exercicios resolvidos Fator de valor atual de uma serie de pagamentos iguais e outros

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1) Vinicius depositou, anualmente, $ 500,00 numa conta de poupança, em nome de seu filho, João Pedro, a juros de 
6% ao ano. O primeiro depósito foi feito no dia em que João Pedro completou 1 ano, o o último, por ocasião de seu 18º 
aniversário. O dinheiro ficou depositado até o dia em que João Pedro completou 21 anos, ocasião em o montante foi 
sacado. Quanto recebeu João Pedro? 
VF= R$ ? 
n1= 18 anos 
n2= 3 anos 
i= 6% a.a. ↔ 0,06 
P= R$ 500,00 
? 𝑖 → 𝑆 618
¬
𝑛
¬ = Tabela → 30,905653 
M= ? (( VF . ( 1 + i )n2 ) ↔ 
 
 
(𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎)𝑆 6 = ((1 + 0,06)^18 − 1) ÷ 0,0618
¬
 
𝑉𝐹 = 𝑃 . 𝑆 𝑖𝑛
¬ 
𝑉𝐹 = 500 . 30,905653 
𝑉𝐹 = 15.452,82 
 
𝑀 = (15.452,82 . ( 1 + 0,06 )3) 
𝑀 = (15.452,82 . ( 1,06 )3) 
𝑀 = 15.452,82 . 1,191016 
𝑀 = 18.404,55 
Prova real 
𝑆 𝑖𝑛1
¬ =
(1 + 𝑖)𝑛1 − 1
 𝑖
 ⇔ 𝑆 618
¬ =
(1 + 0,06)18 − 1
 0,06
 
 
𝑆 618
¬ =
(1,06)18 − 1
 0,06
 ⇔ 𝑆 618
¬ =
2,854339153 − 1
 0,06
 
 
𝑆 618
¬ = 1,854339153 ÷ 0,06 ⇔ 𝑆 618
¬ = 30,905652 
2) (CVM) Um cliente negociou com o seu banco depositar a quantia de R$ 1 000,00, ao fim de cada mês, para obter 
R$ 21 412,31, ao fim de 18 meses. A que taxa efetiva anual o banco remunerou o capital de seu cliente? 
a) 12% b) 12,68% c) 18% d) 24% e) 26,82% 
VF= R$ 21.412,31 
n= 18 meses 
i= ? a.a. ↔ 
P= R$ 1.000,00 
? 𝑖 → 𝑆 𝑖𝑛
¬
𝑛
¬ = 
 
𝑆 𝑖18
¬ = 21.412,31 ÷ 1.000,00 
𝑆 𝑖18
¬ = 21,41231 
 
 
 
1 + I𝑎𝑛𝑜 = (1 + 𝑖𝑚ê𝑠)𝑛 
1 + I = (1 + 0,02)12 
 
1 + I = (1,02)12 
1 + I = 1,2682 … 
I = 1,2682 − 1 
I = 0,2682 
0,2682 . 100 = 26,82% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Desejo adquirir um DVD que custa 500 dólares americanos. Como não disponho desse recurso no momento, vou 
abrir, no próximo mês, uma caderneta de poupança, na qual depositarei certa quantia mensalmente, de modo que, ao 
final de 18 meses, eu tenha o dinheiro necessário. De quantos dólares deverei dispor, mensalmente, se a caderneta 
de poupança remunera à taxa composta de 0,5% ao mês? 
VF= $ 500,00 
n= 18 meses 
i= 0,5% a.m. ↔ 0,005 
P= $ ? 
? 𝑖 → 𝑆 0,518
¬
𝑛
¬ = 18,785787 
 
(𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎)𝑆 0,5 = ((1 + 0,005)^18 − 1) ÷ 0,00518
¬ 
 
𝑆 𝑖𝑛
¬ =
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
 𝑖
 
 
𝑆 0,518
¬ =
(1 + 0,005)18 − 1
 0,005
 
 
𝑆 0,518
¬ =
1,00518 − 1
 0,005
 
 
𝑆 0,518
¬ =
1,09392893 … − 1
 0,005
 
 
𝑆 0,518
¬ =
0,09392893 …
 0,005
 
 
𝑆 0,518
¬ = 18,785787913 … 
 
𝑃 = 𝑉𝐹 ÷ 𝑆 0,518
¬ 
𝑃 = 500 ÷ 18,785787 
𝑃 = 26,61 
4) (BACEN) Um contrato de aplicação financeira prevê que depósito de mesmo valor sejam feitos mensalmente em 
uma conta de aplicação durante dezoito meses com o objetivo de atingir o montante de R$ 100 000,00 ao fim desse 
prazo. Obtenha o valor mais próximo da quantia que deve ser depositada ao final de cada mês, considerando uma taxa 
de rendimento de 3% ao mês. 
a) R$ 5 550,00 b) R$ 4 900,00 c) R$ 4 782,00 
d) R$ 7 270,00 (erro de digitação) e) R$ 4 000,00 
VF= R$ 100.000,00 
n= 18 meses 
i= 3% a.m. ↔ 0,03 
P= R$ ? 
? 𝑖 → 𝑆 318
¬
𝑛
¬ = 23,414435 
 
 
(𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎)𝑆 3 = ((1 + 0,03)^18 − 1) ÷ 0,0318
¬ 
𝑃 = 𝑉𝐹 ÷ 𝑆 318
¬ 
𝑃 = 100.000 ÷ 23,414435 
𝑃 = 4.270,86 
 
Prova real 
𝑆 𝑖𝑛
¬ =
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
 𝑖
  𝑆 318
¬ =
(1 + 0,03)18 − 1
 0,03
 
 
𝑆 318
¬ =
1,0318 − 1
 0,03
  𝑆 318
¬ =
1,70243306123 … − 1
 0,03
 
 
𝑆 318
¬ =
0,70243306123 …
 0,03
 
 
𝑆 318
¬ = 23,4144353746. .. 
 
 
5) Quanto deverá ser aplicado, ao final de cada 2 meses, em um “Fundo de Renda Fixa”,, à taxa de 5% ao bimestre, 
durante 3 anos e meio, para que se obtenha, no final desse prazo, um montante de $ 175 000,00? 
VF= R$ 175.000,00 
n= (3,5 . 12) ÷ 2 = 21 bimestres 
i= 5% a.b. ↔ 0,05 
P= R$ ? 
? 𝑖 → 𝑆 521
¬
𝑛
¬ =35,719251 
(𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎)𝑆 5 = ((1 + 0,05)^21 − 1) ÷ 0,0521
¬ 
 
𝑆 𝑖𝑛
¬ =
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
 𝑖
 
 
𝑆 521
¬ =
(1 + 0,05)21 − 1
0,05
 
 
𝑆 521
¬ =
1,0521 − 1
0,05
 
 
𝑆 521
¬ =
2,78596259 … − 1
0,05
 
 
𝑆 521
¬ =
1,78596259 …
0,05
 
 
𝑆 521
¬ = 35,71925180 … 
𝑃 = 𝑉𝐹 ÷ 𝑆 521
¬ 
𝑃 = 175.000,00 ÷ 35,719251 
𝑃 = 4.899,31 
6) Qual é o valor das prestações, de um bem durável, que no final de 8 meses, resulta num total de $ 8 892,34, 
sabendo que a taxa de financiamento é de 3% ao mês, e que a primeira prestação foi paga um mês após o fechamento 
do negócio? 
VF= R$ 8.892,34 
n= 8 meses 
i= 3% a.m. ↔ 0,03 
P= R$ ? 
? 𝑖 → 𝑆 38
¬
𝑛
¬ = 8,892336 
 
 
𝑃 = 𝑉𝐹 ÷ 𝑆 38
¬ 
𝑃 = 8892,34 ÷ 8,892336 
𝑃 = 1.000,00 
(𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎)𝑆 3 = ((1 + 0,03)^8 − 1) ÷ 0,038
¬ 
 
 
7) Qual o valor da aplicação feita ao final de cada trimestre, necessária para obter um montante de $ 1 000 000,00, no 
final de 7 anos, à taxa de 6% ao trimestre? 
VF= R$ 1.000.000,00 
n= (7 . 12 ) ÷ 3 = 28 trimestres 
i= 6% a.t. ↔ 0,06 
P= R$ 
? 𝑖 → 𝑆 628
¬
𝑛
¬ = 68,528111619... 
 
(𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎)𝑆 6 = ((1 + 0,06)^28 − 1) ÷ 0,0628
¬ 
 
𝑃 = 𝑉𝐹 ÷ 𝑆 628
¬ 
𝑃 = 1.000.000 ÷ 68,528111 
𝑃 = 14.592,55 
 
 
 
8) Quantas Prestações iguais e consecutivas de $ 4 500,00 deverei aplicar mensalmente para obter um montante de 
$ 106 000,00, à taxa de 2% ao mês? E em que prazo, sabendo-se que a primeira prestação é feita daqui a 30 dias? 
VF= R$ 106.000,00 
n= ? 
i= 2% a.m. ↔ 0,02 
P= R$ 4.500,00 
? 𝑖 → 𝑆 2𝑛
¬
𝑛
¬ = 
 
𝑆 2𝑛
¬ = 𝑉𝐹 ÷ 𝑃 
𝑆 2𝑛
¬ = 106.000 ÷ 4.500 
𝑆 2𝑛
¬ = 23,5555555 > 18n 
 
 
(𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎)𝑆 2 = ((1 + 0,02)^19 − 1) ÷ 0,02 = 22,84055919
¬ 
(𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎)𝑆 2 = ((1 + 0,02)^20 − 1) ÷ 0,02 = 24,29736920
¬
 
(𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎)𝑆 2 = ((1 + 0,02)^21 − 1) ÷ 0,02 =21
¬ 25,783317 
 
𝑃 = 𝑉𝐹 ÷ 𝑆 219
¬ 4.500 = 106.000 ÷ 22,840559 = 4.640,86 
𝑃 = 𝑉𝐹 ÷ 𝑆 220
¬ 4.500 = 106.000 ÷ 24,297369 = 4.362,61 
𝑃 = 𝑉𝐹 ÷ 𝑆 221
¬ 4.500 = 106.000 ÷ 25,783317 = 4.111,18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fator de valor atual de uma serie de pagamentos iguais 
 
1. Calcular o valor atual de uma série de 24 prestações iguais, mensais, consecutivas e postecipadas de $ 3 500,00 
cada uma, considerando uma taxa de 5% ao mês. 
A= ? R$ 48.295,24 
n= 24 meses 
i= 5% a.m. ↔ 0,05 
P= R$ 3.500,00 
? 𝑖 → 𝚊 524
¬
𝑛
¬ = ? →13,798641 
(𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎)𝚊 5 = ((1 + 0,05)^24 − )1 ÷ ((1 + 0,05)^24. 0,05)24
¬
 
𝚊 524
¬ =
(1 + 0,05)24 − 1
(1 + 0,05)24 . 0,05
 
 
𝚊 524
¬ =
(1,05)24 − 1
(1,05)24 . 0,05
 
 
𝚊 524
¬ =
3,2250999437137 − 1
3,2250999437137 . 0,05
 
 
 
𝚊 524
¬ =
2,2250999437137 
0,161254997185685
 
 
 
𝚊 524
¬ = 13,7986417943469940 
 
 
 𝐴 = 𝑃 . 𝚊 524
¬ 
𝐴 = 3500 . 13,798641 
𝐴 = 48.295,24 
 
 
2. Calcular o número de prestações semestrais, postecipadas, de $ 15 000,00 cada uma, capaz de liquidar um 
financiamento de $ 49 882,65, à taxa de 20% ao semestre. 
A= R$ 49.882,65 
n= ? 
i= 20% a.s. ↔ 0,2 
P= R$ 15.00,00 
? 𝑖 → 𝚊 20𝑛
¬
𝑛
¬ = 
 
𝚊 20𝑛
¬ = 𝐴 ÷ 𝑃 
𝚊 20𝑛
¬ = 49.882,65 ÷ 15.000 
𝚊 20𝑛
¬ = 3,32551 
 
 
 
𝚊 𝑖𝑛
¬ =
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
(1 + 𝑖)𝑛. 𝑖
 
𝚊 20𝑛
¬ =
(1 + 0,2)𝑛 − 1
(1 + 0,2)𝑛 . 0,2
 
 
𝚊 20𝑛
¬ =
(1,2)𝑛 − 1
(1,2)𝑛 . 0,2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Não sei resolver ainda!!! 
 
 
 
3. Parte de um veículo é financiado por uma cia. de crédito, para ser paga em 20 prestações iguais de $ 1 500,00 
cada uma. Sabendo-se que essa financeira cobra do cliente uma taxa de 4% ao mês, calcular o valor financiado, 
isto é, o valor entregue ao cliente na data do contrato? 
A= ? R$ 20.385,48 
n= 20 
i= 4 a.m. ↔ 0,04 
P= R$ 1.500,00 
? 𝑖 → 𝚊 420
¬
𝑛
¬ = 13,590326 
 
(𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎)𝚊 4 = ((1 + 0,04)^20 − )1 ÷ ((1 + 0,04)^20. 0,04)20
¬ 
 
𝚊 𝑖𝑛
¬ =
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
(1 + 𝑖)𝑛 . 𝑖
 
 
𝚊 420
¬ =
(1 + 0,04)20 − 1
(1 + 0,04)20 . 0,04
 
 
𝚊 420
¬ =
(1,04)20 − 1
(1,04)20 . 0,04
 
 
𝚊 420
¬ =
2,1911231430334193 − 1
2,1911231430334193 . 0,04
 
 
𝚊 420
¬ =
1,1911231430334193
0,0876449257213368
 
 
𝚊 420
¬ = 13,590326344967688 
 
𝐴 = 𝑃 . 𝚊 𝑖𝑛
¬ 
𝐴 = 1500 . 13,590326 
𝐴 = 20.385,48 
4. (AFTN) Uma compra no valor de R$ 10 000,00 deve ser paga com uma entrada de 20% e o saldo devedor financiado 
em doze prestações mensais iguais, vencendo a primeira prestação ao fim de um mês, a uma taxa de 4% ao mês. 
Considerando que este sistema de amortização corresponde a uma anuidade ou renda certa, em que o valor atual 
da anuidade corresponde ao saldo devedor e que os termos da anuidade corresponde às prestações, calcule a 
prestação mensal, desprezando os centavos: 
a) R$ 1 065,00 b) R$ 986,00 c) R$ 923,00 d) R$ 900,00 e)ˠ R$ 852,00 
 
(𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎)𝚊 4 = ((1 + 0,04)^12 − )1 ÷ ((1 + 0,04)^12. 0,04)12
¬
 
A= R$ 10.000,00 – 20% = 8.000,00 
n= 12 meses 
i= 4% a.m. ↔ 0,04 
P= ? R$ 852,41 
? 𝑖 → 𝚊 412
¬
𝑛
¬ =? Tem na tabela ↔ 9,385074 
 
𝑃 = 𝐴 ÷ 𝚊 𝑖𝑛
¬ 
𝑃 = 8.000 ÷ 9,385074 
𝑃 = 852,41 
 
𝚊 𝑖𝑛
¬ =
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
(1 + 𝑖)𝑛 . 𝑖
 
 
𝚊 412
¬ =
(1 + 0,04)12 − 1
(1 + 0,04)12 . 0,04
 
 
𝚊 412
¬ =
(1,04)12 − 1
(1,04)12 . 0,04
 
 
𝚊 412
¬ =
1,601032218567681 − 1
1,601032218567681 . 0,04
 
 
𝚊 412
¬ =
0,601032218567681 
0,0640412887427072
 
 
𝚊 412
¬ = 9,3850737604983701 
5. (TCM-RJ) Um equipamento industrial cujo valor à vista é de R$ 1 161 830,00 pode ser comprado a prazo. 
Nesse caso, paga-se uma entrada de R$ 50 000,00 mais quinze prestações mensais consecutivas no valor de 
R$ 100 000,00 cada, a primeira um mês depois da compra. A taxa de juros efetiva composta cobrada no 
financiamento é de: 
a) 2,5% a.m b) 3,0% a.m c) 3,5% a.m d) ˠ 4,0% a.m e) 5,0% a.m 
 
A= (1.161.830,00 ̶ 50.000,00) = R$ 1.111.830,00 
n= 15 meses 
i= a.m. ? pela tabela, i = 4% a.m. 
P= R$ 100.000,00 
𝚊 𝑖 → 𝚊 𝑖15
¬
𝑛
¬ = 11,11830 
 
𝚊 𝑖𝑛
¬ = 𝐴 ÷ 𝑃 
𝚊 𝑖15
¬ = 1.111.830 ÷ 100.000 
? 𝑖15
¬ = 11,11830 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Uma empresa obtém um empréstimo de $ 100 000,00 para ser quitado em cinco prestações mensais iguais. 
Sabendo-se que a primeira prestação tem o seu vencimento 90 dias após a data do contrato e que a taxa de 
juros cobrada pelo banco é de 6% ao mês, calcular o valor das prestações. 
A= (100.000,00 .( 1 + i )ᶰ¹) ↔ (100.000,00 .( 1,06²)) → A = R$112.360,00 
n1= 90 dias ↔ 2 meses 
n2= 5 meses 
i= 6% a.m. ↔ 0,06 
P= R$ ? 
? 𝑖 → 𝚊 65
¬
𝑛2
¬ = 4,212364 
 
(𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎)𝚊 6 = ((1 + 0,06)^5 − )1 ÷ ((1 + 0,06)^5. 0,06)5
¬
 
R$100.000,00 
 1 2 P1 P2 P3 P4 P5 
 
 0 30 n1 60 90 n2 
 
 
 
 
𝑃 = 𝐴 ÷ 𝚊 𝑖𝑛2
¬ 
 
𝑃 = 112.360 ÷ 4,212364 
𝑃 = 26.673,85 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. No dia em que Felipe foi aprovado no vestibular para cursar uma faculdade, seu pai, Marco Aurélio, depositou 
$ 90 000,00 numa “conta especial”, com o objetivo de garantir os estudos do Felipe durante os quatro anos de 
duração do curso. Sabendo-se que essa aplicação rende 2,25% ao mês, que as retiradas serão mensais e 
iguais, e que o primeiro saque será efetuado por Felipe logo no final do primeiro mês da data do contrato e o 
último no final do 48º mês a partir daquela data, calcular o valor de cada saque de modo que, após o último, o 
saldo seja zero. 
A= R$ 90.000,00 
n= 4 anos ↔ 48 meses 
i= 2,25 % a.m. ↔ 0,0225 
P= R$ ? 
? 𝑖 → 𝚊 2,2548
¬
𝑛
¬ = ? 29,169547 
(𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎)𝚊 2,25 = ((1 + 0,0225)^48 − )1 ÷ ((1 + 0,0225)^48 . 0,0225)48
¬ 
 
𝚊 𝑖𝑛
¬ =
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
(1 + 𝑖)𝑛 . 𝑖
 
 
𝚊 2,2548
¬ =
(1 + 0,0225)48 − 1
(1 + 0,0225)48 . 0,0225
 
 
 
𝚊 2,2548
¬ =
2,90963961208982 − 1
2,90963961208982 . 0,0225
 
 
𝚊 2,2548
¬ =
1,90963961208982
0,065466891272021
 
 
 
𝚊 2,2548
¬ = 29,169547766596915 
 
 
𝑃 = 𝐴 ÷ 𝚊 2,2548
¬
 
 
𝑃 = 90.000 ÷ 29,169547 
𝑃 = 3085,40 
 
8. Uma mercadoria é vendida, a prazo, com uma entrada de R$ 500,00 e mais 5 prestações mensais iguais de 
R$ 120,00. Qual o preço a vista dessa mercadoria, se a loja aplica nessa venda a taxa composta de 7% 
a.m.? 
A= ? 
n= 5 meses 
i= 7% a.m. ↔ 0,07 
P= R$ 120,00 
? 𝑖 → 𝚊 75
¬
𝑛
¬ = na tabela → 4,100197 
preço a vista = (A + 500) 
 
 
(𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎)𝚊 7 = ((1 + 0,07)^5 − )1 ÷ ((1 + 0,07)^5. 0,07)5
¬
 
𝐴 = 𝑃 . 𝚊 𝑖𝑛
¬ 
𝐴 = 120 . 4,100197 
𝐴 = 492,02 
preço a vista = (A + 500) 
preço a vista = (492,02+ 500) → R$ 992,02 
 
𝚊 𝑖𝑛
¬ =
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
(1 + 𝑖)𝑛 . 𝑖
 
 
𝚊 75
¬ =
(1 + 0,07)5 − 1
(1 + 0,07)5 . 0,07
 
 
𝚊 75
¬ =
1,4025517307 − 1
1,4025517307 . 0,07
 
 
𝚊 75
¬ =
0,4025517307
0,098178621149
 
 
𝚊 75
¬ = 4,10019743594759374 
9. Um produto que custava a vista R$ 10 000,00 foi vendido sem entrada em 10 prestações iguais de 
R$ 1 423,78, sendo a 1a prestação feita ao final do primeiro mês. Qual a taxa mensal de juros aplicada? 
 
A= R$ 10.000,00 
n= 10 meses 
i= ? a.m. ↔ 
P= R$ 1.423,78 
? 𝑖 → 𝚊 𝑖10
¬
𝑛
¬ = 
 
𝚊 𝑖10
¬ = 𝐴 ÷ 𝑃 
𝚊 𝑖10
¬ = 10.000 ÷ 1.423,78 
𝚊 𝑖10
¬ = 7,02355701021225189 
 
 
(𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎)𝚊 7 = ((1 + 0,07)^10 − )1 ÷ ((1 + 0,07)^10 . 0,07)10
¬
 
Prova real 
𝑃 = 𝐴 ÷ 𝚊 710
¬ 
1.423,78 = 10.000 ÷ 7,023582 
1.423,78 = 1.423,77