_Matematica Para Economista_Unid_3

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UNIDADE 3 – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL – PARTE II 
 
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM 
A partir desta unidade, você será capaz de: 
 
• conhecer aplicações das derivadas e integrais; 
• estender os conceitos de função para o R³; 
• conhecer os principais conceitos que envolvem funções de diversas variáveis; 
• identificar o domínio de funções de várias variáveis; 
• calcular derivadas de funções de várias variáveis; 
• interpretar geometricamente as derivadas parciais; 
• aplicar o conceito de derivadas parciais 
 
 
PLANO DE ESTUDOS 
TÓPICO 1 – APLICAÇÕES DAS DERIVADAS E INTEGRAIS 
TÓPICO 2 – FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
TÓPICO 3 – DERIVADAS PARCIAIS 
TÓPICO 4 – APLICAÇÕES DAS FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS NA ECONOMIA 
 
 
TÓPICO 1 – APLICAÇÕES DE DERIVADAS E INTEGRAIS 
1 INTRODUÇÃO 
Para você, estudante de Economia, de nada serviria contemplar os conceitos de derivada, caso não houvesse um 
respaldo de aplicação na área econômica. Para tal, iremos neste tópico utilizar todas as ferramentas importantes 
vistas no tópico anterior para o cálculo das derivadas, a fim de explorar conceitos de economia, tais como o de 
análise marginal e taxas relacionadas. 
 
Com este entendimento, você, prezado acadêmico, estará apto a realizar análise de rentabilidade de investimentos, 
produtividade e quaisquer conceito que envolva bases de cálculo abrangendo variação. Isso virá de encontro ao 
sucesso que uma empresa terá, apenas se houver um bom planejamento de suas análises financeiras, e neste ponto 
a derivada possui papel determinante. 
 
Assim como no conceito de derivadas, as integrais também possuem diversas aplicações na economia. Elas tangem 
as mesmas áreas, porém se situam em casos distintos. Uma vez que as derivadas medem as taxas de variação, por 
exemplo o custo marginal, as integrais nos remetem ao conceito de soma, realizando não mais a análise do 
acréscimo de um item, mas sim da totalidade (soma) de todos os itens. Daqui em diante verificaremos com um 
pouco de atenção alguns destes casos. 
 
Outro ponto de destaque nessas aplicações é o fato de que iremos resolver, muitas vezes, problemas “inversos”. 
Assim, mais uma vez remetendo-se à questão teórica do conteúdo que já verificamos, que derivadas e integrais 
possuem uma forte ligação dentro do Cálculo Diferencial e Integral. 
 
2 FUNÇÕES MARGINAIS 
Em Economia, as funções que exploramos f(x) normalmente expressam funções as quais intitulamos de funções 
derivadas marginais. Estas funções são utilizadas para avaliar o efeito da função em torno de uma pequena variação 
de x. Em termos teóricos, a derivada da função f(x) é chamada de função marginal. Especificadamente, por exemplo, 
a função custo marginal é a derivada direta da função custo marginal. 
2.1 CUSTO MARGINAL 
Supondo-se para esta definição que a função C(x) é a função de custo de produção para x peças de um determinado 
item produtivo, sendo x e C(x) nulos ou positivos. 
 
 
 
 
 
 
2.2 RECEITA MARGINAL 
Supondo-se para esta definição que a função R(x) é a função de receita de venda para x peças de um determinado 
item, sendo x e R(x) nulos ou positivos. 
 
 
 
Isto quer dizer que a receita marginal é resultado do valor ganho adicional que se dá a cada unidade demandada x. 
Isto, é claro, a partir de xo unidades. Ainda mais, podemos afirmar que isto é a taxa de variação da receita de venda 
do item referenciado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.3 PRODUTIVIDADE MARGINAL 
 
 
 
 
3 REGRA DA CADEIA 
Em diversos casos aplicados, o que estamos estudando está relacionado a uma certa variável, que por sua vez está 
relacionada com outra. Podemos exemplificar citando um produto que varia sua quantidade de vendida x, de acordo 
com a variação do dólar p. Nestes casos, a taxa de variação (derivada) da primeira quantidade variável em relação à 
segunda é o simples resultado do produto extra das duas taxas de variação. Para esta simbologia, utilizaremos a 
exemplificação da economia para custos de produção C (por exemplo), relacionado com a quantidade de peças 
produzidas q, e a quantidade de peças produzidas, ligada ao tempo trabalhado t. Sendo assim, teremos: 
 
 
 
 
3.1 TAXAS RELACIONADAS 
Para a aplicação em economia do conceito visto acima, normalmente os chamamos de problemas de taxas 
relacionadas. 
 
 
 
 
 
4 APLICAÇÕES DE INTEGRAIS NA ECONOMIA – CUSTO E RECEITA TOTAL 
Conforme já explicitado na introdução deste tópico, uma das aplicações das integrais é o cálculo do custo total, uma 
vez que já conhecemos o conceito marginal para este custo. Vamos verificar estes casos através de alguns exemplos: 
 
 
 
 
 
 
4.1 OUTRAS ANÁLISES MARGINAIS 
Por mais que tenham sido apenas abordadas as questões de custo e receitas marginais e totais, temos que enfatizar 
que podemos estender este conceito para demais variáveis marginais e, reciprocamente, a partir delas, calcular as 
variáveis totais, do mesmo modo como visto anteriormente. Exemplos deste fato são os conceitos de produtividade, 
impostos e propensão ao consumo. 
 
 
 
4.2 INTEGRAL DEFINIDA E O LUCRO MÁXIMO 
Uma das definições mais básicas é o fato de que a função lucro é o resultado da diferença entre as funções receita e 
custo (nesta ordem). A partir daí, é intuitivo imaginar que o lucro máximo de uma operação (que se dá quando a 
derivada é nula) resulta quando a receita marginal e o custo marginal são iguais. 
 
 
Geometricamente, este resultado representa a área acima da função receita marginal e abaixo da função custo 
marginal. Exemplo: Suponha que uma empresa pretende aumentar o número de seus vendedores. Assumindo que 
pesquisas estatísticas em tal empresa revelam 
 
 
 
Portanto, a empresa deve contratar 15 vendedores adicionais e terá um lucro máximo de 34,50 mil reais 
 
RESUMO DO TÓPICO 1 
Neste tópico, você aprendeu que: 
• O conceito de derivada possui diversas aplicações na área da economia: 
o Custo Marginal 
o Receita Marginal 
o Produtividade Marginal. 
• A regra da cadeia (conceito importante do cálculo diferencial e integral) possui aplicação direta no conceito de 
taxas relacionadas em economia. 
• As funções custo total e receita total são primitivas das funções marginais. 
• Podemos estender o conceito de funções marginais e totais para demais variáveis econômicas. 
• O conceito de lucro máximo está ligado ao conceito de integrais definidas e geometricamente são representadas 
pela área entre os gráficos das funções receita e custo marginal. 
 
AUTOATIVIDADE 
 
TÓPICO 2 – FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
1 INTRODUÇÃO 
Na unidade anterior você estudou limites, derivadas e integrais, conceitos vistos em funções de uma variável. Nesta 
unidade, expandiremos esse estudo para as funções de duas ou mais variáveis, e veremos que as regras do cálculo 
para funções de uma variável permanecem essencialmente as mesmas. Isso ocorre, pois, o cálculo de várias variáveis 
nada mais é do que o cálculo de uma variável aplicado, simultaneamente, a várias variáveis. 
Funções com mais de uma variável independente possuem várias aplicações na vida real. Como exemplos, podemos 
citar: modelagem de dados, tomada de decisão para receita e pagamentos mensais, consumo, patrimônio de 
acionistas, entre outros. Daí a importância do seu estudo para a Economia. 
2 SISTEMA DE COORDENADA TRIDIMENSIONAL 
Você já estudou que o plano cartesiano é constituído por duas retas perpendiculares denominadas de eixo x e eixo y 
que, juntamente com o ponto de interseção (a origem), definem um sistema bidimensional de coordenadas que 
possibilita especificar a localização de pontos no plano. 
Agora, iremos estender este conceito para descrever a localização de um ponto no espaço. Para isso, precisamos 
introduzir no sistema bidimensional uma terceira dimensão, que nada mais é do que analisar analogamente o plano 
cartesiano, porém em três dimensões. Desta forma, traçamos o eixoz ortogonal aos eixos x e y concomitantemente, 
todos eles se interceptando na origem dos eixos. Esse sistema tridimensional é denominado de Espaço Cartesiano. 
 
 
 
• Reta perpendicular (em T) ao eixo z, paralela ao plano XY. 
• Reta perpendicular (em S) ao eixo y, paralela ao plano XZ. 
• Reta perpendicular (em R) ao eixo x, perpendicular ao plano YZ. 
 
 
 
2.1 FUNÇÕES DE DIVERSAS VARIÁVEIS 
Até este momento, realizamos estudos com funções de uma única variável independente. Vamos lembrar o que uma 
função de uma variável relaciona um número x a outro número f(x): 
 
 
 
 
 
 
 
RESUMO DO TÓPICO 2 
Neste tópico, você aprendeu que: 
• Definição de uma função de várias variáveis, em que se trata de uma função que associa dois números x e y, a um 
terceiro f (x, y). 
• Valor de uma função de várias variáveis, que determina um valor z (cota), que também geometricamente refere-se 
ao eixo vertical no sistema cartesiano de três dimensões. 
• Como realizar a representação gráfica das curvas e superfícies usando o recurso computacional. 
 
AUTOATIVIDADE 
 
TÓPICO 3 – DERIVADAS PARCIAIS 
1 INTRODUÇÃO 
Relembrando as regras de derivação estudadas, neste momento veremos como elas se aplicam em funções de duas 
variáveis independentes, possibilitando um entendimento de maneira simples do conceito de derivadas parciais. 
 
Este conceito é amplamente utilizado na área econômica, por exemplo, em um modelo de produção de um 
determinado produto, constituído por duas variáveis, P(K, L), em que K refere-se ao capital, L ao trabalho e P às 
unidades desse produto. Ao calcular a derivada parcial em relação a K, obtemos a taxa de variação de produção P 
relativa a K enquanto L se mantém constante, ou seja, determinamos o produto marginal do capital. Analogamente, 
ao calcular a derivada parcial em relação a L, obtemos a taxa de variação de produção P relativa a L enquanto K se 
mantém constante, ou seja, determinamos o produto marginal do trabalho. 
 
2 DERIVADAS PARCIAIS 
O cálculo da derivada parcial de uma função de duas ou mais variáveis é parecido com o cálculo de funções de uma 
variável, sendo utilizadas as mesmas regras de derivação. A diferença é que na derivada parcial de uma função de 
várias variáveis, sua derivada é em relação a uma daquelas variáveis e as outras variáveis são mantidas como 
constantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR 
 
Calcular a derivada de segunda ordem nada mais é do que calcular a derivada parcial na função já derivada. 
Acompanhe os exemplos a seguir: 
 
 
 
RESUMO DO TÓPICO 3 
Neste tópico, você aprendeu que: 
 
AUTOATIVIDADE 
 
TÓPICO 4 – APLICAÇÕES DAS FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS NA ECONOMIA 
1 INTRODUÇÃO 
Este tópico será destinado a apresentar algumas aplicações das ferramentas de cálculo vistas nos dois tópicos 
anteriores. Em economia existe uma grande variedade destas aplicações e não será objetivo das linhas que seguem 
apresentar todas elas, até porque algumas são de uma complexidade que foge do escopo deste material. 
Das aplicações existentes, iremos focar nos investimentos em produção e elasticidade, que são muito presentes em 
análises empresariais e que conseguem manter um padrão alinhado com o que já foi apresentado neste material. 
 
2 INVESTIMENTOS EM PRODUÇÃO 
Investimentos em produção, ou mesmo produtividade marginal, é uma das principais aplicações dos conceitos de 
taxas de variação. Esta taxa de variação, de modo específico, ocorre quando estamos diante de alguma função de 
produção P, que depende do capital K investido e da força de trabalho L existente. 
De modo particular, iremos estudar a famosa função de Cobb-Douglas, que é dada por: 
 
 
Teremos neste caso que a derivada parcial de P com relação a K (taxa de variação da produção com relação ao 
capital investido) será chamada de produtividade marginal do capital. E de modo análogo, a derivada parcial de P 
com relação a L (taxa de variação da produção com relação à força de trabalho) será chamada de produtividade 
marginal do trabalho. 
 
 
 
3 ELASTICIDADES 
Outro processo bastante utilizado em economia, no que se refere à medida de quanto uma função é sensível com a 
variação de uma (ou mais) variável, é a elasticidade. Neste momento, iremos comprovar que os coeficientes da 
equação de Cobb-Douglas a e 1 – a, são os índices que delimitam esta elasticidade. 
 
Salienta-se que neste ponto do texto iremos tratar um foco de cunho teórico para comprovação dos resultados, e o 
leitor está convidado a realizar testes numéricos para esta comprovação, posteriormente. 
Definiremos ϵK como sendo a elasticidade da produção com relação ao capital investido e ϵL como sendo a 
elasticidade da produção com relação ao trabalho. 
Como a elasticidade, por definição, é a variação da função principal para cada variação unitária da variável particular, 
teremos: 
 
 
 
LEITURA COMPLEMENTAR 
 
LEIS ECONÔMICAS 
Lei é a relação entre um fenômeno e sua causa, Economia política é uma ciência e consequentemente possui 
princípios, normas e leis. 
 
 
RESUMO DO TÓPICO 4 
Neste tópico, você aprendeu que: 
 
AUTOATIVIDADE 
 
 
O gráfico a seguir fornece o perfil do lucro de uma empresa agrícola ao longo do tempo, sendo 1980 o ano zero, ou 
seja, o ano de sua fundação. 
 
 
O ano 5 foi o de maior lucro no período que vai da fundação até o ano 15. 
 
 
 
1980