GEX158_EDP_formulario_da_P2

Prévia do material em texto

GEX158 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 
TurmaA 03A 15A 19A 22A – Formulário para prova 2 
 
 
Cap. 2 – Séries de Fourier pg. 161 
Definição 3: Se 0L > e [ ]: ,f L L− → é contínua por partes, define-se sua série de 
Fourier como: 
( ) 0
1 1
cos sin
2 n nf n n
a n t n tS t a b
L L
π π∞ ∞
= =
   = + +   
   
∑ ∑ , em que 
( )1 cos
L
n
L
n ta f t dt
L L
π
−
 =  
 ∫
 para 0,1, 2,...n = 
( )1 sin
L
n
L
n tb f t dt
L L
π
−
 =  
 ∫
 para 1, 2,...n = 
 
Teorema 2.1 Teorema de Fourier pg. 162 
 Se [ ]: ,f L L− → e ( )' .f são ambas contínuas por partes, então 
( ) ( ) 0
1 1
cos sin
2 n nf n n
a n t n tf t S t a b
L L
π π∞ ∞
= =
   = = + +   
   
∑ ∑ 
para todo ponto em ( ),L L− em que ( )f t é contínua. 
 Se  ( )f t é a extensão periódica, de período 2L , para ( )f t , isto é, 
 ( ) ( )2f t kL f t+ = , para todo k inteiro, então  ( ) ( ).ff t S t= 
 Se ( ) ( )ff t S t= , ( ) ( )gg t S t= e ( ) ( ) ( )h t f t g tα β= + , com α e β reais, então 
( ) ( ) ( )gh fS t S t S tα β= + . 
Se ( ) ( ): ,f t L L− → uma função par, sua Série de Fourier resume-se a: 
( ) 0
1
cos
2 nf n
a n tS t a
L
π∞
=
 = +  
 
∑ , em que ( )1 cos
L
n
L
n ta f t dt
L L
π
−
 =  
 ∫
 0,1, 2,...n = 
 
 Se ( ) ( ): ,f t L L− → é ímpar, sua Série de Fourier resume-se a: 
1 
 
( )
1
sinnf
n
n tS t b
L
π∞
=
 =  
 
∑ , em que ( )1 sin
L
n
L
n tb f t dt
L L
π
−
 =  
 ∫
 para 1, 2,...n = 
 
 Se [ ]: 0,f L → , sua série de Fourier de cossenos é dada por: 
( ) ( ) 0
1
cos
2f nn
a n tf t Sc t a
L
π∞
=
 = = +  
 
∑ , com ( )
0
2 cos
L
n
n ta f t dt
L L
π =  
 ∫ 
 
 Se [ ]: 0,f L → , sua série de Fourier de senos é dada por: 
( ) ( )
1
sinf n
n
n tf t Ss t b
L
π∞
=
 = =  
 
∑ , com ( )
0
2 sin
L
n
n tb f t dt
L L
π =  
 ∫ . 
 
 
 CAP. 3 – EQUAÇÃO DO CALOR EM UMA BARRA 
3.1 Extremidades a temperaturas fixas pg. 275 
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
1 2
,0 para 0
0, ,
u u
t x
u x f x x L
u t T u L t T
α
 ∂ ∂
= ∂ ∂ = < <
 = =

 
3.1.1 Condições de fronteira homogêneas: 1 2 0T T= = 
A solução: ( ),u x t 
2 2 2
2
1
sin L
n t
n
n
n xc
L
e
α ππ −∞
=
 =  
 
∑ , com 
 ( )
0
2 sin
L
n
n xc f x dx
L L
π =  
 ∫ 1, 2,3,...n = 
3.1.1 Condições de fronteira não homogêneas: 1 0T ≠ e/ou 2 0T ≠ 
 A solução: ( ),u x t 
( ) ( )
2 2 2
22 1
1
1
0 ,,
sin L
n t
n
n
u x tv x t
T T n xT x c
L L
e
α ππ −∞
=
−   = + +   
  
∑

, com 
 ( ) 2 11
0
2 sin
L
n
T T n xc f x T x dx
L L L
π −    = − −        ∫
 1, 2,3,...n = 
 
 
2 
 
3.2 Barra isolada nas extremidades 
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
,0 para 0
0, 0 , 0
u u
t x
u x f x x L
u ut L t
x x
α
 ∂ ∂
= ∂ ∂ = < <
∂ ∂ = =
∂ ∂
 
 A solução: ( ),u x t 
2 2 2
2
0
cos L
n t
n
n L
n xc e
α ππ −∞
=
 =  
 
∑ , com ( )0
0
1 LC f x dx
L
= ∫ e 
 ( )
0
2 cos
L
n
n xC f x dx
L L
π =  
 ∫ 1, 2,...n = 
3.3.1 Condições de fronteira mistas 
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
,0 para 0
, 00, 0
u u
t x
u x f x x L
u L tu t x
α
 ∂ ∂
= ∂ ∂ = < <
 ∂ == ∂
 
 A solução: ( ),u x t ( )
( )22 2
2
2
4
2 1
0
1
2
2 1
sin L
n t
n
n L
n x
c e
α π
π −
+∞
+
=
+ 
=  
 
∑ , com 
 ( )0
0
1 LC f x dx
L
= ∫ e ( )
( )
0
2 12 cos
2
L
n
n x
C f x dx
L L
π+ 
=  
 
∫ 0,1, 2,...n = 
3.3.2 Equação do calor não homogênea 
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
1 2
,0 para 0
0, ,
u u g x
t x
u x f x x L
u t T u L t T
α
 ∂ ∂
= + ∂ ∂ = < <
 = =

 
 A solução: ( ),u x t ( ) ( )0 ,v x u x t= + , em que 
3 
 
 ( )v x resolve o PF: ( ) ( )
( ) ( )
22
1 2
0 '' ''
0
v g x v g x
v T v L T
α α = + ⇔ = −

= =
 e pode ser obtido 
integrando-se duas vezes ( )2
1''v g x
α
= − . As constantes de integração são obtidas 
pelas condições ( ) 10v T= e ( )v L T= . 
 ( )0 ,u x t resolve o PVIF: ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
20 0
0 ,0 0
0, 0 , 0
u u
t x
u x f x v x x L
u t u L t
α
 ∂ ∂
= ∂ ∂ = − < <
 = =

 
 então sabemos que ( )0 ,u x t 
2 2 2
2
1
sin
n t
L
n
n
n xc
L
e
α ππ −∞
=
 =  
 
∑ com 
 nc ( ) ( )
0
2 sin
L n xf x g x dx
L L
π = −      ∫ 
 
Cap 4 EQUAÇÃO DA ONDA UNIDIMENSIONAL 
4.1 Corda elástica presa nas extremidades 
Determinar ( ),u x t que satisfaça ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2
,0 ,0 0
0, 0 , 0
u u
t x
uu x f x x g x x L
t
u t u L t
α
 ∂ ∂
= ∂ ∂
∂ = = < <
∂
= =


 
 A solução: ( ) ( ) ( ), , ,gfu x t u x t u x t= + , em que 
 ( ),fu x t resolve ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2
,0 ,0 0 0
0, 0 , 0
u u
t x
uu x f x x x L
t
u t u L t
α
 ∂ ∂
= ∂ ∂
∂ = = < <
∂
= =


 e 
4 
 
 ( ),gu x t resolve ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2
,0 0 ,0 0
0, 0 , 0
u u
t x
uu x x g x x L
t
u t u L t
α
 ∂ ∂
= ∂ ∂
∂ = = < <
∂
= =


 
 As soluções: 
 ( ),fu x t 
1
cos sinn
n
n t n xc
L L
α π π∞
=
   =    
   
∑ 
 ( ) ( )
1
1 sin sin
2 nn
n x t n x t
c
L L
π α π α∞
=
 − +   
= +    
     
∑ 
 ( ) ( )
1 1
1 sin sin
2 n nn n
n x t n x t
c c
L L
π α π α∞ ∞
= =
    − +    = +       
           
∑ ∑ 
 ( ) ( )
~ ~1
2
f x t f x tα α = − + + 
 
 (as extensões ímpares) 
( )
0
2 sin
L
n
n xc f x dx
L L
π =  
 ∫ 
 ( ),gu x t 
1
sin sinn
n
n t n xc
L L
α π π∞
=
   =    
   
∑ 
 ( ) ( )
1
1 cos cos
2 nn
n x t n x t
c
L L
π α π α∞
=
 − +   
= −    
     
∑ 
 ( )
0
2 sin
L
n
n n xc g x dx
L L L
α π π =  
 ∫ , para 1, 2,...n = 
 Chamando de ( )h x  ( )
0
x
ig w dw= ∫ , 
 ( ),u x t  ( )  ( )
0
0
1
2
x t
i i
x t
g w dw g w dw
α
αα
+
−
 
= + 
  
∫ ∫ 
 ( ) ( )1
2
h x t h x tα α
α
= + + −   
 
 
5 
 
5.1 Equação de Laplace no retângulo (O problema de Dirichlet no retângulo): 
 Queremos ( ),u x y que satisfaça 
 ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 0 00
,0 , 0
0, , 0
u u
x y y bx a
u x f x u x b g x x a
u y h y u a y k y y b
∂ ∂
+ =∂ ∂ < << <

 = = < <


= = < <


 
 
É possível mostrar que a solução é dada por 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , ,gf h ku x y u x y u x y u x y u x y= + + + , em que 
 ( ),fu x y é a solução para ( ) ( ) ( )0, 0 e 0g x h x k x= = = ; 
 ( ),gu x y é a solução para ( ) ( ) ( )0, 0 e 0f x h x k x= = = ; 
 ( ),hu x y é a solução para ( ) ( ) ( )0, 0 e 0f x g x k x= = = ; 
 ( ),ku x y é a solução para ( ) ( ) ( )0, 0 e 0f x g x h x= = = . 
 
5.1.1 A solução para apenas ( )k y não nula. 
 Queremos ( ),u x y que satisfaça: 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 0 00
,0 0 , 0 0
0, 0 , 0
u u
x y y bx a
u x u x b x a
u y u a y k y y b
∂ ∂
+ =∂ ∂ < << <
 = = < <


= = < <


 
 A solução: ( ),ku x y 
1
c sin sinhn
n
n y n x
b b
π π∞
=
   =    
   
∑ , em que 
 c sinhn
n a
b
π 
 
 
 ( )
0
2 sin n yk y dy
b b
π∞  =  
 ∫ ( )1,2,3,...n = 
6 
 
5.1.2 A solução para apenas ( )h y não nula. Pg. 427 
 Queremos ( ),u x y que satisfaça: 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 0 00
,0 0 , 0 0
0, , 0 0
u u
x y y bx a
u x u x b x a
u y h y u a y y b
∂ ∂
+ =∂ ∂ < << <

 = = < <


= = < <


 
 A solução: ( ),hu x y ( )
1
sin sinhn
n
n y nd a x
b b
π π∞
=
   = −   
   
∑ , em que 
 sinhn
n ad
b
π 
 
 
 ( )
0
2 sin n yh y dy
b b
π∞  =  
 ∫ ( )1,2,3,...n = 
A solução para apenas ( )g x não nula. 
 Queremos ( ),u x y que satisfaça: 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 0 00
,0 0 , 0
0, 0 , 0 0
u u
x y y bx a
u x u x b g x x a
u y u a y y b
∂ ∂
+ =∂ ∂ < << <

 = = < <


= = < <


 
A solução: ( )
1
*, c sin sinhn
n
n x n yu x y
a a
π π∞
=
   =    
   
∑ 
 ( )
0
* 2c sinh sinn
n b n xg x dx
a a a
π π∞   =   
   ∫ ( )1,2,3,...n = # 
 Observe a semelhança entre as soluções ( ),ku x y e ( ),gu x y , em razão da simetria 
do problema: 
7 
 
 
( )
( )
1
1
*
, c sin sinh
, c sin sinh
nk
n
g n
n
n y n xu x y
b b
n x n yu x y
a a
π π
π π
∞
=
∞
=
    =        

    =        
∑
∑
 
 
( )
( )
0
0
*
2c sinh sin
2c sinh sin
n
n
n a n yk y dy
b b b
n b n xg x dx
a a a
π π
π π
∞
∞
    =    
   

    =       
∫
∫
 1, 2,3,...n = 
 
 
 Pode-se, então, escrever a solução ( ),fu x y a partir da solução ( ),hu x y : 
 
( ) ( )
( ) ( )
1
1
*
, sin sinh
, sin sinh
nh
n
nf
n
n y nu x y d a x
b b
n x nu x y d b y
a a
π π
π π
∞
=
∞
=
    = −       

    = −       
∑
∑
 
 
( )
( )
0
0
*
2sinh sin
2sinh sin
n
n
n a n yd h y dy
b b b
n b n xd f x dx
a a a
π π
π π
∞
∞
    =    
   

    =       
∫
∫
 1, 2,3,...n = 
 
 
8