AULA CAL2 INT DEF 20161 UNIFACS

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05/04/2016
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Cálculo II
Integração de funções racionais 
No final desta aula você será capaz de:
 Aplicar a técnica de integração por decomposição em 
frações parciais. 
Definições
Uma função racional é uma função da forma 
são funções polinomiais e q(x)≠ 0
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Definições
Quando f(x) é imprópria, isto é, grau de p(x)  grau de
q(x), podemos reescrever f(x) como soma de um
polinômio e uma fração racional própria.
Definições
Integração de funções racionais pelo método 
de frações parciais 
Esse método consiste em escrever uma função racional
própria como soma de frações parciais que dependem,
principalmente, da fatoração do denominador da função
racional em R.
Caso 1: Os fatores de q(x) são lineares e distintos.
Neste cado podemos escrever q(x) na forma: 
q(x) = (x-a1)(x-a2)…(x-an) 
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Exemplo
Caso 2: Os fatores de q(x) são lineares, e alguns deles se 
repetem.
Se um fator linear x-a de q(x) tem multiplicidade m, a esse
fator corresponderá uma soma de frações parciais da forma 
a seguir: 
Continuação
Exemplo
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Caso 3: Os fatores de q(x) são lineares e quadráticos
irredutíveis, e os fatores quadráticos não se repetem.
A cada fator quadrático x2 + bx + c de q(x) corresponderá
uma fração parcial da forma:
Exemplo
Exercícios
Determinar 
 

dx
3)2)(x(x
920x16x4x3x
22
234
Exemplo
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Integral definida
Integral definida
Propriedades Exercícios
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Cálculo de área
 Exemplo: 
Encontre o valor exato da integral definida interpretando 
geometricamente o resultado obtido.
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL 
DEFINIDA

3
0
dxx

3
1
dxx
Graficamente:
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA 
INTEGRAL DEFINIDA

CÁLCULO DE ÁREA

b
a
f(x)dxA
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Devemos ter cuidado, pois, se não levarmos em conta a 
extensão da curva, podemos ser levados a uma resposta 
incorreta ou a um número negativo para a medida de uma 
área o que não tem sentido.
CÁLCULO DE ÁREA

 
b
a
b
a
f(x)dxf(x)dxA
CÁLCULO DE ÁREA
Se a região R é limitada pelos gráficos de f(x) e g(x) , sendo f
e g funções contínuas em [a,b]; e pelas retas x = a; x = b e
f(x) ≥ g(x), a área entre as curvas é dada por:
 
b
a
]dxxg-[f(x)A
CÁLCULO DE ÁREA
Atenção!
O resultado vale mesmo que as funções
assumam valores negativos.
 
b
a
]dxxg-[f(x)A
CÁLCULO DE ÁREA
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Se f(x) ≥ 0, para a ≤ x ≤ c e f(x) ≤ 0 para c ≤ x ≤ b então a
área entre f(x) para a ≤ x ≤ b , é dada por:
 
b
c
c
a
dx f(x)dx f(x)A
CÁLCULO DE ÁREA
Se f(x) ≥ g(x), para a ≤ x ≤ c e f(x) ≤ g(x) para c ≤ x ≤ b
então a área entre f(x) e g(x), a ≤ x ≤ b , é dada por:
    
b
c
c
a
dx f(x)]-x[gdx ]xg-[f(x)A
CÁLCULO DE ÁREA
Exemplo 1:
É fácil visualizar então que
-xdx
-1
0
ò + xdx
0
1
ò =
0
2
1
2
1
2
x
xdx
1
1
21
1


CÁLCULO DE ÁREA
Exemplo 2:
No entanto, a área da região é
314xxdx2
2
1
2
2
1


CÁLCULO DE ÁREA
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Exercícios:
Calcule a área da região
1) Limitada pela curva y = x2 e o eixo Ox no intervalo [1,1].
2) Limitada pelas curvas
3) Limitada pelas curvas xy = 4 e x + y = 5.
4) Limitada pelas curvas y = 2  x2 e y = x.
.2 xy e xy 
CÁLCULO DE ÁREA
Resposta:
1) Região limitada pela curva y = x2 e o eixo Ox no intervalo
[1,1].
CÁLCULO DE ÁREA
Resposta:
2) Região limitada pelas curvas
.2 xy e xy 
CÁLCULO DE ÁREA
Resposta:
3) Região limitada pelas curvas y = 4/x e y = 5 - x.
CÁLCULO DE ÁREA
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Resposta:
4) Região limitada pelas curvas y = 2  x2 e y = x.
CÁLCULO DE ÁREA