SLIDE01 AULA CAL2 FVV 2016 1 UNIFACS

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20/05/2016 
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Funções de várias variáveis 
Função de várias variáveis 
Exemplos Domínio e representação 
Exemplo : Determine e represente geometricamente os domínios 
das funções. 
 
Exercícios 
Determine e represente geometricamente os domínios das 
funções 
 
Resposta 
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Construção de gráficos 
Curvas de nível 
Um recurso auxiliar para esboçar gráficos são as curvas de nível da 
função. 
Exemplo 
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Gráfico da função 
Exercício 
Resolução 
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Derivadas parciais 
Derivadas parciais 
Exemplos 
Seja f(x, y) = 2xy − 3y2. Calcule suas derivadas 
parciais. 
 
Regra prática 
 Na prática, para calcularmos a derivada parcial de 
uma função de várias variáveis em relação a uma delas, 
consideramos todas as outras variáveis como constantes e 
derivamos em relação aquela variável. 
 Assim, todas as regras de derivação estudadas para 
funções em R em Cálculo I podem ser aplicadas. 
Exercícios 
Dadas as funções de duas variáveis f(x,y), calcule suas derivadas 
parciais. 
 
 A partir da derivada de f em relação a x Dxf ou , obtemos 
as seguintes derivadas parciais de 2ª ordem: 
 
 Dxx ou fxx ou 
 
 Dxy ou fxy ou 
 
2
2
x
f
x
f
x 











xy
f
x
f
y
2












Derivadas parciais de ordem superior 
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 A partir da derivada de f em relação a y Dyf ou , 
obtemos as seguintes derivadas parciais de 2ª ordem: 
 
 Dyx ou fyx ou 
 
 Dyy ou fyy ou 
Derivadas parciais de ordem superior 
y
f


yx
f
y
f
x
2












2
2
y
f
y
f
y 











Exercícios 
Determine as derivadas de segunda ordem de f(x,y)= 
x³+x²y³ -2y² 
Exercícios 
Dada a função f(x, y) = x3y + x2y4, determinar 
suas derivadas parciais de 2ª ordem. 
Exercícios 
 Dada a função f(x, y) = sen (2x + y), determinar suas 
derivadas parciais fxy e fyx. 
 
Diferencial Total 
 A diferencial total ou exata de uma função U(x,y) é dada 
pela expressa ̃o: 
 
 
 
 Exemplo: 
 
 U (x,y) = xy 
 
 U (x,y) = x2 + xey 
 
 
 
Exercícios 
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Exercícios 
1. Calcule a área das regiões definidas pelas funções: 
Exercícios 

Exercícios 
3) Determinar se a integral imprópria é convergente ou 
divergente e, no caso de convergente calcule o valor da 
integral. 
 
a) 
 
b) 

Exercícios 
 5. Determine o domínio da função: 
 
 
 
Exercícios