AULA CAL2 INT IND 2016 1 UNIFACS

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17/02/2016 
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Integral Indefinida 
Aula 1 
Derivada de uma função 
 Dada uma função y=F(x), se ela é derivável, sua derivada é 
única. 
 
 
Exemplos 
 Em muitos problemas, a derivada de uma função é 
conhecida e o objetivo é encontrar a própria função. Por exemplo: 
 
 Se a taxa de crescimento de uma determinada população é 
conhecida, pode-se desejar saber qual o tamanho da população 
em algum instante futuro; 
 
 Conhecendo a velocidade de um corpo em movimento, pode-se 
querer calcular a sua posição em um momento qualquer; 
 
 Conhecendo o índice de inflação, deseja-se estimar os preços. 
 
Derivada de uma função Integral indefinida 
 O processo de obter uma função a partir de sua derivada 
é chamado de antiderivação ou integração 
indefinida. 
 
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Primitiva de uma função 
 Conhecendo-se a derivada f’ de uma função f, é 
possível descobrir a lei da função f ? 
Por exemplo: 
Se f’(x)=1, qual seria a função f(x)? 
Se g’(x)= 2x, qual seria a função g(x)? 
Primitiva de uma função 
Tomando F’(x) = f(x) = x2 , determine sua primitiva F(x). 
Exemplos 
Primitiva de uma função Primitiva de uma função 
Definição: 
 Dizemos que uma função F é uma Primitiva da 
função em um intervalo (ou apenas uma 
Primitiva de f), se tivermos 
 
f I
'( ) ( ) , .F x f x x I  
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Integral indefinida 
Definição: Integral indefinida de uma função f(x) é a 
expressão F(x) + C de todas as primitivas de f(x). 
Denotamos integral indefinida de por : 
 
 
Logo: 
 
f
( ) f x dx
( ) ( )f x dx F x c 
Integral indefinida 
 A derivada de F(x) = x3 é a função f(x)=3x2. 
Escrevemos assim: 
 
 
Exemplos 
Integral indefinida 
A derivada de F(x) = cos(x) é a função f(x) = -sen(x). 
Escrevemos assim: 
 
 
Exemplos 
Mais alguns exemplos... 
 
1) 
 
2) 
 
3) 
 
 
cosxdx=ò
ex dx=ò
x3dx=ò
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Algumas integrais imediatas Propriedades de integração 
 Sejam e K uma constante, 
então: 
 
 
Exercícios: 
Calcular as integrais: 
a) 
2(3 5)x x dx 
b) 4 1/ 2
3
3 4x x
dx
x
  
 
 
c) 
Outras integrais imediatas 
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1. Calcule as integrais indefinidas a seguir: 
 
Exercícios 
b) 
a) 
Exemplos 
Tabela de integrais imediatas: 
Integração por substituição 
Ou mudança de variável 
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Consideremos o problema de calcular a seguinte 
integral: 
Ela nem é tabelada nem posso 
aplicar as propriedades. E 
agora? 
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 
Se F é uma primitiva de f e g é uma função derivável, 
então: 
Fazendo , temos , e então: 
( )u = g x du = g'(x)dx
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 
Exemplos... 
Calcule . 
 
 
 
Observação!!! 
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 Mais exemplos... 
 
Calcule . 
 Mais exemplos... 
 
Calcule . 
Faça você mesmo: 
. 
a) 
d) 
b) 
c) 
Exercícios 
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Com funções trigonométricas: 
. 
a) 
d) 
b) 
c) 
Integração por partes 
 
 Algumas integrais não podem ser resolvidas pelo método de 
substituição de variáveis, ou seja, o método de substituição não 
funciona. 
 
 Exemplo: 
 
 
 
 dxe x
x
 Integração por Partes 
 
Da fórmula da derivada do produto de duas funções obtemos o 
método de Integração por Partes que é estabelecido da 
seguinte forma: 
 
Se f e g são duas funções diferenciáveis, então 
 
 
Ou equivalente 
            xgxfxgxfxgxfDx ´..´. 
            xgxfxgxfDxgxf x .´.´. 
 Integração por Partes 
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Resolvendo: 
 
 
Fazemos u = x e dv = ex dx. Logo, temos du = dx e v = ex 
Usando a fórmula 
 
 temos: 
 dxe x
x
  du v - vu. dv u
 Integração por Partes 
 
 
 
 
 
Esta fórmula nos permite expressar uma integral indefinida em 
termos de outra que pode ser fácil de calcular escolhendo 
adequadamente u e dv. 
 
 
 
  du v - vu. dv u
 Integração por Partes 
Exemplo: 
 
 
dx x cos x
 Integração por Partes 
Exemplo: 
 
 
 
 
 dx e x
-2x
 Integração por Partes 
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Exemplo: 
 
  dxln x 
 Integração por Partes 
 
 
 A integral é resolvida integrando-se por partes 2 vezes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 dxe x
x2
 Integração por Partes 
 
 
 
 Nem sempre um só método de integração é suficiente para se calcular 
uma integral. Usaremos o método de substituição e depois por partes. 
 
 
 
 dx e x
3x5
 Integração por Partes 
 Resolva as integrais: 
 
1. 
 
2. 
 
3. 
 
4. 
 
 
 
 
 
 dxx5senx
  dxx3x ln
x+1( ).cos(2x)dxò
 dxex
x4
 Integração por Partes