VC_Lista_1_2021_1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA
CCEN - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
DISCIPLINA: Funções de uma Variável Complexa PERÍODO: 2021.1
PROFESSOR: Uberlandio B. Severo
1a Lista de Exerćıcios
1) Faça um esboço e identifique os seguintes conjuntos:
a) |z| = |z − 2|; b) |z| = |z − 1|; c) a|z| = |z − 1|, a ∈ R, a 6=

−1
0
1
.
d) Re(z) = Im(z − 1); e) Im(z − 1) = |z + 1|; f) |z| = |z − 1|.
g) Re
(
1
z
)
<
1
2
; h) |z − 4| > |z|.
2) Mostre que ||z1| − |z2|| ≤ |z1 − z2| para todo z1, z2 ∈ C.
3) Mostre que, se z2 6= −z3, então ∣∣∣∣ z1z2 + z3
∣∣∣∣ ≤ |z1|||z2| − |z3|| .
4) Mostre que |z1 + z2| < |1 + z1z2| desde que |z1| < 1 e |z2| < 1.
5) Encontre todas as soluções das equações:
z2 = 1− i
√
3; z5 = −1; z3 = 1; z7 = −(1 + i).
6) Seja P (x) = ax2 + bx + c um polinômio de grau 2 com coeficentes reais e suponha que
∆ = b2 − 4ac < 0. Então, as soluções da equação P (x) = 0 são números complexos
com parte imaginária não nula. Se z1 e z2 são essas soluções, mostre que z2 = z1. Mais
geralmente, se P (x) = anx
n + an−1x
n−1 + . . . + a1x + a0 é um polinômio de grau n > 0
arbitrário, com coeficientes reais, e se z0 ∈ C é tal que P (z0) = 0, então mostre que
P (z0) = 0.
7) Use a fórmula de De Moivre
(cos θ + i sin θ)n = cosnθ + i sinnθ
para deduzir
cos 2θ = cos2 θ − sin2 θ
sin 2θ = 2 sin θ cos θ
cos 3θ = cos3 θ − 3 cos θ sin2 θ
sin 3θ = 3 cos2 θ sin θ − sin3 θ
8) Calcule (2 + i)(3 + i) e deduza a igualdade
π
4
= arctan
1
2
+ arctan
1
3
9) Ache todos os valores das seguintes ráızes. Verifique-as graficamente.
a) (2i)
1
2 ; b) (−1)
1
3 .
10) Ache todos os valores de
a) (−1 + i
√
3)
3
2 ; b)(−1)−
3
4 .
11) Prove, por indução, a fórmula binomial
(1 + z)n = 1 + nz +
n(n− 1)
2!
z2 + . . .+
n(n− 1) . . . (n− k + 1)
k!
zk + . . .+ zn,
onde n e k são inteiros positivos.
12) Estabeleça a relação
1 + z + z2 + . . .+ zn =
1− zn+1
1− z
, z 6= 1,
e dáı deduza as seguintes identidades
(a) 1 + cos θ + cos 2θ + . . .+ cosnθ =
1
2
+
sin[(n+ 1/2)θ]
2 sin(θ/2)
;
(b) sin θ + sin 2θ + . . .+ sinnθ =
1
2
cotg(θ/2)− cos[(n+ 1/2)θ]
2 sin(θ/2)
,
onde 0 < θ < 2π.
13) Usando a relação no exerćıcio anterior para a soma de uma série geométrica finita, mostre
que, se w 6= 1 é uma ráız n-ésima imaginária da unidade, então
1 + w + w2 + . . .+ wn−1 = 0
2