introdução e analise de escoamentos na formulação de controle

Prévia do material em texto

INTRODUÇÃO E ANÁLISE DE 
ESCOAMENTOS NA FORMULAÇÃO DE 
CONTROLE
Apodi
Setembro de 2016.
Docente: Petrucia Duarte da Silva Meireles.
Disciplina: Fenômenos de Transporte
SISTEMA E VOLUME
DE CONTROLE
Sistema:
O sistema é separado do ambiente pelas suas fronteiras. As fronteiras do sistema
podem ser fixas ou móveis; contudo, nenhuma massa cruza essas fronteiras.
Uma quantidade de massa fixa e identificável.
SISTEMA E VOLUME
DE CONTROLE
Volume de Controle:
A fronteira geométrica do volume de controle é denominada superfície de controle. A
superfície de controle pode ser real ou imaginária; ela pode estar em repouso ou em
movimento.
Um volume arbitrário no espaço através do qual o fluido escoa.
SISTEMA E VOLUME
DE CONTROLE
Volume de Controle:
Escoamento de um fluido através de uma junção de tubos.
Fonte: FOX et al.,(2014).
ENFOQUE DIFERENCIAL X
ENFOQUE INTEGRAL
Enfoque diferencial:
“ problemas que requerem a determinação do comportamento detalhado (ponto a
ponto) do fluido.
Enfoque integral:
“ problemas que não requerem o conhecimento detalhado do escoamento”.
VAZÃO 
VOLUMÉTRICA
o A vazão em volume pode ser definida facilmente.
o Suponha-se que, estando a torneira aberta, seja empurrado o recipiente embaixo
dela e simultaneamente seja disparado o cronômetro. Admite-se que o recipiente
encha em 10 s. Pode-se então dizer que a torneira enche 20 L em 10s ou que a
vazão em volume da torneira é 20 L/10s = 2 L/s.
VAZÃO 
VOLUMÉTRICA
o Define-se vazão em volume Q como o volume de fluido que atravessa uma certa 
seção do escoamento por unidade de tempo.
Q=
𝑉
𝑡
o As unidades correspondem a m3/s, L/s, m3/h, L/min ou qualquer outra unidade de 
volume ou capacidade por unidade de tempo.
VAZÃO 
VOLUMÉTRICA
o Existe uma relação importante entre a vazão em volume e a velocidade do fluido:
o No intervalo de tempo t, o fluido se desloca através da seção de área A a uma distância s. 
O volume de fluido que atravessa a seção de área A no intervalo de tempo t é V = sA.
o Logo a vazão será: Q =
𝑉
𝑡
=
𝑠𝐴
𝑡
mas, 
𝑠
𝑡
= v
o Logo: Q = vA
VAZÃO 
EM MASSA
o A vazão em massa é caracterizada pela massa do fluido que escoa em um determinado 
intervalo de tempo, dessa forma tem-se que:
𝑄𝑚 =
𝑚
𝑡
Onde m representa a massa do fluido.
o Como definido anteriormente, sabe-se que ρ = m/V, portanto, a massa pode ser escrita 
do seguinte modo:
𝑄𝑚 =
ρ. 𝑉
𝑡
o Assim, pode-se escrever que:
o 𝑄𝑚= ρ .𝑄
o 𝑄𝑚 = ρ . 𝑣. 𝐴
VAZÃO 
EM MASSA
o Portanto, para se obter a vazão em massa basta multiplicar a vazão em volume pela
massa específica do fluido em estudo, o que também pode ser expresso em função da
velocidade do escoamento e da área da seção do seguinte modo:
o As unidades usuais para a vazão em massa são o kg/s ou então o kg/h.
VAZÃO 
EM PESO
o A vazão em peso se caracteriza pelo peso do fluido que escoa em um determinado
intervalo de tempo, assim, tem-se que:
𝑄𝑊 =
𝑊
𝑡
o Sabe-se que o peso é dado pela relação W = m . g , como a massa é m = ρ . V , pode-se
escrever que:
W = ρ . V . g
o Assim, pode-se escrever que:
o 𝑄𝑊 =
γ . 𝑉
𝑡
𝑄𝑊= γ . 𝑄
𝑄𝑊= ρ. g. Q => 𝑄𝑊= 𝑔. 𝑄𝑚
As unidades usuais para a vazão em peso são o N/s ou então o Kgf/h.
EXERCÍCIO
1. Calcular o tempo que levará para encher um tambor de 214 litros, sabendo-se
que a velocidade de escoamento do líquido é de 0,3m/s e o diâmetro do tubo
conectado ao tambor é igual a 30mm.
EXERCÍCIO
2. Uma torneira enche de água um tanque, cuja capacidade é 6000 L em 1 hora e 40
min. Determinar a vazão em volume, em massa e em peso em unidade do SI se ρ H2O
= 1000 kg/m3 e g = 10 m/s2.
EXERCÍCIO
3. Calcular o diâmetro de uma tubulação, sabendo-se que pela mesma, escoa água a
uma velocidade de 6m/s. A tubulação está conectada a um tanque com volume de
12000 litros e leva 1 hora, 5 minutos e 49 segundos para enchê-lo totalmente.
EXERCÍCIO
4. Uma mangueira é conectada em um tanque com capacidade de 10000 litros. O
tempo gasto para encher totalmente o tanque é de 500 minutos. Calcule a vazão
volumétrica máxima da mangueira.
EXERCÍCIO
5. Calcular o volume de um reservatório, sabendo-se que a vazão de escoamento de
um líquido é igual a 5 L/s. Para encher o reservatório totalmente são necessárias 2
horas.
EQUAÇÃO BÁSICA DA FORMULAÇÃO DE 
VOLUME DE CONTROLE
o Na análise de escoamentos na formulação de volume de controle trataremos com
fluxos de massa, de momento (quantidade de movimento) linear e de energia que
atravessam uma determinada superfície de controle.
• Propriedade extensiva: são as propriedades de um sistema que dependem de
seu tamanho, ou da quantidade de material que ele contém.
Ex.: massa, volume, energia etc...
• Propriedade intensiva: são as propriedades de um sistema que não
dependem de seu tamanho, ou da quantidade de material que ele contém.
Ex.: T, µ, ρ etc...
PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO 
DE MASSA 
O princípio de conservação da massa estipula que a massa de um sistema permanece 
constante, desprezando-se os efeitos nucleares e relativísticos.
0


sistemadt
dM
EQUAÇÃO DA COTINUIDADE
o Seja o escoamento de um fluido por um tubo de corrente. Num tubo de corrente não 
pode haver fluxo lateral de massa.
o Seja a vazão em massa na seção de entrada Qm1 e na saída Qm2. Para que o regime
seja permanente, é necessário que não haja variação de propriedades, em nenhum
ponto do fluido, com o tempo.
EQUAÇÃO DA COTINUIDADE
o Se, por um absurdo, Qm1 ≠ Qm2, então em algum ponto interno ao tubo de corrente 
haveria ou redução ou acúmulo de massa. 
o Dessa forma a massa específica nesse ponto variaria com o tempo, o que contrariaria 
a hipótese de regime permanente. Logo:
Qm1 = Qm2 ou ρ1Q1 = ρ2Q2 ou ρ1v1A1 = ρ2v2A2 
Essa é a equação da continuidade para um fluido qualquer em regime permanente.
EQUAÇÃO DA COTINUIDADE
o Exemplo: Um gás escoa em regime permanente no trecho de tubulação da figura. Na 
seção (1), tem-se A1 = 20 cm
2, ρ1 = 4 kg/m
3 e v1 = 30 m/s . Na seção (2), A2 = 10 cm
2 e ρ2
= 12 kg/m3 . Qual é a velocidade na seção (2)?
EQUAÇÃO DA COTINUIDADE
o Exemplo Um gás escoa em regime permanente no trecho de tubulação da figura. Na 
seção (1), tem-se A1 = 20 cm
2, ρ1 = 4 kg/m
3 e v1 = 30 m/s . Na seção (2), A2 = 10 cm
2 e ρ2
= 12 kg/m3 . Qual é a velocidade na seção (2)?
Qm1 = Qm2 
Logo: ρ1v1A1 = ρ2v2A2
Ou 𝑣2 = 𝑣1
ρ1
ρ2
𝐴1
𝐴2
portanto, 𝑣2 = 30
4
12
20
10
= 20 m/s 
EQUAÇÃO DA COTINUIDADE
o Se, o fluido for incompressível, então a massa específica na entrada e na saída do
volume V deverá ser a mesma. Dessa forma, a equação anterior ficará:
ρ Q1 = ρ Q2
Q1 = Q2 ou v1A1 = v2A2
o Logo, a vazão em volume de um fluido incompressível é a mesma em qualquer seção
do escoamento. A equação anterior é a equação da continuidade para um fluido
incompressível.
oFica subentendido que v1 e v2 são as velocidades médias nas seções (1) e (2).
o A equação mostra que, ao longo do escoamento, velocidades médias e áreas são
inversamente proporcionais, isto é, à diminuição da área correspondem aumentos da
velocidade média na seção e vice-versa.
EQUAÇÃO DA COTINUIDADE
o Exemplo: O Venturi é um tubo convergente/ divergente, como é mostrado na figura. 
Determinar a velocidade na seção mínima (garganta) de área 5 cm2, se na seção de 
entrada de área 20 cm2 a velocidade é 2 m/s. O fluido é incompressível.
𝑣𝑒𝐴𝑒 = 𝑣𝐺 𝐴𝐺
𝑣𝐺= 𝑣𝑒
𝐴𝑒
𝐴𝐺
= 2 . 20/5 = 8 m/s 
Pela equação da continuidade:
EQUAÇÃO DA COTINUIDADE
o Para o caso de diversas entradas e saídasde fluido, a Equação:
Qm1 = Qm2 ou ρ1Q1 = ρ2Q2 ou ρ1v1A1 = ρ2v2A2 
o Pode ser generalizada por uma somatória de vazões em massa na entrada (e) e outra 
na saída (s), isto é, 
EQUAÇÃO DA COTINUIDADE
o Se o fluido for incompressível e for o mesmo em todas as seções, isto é, se for 
homogêneo, a equação:
Q1 = Q2 ou v1A1 = v2A2
oPoderá ser generalizada por:
EXERCÍCIO
1. Um gás (Ƴ = 5 N/m3) escoa em regime permanente com uma vazão de 5 Kg/s pela
seção A de um conduto retangular de seção constante de 0,5 m por 1 m. Em uma
seção B, o peso específico do gás é 10 N/m3. Qual será a velocidade média do
escoamento nas seções A e B? ( g = 10 m/s2).
EXERCÍCIO
2. No tubo da figura, determinar a vazão em volume, em massa, em peso e a
velocidade média da seção (2), sabendo que o fluido é água e que A1 = 10 cm
2 e A2 =
5 cm2. (ρ H2O = 1000 kg/m
3 e g = 10 m/s2)
EXERCÍCIO
3. Na tubulação convergente da figura, calcula a vazão em volume e a velocidade na
seção 2 sabendo que o fluido é incompressível.
EXERCÍCIO
4. Um tubo admite água (ρ = 1000 kg/m3) num reservatório com uma vazão de 30
L/s. No mesmo reservatório é trazido óleo (ρ = 800 kg/m3) por outro tubo com uma
vazão de 15 L/s. A mistura homogênea formada é descarregada por um tubo cuja
seção tem uma área de 30 cm2. Determinar a massa específica da mistura no tubo
de descarga e sua velocidade.
EXERCÍCIO
5. Para a tubulação mostrada determine:
a) A vazão e a velocidade no ponto (3).
b) A velocidade no ponto (4).
Dados: v1 = 1m/s, v2 = 2m/s, d1 = 0,2m, d2 = 0,1m, d3 = 0,25m e d4 =0,15m.
EXERCÍCIO
6. Sabe-se que para se encher o tanque de 20 m³ mostrado são necessários 1h e
10min, considerando que o diâmetro do tubo é igual a 10 cm, calcule a velocidade
de saída do escoamento pelo tubo.
EXERCÍCIO
7. Os reservatórios da figura são cúbicos. São enchidos pelos tubos,
respectivamente, em 100 s e 500 s. Determinar a velocidade da água na seção (A),
sabendo que o diâmetro do conduto nessa seção é 1 m.
EXERCÍCIO
8. Água é descarregada do reservatório (1) para os reservatórios (2) e (3). Sabendo-
se que Qv2 = 3/4Qv3 e que Qv1 = 10 L/s, determine: 
A) O tempo necessário para se encher completamente os reservatórios (2) e (3).
B) Determine os diâmetros das tubulações (2) e (3) sabendo-se que a velocidade de 
saída é v2 = 1 m/s e v3 = 1,5 m/s.
Dado: ρ = 1000 kg/m³.
REFERÊNCIAS
BRUNETTI, F. Mecânica dos fluidos. 2. ed. rev. São Paulo: Prentice-Hall, 2015.
FOX, R. W; MCDONALD, A. T; FRANÇA, G. A. C. Introdução à mecânica dos fluídos. Tradução 
de Ricardo Nicolau Nassar Koury. 5.ed Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2001. 
LIVI, C. P. Fundamentos de fenômenos de transporte: um texto para cursos básicos. Rio de 
Janeiro: Sub-Reitoria de Ensino de Graduação e Corpo Discente, UFRJ, 1997. 2v. (Cadernos 
didáticos UFRJ, 30). 
WHITE, Frank M. Mecânica dos fluidos. 4° ed. Rio de Janeiro: McGraw-Hill, 1999. 570p.