Integrais trigonometricas

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27/04/2016 
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Cálculo de Volume 
Volume de sólidos de revolução 
Quando rotacionamos uma região do plano xy em torno de 
uma reta (o eixo) realizando 
uma volta completa, o lugar geométrico descrito pelo 
pontos da região é o que 
chamamos um sólido de revolução. 
Fazendo uma região plana girar em torno de uma reta no 
plano, obtemos um sólido, que e chamado solido de revolução. A 
reta ao redor da qual a região gira e chamada eixo de revolução. 
Por exemplo, fazendo a região limitada pelas retas y = 0, y = x 
e x = 4 girar em torno do eixo dos x, o solido de revolução 
obtido e um cone. 
Se o retângulo delimitado pelas retas x = 0, x = 1, y = 0 e y 
= 3 girar em torno do eixo dos y, obtemos um cilindro . 
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Método do disco circular e do anel circular 
Suponhamos que um sólido de revolução é obtido 
rotacionando-se, em torno do eixo 
x, uma região R delimitada pela curva y = f(x), sendo f uma 
função contínua num intervalo 
[a, b], f(x) ≥ 0, e pelas retas verticais x = a e x = b, como 
mostra a figura abaixo. 
 Seja y = f(x) uma função continua não negativa em [a, b]. 
Seja R a região sob o gráfico de f de a ate b. O volume do 
solido T, gerado pela revolução de R em torno do eixo dos 
x, e definido por 
A soma que aparece em é uma soma de 
Riemann da função [ f(x) ] 2. Como f á contínua, 
o limite na expressão acima existe, e então, pela 
definição da integral definida, temos 
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Exemplo 


Exercícios 
1) Calcule o volume gerado a partir da rotação das funções 
y = x² e y=x em torno do eixo ox. 
Exemplo 

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Suponhamos que um sólido de revolução é obtido, 
rotacionando em torno do eixo y, uma região R delimitada pela 
curva x = g(y), sendo f uma função contínua em um intervalo 
[c, d], g(y) ≥ 0, e pelas retas horizontais y = c e y = d. 
Neste caso, temos 
Exemplo 
A região limitada pela parábola cúbica y = x 3, pelo eixo dos 
y e pela reta y = 8, gira em torno do eixo dos y. Determinar 
o volume do sólido de revolução obtido. 
Resolução 
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Quando rotação se efetua ao redor de uma reta 
paralela a um dos eixos coordenados. 
Se o eixo de revolução for a reta y = L, temos 
Se o eixo de revolução for a reta x = M , temos 
Exemplo 
Determinar o volume do sólido gerado pela 
y = 4, da região limitada por y = 1/x , y = 4 e x = 4 . 
Resolução 
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
Exercícios 

Resolução 
1. 
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3. 
Integral Imprópia 
Integral imprópria 
 Nem sempre uma integral desse tipo representa um 
número real, ou seja, nem sempre uma integral imprópria 
existe. Quando a integral imprópria existe, dizemos que ela 
converge, caso contrário dizemos que diverge. O valor da 
integral imprópria é calculado usando a generalização do 
conceito da integral definida. 
 
 
 Uma integral é dita imprópria quando o intervalo de 
integração não é finito ou quando a função não é limitada. 
Integral imprópria 
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Integral imprópria com intervalo infinito 
Isto quer dizer que : 
 
 Se o resultado é um número real diz-se que a 
integral imprópria converge. 
 
 Se o limite não existe ou é infinito, diz-se que a 
integral imprópria diverge. 
 
Integral imprópria com intervalo infinito Exemplo 
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Exemplos 
Determine os resultados das seguintes integrais impróprias 
Integral imprópria com intervalo infinito Integral imprópria com intervalo infinito 
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Exemplo 
Estude a convergência da integral 
Resolução 
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Resolução