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RESOLUC¸A˜O COMENTADA DO PRIMEIRO TRABALHO 1. Deˆ contraexemplos, se poss´ıvel. (a) ∀x, ∃y | y2 = x (em Z). (b) ∀x 6= 0, ∃y | x = 1 y (em R). Soluc¸a˜o. Para o item “a”, basta observar que y2 nunca e´ negativo, enta˜o basta tomar, por exemplo, x = −1. Uma outra classe de contraexemplos esta´ nos nu´meros inteiros x que na˜o sa˜o quadrados perfeitos, por exemplo, poder´ıamos considerar x = 2. Para estes valores, na˜o existe um inteiro y tal que y2 = x. Para o item “b”, na˜o e´ poss´ıvel dar contraexemplos, uma vez que, dado x =6= 0, basta tomar y = 1 x e teremos a igualdade desejada. 2. Negue as seguintes proposic¸o˜es. (a) ∀y ∈ R, ∃x ∈ R | ex = y. (b) Se α e β sa˜o agudos com α < β, enta˜o cosα < cos β. Soluc¸a˜o. (a) Em palavras, existe um valor de y para o qual nenhum valor real de x tornara´ a igualdade ex = y va´lida. Em s´ımbolos, poder´ıamos escrever ∃y ∈ R | ∀x ∈ R tem-se ex 6= y. (b) Este item merece atenc¸a˜o, um nu´mero considera´vel de alunos na˜o acertou. Temos que negar uma sentenc¸a do tipo “se p enta˜o q”. Para negar proposic¸o˜es condicionais, na˜o podemos negar a hipo´tese, pois, caso a hipo´tese na˜o se verifique, a proposic¸a˜o sera´ sempre verdadeira. Lembrem-se do exemplo “Se eu tiver um aumento, compro um carro”. Se eu na˜o tiver um aumento, tanto faz eu comprar ou na˜o um carro, eu terei falado a verdade. O modo correto de negar uma proposic¸a˜o condicional e´ portanto negar a tese supondo a hipo´tese verdadeira. Em s´ımbolos, ∼ (Se p enta˜o q) ≡ (p e ∼ q). Especificamente, no nosso item “b”, temos p : α e β sa˜o agudos com α < β; q : cosα < cos β. Logo, sua negac¸a˜o e´: α e β sa˜o agudos com α < β e cosα ≥ cos β . 3. Atribua um valor, verdadeiro ou falso. (a) ∃x ∃y | y + 1 = x (em R). (b) ∃y | ∀x, x > y (em R). Soluc¸a˜o. (a) Este item e´ verdadeiro e teve um grande ı´ndice de acertos. Pois basta exibir um valor de x para o qual exista y tal que y + 1 = x. Ora tome por exemplo, x = 2. Enta˜o y = x− 1 = 1 e a proposic¸a˜o se verifica. 1 (b) Ja´ este item teve um grande ı´ndice de erros! Esta proposic¸a˜o e´ falsa. Na˜o pode existir um nu´mero real y menor que qualquer outro nu´mero real x. Para demonstrar que e´ falsa, podemos olhar para sua negativa e mostrar que e´ verdadeira. A negativa da sentenc¸a e´ Para todo y ∈ R, existe um x ∈ R tal que x ≤ y. Ora, dado y, tome x = y − 1 ou ainda y = x. 4. Enuncie a rec´ıproca do Teorema de Pita´goras “Num triaˆngulo retaˆngulo, o quadrado da hipotenusa e´ igual a` soma dos quadrados dos catetos”. Soluc¸a˜o. Este item tambe´m teve um grande nu´mero de erros, a meu ver por falta de clareza do que e´ chamado de “rec´ıproca”. Por definic¸a˜o, a rec´ıproca de uma proposic¸a˜o Se p enta˜o q e´ a proposic¸a˜o Se q enta˜o p. Assim precisar´ıamos colocar o Teorema de Pita´goras nesta forma. Um jeito de se fazer isso e´ dizer Se um triaˆngulo e´ retaˆngulo, enta˜o o quadrado da hipotenusa e´ igual a` soma dos quadrado dos catetos. Uma vez escrito desta forma, sua rec´ıproca e´ facilmente enunciada como Se, num triaˆngulo, o quadrado da hipotenusa e´ igual a` soma dos quadrdos dos catetos, enta˜o o triaˆngulo e´ retaˆngulo. Existe uma pequena imprecisa˜o neste modo de enunciar a rec´ıproca (induzida por minha redac¸a˜o), ja´ que num triaˆngulo qualquer na˜o faz sentido falarmos em hipotenusa e catetos. A resposta acima foi aceita como correta, embora um enunciado mais preciso e´ Se, num triaˆngulo, tivermos o quadrado de um lado igual a` soma dos quadrados dos outros dois, enta˜o o triaˆngulo e´ retaˆngulo. Dois erros foram comuns aqui: um deles foi simplesmente “trocar o triaˆngulo de lugar” e dizer exatamente a mesma coisa que o Teorema de Pita´goras O quadrado da hipotenusa e´ igual a` soma dos quadrados dos catetos, num triaˆngulo retaˆngulo. O outro erro comum foi trocar de lugar a hipotenusa e os catetos, dizendo Num triaˆngulo retaˆngulo, a soma dos quadrados dos catetos e´ igual ao quadrado da hipotenusa. Dizer isto e´ mais uma vez dizer exatamente o enunciado do Teorema de Pita´goras. Uma u´ltima observac¸a˜o nesta questa˜o, mais uma imprecisa˜o na minha redac¸a˜o: o Teorema de Pita´goras e´ uma caracterizac¸a˜o de triaˆngulos retaˆngulos, ou seja, da forma “se e somente se”. Assim, seu enunciado matematicamente preciso e´: O quadrado de um dos lados de um triaˆngulo e´ igual a` soma dos quadrados dos outros dois lados se e somente se o tria˜ngulo e´ retaˆngulo. Ou seja, a relac¸a˜o de Pita´goras a2 = b2 + c2 e´ condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que o triaˆngulo seja retaˆngulo. 5. Enuncie a contrapositiva, uma maneira equivalente de dizer Sejam a, b, c ∈ Z. Se a divide o produto bc, enta˜o a divide b ou a divide c. Note que, a sentenc¸a, que e´ falsa, continua falsa. Exiba um contraexemplo. Soluc¸a˜o. Nesse item, a primeira parte da questa˜o, de enunciar a contrapositiva de uma proposic¸a˜o da forma Se p enta˜o q teve um grande ı´ndice de acertos. Basta dizer Se ∼ q, enta˜o ∼ p e muitos fizeram corretamente. Agora, no caso de exibir um contraexemplo, isto e´, exemplos de nu´meros a, b e c de modo que a sentenc¸a fique falsa, o resultado ja´ na˜o foi ta˜o bom. Novamente, vamos enfatizar: para que uma sentenc¸a condicional seja falsa, a hipo´tese tem de ser verificada. Caso contra´rio, isto e´, se na˜o acontece a hipo´tese, qualquer conclusa˜o e´ verdadeira. Lembrem-se, mais uma vez, do exemplo do aumento e da compra do carro. 2 Note tambe´m que um contraexemplo da proposic¸a˜o original e´ um exemplo de sua contra- positiva e vice-versa, ja´ que sa˜o equivalentes. Precisamos portanto de nu´meros a, b e c que satisfac¸am a hipo´tese (ou seja, a divide bc) mas na˜o a tese (a divide b ou a divide c). Poder´ıamos escolher a = 35, b = 5 e c = 7; ou ainda a = 12, b = 4 e c = 6; e assim por diante. 3
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