Relatório-DIMENSÕES INTEIRAS E FRACIONÁRIAS

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
UNIDADE ACADÊMICA CENTRO DE TECNOLOGIA – CTEC
ENGENHARIA QUÍMICA
RELATÓRIO DE AULA PRÁTICA
DIMENSÕES INTEIRAS E FRACIONÁRIAS
Aluna: Maria Emmanoele Damares Oliveira de Lemos 
Professor: Iram Marcelo Gleria
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
UNIDADE ACADÊMICA CENTRO DE TECNOLOGIA – CTEC
ENGENHARIA QUÍMICA
RELATÓRIO DE AULA PRÁTICA
DIMENSÕES INTEIRAS E FRACIONARIAS
Relatório do experimento acima citado realizado no laboratório de física 1, sob orientação do professor Iram Marcelo Gleria, como requisito para avaliação da disciplina de Laboratório de Física.
Maceió-2015
SUMÁRIO
1. Objetivos.......................................................................................................................4
2. Material Utilizado........................................................................................................4
3. Introdução Teórica......................................................................................................4
4. Procedimento Experimental.......................................................................................5
5. Resultados e Discussão................................................................................................6
5.1 Questões Respondidas.................................................................................................8
6. Conclusões...................................................................................................................9
7. Anexos........................................................................................................................10
8. Referências.................................................................................................................11
1.OBJETIVO
Realizar medições de diâmetros, afim de determinar as dimensões de corpos com
formas geométricas irregulares.
2.MATERIAL UTILIZADO
Régua milimetrada;
Paquímetro;
Folhas de papel (A4);
Calculadora científica;
Papel log-log.
3.INTRODUÇÃO TÉORICA
Queríamos com esse experimento encontrar as dimensões fracionárias de várias bolas de papel com diferentes massas, ou seja, um corpo de duas dimensões será transformado em um corpo de três dimensões, para isso utilizamos os princípios da geometria fractal, que descreve muitas situações que não podem ser explicadas facilmente pela geometria clássica, e foram aplicadas em ciência, tecnologia e arte gerada por computador. 
As raízes conceituais dos fractais remontam a tentativas de medir o tamanho de objetos para os quais as definições tradicionais baseadas na geometria euclidiana falham. Um fractal é um objeto geométrico que pode ser dividido em partes, cada uma das quais semelhante ao objeto original. Diz-se que os fractais têm infinitos detalhes, são geralmente autossimilares e independem de escala. Em muitos casos um fractal pode ser gerado por um padrão repetido, tipicamente um processo recorrente ou iterativo. 
Devido as suas características ela representa, descreve e mede de forma eficiente situações consideradas imprevisíveis e caóticas. Uma característica que chama a atenção é que a geometria fractal admite a possibilidade de existirem dimensões fracionárias (como é o caso do experimento apresentado posteriormente).
O ato de amassar o papel implica na fragmentação de uma área em áreas menores. O experimento envolve a medição de uma grandeza (diâmetro das esferas de papel) e a verificação da dependência deste com a massa M da bola.
Uma das maneiras de demonstrar através de cálculos qual é a dimensão de um objeto, parte das fórmulas para determinar a densidade de um corpo e da formula para determinar o volume de uma circunferência, após algumas operações e substituições iremos encontrar tal equação: 
 D=KM1/d (1)
Onde D equivale ao Diâmetro, K representa uma constante, M é a massa do corpo e d a dimensão do mesmo.
Demonstração para um objeto tridimensional: 
Sendo a fórmula para determinar: Densidade => p= M/V (2)
 Volume => V= 4ΠR3/3 (3)
Sabendo que R = D/2, V = 4Π(D/2)3 = ΠD3/6. Substituindo essa equação em (2) teremos:
p = M/ΠD3/6 = 6M/ΠD3 , logo: 
 D3= 6M/pΠ 
 D= (6/pΠ)1/3M1/3 (4) 
Como o valor de (6/pΠ)1/3 é constante, chamaremos esse valor de K, obtendo:
 D=KM1/3 (5)
Comparando as equações (1) e (5) observa-se que d=3, isso é verdade porque o objeto utilizado nessa operação era tridimensional.
4.PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
Guardou-se uma folha de papel e dividiu a outra folha em metades, como indicado na figura 1.
Construiu-se sete bolas de papel amassado com os pedaços indicados na figura 1.
Atribuiu-se a menor fração da folha massa 1 e as seguintes massas 2, 4, 8, ... Assim a enésima fração, em ordem crescente de tamanho, terá massa relativa 2n.
Fez sete medidas do diâmetro em pontos diferentes em cada uma das bolas de papel.
Anotou-se os valores na tabela1.
Realizou-se os cálculos necessários para desvio padrão e mediadas medida das bolas.
Construiu-se o gráfico log-log.
Figura 1: Esquema de divisão de folhas.
 
5. RESULTADOS E DISCUSSÃO
Feitos os procedimentos, anotou-se na Tabela 1 os valores dos diâmetros medidos (D) em pontos diferentes de cada bola de papel. Como também foi calculado a média (˂D˃) e o desvio (ΔD) de cada medição somando-se o erro instrumental mais o erro aleatório.
Média(˂D˃) : 
 Erro aleatório: Calcula-se o desvio padrão pela fórmula → 
(N=número de diâmetros medidos)
Erro do instrumental: Metade da menor medida se analógico. Menor medida se digital.
Neste caso, temos um erro instrumental 0,05 cm. 
TABELA1.
	 M
D
	1
	2
	4
	8
	16
	32
	64
	D1
	0,72
	0,73
	1,01
	1,54
	2,80
	2,71
	4,58
	D2
	0,28
	0,80
	1,32
	2,08
	1,99
	3,49
	4,50
	D3
	0,57
	0,66
	1,31
	2,13
	2,85
	3,17
	4,19
	D4
	0,55
	0,78
	1,17
	2,19
	2,18
	2,42
	4,04
	D5
	0,56
	0,77
	1,08
	1,79
	2,86
	3,21
	4,21
	D6
	0,52
	0,76
	1,24
	1,88
	2,49
	3,53
	3,70
	D7
	0,49
	0,85
	1,32
	1,84
	2,02
	2,79
	3,86
	˂D˃
	0,53
	0,76
	1,21
	1,92
	2,45
	3,04
	4,15
	ΔD
	0.10
	0,072
	0,064
	0,136
	0,197
	0,207
	0,1704
Em seguida foi construído o gráfico log-log (Anexado ao relatório), diâmetro em função da massa assumindo que . Aplicando Logaritmo em ambos os lados da função anterior, e usando propriedades de logarítmico teremos:
LogD = LogK + (1/d)LogM 
daí admitindo que, y=Log D , Log K = b e Log M = x , substituindo na equação temos que: y=(1/d)x+b (que é uma equação linear com o coeficiente angular igual à 1/d).
Em busca do nosso objetivo calculamos coeficiente angular das retas no Gráfico 1 em anexo e depois observamos a média desses ângulos encontrados com o intuito de achar a melhor inclinação da reta que passa mais próximo de todos os pontos marcados.
Sendo α1 o ângulo da reta de cor vermelha e α2 o ângulo da reta de cor azul, Δx a distância paralela ao eixo x do início até o fim da reta, e Δy a distância paralela ao eixo y do inicio até o fim da reta, essas distâncias foram determinadas com o uso de uma régua milimétrica, os valores observados para as distâncias foram:
∆x=17,0cm Δy1= 9,0cm Δy2= 8,0cm
Logo, sabendo que: 
 α = Δy/Δx 
 α1 = Δy1/Δx1 = 9,0/17,0 = 0,52
 α2 = Δy2/Δx2 = 8,0/17,0 = 0,47
Sendo αmed o ângulo médio entre α1 e α2 e também a inclinação da melhorreta que passa mais próximo á todos os pontos marcados no Gráfico 1 em anexo: 
 αmed = (0,52 + 0,47)/2 = 0,49
Como, 
 αmed = 1/d 
 0,49 = 1/d
 d = 2,04 
Com isso chegamos no resultado procurado, que é entre 2 e 3, pois transformamos um corpo bidimensional (folha de papel) em um corpo tridimensional (bola de papel). Como d representa o valor da dimensão do objeto o valor 2,04 está dentro do esperado .Então a dimensão do objeto é 2, 04. Do que o erro relativo é de ±0,025. Sendo assim d=2,04 ± 0,025.
E os valores de K foram obtidos a partir da fórmula: 
D = K
1: K = 0,53
2: K = 0,54
4: K = 0,63
8: K = 0,69
16: K = 0,63
32: K = 0,55
64: K = 0,54
Além disso nesse relatório foram debatidas algumas questões que seguiram respondidas abaixo.
5.1 QUESTÕES RESPONDIDAS 
a)Esperaria um valor para a esfera tridimensional 3,para uma ‘esfera’ bidimensional 2 , e para um objeto unidimensional 1.
b) Resposta: Esfera tridimensional - , ρ = massa/volume
“Esfera” bidimensional - , σ = massa/área
“Esfera” unidimensional - ,  λ = massa/comprimento
c)Que objetos de dimensão ‘predefinidas’ tem equações mais simples pois se encaixam na geometria euclidiana, enquanto objetos que não apresentam uma forma definida ,uma forma com muitas irregularidades como a bola de papel feita no experimento, que quanto menor o objeto há uma diminuição do erro , ou seja ,do desvio da amostra, como é evidenciado pelos desvios na tabela-1. A bolas de papel amassadas são objetos não regulares, partiram da dimensão d = 2, chamada pelos matemáticos de dimensão topológica, e se formaram na dimensão três, o valor fracionário encontrado é devido a irregularidade na forma na bola de papel. Como a bola de papel partiu da dimensão 2 para a 3, é esperado um valor de d entre 2 e 3,como é visto com o valor obtido 2,19. O valor ∆d encontrado é devido ao erro aleatório inerente a todo experimento físico. Com aquele valor de d podemos concluir que a bola de papel amassada é um fractal.
6.CONCLUSÃO
Os procedimentos realizados e os resultados obtidos no experimento comprovam o quanto modelos matemáticos podem explicar muitos fenômenos. Apesar da precisão do paquímetro usado, ao medir diâmetros de bolas de papel amassado jamais se chegaria num valor exato, devido a irregularidade do objeto. Medir as coisas infere inevitavelmente em erro, todas as medidas existentes no mundo são aproximações mais ou menos rigorosas. O interessante neste experimento é termos comprovado que um objeto de duas dimensões sob operação de amassamento não terá exatamente dimensão 3 nem mesmo dimensão 2, mas sim algum valor entre 2 e 3, o que reafirma a existência dos fractais.
7. ANEXO
8.REFERÊNCIAS
[1] Geometria Fractal. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Fractal>. Acesso em: 02/04/15.
[2] BARBOSA, R. M. Descobrindo a Geometria Fractal – para a sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2002.
[3] Geometria à várias dimensões.Fractais.2013.Disponivel em: < http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm43/fractais.htm > Acesso em: 02/04/15
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