lista 10 Funcao quadratica e aplicacoes

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FACULDADE ESTACIO DO RECIFE. CURSO ADS/DE SISTEMAS DE INFORMAÇÃO. MATEMATICA DISCRETA. LISTA 10: 
FUNÇÃO QUADRÁTICA. 
1. Função Quadrática é toda função do tipo y = ax2+bx + c, em que as constantes a, b e c são números reais 
com a 0. O gráfico dessa função é uma parábola. A concavidade da parábola é voltada para cima se o 
coeficiente a > 0, e voltada para baixo se a < 0, conforme figuras abaixo. 
 
 
 
 
a>0 a>0 a>0 
 
a<0 a<0 a<0 
 Elementos principais de uma parábola. 
a) A concavidade. 
b) b) o vértice V. Se o coeficiente a é positivo, a abscissa do vértice é um ponto de mínimo; se a < 0 , a 
abscissa do vértice é um ponto de máximo. Indicando por xv e yv a abscissa e a ordenada do vértice, 
temos que 
 xv= 
−𝑏
 2𝑎
 e yv =
−∆
4𝑎
 Alternativa: yv= f(xv) 
c) Os eventuais pontos de interseção da parábola com o eixo dos x são obtidos fazendo y = 0 na função 
y = ax2+bx + c e resolvendo a equação do segundo grau ax2+bx + c =0. 
Se a equação tiver duas raízes reais distintas ( , a parábola interceptará o eixo dos x em dois 
pontos; se a equação tem uma única raiz real ( , a parábola interceptará o eixo dos x num único 
ponto. Caso , a equação não terá raízes reais e nesse caso, a parábola não intercepta o eixo dos x. 
d) Interseção da parábola com o eixo dos y é obtida fazendo x = 0 na função y = ax2+bx + c, obtendo y = c, 
de m0do que o ponto (0,c) é o ponto de interseção da parábola com o eixo dos y. 
Exemplo 1. Fazer o gráfico da função y = x2-4x + 3. Aqui, nesse exemplo, temos que a = 1, b = -4 c = 3. 
a) A concavidade é para cima, pois a = 1 > 0. 
b) As coordenadas do vértice são: xv = 
-b
 2a
 =
-(-4)
2(1)
 = 
4
2
= 2 pois ∆ =b2-4ac= (-4)2-4.1.3 = 16-12 = 4. O vértice é 
(2,-1). 
Alternativa para yv = f(xv)= f(2) = (2)
2-4(2) + 3 = 4 – 8 + 3 = -1. 
c) Ponto de interseção com o eixo dos x. Faça y = 0. Temos x2-4x + 3 = 0. Resolvendo a equação do segundo 
grau, obtemos x1 = 1 e x2= 3. Os pontos de interseção com o eixo dos x são (1,0) e (3,0). 
d) Ponto de interseção com o eixo dos y. Faça x =0, obtemos y = 3. Assim (0,3) é o ponto de interseção da 
parábola com o eixo dos y. 
e) Gráfico da parábola: 
 
Exemplo 2. Esboçar o gráfico da função y = -x2+3x+4. Nesse caso, a = -1, b = 3 e c = 4. 
a) A concavidade é para baixo, pois a = -1 < 0. 
b) A abscissa do vértice é xv 
−𝑏
2𝑎
=
−3
−2
 =
 3
2
. A ordenada do vértice é yv= 
-∆
4a
 =
-(25)
-4
=
25
4
 ou seja 
 yv = -(
3
2
)2 + 3(
3
2
) + 4 = - 
9
4
 + 
9
2
 + 4 = 
25
4
 
c) Ponto de interseção com o eixo dos x. Devemos fazer y=o e resolver a equação -x2+3x+4 = 0, cujas raízes são 
x1 = -1 e x2 = 4. Os pontos de interseção com o eixo dos x são (-1,0) e (4,0). 
d) Interseção com o eixo dos y. Tome x =0 o que acarreta y = 4. O ponto é (0,4). 
e) Gráfico: Faça na grade acima 
Exemplo 3. . Esboçar o gráfico da função y = -x2-4x- 3. Nesse caso, a = -1, b = -4 e c =-3. 
a) A concavidade é para baixo, pois a = -1 < 0. 
b) A abscissa do vértice é xv = 
−𝑏
2𝑎
=
4
−2
 = -2. Como ∆ = 𝑏 2-4ac = (-4)2-4(-1).(-3) = 16-12 =4, a ordenada do vértice 
é yv.= 
−∆
4𝑎
 = 
−4
−4
 =, 1 Logo, V(-2,1) 
c) Ponto de interseção com o eixo dos x. Devemos fazer y=o e resolver a equação -x2-4x34 = 0, cujas raízes são 
x1 = -3 e x2 = -1. Os pontos de interseção com o eixo dos x são (-3,0) e (-1,0). 
d) Interseção com o eixo dos y. Tome x =0 o que acarreta y = -3. O ponto é (0,-3). 
e) Gráfico 
 
Exercício 1. Esboçar o gráfico das seguintes funções quadráticas, explicitando a concavidade, vértice, pontos de 
interseção com eixo dos x e dos y. 
a) Y = -x2+7x -12 b) y = x2-7x +12 c) y = 2x2 -8x d) Y = -3x2+27x 
 e) y = x2 – 9 f) y = -x2+4 g) y = x2 h) y = -2x2 
 i) y = x2-x + 3 j) y = -x2+x -3 k) y = x2-4x + 4 l) y = x2+2x +1 
Exercício 2. A receita proveniente da venda de x unidades de um produto é R =
−𝑥2
5000
 + 15x. Faça o gráfico da função 
receita e indique a quantidade que torna a receita máxima. 
Exercício 3. O lucro L proveniente da venda de x unidades de um produto é L =
−𝑥2
5000
 + 8,46x -19800. Faça o gráfico da 
função lucro e indique a quantidade x que torna o lucro máximo. 
Exercício 4. O lucro L proveniente da venda de um produto a um preço p é L = -50p2 + 2760p -19800. Faça o gráfico 
da função lucro e indique o preço p que torna o lucro máximo. 
Exercício 5. O lucro de uma empresa é dado por 
  60036030 2  xxxL
 onde x é o número de unidades 
vendidas. Faça o gráfico da função lucro. Para que valor de x é obtido o lucro máximo? 
Exercício 6. O custo C, em reais, para se produzir n unidades de determinado produto é dado por
2100510.2 nnC 
. Faça gráfico do custo C. Quantas unidades deverão ser produzidas para se obter o custo 
mínimo?. 
Exercício 7. ENEM 2015. Um estudante está pesquisando o desenvolvimento de certo tipo de bactéria. Para essa 
pesquisa, ele utiliza uma estufa para armazenar as bactérias. A temperatura no interior dessa estufa, em graus 
Célsius, é dada pela expressão T(h) = - h2 +22h -85, em que h representa as horas do dia. Sabe-se que o número de 
bactérias é o maior possível quando a estufa atinge sua temperatura máxima e, nesse momento, ele deve retirá-las 
da estufa. A tabela associa intervalos de temperatura, em graus Célsius, com as classificações: muito baixa, baixa, 
média, alta e muito alta. 
Intervalo de 
Temperatura C0 
T<0 0 ≤ 𝑇 ≤ 17 17 < T < 30 30≤ 𝑇 ≤ 43 T > 43 
Classificação Muito baixa Baixa Média Alta Muito Alta 
Quando o estudante obtém o maior número possível de bactérias, a temperatura no interior da estufa está 
classificada como: a) muito baixa b) baixa c) média d) alta e) muito alta.