Ernesto19agosto Logaritmo

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Projeto TEIA DO SABER 2006
Secretaria de Estado da Educac¸a˜o, SP.
Diretoria de Ensino da Regia˜o de Guaratingueta´
UNESP – Campus de Guaratingueta´
Departamento de Matema´tica
Coordenador Prof. Dr. Jose´ Ricardo Zeni
Metodologias de Ensino de Disciplinas da A´rea de Cieˆncias da Natureza, Matema´tica e suas
Tecnologias do Ensino Me´dio: Matema´tica I (Curso Inicial)
Logaritmos
Prof. Dr. Ernesto Vieira Neto
Departamento de Matema´tica
UNESP – Guaratingueta´
1 Introduc¸a˜o
No se´culo XVII Joost Bu¨rgi, um relojoeiro suic¸o, foi um dos primeiros a descobrir o loga-
ritmo como ferramenta de fazer contas. Mas ele na˜o publicou sua descoberta ate´ 1620. O
me´todo de logaritmos foi proclamado publicamente em 1614, em um livro intitulado Miri-
fici Logarithmorum Canonis Descriptio, escrito por John Napier, Bara˜o de Merchiston na
Esco´cia. Este me´todo contribuiu para o avanc¸o das cieˆncias, e em especial da astronomia,
fazendo com que contas dif´ıceis se tornassem poss´ıveis. Antes do advento das calculadoras
e computadores, o me´todo era muito usado em pesquisas, navegac¸a˜o, e outros campos da
matema´tica pra´tica. Ale´m de seu importante uso em contas, os logaritmos tambe´m tem
um importante espac¸o na matema´tica teo´rica superior.
No in´ıcio, Napier chamou os logaritmos de “nu´meros artificiais” e os antilogaritmos de
“nu´meros naturais”. Depois, Napier formou a palavra logaritmo juntando as palavras
λσγσς (logos) e αριθµσς (aritmos). A palavra logos significa proporc¸a˜o e aritmos e´
nu´mero, enta˜o logaritmo significa um nu´mero que indica proporc¸a˜o (ou raza˜o). Napier
fez esta escolha porque a diferenc¸a entre dois logaritmos determina a raza˜o dos nu´meros
calculados. O termo antilogaritmos foi introduzido no final do se´culo XVII e, embora
nunca foi usado extensivamente em matema´tica, persistiu nas ta´buas de logaritmos ate´
que estas cairam em desuso.
Muitos fenoˆmenos naturais sa˜o bem descritos por uma modelagem exponencial ou lo-
gar´ıtmica, como o esfriamento de bolos, o decaimento radioativo, crescimento populacio-
nal, etc. Ale´m disso o logaritmo pode ser usado em medidas como o decibel, que mede a
intensidade do som (barulho), a escala Richter, que mede as ondas s´ısmicas (terremotos)
e o pH, que mede a acidez, neutralidade ou alcalinidade de um meio qualquer. Podemos
tambe´m usar o logaritmo para calcular o nu´mero de meses em uma compra com juros
compostos.
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2 Conceito de logaritmo
Um nu´mero excessivamente grande de cole´gios e livros ainda apresentam o logaritmo como
um mero artif´ıcio de ca´lculo viabilizando o ca´lculo ra´pido de multiplicac¸o˜es e quocientes
de nu´meros, explorando o fato que o logaritmo tem a propriedade de transformar multi-
plicac¸o˜es e quocientes em somas e diferenc¸as. Embora ele tenha sido inventados com esse
propo´sito, o surgimento das calculadoras cient´ıficas eletroˆnicas, em 1972, tornou essa uti-
lidade do logaritmo um mero assunto de cursos de Histo´ria da Matema´tica! Apesar disso,
e devido a outras propriedades, o logaritmo continua sendo uma das mais importantes
func¸o˜es da Matema´tica.
No material que segue, como um passo inicial em direc¸a˜o do entendimento da real im-
portaˆncia dos logaritmos na atualidade, examinaremos o seu significado.
3 Ra´pida recordac¸a˜o do conceito de logaritmo
Se pensarmos em base 10:
Dizemos que a dezena, a centena, o milhar, e assim por diante (i.e. que 10, 100, 1000, etc.)
tem ordem de grandeza respectivamente 1, 2, 3, etc., pois podemos escrever 10 = 101,
100 = 10× 10 = 102, 1000 = 10× 10× 10 = 103, etc.
Dizemos que o de´cimo, o cente´simo, o mile´simo, e assim por diante (i.e. que 0.1 , 0.01,
0.001, etc.) tem ordem de grandeza respectivamente −1, −2, −3, etc., pois que podemos
escrever 0.1 = 1/10 = 10−1, 0.01 = 1/100 = 1/10 × 1/10 = 10−2, 0.001 = 1/1000 =
1/10× 1/10× 1/10 = 10−3, etc.
Dizemos que 1 tem ordem de grandeza 0, pois 100 = 1.
Dizemos que, em base 10, os demais nu´meros positivos tem ordem de grandeza fraciona´ria,
i.e. que os logaritmos dos demais nu´meros positivos sa˜o nu´meros fraciona´rios. Com efeito,
vejamos um exemplo:
Qual a ordem de grandeza (ou o logaritmo) de 40?
E´ fa´cil ver que tem de estar entre 1 e 2, pois 40 esta´ entre 10 e 100. Melhor do que isso,
se voceˆ pegar sua calculadora podera´ facilmente obter a seguinte tabela:
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101.0 = 10.0000
101.1 = 12.5892
101.2 = 15.8489
101.3 = 19.9526
101.4 = 25.1189
101.5 = 31.6228
101.6 = 39.8107
101.7 = 50.1187
101.8 = 63.0957
101.9 = 79.4328
102.0 = 100.0000
Na tabela, voceˆ pode ver que 101.6 < 40 < 101.7, o que significa que o log de 40 esta´ entre
1.6 e 1.7. De modo semelhante, voceˆ pode ver que 101.60 < 40 < 101.61, o que significa
que o log de 40 esta´ entre 1.60 e 1.61.
Se continua´ssemos ao infinito esse processo, poder´ıamos ver que o valor exato da ordem
de grandeza de 40, i.e. do log 40, e´
log 40 = 1.60205 99913 27962 ...
Pode-se sintetizar toda a discussa˜o acima dizendo-se que se um nu´mero positivo x pode
ser escrito como x = 10y, enta˜o seu log (em base 10) e´ y. Resumindo:
log(x) = log(10y) = y
E se pensarmos em outras bases?
Logaritmo de Comerciantes (loc):
Poder´ıamos, por exemplo, pensar num logaritmo de comerciantes. Eles contam em du´zias,
ou grosas (12×12 = 122 = 144), etc. Enta˜o, o loc (40), i.e. o logaritmo de comerciante de
40, e´ o nu´mero y tal que 40 = 12y, y esse que indica a ordem de grandeza de 40 quando
o expressamos ou o medimos em termos de poteˆncias de 12.
EXERCI´CIO
Imitando o que foi feito acima para o log em base 10, mostre que
loc (40) = 1.48451 42993 31386...
SOLUC¸A˜O:
Faixa menor valor maior valor
1 e 2 121 = 12 122 = 144
1.4 e 1.5 121.4 = 32.42 121.5 = 41.57
1.48 e 1.49 121.48 = 39.55 121.49 = 40.55
1.484 e 1.485 121.484 = 39.95 121.485 = 40.05
Logaritmo da Informa´tica:
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Acompanhando o matema´tico Claude Shannon, o pessoal da Informa´tica prefere contar
em poteˆncias de 2, ou seja, eles preferem usar logaritmo em base 2. Como um exemplo,
vejamos a seguinte tabela que da´ as mais frequ¨entemente usadas profundidades de cor as-
sociadas a`s respectivas quantidades de cores poss´ıveis de representar numa tela (monitor)
de computador:
nu´mero de cores = 2profundidade de cor
16 = 24
256 = 28
65 536 = 216
16 777 216 = 224
EXERCI´CIO
Pede-se:
a) Explicar o conceito de profundidade de cor em termos de logaritmo.
b) Monitores e placas de v´ıdeo de uso profissionais sa˜o capazes de reproduzir 4 294 967 296
cores; achar a respectiva profundidade de cor.
RESPOSTA
a) Profundidade de Cor = log2 (Nu´mero de Cores).
b) log2(4 294 967 296) = 32.
Uma propriedade ba´sica do log (em qualquer base):
Nas igualdades 10 = 101, 100 = 102, 1000 = 103, etc., os valores dos nu´meros crescem
em progressa˜o geome´trica enquanto que os seus expoentes – i.e. seus logaritmos base 10
– crescem em progressa˜o aritme´tica.
E´ fa´cil mostrar que vale a seguinte versa˜o geral desse fato: se os valores de uma varia´vel
x crescerem em PG os logaritmos (em qualquer base) de x crescera˜o em PA.
Texto extra´ıdo de
www.mat.ufrgs.br/∼portosil/passa1a.html
4 Progressa˜o Aritme´tica
Uma progressa˜o aritme´tica e´ uma sucessa˜o de nu´meros, um apo´s o outro, que seguem um
“ritmo definido”.
Veja a progressa˜o abaixo:
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17...)
Esta progressa˜o segue um ritmo definido, mostrado abaixo:
(1, 1 + 2 = 3, 3 + 2 = 5, 5 + 2 = 7, 7 + 2 = 9, 9 + 2 = 11, ...)
Ou seja, temos um ritmo que e´ o de somar duas unidades a cada elemento que acres-
centamos. Este e´ o ritmo que estamos falando, somar sempre o mesmo nu´mero a cada
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elemento acrescentado.
Como ela e´ uma progressa˜o nume´rica que segue um “ritmo definido” de acre´scimo em
relac¸a˜oao nu´mero anterior, ela pode ser classificada como uma progressa˜o aritme´tica
crescente, pois note que sempre ira´ crescer.
Veja outro exemplo:
(16, 13, 10, 7, 4, 1, -2, -5...)
Esta tambe´m pode ser classificada como uma PA, pois segue um ritmo definido. O qual,
diferente da anterior, e´ de decre´scimo. Por ser assim, ela e´ chamada de progressa˜o
aritme´tica decrescente.
Obs.: So´ podemos chamar de PA. se o ritmo que a sequ¨eˆncia seguir for de acre´scimo ou
de decre´scimo. Se tiver um ritmo diferente na˜o sera´ uma PA. Por exemplo, a sequ¨eˆncia
(1, 2, 4, 8, 16, ...) tem um ritmo, sempre dobrar o pro´ximo elemento, mas na˜o e´ uma PA.
Vamos fazer um pequeno exerc´ıcio agora:
Vamos verificar se as progresso˜es abaixo sa˜o PA, quando for diga se e´ crescente ou decres-
cente:
1. (100, 101, 109, 110, 119, 120...)
2. (10, 20, 30, 40, 50, 60...)
3. (-15, -10, -5, 0, 5, 10...)
4. (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...)
5. (10, 6, 2, -2, -6...)
6. (16, 25, 36, 43, 52, 61...)
RESPOSTAS:
1. Na˜o e´ uma PA, pois do primeiro para o segundo termo houve um acre´scimo de 1
unidade, e do segundo para o terceiro houve um acre´scimo de 8 unidades. Para ser
PA devemos ter o acre´scimo sempre constante.
2. E´ uma PA, pois o ritmo se manteve constante do in´ıcio ao fim. Sempre somando
10, ou seja, crescente.
3. E´ uma PA, pois o ritmo de somar 5 manteve-se constante, ou seja, e´ uma PA
crescente.
4. PA crescente.
5. PA decrescente.
6. Na˜o e´ PA.
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Para um melhor estudo de PA’s, vamos agora dar “nome aos bois”. Como exemplo, vamos
usar a progressa˜o dada anteriormente:
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17...)
O primeiro termo desta PA e´ 1, o segundo e´ 3, e assim por diante. Para na˜o desperdic¸ar
la´pis e papel, cada termo de uma PA tem seu nome: o primeiro e´ chamado, normalmente,
de a1, o segundo de a2, o terceiro de a3 e assim sucessivamente. Enta˜o, nesta PA:
a1 = 1
a2 = 3
a3 = 5
a4 = 7
... =
...
O nu´mero que aparece no nome do elemento e´ a “ordem” dele. Ou seja, a1 e´ o primeiro,
a2 e´ o segundo, etc.
Quando temos um termo que na˜o sabemos sua posic¸a˜o, chamamos de an, onde n e´ a
posic¸a˜o ocupada pelo termo em questa˜o. Este e´ o termo geral, pois pode ser qualquer
um.
Voltando ao exemplo.
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17...)
Como e´ uma PA, segue um “ritmo definido” (ritmo este que e´ a soma de 2 unidades a
cada elemento que acrescentamos). Este ritmo tambe´m tem um nome: se chama raza˜o e
e´ representada por r minu´sculo. Portanto, o segundo termo sera´ a soma do primeiro mais
a raza˜o; o terceiro sera´ a soma do segundo mais a raza˜o...
Vemos no nosso exemplo que cada pro´ximo termo da progressa˜o e´ acrescido de 2 unidades,
portanto r = 2.
a1 = 1 = 1
a2 = 3 = 1 + 2
a3 = 5 = 1 + 2 + 2
a4 = 7 = 1 + 2 + 2 + 2
a5 = 9 = 1 + 2 + 2 + 2 + 2
... =
... =
...
a1 = 1 = a1
a2 = 3 = a1 + r
a3 = 5 = a1 + r + r
a4 = 7 = a1 + r + r + r
a5 = 9 = a1 + r + r + r + r
... =
... =
...
Na tabela acima, vemos que cada termo que aumentamos, colocamos mais uma vez a
soma da raza˜o. Vamos reescrever os valores da tabela:
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a1 = 1 = a1 + 0× r
a2 = 3 = a1 + 1× r
a3 = 5 = a1 + 2× r
a4 = 7 = a1 + 3× r
a5 = 9 = a1 + 4× r
... =
... =
...
Note que na u´ltima coluna sempre ira´ aparecer o primeiro termo (a1) somado com a raza˜o
vezes algum nu´mero. Ha´ uma relac¸a˜o entre a posic¸a˜o do termo (n) e o nu´mero de vezes
que a raza˜o aparece (os nu´meros em negrito), tente achar esta relac¸a˜o e diga, como seria
o termo a22?
Isso mesmo, a22 = a1 + 21× r.
Ou seja, se no terceiro termo temos 2 vezes a raza˜o, no quarto termo temos 3, etc. A
relac¸a˜o entre tais valores e´ que o nu´mero de vezes que a raza˜o ira´ aparecer e´ uma unidade
a menos que a ordem do elemento.
Portanto, se quisermos achar o termo de ordem n (termo gene´rico), iremos somar o a1
com (n− 1) vezes a raza˜o. Podemos mostrar uma fo´rmula para calcular qualquer termo
de uma PA: an = a1 + (n− 1)× r
Obs.: Uma PA e´ dita estaciona´ria quando sua raza˜o vale ZERO.
EXERCI´CIOS:
Qual a raza˜o em cada uma das progresso˜es abaixo?
1. (1, 2, 3, 4, ... )
2. (10, 17, 24, ... )
3. (-5, -4, -3, ...)
4. (10, 1, -8, ...)
5. (-5, -10, -15, ...)
6. (1/2, 1, 3/2, ...)
7. (x, x+ 2, x+ 4, ...)
RESPOSTAS:
1. an = a1 + (n− 1)× r ∴ a2 = a1 + (2− 1)r ∴ a2 = a1 + r ∴ 2 = 1 + r, e r = 1.
2. 17 = 10 + r, e r = 7.
3. −4 = −5 + r, e r = 1.
4. 1 = 10 + r, e r = −9.
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5. −10 = −5 + r, e r = −5.
6. 1 = 1/2 + r, e r = 1/2.
7. x+ 2 = x+ r, e r = 2.
Texto extra´ıdo de
www.cursinho.hpg.ig.com.br/materias/progressoes/pa.html
5 Progressa˜o Geome´trica
Progresso˜es Geome´tricas (PG) tambe´m sa˜o sucesso˜es de nu´meros (como a PA). A dife-
renc¸a e´ que, ao inve´s do termo da frente ter um valor acrescido (somado) em relac¸a˜o ao
de tra´s, este tera´ um valor multiplicado (chamado de raza˜o).
Vamos ver um exemplo: escolhemos um termo qualquer para ser o primeiro. Pode ser 5.
Para raza˜o, escolhemos 3. Fazendo como na PA, mas agora trocando o + por × a PG
fica assim:
a1 = 5
a2 = 5×3 = 15
a3 = 15×3 = 45
a4 = 45×3 = 135
a5 = 135×3 = 405
an = an−1×3
Ou seja, temos a PG:
(5, 15, 45, 135, 405...)
Note que esta PG esta crescendo, pois qualquer nu´mero multiplicado por um nu´mero
maior que 1 aumenta. Esta, enta˜o, se chama PG crescente. Mas e se a nossa raza˜o fosse
menor que 1, mas maior que 0 (0 < q < 1), por exemplo, 1/2. Se isto ocorrer, os termos
desta PG ira˜o diminuir cada vez mais, chegando bem perto de 0 (zero). Esta, enta˜o, se
chama PG decrescente.
Estes nome (PG crescente ou decrescente) na˜o sa˜o muito usados. O que usamos mais e´
chamar uma PG de finita ou infinita. Quando a PG tem um final, ou seja, um u´ltimo
termo, chamamos de PG finita. Se na˜o tiver um final, ou seja, nenhum u´ltimo termo, e´
chamada de PG infinita.
Voceˆ ja´ deve ter visto que os termos de uma PG teˆm os mesmos nomes dos termos de uma
PA. O primeiro se chama a1, o segundo se chama a2, o terceiro a3 e assim sucessivamente.
a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7,...
Na nomenclatura de uma PG, a u´nica “coisa” que tem nome diferente em relac¸a˜o a` PA,
e´ a raza˜o. Na PA no´s chama´vamos a raza˜o de r minu´sculo, e agora na PG iremos chamar
de q minu´sculo.
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Novamente, quando temos um termo que na˜o sabemos qual a posic¸a˜o que ele ocupa,
chamamos de an.
Olhe a tabela abaixo e compare com a PG anterior:
a1 = 5 = 5 = 5× 30 = a1 × q0
a2 = 15 = 5× 3 = 5× 31 = a1 × q1
a3 = 45 = 5× 3× 3 = 5× 32 = a1 × q2
a4 = 135 = 5× 3× 3× 3 = 5× 33 = a1 × q3
a5 = 405 = 5× 3× 3× 3× 3 = 5× 34 = a1 × q4
Veja na terceira coluna da tabela acima, que qualquer termo sempre sera´ o primeiro
multiplicado pela raza˜o tantas vezes. E essas tantas vezes tem uma relac¸a˜o com a posic¸a˜o
deste termo (primeiro, segundo, terceiro), que como na PA e´ sempre uma unidade menor.
Enta˜o a fo´rmula do termo geral de uma PG fica da seguinte forma: an = a1 × qn−1
Esta e´ a fo´rmula do termo geral (ou termo gene´rico) de uma PG. A propriedade que usamos
para deduzir esta fo´rmula e´ a propriedade ba´sica de uma PG, que diz que qualquer termo
e´ igual ao de tra´s multiplicado pela raza˜o. Ex: a5 = a4 × q, a12 = a11 × q, a72 = a71 × q
Generalizando, temos:
an = an−1 × q
Esta propriedade pode nos ajudar a resolver va´rios exerc´ıcios, visto que podemos fazer
uma comparac¸a˜o tendo nu´meros sucessivos.
EXERCI´CIOS:
1) Sendo 32 o primeiro termo de uma PG e 2 e´ a sua raza˜o, calcule o termo de ordem 8.
- Informac¸o˜es do exerc´ıcio: a1=32, q=2, a8=? n=8
- Vamos usar a fo´rmula do termo geral:
an = a1 × qn−1
a8 = a1 × q8−1
a8 = 32× 27
a8 = 32× 128
a8 = 4096
2) O valor de x para que a sequ¨eˆncia (x+ 1, x, x+ 2) seja uma PG e´:
(A) 1/2(B) 2/3 (C) -2/3 (D) -1/2 (E) 3
- Vamos utilizar a propriedade ba´sica de uma PG.
an = an−1 × q, e an−1 = an−2 × q
- Nos sabemos que:
an−2 = x+ 1
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an−1 = x
an = x+ 2
- Substituindo esses valores na propriedade:
x+ 2 = x× q, e x = (x+ 1)× q
Enta˜o q =
x+ 2
x
. Substituido na segunda:
x = (x+ 1)× (x+ 2)
x
x2 = (x+ 1)× (x+ 2) = x2 + 3x+ 2
- Encontramos x = −2/3.
Resposta certa letra C.
3) Em uma PG o primeiro termo e´
√
2, e o terceiro,
14
√
29. O valor do de´cimo termo e´
(A)
√
2 (B) 4 (C) 2 7
√
2 (D) 2
√
2 (E) 4
√
2
- Informac¸o˜es: a1 =
√
2, a3 =
14
√
29, a10 =?
- Vamos aplicar a fo´rmula do termo geral para achar a raza˜o:
a3 = a1 × q3−1
14
√
29 =
√
2× q2
q2 =
14
√
29√
2
=
2
9
14
2
1
2
q2 = 2
9
14 × 2− 12 = 2 17
q = 2
1
14 =
14
√
2
- Novamente aplicando a fo´rmula do termo geral para achar a10
a10 = a1 × q10−1
a10 =
√
2× 2( 114 )×(9)
a10 = 2
1
2 × 2 914 = 2 12+ 914 = 2 87
a10 =
7
√
28 =
7
√
27 × 2 = 2 7
√
2
Resposta certa letra C.
4) Na PG de termos positivos (a, b, c), temos: a+ b+ c = 91 e a× c = 441. Enta˜o, (a+ c)
e´ igual a:
(A) 21 (B) 49 (C) 53 (D) 63 (E) 70
- Informac¸o˜es: a1 = a, a2 = b, a3 = c, a+ b+ c = 91, a× c = 441, a+ c =?
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- O que queremos saber e´ (a+ c). Portanto, utilizando a+ b+ c = 91, podemos dizer que:
a+ c = 91− b
- Enta˜o, se descobrirmos o valor de b, que e´ o a2, podemos substituir na u´ltima fo´rmula e
achar o que e´ pedido. Para isso vamos pegar a equac¸a˜o a× c = 441 e substituir o termo c,
que e´ o a3, pelo seu equivalente na fo´rmula geral: a3 = a1× q3−1 e encontramos c = a× q2
Substituindo:
a× c = 441
a× a× q2 = 441
a2 × q2 = 441
(a× q)2 = 441
a× q = 21
- Como o termo b e´ o segundo termo (a2) e a e´ a1, enta˜o:
a2 = a1 × q
b = a× q = 21
logo b=21
- Temos enta˜o:
a+ c = 91− b
a+ c = 91− 21
a+ c = 70
Resposta certa, letra E.
Texto extra´ıdo de
www.cursinho.hpg.ig.com.br/materias/progressoes/pg.html
6 Relac¸a˜o entre PA, PG e logaritmo
Como vimos no final da sec¸a˜o 3, se os valores de uma varia´vel x crescerem em PG os
logaritmos (em qualquer base) de x crescera˜o em PA. Vamos dar um exemplo para a base
2:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
21 22 23 24 25 26 27 28 29 210
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1 024
A primeira linha e´ uma PA com a1 = 1 e raza˜o r = 1. A terceira linha e´ uma PG com
a1 = 2 e raza˜o q = 2. Vamos definir o logaritmo na base 2 do nu´mero da terceira linha
da tabela acima como o expoente mostrado na segunda linha:
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log2 2 = 1
log2 4 = 2
log2 8 = 3
log2 16 = 4
log2 32 = 5
log2 64 = 6
log2 128 = 7
log2 256 = 8
log2 512 = 9
log2 1 024 = 10
O que Napier notou na tabela acima e´ que:
log2 8 + log2 64 = 3 + 6 = 9
Observe que:
9 = log2 512 = log2(8× 64)
Vamos repetir esse experimento para a base 5:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
51 52 53 54 55 56 57 58 59 510
5 25 125 625 3 125 15 625 78 125 390 625 1 953 125 9 765 625
E, novamente temos a relac¸a˜o para o logaritmo na base 5:
log5 5 = 1
log5 25 = 2
log5 125 = 3
log5 625 = 4
log5 3 125 = 5
log5 15 625 = 6
log5 78 125 = 7
log5 390 625 = 8
log5 1 953 125 = 9
log5 9 765 625 = 10
Novamente podemos obter:
log5 25 + log5 3 125 = 2 + 5 = 7
Observe que:
7 = log5 78 125 = log5(25× 3 125)
Podemos realizar esse experimento com qualquer base e quaisquer logaritmos que esco-
lhermos, o resultado sempre sera´:
logb x+ logb y = logb(x× y)
12
Projeto TEIA DO SABER 2006
Ou seja, Napier notou que e´ poss´ıvel transformar a multiplicac¸a˜o de nu´meros em soma
de seus logaritmos.
Outro experimento que podemos fazer com as tabelas acima e´, para o logaritmo na base
2:
log2 256− log2 32 = 8− 5 = 3
mas,
3 = log2 8 = log2
(
256
32
)
Para a base 5, temos:
log5 9 765 625− log5 15 625 = 10− 6 = 4
e
4 = log5 625 = log5
(
9 765 625
15 625
)
Generalizando:
logb x− logb y = logb
(
x
y
)
Enta˜o a diferenc¸a entre os logaritmos de dois nu´meros e´ igual ao logaritmo da raza˜o entre
esses nu´meros. Da´ı o nome que Napier deu ao logaritmo (raza˜o entre nu´meros).
EXERCI´CIOS
Crie uma tabela de logaritmos para a base 3, como feito acima, mas comece a PA com -3
e termine em 10. Use a tabela para calcular: 81× 729 e 9/243.
Primeiro vamos construir as tabelas...
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3−3 3−2 3−1 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 310
1/27 1/9 1/3 1 3 9 27 81 243 729 2 187 6 561 19 683 59 049
E ...:
log3(1/27) = -3
log3(1/9) = -2
log3(1/3) = -1
log3 1 = 0
log3 3 = 1
log3 9 = 2
log3 27 = 3
log3 81 = 4
log3 243 = 5
log3 729 = 6
log3 2 187 = 7
log3 6 561 = 8
log3 19 683 = 9
log3 59 049 = 10
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Projeto TEIA DO SABER 2006
Resolvendo o primeiro problema: 81× 729
aplicando o logaritmo na base 3 nesse produto temos: log3(81× 729)
pela propriedade encontrada acima,
transformamos esse logaritmo em soma: log3 81 + log3 729
usamos a tabela e trocamos para: 4 + 6
que e´: 10
voltamos a tabela e vemos que: 10 = log3 59 049
a soluc¸a˜o do problema e´: 81× 729 = 59 049
Resolvendo o segundo problema:
9
243
aplicando o logaritmo na base 3 nesse quociente temos: log3
(
9
243
)
pela propriedade encontrada acima,
transformamos esse logaritmo em diferenc¸a: log3 9− log3 243
usamos a tabela e trocamos para: 2− 5
que e´: −3
voltamos a tabela e vemos que: −3 = log3(1/27)
a soluc¸a˜o do problema e´:
9
243
=
1
27
Outras propriedades que podemos encontrar.
Observe o produto abaixo:
2× 4 = 8
Substituindo 4 por log2 16 e 8 por log2 256 temos
2× log2 16 = log2 256
mas 256 = 162, enta˜o
log2 256 = log2 16
2
Ou seja: log2 16
2 = 2× log2 16.
Isto tambe´m pode ser observado se trocarmos o 2 por log2 4 e mantermos o 4:
4× log2 4 = log2 256
mas
log2 256 = log2 4
4
Ou seja: log2 4
4 = 4× log2 4.
Isto pode ser testado para todas as tabela acima e sempre teremos:
logb x
y = y × logb x
Outra propriedade tirada direto das tabelas e´ (para o log na base 2):
16 = 24 = 2log2 16
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Projeto TEIA DO SABER 2006
Ou para a tabela do log na base 5:
125 = 53 = 5log5 125
Ou seja:
x = blogb x
Usando estas duas u´ltimas propriedades podemos resolver o problema de mudanc¸a de base,
ou seja, temos os logaritmos em uma base a, e queremos saber quanto vale o logaritmo
de x na base b.
Aplicando o logaritmo na base a em x = blogb x temos:
loga x = loga b
logb x
Usando a propriedade anterior:
loga x = logb x× loga b
ou
logb x =
loga x
loga b
Por exemplo, para calcular o valor do log5 10, usando uma calculadora e calculamos:
log10 10 = 1
log10 5 = 0.6989700043360188575...
Enta˜o:
log5 10 =
log10 10
log10 5
= 1.430676558073392943...
7 Logaritmo Natural
O logaritmo que Napier inventou em 1614 era bastante diferente do logaritmo natural. E´
poss´ıvel notar nas tabelas de logaritmos que criamos na sec¸a˜o anterior que para usarmos
valores intermedia´rios teremos valores decimais para os logaritmos. Por exemplo, na
tabela do logaritmo na base 2 na˜o temos o log2 3, mas sabemos que deve ser um nu´mero
entre o log2 2 e o log2 4. Ou seja, um nu´mero entre 1 e 2. Podemos usar o processo de
criac¸a˜o de tabelas que usamos na u´ltima sec¸a˜o e encontraremos log2 3 ≈ 1.59.
Napier e Bu¨rgi tentaram encontrar uma base que facilitasse a interpolac¸a˜o, ou seja, uma
base favora´vel em que os logaritmos estivessem pro´ximos um dos outros. A base en-
contrada por ambos era bem pro´xima do valor
1
e
= 0.3678794411714423412, onde e e´ o
nu´mero de Euler e = 2.718281828459045091, que foi encontrado depois.
O log de Napier tinha muitos inconvenientes e foi tornado obsoleto pelo pro´prio Napier
que tambe´m, com Briggs em 1617, introduziu olog decimal. E´ errado, consequ¨entemente,
chamar o log natural de neperiano.
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Projeto TEIA DO SABER 2006
O log natural foi inicialmente chamado de log hiperbo´lico, pois os dois primeiros ma-
tema´ticos a estudarem teoricamente o ln (log natural), St. Vincent e De Sarasa em 1650,
mostraram que ln r podia ser interpretado como a a´rea do segmento do gra´fico cartesiano
da hipe´rbole y = 1/x entre x = 1 e x = r.
Essa base e´ chamada de natural porque no contexto de varia´veis cont´ınuas, e´ muito mais
fa´cil e natural – apesar das apareˆncias – trabalharmos com ex do que com 10x. Ao
fazermos essa opc¸a˜o de simplicidade automaticamente estamos fazendo a opc¸a˜o pelo log
natural em vez do log decimal.
Por que afirmamos que e´ mais fa´cil trabalharmos com ex do que com 10x?
Suponhamos que aplicamos um capital inicial de A reais a uma taxa de juros de 4% ao
meˆs. Qual sera´ o capital A(n) acumulado em n meses?
Se os juros forem calculados mensalmente (processo discreto):
A(n) = 1.04nA
Se os juros forem calculados continuamente (processo cont´ınuo):
A(n) = e0.04nA
ou, de modo mais deselegante:
A(n) = 100.43429448×0.04nA
Texto extra´ıdo de
www.mat.ufrgs.br/∼portosil/passa1b.html
8 Aplicac¸o˜es
O estudo das progresso˜es esta´ intimamente ligado a` resoluc¸a˜o de problemas matema´ticos
encontrados no nosso cotidiano. Alguns exemplos interessantes sa˜o os seguintes:
COMPRAS A` PRAZO
Imaginemos a seguinte situac¸a˜o: uma pessoa pretende comprar um eletro dome´stico, e a
loja lhe oferece treˆs possibilidades de pagamento: a` vista, o valor sera´ de R$ 500,00; em
6 prestac¸o˜es mensais, sendo a primeira de R$ 100,00 e a cada prestac¸a˜o seguinte havera´
um aumento de 10% em relac¸a˜o a` anterior; Ou em doze prestac¸o˜es, sendo a primeira de
R$ 50,00 e a cada prestac¸a˜o seguinte havera´ um acre´scimo de 8% em relac¸a˜o a` anterior.
Qual a melhor opc¸a˜o de pagamento?
Vamos calcular o pagamento em 6 prestac¸o˜es:
a1 = 100, n = 6, r = 10% = 1.1 (para calcularmos um aumento de 10% basta multi-
plicarmos o valor original por 1.1; um aumento de 30% multiplicamos por 1.3 e assim
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Projeto TEIA DO SABER 2006
sucessivamente)
Em primeiro lugar vamos calcular o valor da u´ltima prestac¸a˜o (an)
an = a1 × qn−1
a6 = 100× (1.1)6−1
a6 = 100× (1.1)5 = 161.05
Agora vamos calcular a soma de todas as parcelas:
Sn =
(a1 + an)× n
2
S6 =
(100 + 161.05)× 6
2
S6 = 783.15
O valor total do eletro-dome´stico nesta proposta sera´ de R$ 783,15.
Vamos agora calcular o pagamento em 12 prestac¸o˜es:
a1 = 50, n = 12, r = 8% = 1.08
Em primeiro lugar vamos calcular o valor da u´ltima prestac¸a˜o (an)
a12 = 50× (1.08)12−1
a12 = 50× (1.08)11 = 116.58
Agora vamos calcular a soma de todas as parcelas:
S12 =
(50 + 116.58)× 12
2
S12 = 1299.48
O valor total do eletro-dome´stico nesta proposta sera´ de R$ 1 299,48.
Certamente a pessoa deve procurar comprar seu eletro-dome´stico a` vista, ou no ma´ximo
em 6 prestac¸o˜es, pois com o total gasto em 12 parcelas seria poss´ıvel comprar dois eletro-
dome´sticos ideˆnticos e ainda sobraria algum dinheiro.
PIRAˆMIDES FINANCEIRAS
De tempos em tempos somos bombardeados com not´ıcias sobre piraˆmides financeiras,
“onde todos ganham e ningue´m perde”! Passadas algumas semanas estas mesmas piraˆmides
voltam aos noticia´rios, apenas mudando da sec¸a˜o de economia para o caderno policial...
A explicac¸a˜o e´ simples.
17
Projeto TEIA DO SABER 2006
Estas piraˆmides funcionam do seguinte modo:
Um “l´ıder de grupo” convida algumas pessoas para participar da piraˆmide, sendo que
cada uma destas pessoas deve contribuir com alguma quantia em dinheiro. Elas sera˜o os
“sub-l´ıderes”.
Cada uma das pessoas convidadas (sub-l´ıderes) deve, por sua vez, conseguir a participac¸a˜o
de outras pessoas, que tambe´m devem arregimentar mais participantes, dando assim forma
e tamanho a` piraˆmide.
Os primeiros participantes efetuam “uma doac¸a˜o” ao l´ıder de grupo, os seguintes aos sub-
l´ıderes e assim sucessivamente, de tal forma que, quanto maior o nu´mero de participantes,
maiores os ganhos.
Neste ponto comec¸am os problemas. O fato e´ que o nu´mero de pessoas envolvidas torna-se
ta˜o grande que, em alguns casos, seria necessa´ria a participac¸a˜o de toda a comunidade
para que alguns poucos obtivessem eˆxito. A explicac¸a˜o matema´tica e´ simples: trata-se de
uma Progressa˜o Geome´trica de raza˜o muito alta, o que acarreta um enorme crescimento
em pouco espac¸o de tempo.
Imaginemos a seguinte piraˆmide:
O l´ıder convida 10 pessoas, que por sua vez devera˜o convidar, cada uma delas, outras dez,
e assim sucessivamente.
Cada pessoa deve, ao entrar na piraˆmide, doar 50 reais.
Esta situac¸a˜o da´ origem a` seguinte P.G.: (1, 10, 100, 1000, 10000,...) que, em termos
financeiros, significa a P.G.(50, 500, 5000, 50000,...). Nesta piraˆmide o l´ıder receberia R$
500,00; os sub-l´ıderes R$500,00 e assim sucessivamente.
Ja´ e´ interessante observar que, para que as pessoas pertencentes ao quarto degrau da
piraˆmide tenham eˆxito nas suas arrecadac¸o˜es, e´ necessa´ria a participac¸a˜o de 10.000 pes-
soas, o que, certamente, trata-se de um nu´mero muito grande de pessoas.
A situac¸a˜o acima serve, no entanto, apenas como ilustrac¸a˜o, pois na pra´tica estas piraˆmides
funcionam com mais participantes e valores financeiros maiores. Vejamos enta˜o a seguinte
situac¸a˜o:
O l´ıder convida 20 pessoas, que por sua vez devera˜o convidar, cada uma delas, outras
vinte, e assim sucessivamente.
Cada pessoa deve, ao entrar na piraˆmide, doar 500 reais.
Esta situac¸a˜o da´ origem a` seguinte P.G.: (1, 20, 400, 8.000, 160.000,...) quem, em termos
financeiros, significa a P.G.(500, 10.000, 200.000, 4.000.000,...). Nesta piraˆmide o l´ıder
receberia R$ 10.000,00; os sub-l´ıderes R$10.000,00 e assim sucessivamente.
Para percebermos que nem todos ganhara˜o basta observar que para que os participantes
do 4o degrau tenham sucesso e´ necessa´ria a participac¸a˜o de 160.000 pessoas, o que, em
muitas cidades do interior do Brasil, e´ quase a totalidade da populac¸a˜o.
Chegamos, enta˜o, a` conclusa˜o o´bvia de que so´ os l´ıderes da piraˆmide teˆm certeza de ganho
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Projeto TEIA DO SABER 2006
entre todos os participantes!
Texto extra´ıdo de
www.expoente.com.br/professores/kalinke/paraqueserve/progressoes.htm
ESCALA RICHTER
A magnitude de Richter corresponde ao logaritmo da medida da amplitude das ondas
s´ısmicas de tipo P e S a 100 km do epicentro.
A fo´rmula utilizada e´ML = logA− logA0 onde A representa a amplitude ma´xima medida
no sismo´grafo e A0 uma amplitude de refereˆncia.
Assim, por exemplo, um sismo com magnitude 6 tem uma amplitude 10 vezes maior que
um sismo de magnitude 5.
Um terremoto de menos de 3,5 graus e´ apenas registrado pelos sismo´grafos. Um terremoto
entre 3,5 e 5,4 ja´ pode produzir danos. Um terremoto entre 5,5 e 6 provoca danos menores
em edif´ıcios bem constru´ıdo, mas pode causar maiores danos em outros.
Ja´ um terremoto entre 6,1 e 6,9 na escala Richter pode ser devastador numa zona de
100 km. Um terremoto entre 7 e 7,9 pode causar se´rios danos numa grande superf´ıcie.
Os terremotos acima de 8 podem provocar grandes danos em regio˜es localizadas a va´rias
centenas de quiloˆmetros do epicentro.
NI´VEL DE SOM “ABSOLUTO”
Quando o decibel e´ usado para medir o n´ıvel do som (ou barulho) e´ usado um n´ıvel de
som de refereˆncia. O n´ıvel de som de refereˆncia escolhido e´ o que produz uma presa˜o de 20
micro Pascal, que e´ muito baixo e esta´ no limite de audic¸a˜o humana e e´ correspondente ao
som de uma mosca voando a 3 m de distaˆncia. Normalmente essa sensividade e´ encontrada
somente em pessoas muito jovens.
A partir desse som de refereˆncia e´ montada uma escala em decibel dada por
20 log
(
p
p0
)
= XdB
onde p0 e´a presa˜o do som de refereˆncia e p e´ a pressa˜o produzida pelo o som que estamos
medindo, e X e´ o resultado.
NI´VEL DE ACIDEZ
O pH ou potencial de hidrogeˆnio ioˆnico, e´ um ı´ndice que indica a acidez, neutralidade
ou alcalinidade de um meio qualquer. O “p” vem do alema˜o potenz, que significa poder
de concentrac¸a˜o, e o “H” e´ para o ı´on de hidrogeˆnio (H+). A`s vezes e´ referido do latim
pondus hydrogenii. O “p” equivale ao sime´trico do logaritmo de base 10 da atividade dos
ı´ons a que se refere, ou seja,
pH = − log10
[
H+
]
em que [H+] representa a atividade de H+ em mol/dm3.
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