´tico abaixo, obte´m-se facilmente o determinante de
matrizes 2× 2 e 3× 3.
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Determinantes
Para os casos 4× 4 e ordens maiores deve-se recorrer a uma das te´cnicas:
Expassa˜o em cofatores
Reduc¸a˜o por linhas
Essas te´cnicas tambe´m se aplicam a` matrizes 2× 2 e 3× 3.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 49 / 58
Determinantes - Teoremas importantes
Teorema 1
Se A for uma matriz n × n, enta˜o independentemente de qual linha ou coluna
escolhermos, sempre obteremos o mesmo nu´mero multiplicando as entradas
daquela linha ou coluna pelos cofatores correspondentes e somando os produtos
obtidos.
Teorema 2
Se A e´ uma matriz triangular n × n (triangular superior, inferior ou diagonal),
enta˜o det(A) e´ o produto das entradas na diagonal principal da matriz, ou seja,
det(A) = a11a22 . . . ann.
Teorema 3
Se A e´ uma matriz quadrada com uma linha ou coluna de zeros, enta˜o
det(A) = 0.
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Matrizes Inversas
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 51 / 58
Inversas
Teorema 4
Uma matriz A de ordem n × n e´ invert´ıvel se e somente se A e´ linha equivalente
a In, e, nesse caso, toda sequeˆncia de operac¸o˜es elementares que transforma A em
In tambe´m transforma In em A
−1.
Algoritmo de Inversa˜o de Matrizes
Posicione as matrizes A e I lado a lado, formando a matriz [A | I ].
Escalone a matriz completa [A | I ] com operac¸o˜es que converta A em I .
Se A for linha equivalente com I , enta˜o [A | I ] sera´ linha equivalente com
[I | A−1] e obte´m-se a matriz inversa A−1.
Se A na˜o e´ linha equivalente com I , enta˜o na˜o existe A−1.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 52 / 58
Ana´lise de Sistemas Lineares Quanto a Existeˆncia e Nu´mero de Soluc¸o˜es
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 53 / 58
Ana´lise de Sistemas Lineares
Sistema Linear A
→
x =
→
b
Se a matriz dos coeficientes A e´ invert´ıvel (det(A) 6= 0), enta˜o o
sistema e´ consistente e a soluc¸a˜o e´ dada por
→
x = A−1
→
b
Se A na˜o e´ invert´ıvel (det(A) = 0), enta˜o a ana´lise dependera´ de cada
sistema.
Se o escalonamento da matriz aumentada na˜o gerar inconsisteˆncia,
enta˜o o sistema tera´ infinitas soluc¸o˜es.
Se o escalonamento da matriz aumentada gerar inconsisteˆncia, enta˜o o
sistema sera´ inconsistente.
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Ana´lise de Sistemas Lineares
Sistema Linear Homogeˆneo A
→
x =
→
0
Sempre tem soluc¸a˜o (
→
0 e´ soluc¸a˜o - soluc¸a˜o trivial).
Se A e´ invert´ıvel (det(A) 6= 0), enta˜o o sistema e´ consistente e tem
uma u´nica soluc¸a˜o dada por
→
x = A−1
→
0 =
→
0 (o vetor nulo e´ a u´nica
soluc¸a˜o).
Se A na˜o e´ invert´ıvel (det(A) = 0), enta˜o o sistema tem infinitas
soluc¸o˜es. Neste caso, o escalonamento da matriz aumentada apresenta
uma linha de zeros que garante varia´veis livres.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 55 / 58
Exerc´ıcios
(1) Resolva os seguintes sistemas Lineares utilizando a Eliminac¸a˜o Gaussiana:
(a)

x1 − 2x2 + x3 = 0
2x2 − 8x3 = 8
−4x1 + 5x2 + 9x3 = −9
(b)

x2 − 4x3 = 8
2x1 − 3x2 + 2x3 = 1
5x1 − 8x2 + 7x3 = 1
(c)

x1 + 6x2 + 2x3 − 5x4 − 2x5 = −4
2x3 − 8x4 − x5 = 3
x5 = 7
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Exerc´ıcios
(2) Analise se os sistemas abaixo quanto a` existeˆncia e nu´mero de soluc¸o˜es :
(a)

x1 − 2x2 + x3 = 0
2x2 − 8x3 = 8
−4x1 + 5x2 + 9x3 = −9
(b)

x2 − 4x3 = 8
2x1 − 3x2 + 2x3 = 1
5x1 − 8x2 + 7x3 = 1
(c)

x2 − 4x3 = 0
2x1 − 3x2 + 2x3 = 0
5x1 − 8x2 + 7x3 = 0
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 57 / 58
Refereˆncias Bibliogra´ficas:
1. Carlos A. Callioli, Hygino H. Domingues, Roberto C.F.
Costa. A´lgebra Linear e Aplicac¸o˜es. 5 ed. Sa˜o Paulo: Atual
Editora, 1987
2. Howard Anton, Chris Rorres. A´lgebra Linear com Aplicac¸o˜es.
8 ed. Porto Alegre: Bookman, 2012.
Fabiana T. Santana UFRN-ECT A´lgebra Linear 58 / 58