Resolução comentada - Trabalho - Iniciação a Matemática.

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RESOLUC¸A˜O COMENTADA DO PRIMEIRO
TRABALHO
1. Deˆ contraexemplos, se poss´ıvel.
(a) ∀x, ∃y | y2 = x (em Z).
(b) ∀x 6= 0, ∃y | x = 1
y
(em R).
Soluc¸a˜o. Para o item “a”, basta observar que y2 nunca e´ negativo, enta˜o basta tomar, por
exemplo, x = −1. Uma outra classe de contraexemplos esta´ nos nu´meros inteiros x que na˜o
sa˜o quadrados perfeitos, por exemplo, poder´ıamos considerar x = 2. Para estes valores, na˜o
existe um inteiro y tal que y2 = x.
Para o item “b”, na˜o e´ poss´ıvel dar contraexemplos, uma vez que, dado x =6= 0, basta tomar
y = 1
x
e teremos a igualdade desejada.
2. Negue as seguintes proposic¸o˜es.
(a) ∀y ∈ R, ∃x ∈ R | ex = y.
(b) Se α e β sa˜o agudos com α < β, enta˜o cosα < cos β.
Soluc¸a˜o.
(a) Em palavras, existe um valor de y para o qual nenhum valor real de x tornara´ a igualdade
ex = y va´lida. Em s´ımbolos, poder´ıamos escrever ∃y ∈ R | ∀x ∈ R tem-se ex 6= y.
(b) Este item merece atenc¸a˜o, um nu´mero considera´vel de alunos na˜o acertou. Temos que
negar uma sentenc¸a do tipo “se p enta˜o q”. Para negar proposic¸o˜es condicionais, na˜o
podemos negar a hipo´tese, pois, caso a hipo´tese na˜o se verifique, a proposic¸a˜o sera´ sempre
verdadeira. Lembrem-se do exemplo “Se eu tiver um aumento, compro um carro”. Se eu
na˜o tiver um aumento, tanto faz eu comprar ou na˜o um carro, eu terei falado a verdade.
O modo correto de negar uma proposic¸a˜o condicional e´ portanto negar a tese supondo
a hipo´tese verdadeira. Em s´ımbolos, ∼ (Se p enta˜o q) ≡ (p e ∼ q). Especificamente, no
nosso item “b”, temos p : α e β sa˜o agudos com α < β; q : cosα < cos β. Logo, sua
negac¸a˜o e´:
α e β sa˜o agudos com α < β e cosα ≥ cos β
.
3. Atribua um valor, verdadeiro ou falso.
(a) ∃x ∃y | y + 1 = x (em R).
(b) ∃y | ∀x, x > y (em R).
Soluc¸a˜o.
(a) Este item e´ verdadeiro e teve um grande ı´ndice de acertos. Pois basta exibir um valor
de x para o qual exista y tal que y + 1 = x. Ora tome por exemplo, x = 2. Enta˜o
y = x− 1 = 1 e a proposic¸a˜o se verifica.
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(b) Ja´ este item teve um grande ı´ndice de erros! Esta proposic¸a˜o e´ falsa. Na˜o pode existir
um nu´mero real y menor que qualquer outro nu´mero real x. Para demonstrar que e´ falsa,
podemos olhar para sua negativa e mostrar que e´ verdadeira. A negativa da sentenc¸a e´
Para todo y ∈ R, existe um x ∈ R tal que x ≤ y. Ora, dado y, tome x = y − 1 ou ainda
y = x.
4. Enuncie a rec´ıproca do Teorema de Pita´goras “Num triaˆngulo retaˆngulo, o quadrado da
hipotenusa e´ igual a` soma dos quadrados dos catetos”.
Soluc¸a˜o. Este item tambe´m teve um grande nu´mero de erros, a meu ver por falta de clareza
do que e´ chamado de “rec´ıproca”. Por definic¸a˜o, a rec´ıproca de uma proposic¸a˜o Se p enta˜o
q e´ a proposic¸a˜o Se q enta˜o p. Assim precisar´ıamos colocar o Teorema de Pita´goras nesta
forma. Um jeito de se fazer isso e´ dizer Se um triaˆngulo e´ retaˆngulo, enta˜o o quadrado
da hipotenusa e´ igual a` soma dos quadrado dos catetos. Uma vez escrito desta forma, sua
rec´ıproca e´ facilmente enunciada como Se, num triaˆngulo, o quadrado da hipotenusa e´ igual
a` soma dos quadrdos dos catetos, enta˜o o triaˆngulo e´ retaˆngulo.
Existe uma pequena imprecisa˜o neste modo de enunciar a rec´ıproca (induzida por minha
redac¸a˜o), ja´ que num triaˆngulo qualquer na˜o faz sentido falarmos em hipotenusa e catetos.
A resposta acima foi aceita como correta, embora um enunciado mais preciso e´ Se, num
triaˆngulo, tivermos o quadrado de um lado igual a` soma dos quadrados dos outros dois, enta˜o
o triaˆngulo e´ retaˆngulo.
Dois erros foram comuns aqui: um deles foi simplesmente “trocar o triaˆngulo de lugar” e dizer
exatamente a mesma coisa que o Teorema de Pita´goras O quadrado da hipotenusa e´ igual a`
soma dos quadrados dos catetos, num triaˆngulo retaˆngulo.
O outro erro comum foi trocar de lugar a hipotenusa e os catetos, dizendo Num triaˆngulo
retaˆngulo, a soma dos quadrados dos catetos e´ igual ao quadrado da hipotenusa. Dizer isto e´
mais uma vez dizer exatamente o enunciado do Teorema de Pita´goras.
Uma u´ltima observac¸a˜o nesta questa˜o, mais uma imprecisa˜o na minha redac¸a˜o: o Teorema
de Pita´goras e´ uma caracterizac¸a˜o de triaˆngulos retaˆngulos, ou seja, da forma “se e somente
se”. Assim, seu enunciado matematicamente preciso e´: O quadrado de um dos lados de um
triaˆngulo e´ igual a` soma dos quadrados dos outros dois lados se e somente se o tria˜ngulo e´
retaˆngulo. Ou seja, a relac¸a˜o de Pita´goras a2 = b2 + c2 e´ condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para
que o triaˆngulo seja retaˆngulo.
5. Enuncie a contrapositiva, uma maneira equivalente de dizer Sejam a, b, c ∈ Z. Se a divide o
produto bc, enta˜o a divide b ou a divide c. Note que, a sentenc¸a, que e´ falsa, continua falsa.
Exiba um contraexemplo.
Soluc¸a˜o. Nesse item, a primeira parte da questa˜o, de enunciar a contrapositiva de uma
proposic¸a˜o da forma Se p enta˜o q teve um grande ı´ndice de acertos. Basta dizer Se ∼ q,
enta˜o ∼ p e muitos fizeram corretamente.
Agora, no caso de exibir um contraexemplo, isto e´, exemplos de nu´meros a, b e c de modo
que a sentenc¸a fique falsa, o resultado ja´ na˜o foi ta˜o bom. Novamente, vamos enfatizar: para
que uma sentenc¸a condicional seja falsa, a hipo´tese tem de ser verificada. Caso contra´rio, isto
e´, se na˜o acontece a hipo´tese, qualquer conclusa˜o e´ verdadeira. Lembrem-se, mais uma vez,
do exemplo do aumento e da compra do carro.
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Note tambe´m que um contraexemplo da proposic¸a˜o original e´ um exemplo de sua contra-
positiva e vice-versa, ja´ que sa˜o equivalentes. Precisamos portanto de nu´meros a, b e c
que satisfac¸am a hipo´tese (ou seja, a divide bc) mas na˜o a tese (a divide b ou a divide c).
Poder´ıamos escolher a = 35, b = 5 e c = 7; ou ainda a = 12, b = 4 e c = 6; e assim por diante.
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