AP1 2018 2 Análise Real

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AP1 - EAR - 16/09/2018
Questa˜o 1 [2,0 pontos]
(a) [1,0 pt] Sejam a ∈ R∗ = R \ {0} e b ∈ R. Mostre, usando rigorosamente as propriedades alge´bricas
de R, que a equac¸a˜o
ax+ b = 0 (?)
tem pelo menos uma soluc¸a˜o (existeˆncia) e que a soluc¸a˜o e´ u´nica (unicidade).
(b) [1,0 pt] Mostre que, se x ∈ Q∗ = Q \ {0} e y ∈ R \ Q enta˜o x · y ∈ R \ Q, onde R \ Q indica o
conjunto dos nu´meros irracionais.
Observac¸a˜o: Note que em (a) ha´ duas afirmac¸o˜es a serem provadas. Sugesta˜o para (b): raciocine por
absurdo.
Prova: (a) Existeˆncia: Como b ∈ R enta˜o existe −b ∈ R. Adicionando −b a ambos os lados de (?) e em
seguinda usando as propriedade alge´brica de R, leˆ-se:
(ax+ b)− b = 0 + (−b) ∴ ax+ (b− b) = −b ∴ ax+ 0 = −b ∴ ax = −b. (2?)
Como a ∈ R e a 6= 0 enta˜o existe 1
a
∈ R. Multiplicando ambos os lados da u´ltima igualdade em (2?) por
1
a
∈ R e em seguida usando propriedades alge´bricas de R, resulta
1
a
(ax) =
1
a
(−b) ∴
(1
a
a
)
x = − b
a
∴ 1 · x = − b
a
∴ x = − b
a
.
Logo, a equac¸a˜o alge´brica (?) tem, para a ∈ R∗ e b ∈ R, pelo menos uma soluc¸a˜o, x = − b
a
. 2
Unicidade: Suponha que a equac¸a˜o (?) tem duas soluc¸o˜es β e γ. Enta˜o, β e γ satisfazem a equac¸a˜o (?).
Ou seja, aβ = −b e aγ = −b. Da´ı, pela transitividade da relac¸a˜o de igualdade, aβ = aγ. Como a ∈ R∗
enta˜o 1
a
∈ R e
1
a
(aβ) =
1
a
(aγ) ∴
(1
a
a
)
β =
(1
a
a
)
γ ∴ 1 · β = 1 · γ ∴ β = γ.
Portanto, se a equac¸a˜o (?) teˆm duas soluc¸o˜es β e γ enta˜o β = γ. Logo, a soluc¸a˜o e´ u´nica. 2
(b) Suponha, por contradic¸a˜o que, x · y /∈ R \Q. Assim, x · y ∈ Q.
Seja r = x · y. Como, por hipo´tese, x ∈ Q∗ enta˜o 1
x
∈ Q e sendo r = x · y tem-se r
x
= y. Da´ı, y ∈ Q,
pois r
x
= r · 1
x
∈ Q, ja´ que o produto de dois racionais e´ um racional. Isto contradiz a hipo´tese y ∈ R \Q.
Esta contradic¸a˜o e´ fruto de ter sido suposto x · y /∈ R \Q. Logo, x · y ∈ R \Q.
Notar que, se x ∈ Q, em particular x pode ser zero, enta˜o neste caso, 0 · y = 0 ∈ Q.
1
Questa˜o 2 [2,0 pontos] Fac¸a o que se pede:
(a) [0,5 pt] Mostre que: se k ∈ R e 1
2
< k < 1 enta˜o −1 + 2k > 0 e 1 + 2k < 3.
(b) [1,5 pts] Sejam �, x ∈ R, � > 0, 1
2
< k < 1 e |x− k| < min{1, �
3
}
. Mostre que |x2 − k2| < �.
Sugesta˜o: Use o item (a) no seu desenvolvimento.
Prova: (a) Por hipo´tese: k ∈ R e 1
2
< k < 1. Enta˜o, multiplicando cada termo por 2, obte´m-se
1 < 2k < 2. Da´ı 1 < 2k e 2k < 2. Da primeira desigualdade, segue que 2k − 1 > 0. Somando-se 1 a
cada membro da segunda desigualdade, obte´m-se 1 + 2k < 3. 2
(b) Sendo, por hipo´tese, |x− k| < min{1, �
3
}
tem-se que
|x− k| < 1 e |x− k| < �
3
. (a)
De (a)1 tem-se que −1 < x− k < 1, e da´ı resulta que −1+2k < x+ k < 1+2k. Como 12 < k < 1 enta˜o−1 + 2k > 0 e 1 + 2k < 3, pelo item (a). Assim,
|x+ k| = x+ k < 3. (b)
Usando nesta ordem (b) e (a)2 obte´m-se
|x2 − k2| = |x− k||x+ k| (b)< |x− k| · 3 (a)2< �
3
· 3 = �.
Logo, |x− k2| < �.
Questa˜o 3 [2,0 pontos] Considere X =
{ n
n+ 3
; n ∈ N
}
. Mostre que supX = 1. Justifique cuidado-
samente suas afirmac¸o˜es.
Prova: (i) Se n ∈ N enta˜o n < n + 3 e´ verdade. Como n + 3 > 0 segue que n
n+ 3
< 1. Portanto,
n
n+ 3
≤ 1 para todo n ∈ N. Logo, por definic¸a˜o, 1 e´ uma conta superior de X.
(ii) Seja β ∈ R tal que β < 1. Deve-se encontrar x ∈ X tal que β < x.
Como β < 1 enta˜o 1− β > 0 e 3β
1− β ∈ R. Assim, pela propriedade arquimediana existe n0 ∈ N tal que
n0 >
3β
1− β . Da´ı, e como 1− β > 0 enta˜o
n0(1− β) > 3β ∴ n0 − n0β > 3β ∴ n0 > n0β + 3β = (n0 + 3)β ∴ β < n0
n0 + 3
.
Da´ı e da definic¸a˜o do conjunto X tem-se que
n0
n0 + 3
∈ X. Portanto, existe x = n0
n0 + 3
∈ X tal que
β < x. Ou seja, β < 1 na˜o e´ uma cota superior para X. Como β e´ um nu´mero real arbitra´rio e β < 1 enta˜o
nenhum nu´mero real β < 1 e´ uma cota superior para X. Pelas etapas (i), (ii) e definic¸a˜o de supremo, 1
e´ a menor das cotas superiores de X. Logo, 1 = supX.
2
Questa˜o 4 [2,0 pontos]
(a) [1,0 pt] Mostre, por meio da definic¸a˜o de limite de sequeˆncia, que lim
n→∞
√
n√
n+ 2
= 1.
(b) [1,0 pt] Sejam f : N → R uma func¸a˜o e M > 0 um nu´mero real tais que |f(n)| ≤ M para
todo n ∈ N. Mostre, justificando detalhadamente suas afirmac¸o˜es, que a sequeˆncia (xn)n∈N definida por
xn =
f(n)
n2
converge a zero quando n→∞.
Prova: (a) Seja � ∈ R e � > 0. Pela propriedade arquimediana, existe um natural n0 > 4
�2
.
Suponha n ∈ N tal que n > n0. Enta˜o∣∣∣∣ √n√n+ 2 − 1
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣√n−√n− 2√n+ 2
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣ −2√n+ 2
∣∣∣∣ = 2√n+ 2 < 2√n < 2√n0 .
Como n0 >
4
�2
e �2 > 0 enta˜o: n0�
2 > 4 ∴ √n0� > 2 ∴ 2√
n0
< �.
Como n ∈ N e´ arbitra´rio, enta˜o para todo n ∈ N com n > n0 > 4
�2
tem-se que∣∣∣∣ √n√n+ 2 − 1
∣∣∣∣ < 2√n < 2√n0 < �.
Assim, para todo � ∈ R∗+, existe n0 ∈ N tal para todo n ∈ N, se n > n0 enta˜o
∣∣∣∣ √n√n+ 2 − 1
∣∣∣∣ < �.
Logo, pela definic¸a˜o de limite, conclui-se que lim
n→∞
√
n√
n+ 2
= 1. 2
(b) Por hipo´tese |f(n)| ≤M para todo n ∈ N. Da´ı, −M < f(n) ≤M para todo n ∈ N. Enta˜o
−M
n2
≤ f(n)
n2
≤ M
n2
para todo n ∈ N.
Como lim
n→∞
1
n2
= 0 enta˜o 0 = − lim
n→∞
M
n2
≤ lim
n→∞
senn
n2
≤ lim
n→∞
M
n2
= 0. Aplicando o Teorema do
Sandu´ıche (ou confronto) tem-se (xn)n∈N converge a zero quando n→∞.
Questa˜o 5 [2,0 pontos] Mostre, por meio da definic¸a˜o de convergeˆncia de se´rie, que
se β ∈ R e β > 1 enta˜o
∞∑
n=0
( 1
β
)n
=
β
β − 1 .
Sugesta˜o: Use que: 1− xn+1 = (1− x) (1 + x+ · · ·+ xn−1 + xn) para todos n ∈ N e x ∈ R− {1}.
Prova: Sendo x ∈ R− {1} tem-se da sugesta˜o que
1 + x+ · · ·+ xn−1 + xn = 1− x
n+1
1− x . (?)
3
As somas parciais da se´rie
∞∑
n=0
(
1
β
)n
e´ dada por Sn = 1 +
1
β
+
(
1
β
)2
+ · · · +
(
1
β
)n
. Como β > 1 enta˜o
1
β
< 1 e, consequentemente, 1− 1
β
> 0. Da´ı, tomando x =
1
β
em (?), resulta
Sn = 1 +
1
β
+
( 1
β
)2
+ · · ·+
( 1
β
)n
=
1−
(
1
β
)n+1
1− 1
β
. (2?)
Como β > 1 enta˜o lim
n→∞
( 1
β
)n+1
=
1
lim
n→∞
βn+1
= 0. Portanto de (2?), lim
n→∞
Sn =
1
1− 1
β
=
β
β − 1 .
Logo, por definic¸a˜o,
∞∑
n=0
(
1
β
)n
= β
β−1 .
4