GEX158_EDP_aulas_31_e_32

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GEX158 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 
TurmaA 03A 15A 19A 22A - Aulas 31 e 32 – 09/07/2013 
 
Livro: Equações Diferenciais Parciais: Uma introdução – Prof. Reginaldo J. Santos 
Cap. 2 – Séries de Fourier pg. 161 
Revisão 
 
Definição 3: Se L é um real positivo e [ ]: ,f L L− → é contínua por partes, define-se 
sua série de Fourier como: 
( ) 0
1 1
cos sin
2 n nf n n
a n t n tS t a b
L L
π π∞ ∞
= =
   = + +   
   
∑ ∑ , 
 em que 
( )1 cos
L
n
L
n ta f t dt
L L
π
−
 =  
 ∫
 para 0,1, 2,...n = 
( )1 sin
L
n
L
n tb f t dt
L L
π
−
 =  
 ∫
 para 1, 2,...n = 
 
Teorema 2.1 Teorema de Fourier pg. 162 
 Se [ ]: ,f L L− → e ( )' .f são ambas contínuas por partes, então ( ) ( )ff t S t= 
para todo ponto em ( ),L L− em que ( )f t é contínua. 
 
Teorema 2.2 Teoremas de Fourier para funções períodicas pg. 164 
 Se :f →  e ( )' .f são ambas contínuas por partes e ( ).f é periódica de 
período 2L então ( ) ( )ff t S t= para todo ponto em que ( )f t é contínua. 
 
 
Exemplo 2.1 pg. 166 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
, ,
1 caso
0 caso contrárioc d cL cL
cL t dL
f t f t I t
< <
= = =

 
1 1
0
c d
L
− ≤ < ≤ 
 > 
 
1 
 
( )fS t 
( ) ( )
1
sin sin1 cos
2 n
n d n cd c n t
n L
π π π
π
∞
=
− −  = +   
  
∑ 
 ( ) ( )
1
cos cos1 sin
n
n c n d n t
n L
π π π
π
∞
=
−  +   
  
∑ 
 
Exemplo 2.2 
 ( ) ( ) ( )
( ) ( )0 01,1,L Lf t I t f t u−−= = = 0 1uS = 
Fim da revisão 
Exemplo 2.3 [ ]: ,f π π− → 
 ( ) ( ) ( ) ( )01 1,, 4 24 2
0 caso 4
1 caso 4 2
0 caso 2
t
f t t I t f t
t
π π
π π
π π
π π
 
 
−−
− ≤ < − 
 = − ≤ < = = 
 ≤ < 
 
Exemplo 2.4 :g →  
 ( )
0 caso 4
1 caso 4 2
0 caso 2
t
g t t
t
π π
π π
π π
− ≤ < −
= − ≤ <
 ≤ <
 e tal que ( ) ( )2g t g tπ+ = 
( ) ( )gfS t S t= ( )
1
3 1 1 sin sin cos
8 2 4n
n n nt
n
π π
π
∞
=
     = + −          
∑ 
 ( )
1
1 1 cos cos sin
2 4n
n n nt
n
π π
π
∞
=
     + −          
∑ 
 
2 
 
 
 
 
 
Recordando: 
( )a Identidades trigonométricas 
 ( )cos a b+ ( ) ( ) ( ) ( )cos cos sin sina b a b= − ( )i 
 ( )cos a b− ( ) ( ) ( ) ( )cos cos sin sina b a b= + ( )ii 
 ( )sin a b+ ( ) ( ) ( ) ( )sin cos cos sina b a b= + ( )iii 
 ( )sin a b− ( ) ( ) ( ) ( )sin cos cos sina b a b= − ( )iv 
 ( )cos 2a ( ) ( )2 2cos sina a= − ( )v 
 1 ( ) ( )2 2cos sina a= + ( )vi 
 ( ) ( )ii i+ ⇒ ( ) ( )cos cosa b ( ) ( )1 cos cos
2
a b a b= − + +   
 ( ) ( )ii i− ⇒ ( ) ( )sin sina b ( ) ( )1 cos cos
2
a b a b= − − +   
 ( ) ( )iii iv+ ⇒ ( ) ( )sin cosa b ( ) ( )1 sin sin
2
a b a b= + + −   
 ( ) ( )vi v+ ⇒ ( )2cos a ( )( )1 1 cos 2
2
a= + 
 ( ) ( )vi v− ⇒ ( )2sin a ( )( )1 1 cos 2
2
a= − 
 
3 
 
( )b Função par e função ímpar 
 ( )f x é par ⇔ ( ) ( )f x f x= − ⇒ ( ) ( )
0
2
L L
L
f x dx f x dx
−
=∫ ∫ 
 Exemplo: ( ) ( )cosf x x= 
( )f x é ímpar ⇔ ( ) ( )f x f x= − − ⇒ ( ) 0
L
L
f x dx
−
=∫ 
 Exemplo: ( ) ( )sinf x x= 
Os produtos: função par função par× função par= 
 função ímpar função ímpar× função par= 
 função par função ímpar× função ímpar= # 
 
Exemplo 2.5 pg. 170 
 [ ]: ,mu L L− → ( ) cosm
m tu t
L
π =  
 
 para [ ],t L L∈ − (m inteiro positivo) 
Determinação de na 0,1, 2,...n = 
 0a 
1 cos
L
L m t dt
L L
π
−
 =  
 ∫
= 1 cos
L
LL m m t dt
L m L L
π π
π −
 =  
 ∫
 
 1 sin 0
L
L
m t
m L
π
π −
  = =    
 
 Para 1, 2,...n = e n m≠ 
 na 
1 cos cos
L
L m t n t dt
L L L
π π
−
   =    
   ∫
 
 ( ) ( )1 cos cos
2 L
L t tm n m n dt
L L L
π π
−
       = − + +              
∫ 
 
( )
( ) ( )1 cos
2 L
L m nL tm n dt
L m n L L
π π
π −
−   = −   −    
∫ 
 
( )
( ) ( )1 cos
2 L
L m nL tm n dt
L m n L L
π π
π −
+   + +   +    
∫ 
4 
 
 
( ) ( )
1 sin
2
L
L
L tm n
L m n L
π
π −
   = −   −    
 
 
( ) ( )
1 sin 0
2
L
L
L tm n
L m n L
π
π −
   + + =   +    
 
 Para 1, 2,...n = e n m= 
 ma 
21 1cos cos cos
L L
L Lm t m t m tdt dt
L L L L L
π π π
− −
     = =     
     ∫ ∫
 
 1 21 cos
2 L
L m t dt
L L
π
−
  = +     
∫ 
 1 1 2cos
2 2L L
L L m tdt dt
L L L
π
− −
 = +  
 ∫ ∫
 
 1 1 2 2cos
2 2 2
L L
L L
L m m tdt dt
L L m L L
π π
π− −
 = +  
 ∫ ∫
 
 [ ]1 1 2cos 1
2 2 2
L
L
L
L
L m tt
L L m L
π
π− −
  = + =    
 
Determinação de nb 1, 2,...n = 
 nb 
1 cos sin 0
L
L m t n t dt
L L L
π π
−
   = =   
   ∫
 Por que??? 
Então, se ( ) cosm
m tu t
L
π =  
 
 para [ ],t L L∈ − , com m inteiro positivo, 
( ) cosmu
m tS t
L
π =  
 
 
 
Exemplo 2.6 pg. 171 
 [ ]: ,mv L L− → ( ) sinm
m tv t
L
π =  
 
 para [ ],t L L∈ − (m inteiro positivo) 
 ⇒ ( ) sinmv
m tS t
L
π =  
 
 
 
 
5 
 
Proposição 2.3 pg. 174 
 Sejam [ ], : ,f g L L− → . Se 
 ( ),na f L ( )
1 cos
L
L
n tf t
L L
π
−
 =  
 ∫
 ( ),na g L ( )
1 cos
L
L
n tg t
L L
π
−
 =  
 ∫
 
 ( ),nb f L ( )
1 sin
L
L
n tf t
L L
π
−
 =  
 ∫
 ( ),nb g L ( )
1 sin
L
L
n tg t
L L
π
−
 =  
 ∫
 
 Então, para quaisquer reais α e β , 
 ( ),na f g Lα β+ ( ) ( ), ,n na f L a g Lα β= + 
 ( ),nb f g Lα β+ ( ) ( ), ,n nb f L b g Lα β= + 
Prova: ( ),na f g Lα β+ ( ) ( )
1 cos
L
L
n tf t g t dt
L L
πα β
−
 = +      ∫
 
 ( ) ( )1 1cos cos
L L
L L
n t n tf t dt g t dt
L L L L
π πα β
− −
   = +            ∫ ∫
 
 ( ) ( )1 1cos cos
L L
L L
n t n tf t dt g t dt
L L L L
π πα β
− −
   = +   
   ∫ ∫
 
 ( ) ( ), ,n na f L a g Lα β= + 
 Para ( ),nb f g Lα β+ a prova é semelhante... 
 
Para casa: 
Exemplo 2.7 pg. 175 
Exemplo 2.8 pg. 176 
 
2.1.1 Séries de Fourier para funções pares ou ímpares 
 Se a função ( )f t é par então ( )sin n tf t
L
π 
 
 
 é uma função ímpar e, portanto, 
( )1 sin 0
L
n
L
n tb f t dt
L L
π
−
 = = 
 ∫
. Sendo assim, a Série de Fourier para ( )f t resume-se a: 
( ) 0
1
cos
2 nf n
a n tS t a
L
π∞
=
 = +  
 
∑ , 
6 
 
 em que 
( )1 cos
L
n
L
n ta f t dt
L L
π
−
 =  
 ∫
 para 0,1, 2,...n = 
 
 Se a função ( )f t é ímpar então ( )cos n tf t
L
π 
 
 
 é uma função ímpar e, portanto, 
( )1 cos 0
L
n
L
n ta f t dt
L L
π
−
 = = 
 ∫
. Sendo assim, a Série de Fourier para ( )f t resume-se a: 
( )
1
sinnf
n
n tS t b
L
π∞
=
 =  
 
∑ , 
 em que 
( )1 sin
L
n
L
n tb f t dt
L L
π
−
 =  
 ∫
 para 1, 2,...n =7