Ângulo_entre_dois_vetores._Paralelismo_e_perpendicularism o_entre_vetores.

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PRODUTO INTERNO NO 
ESPAÇO VETORIAL R² 
. Ângulo entre dois vetores 
. Paralelismo e perpendicularismo 
entre vetores 
ÂNGULO ENTRE DOIS 
VETORES 
v 
u 
CÁLCULO DO ÂNGULO ENTRE DOIS 
VETORES 
u.v
cos θ = 
u . v
• Veja de onde veio a fórmula anterior: 
 
Considere o triângulo abaixo 
Resolução: 
   
 
 
22 2 2
5
4 4
2,2 . 0, 2.
cos cos
. 2 2 . 0 2
2.0 2. 2 0 4 4
cos cos cos
8. 4 32 2
4 4 4
cos cos cos
4 22 .2 2 . 2
1 2 2
cos . cos
22 2
Para encontrar o valor do ângulo , vamos recorrer à tabela
de arcos no
u v
u v
 
  
  
 


   
  
  
      
        
    
táveis, à frente.
Tabela de arcos notáveis 
30° 
 
45° 
 
 
60° 
 
Seno 
Cosseno 
Tangente 
1
2
3
2
2
2
3
2
2
2
1
2
3
3
3
1
2
Como o cos , verifica-se que se fosse um ângulo
2
do 1º quadrante, seu valor seria 45 , mas como pertence ao
2º quadrante, já que pela definição 0 180 , então, recor-
remos à redução de quadrante
 


 

   
s. Assim:
 = 180 -45 =135   
. do 1º para o 2º quadrante: 180 - 
. do 1º para o 3º quadrante: 180 +
. do 1º para o 4º quadrante: 360 - 






Para efetuar a redução de quadrantes, faz-se: 
PARALELISMO E 
ORTOGONALIDADE ENTRE 
VETORES 
X