Aula Estatistica5

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Estatística 
 
Prof. Fábio Mendes Ramos 
2 
- é uma medida de dispersão relativa 
- elimina o efeito da magnitude dos dados 
- exprime a variabilidade em relação à média 
%100
x
s
CVCoeficiente de Variação (CV) 
Coeficiente de Variação de Pearson 
• Regra empírica para interpretações do 
coeficiente de variação. 
 Se C.V. < 15% há baixa dispersão 
 Se 15 < C.V. < 30% há média dispersão 
 Se C.V. > 30% há elevada dispersão 
 
 
Calcular a variância e o desvio padrão da distribuição 
amostral dos 50 funcionários da empresa 
Intervalo 
das classes 
𝐹𝑖 𝑥𝑖 𝑥𝑖𝐹𝑖 𝑥𝑖²𝐹𝑖 
18⊢25 6 21,5 129 2773,50 
25⊢32 10 28,5 285 8122,50 
32⊢39 13 35,5 461,50 16383,25 
39⊢46 8 42,5 340 14450,00 
46⊢53 6 49,5 297 14701,50 
53⊢60 5 56,5 282,50 15961,25 
60⊢67 2 63,5 127 8064,50 
 50 1.922 80456,50 
S² = 
𝟏
𝒏−𝟏
 𝒙𝒊²𝑭𝒊 −
( 𝒙𝒊𝑭𝒊)
𝟐
𝒏 
 
S² = 
𝟏
𝟒𝟗
𝟖𝟎𝟒𝟓𝟔, 𝟓 −
(𝟏𝟗𝟐𝟐)²
𝒏 
 
S² = 134,18 
S = 𝟏𝟑𝟒, 𝟏𝟖 
S = 11,58 anos 
Assim a variância é 134,18 e o desvio padrão é 11,54 anos 
e média é 38,44. 
𝒙𝒊 = 
 𝒙𝒊𝑭𝒊
𝒏
 
𝒙𝒊 = 
1.922 
50
 
𝒙𝒊 = 38,44 
 De acordo com Coeficiente de Variação de 
Pearson C.V. > 30% há elevada dispersão 
 
 
%100
44,38
58,11
CV
12,30CV
Escore padronizado 
É outra medida relativa de dispersão 
Para uma medida Xi é dado por: 
Um escore negativo indica que Xi 
está à esquerda da média e positivo 
à direita 
𝒛𝒊= 
𝒙𝒊−𝒙 
𝒔
 
 
Escores padronizados (z) 
 
Regra 68 --95 --99 
• Cerca de 68% dos valores estão a menos de 1 
desvio padrão a contar da média (-1 < z < 1) 
• Cerca de 95% dos valores estão a menos de 2 
desvios padrão a contar da média (-2 < z < 2) 
• Cerca de 99% dos valores estão a menos de 3 
desvios padrão a contar da média (-3 < z < 3) 
 
Exemplo: São dadas as médias e os desvios padrões das 
avaliações de duas disciplinas: 
Português Xp = 6,5 Sp = 1,2 
Matemática Xm = 5,0 Sm= 0,9 
Relativamente às duas disciplinas, em qual delas obteve melhor 
desempenho um aluno que tirou 7,5 em português e 6,0 em 
matemática? 
Utilizando escore padronizado teremos: 
Zi = 
 Xi –X 
S 
Zp = 
 7,5 – 6,5 
1,2 
Zp = 0,83 
Zm = 
 6,0 – 5,0 
0,9 
Zm = 1,11 
Logo, o desempenho melhor foi em matemática, apesar 
da sua nota ter sido menor 
3s -3s Xp= 6,5 Xm = 5,0 
0,83 
7,5 
1,11 
6,0 
Outliers 
Observações que fogem das dimensões esperadas 
Considerar outliers as observações cujos escores 
padronizados sejam maiores do que 3, em valor 
absoluto 
99,74 % 
m 3s -3s 
Exemplo: Os dados de uma pesquisa revelaram média 
0,243 e desvio padrão 0,052 para determina variável. 
Verificar se os dados 0,380 e 0,455 podem ser 
considerado observações da referida variável. 
Tem-se : 𝑥 = 0,243 s = 0,052 
Para 𝑥𝑖 = 0,380 
Para 𝑥𝑖 = 0,455 
O dado 0,380 pode ser considerado normal, por outro lado, 0,455 
pode ser um outliers, portanto descartável 
𝑧𝑖 = 
0,380 − 0,243
0,052
= 2,63 
𝑧𝑖 = 
0,455 − 0,243
0,052
= 4, 08 
𝑧𝑖 = 
𝑥𝑖 − 𝑥 
𝑠
 
DEFINIÇÃO DE ASSIMETRIA 
0
1
2
3
4
5
6
7
8
11 13 15 17 19
valores
fre
qü
ên
ci
a
0
1
2
3
4
5
6
7
8
11 13 15 17 19
Valores
Fr
eq
üê
nc
ia
0
1
2
3
4
5
6
7
8
11 13 15 17 19
Valores
Fr
eq
üê
nc
ia
Figura 5.1. Distribuição simétrica 
Figura 5.2. Distribuição assimétrica positiva Figura 5.3. Distribuição assimétrica negativa 
Distribuição Simétrica 
Média = Mediana = Moda 
Assimetria à direita ou positiva 
Moda 
Média 
Mediana 
Assimetria à esquerda ou negativa 
Moda 
Média 
Mediana 
1° Coeficiente de Pearson 
AS = 
𝒙 − 𝑴𝒐
𝒔
 
2° Coeficiente de Pearson 
AS = 
 𝑸𝟏+𝑸𝟑−𝟐𝒙 
𝑸𝟑−𝑸𝟏
 
Se : AS = 0, diz-se que a distribuição é simétrica 
 AS<0, diz-se que a distribuição é assimétrica negativa 
 AS>0, diz-se que a distribuição é assimétrica positivo 
 
 
 
Dada a distribuição amostral, calcular os 
dois coeficiente de assimetria de Pearson 
Salários 
(R$ 1.000,00) 
30 ⊢ 50 50 ⊢ 100 100 ⊢ 150 
Empregados 80 50 30 
Classe Fi Xi XiFi Xi²Fi Fi÷h Fac 
30⊢50 80 
50⊢100 50 
100⊢150 30 
 
160 
Classe Fi Xi XiFi Xi²Fi Fi÷h Fac 
30⊢50 80 40 3.200 128.000 80 ÷ 20 = 4 80 
50⊢100 50 75 3.750 281.250 50 ÷ 50 = 1 130 
100⊢150 30 125 3.750 468.750 30 ÷ 50 = 0,6 160 
 
160 10.700 878.000 
AS = 
𝒙 − 𝑴𝒐
𝒔
 
1° Coeficiente de Pearson 
2° Coeficiente de Pearson 
AS = 
 𝑸𝟏+𝑸𝟑−𝟐𝒙 
𝑸𝟑−𝑸𝟏
 
𝑥 = 
10.700
160
 = 66,875 
𝑀0 = 30 + 
4
4 + 3
. 20 = 41,429 
𝑠2 =
1
159
[ 878.000 − 
10.700 2
160
] = 1.021,62 
S = 31,96 
𝑄1 = 30 + 
(40 −0)
50
20 = 40 
𝑄3 = 50 + 
(120 −80)
50
50 = 90 
𝑥 = 30 + 
(40 −0)
80
20 = 50 
AS = 
𝒙 − 𝑴𝒐
𝒔
 
AS = 
 𝑸𝟏+𝑸𝟑−𝟐𝒙 
𝑸𝟑−𝑸𝟏
 
AS = 
𝟔𝟔,𝟖𝟕𝟓 −𝟒𝟏,𝟒𝟐𝟗
𝟑𝟏,𝟗𝟔
=0,796 
AS = 
𝟒𝟎+𝟗𝟎−𝟐(𝟓𝟎)
𝟗𝟎−𝟒𝟎
= 𝟎, 𝟔 
AS>0, diz-se que a distribuição é assimétrica positivo.