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SINAIS E SISTEMAS
A Faculdade Multivix está presente de norte a sul do 
Estado do Espírito Santo, com unidades presenciais 
em Cachoeiro de Itapemirim, Cariacica, Castelo, 
Nova Venécia, São Mateus, Serra, Vila Velha e Vitória, 
e com a Educação a Distância presente 
em todo estado do Espírito Santo, e com 
polos distribuídos por todo o país. 
Desde 1999 atua no mercado capixaba, 
destacando-se pela oferta de cursos de 
graduação, técnico, pós-graduação e 
extensão, com qualidade nas quatro 
áreas do conhecimento: Agrárias, Exatas, 
Humanas e Saúde, sempre primando 
pela qualidade de seu ensino e pela 
formação de profissionais com consciência 
cidadã para o mercado de trabalho.
Atualmente, a Multivix está entre o seleto grupo de 
Instituições de Ensino Superior que 
possuem conceito de excelência junto ao 
Ministério da Educação (MEC). Das 2109 
instituições avaliadas no Brasil, apenas 
15% conquistaram notas 4 e 5, que são 
consideradas conceitos de excelência em 
ensino. Estes resultados acadêmicos 
colocam todas as unidades da Multivix 
entre as melhores do Estado do Espírito 
Santo e entre as 50 melhores do país.
 MISSÃO
Formar profissionais com consciência cidadã para o 
mercado de trabalho, com elevado padrão de quali-
dade, sempre mantendo a credibilidade, segurança 
e modernidade, visando à satisfação dos clientes e 
colaboradores.
 VISÃO
Ser uma Instituição de Ensino Superior reconhecida 
nacionalmente como referência em qualidade 
educacional.
R E I TO R
GRUPO
MULTIVIX
R E I
2
MULTIVIX EAD
Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017
3
MULTIVIX EAD
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BIBLIOTECA MULTIVIX (Dados de publicação na fonte)
Sergio Ricardo Master Penedo
Sinais e sistemas / RICARDO MASTER PENEDO, SERGIO - Multivix, 2023
Catalogação: Biblioteca Central Multivix 
 2023 • Proibida a reprodução total ou parcial. Os infratores serão processados na forma da lei. 
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LISTA DE QUADROS
UNIDADE 3
 Contribuições à convolução de sinais 67
UNIDADE 5
 Estabilidade e Causalidade 123
UNIDADE 6
 Diferenças entre filtros analógicos e digitais 146
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LISTA DE FIGURAS
UNIDADE 1
 Jean-Baptiste Fourier (1768-1830) 13
 Sistema entrada-saída, gerado pela aplicação de uma força F 
a um corpo de massa m, gerando uma aceleração a 14
 Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) e Isaac Newton (1643-1727) 14
 Representação de um sinal no domínio do tempo 16
 Sistema 17
 Michael Faraday (1791-1867) e John Frederic Daniell (1790-1845) 18
 Categorização de sinais estacionários 19
 Representação de um sinal contínuo 20
 Representação de um sinal no tempo discreto 21
 Representação de um sinal determinístico 21
 Representação de um sinal aleatório 22
 Invariância no tempo para sistemas discretos 24
 Linearidade para sistemas discretos. 25
 Representação de um sinal contínuo: existência para todo t 27
 Representação de um sinal discreto: existência para alguns t 28
 Sinal deslocado 31
 Sinal Escalonado 32
 Sinal discreto invertido 33
UNIDADE 2
 Leonhard Euler (1707-1783) 39
 Diagrama de blocos de um sistema 40
 Zenão de Cítio (333 a.C.-263 a.C.) 41
 Joseph-Louis Lagrange (Giuseppe Lodovico Lagrangia) (1736-1813) 
e Henri Poincaré (1854-1912) 42
 Utilização de equações diferenciais para a modelagem de sistemas 43
 Sistema massa-mola 44
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 Função impulso 45
 Função degrau 46
 Análise de estabilidade 49
 Sinal discreto 51
 Exemplo de um sinal discreto gerado por recorrência 53
 Função impulso no tempo discreto 56
 Função degrau no tempo discreto 57
UNIDADE 3
 Equipamento de áudio 64
 Norbert Wiener (1894-1964) 66
 Definição de convolução 68
 Convolução entre dois sinais 69
 Propriedades da convolução 71
 Representação de edição de imagem 73
 Ondas sonoras 76
 Sistemas de comunicação 78
 Resposta de um sistema a uma entrada arbitrária 79
 Teorema da Convolução 82
 Resposta de um sistema nos domínios temporal e da frequência 83
UNIDADE 4
 Processamento de sinais biomédicos 89
 Joseph Fourier (1768-1830) 91
 Sinais analógicos 92
 Relação entre sinais no tempo e na frequência. 93
 Exemplo de aplicação da transformada de Fourier 94
 Cálculos 96
 Associação entre o teorema da convolução e a transformada 
de Fourier 97
 Resposta em frequência 100
 Diagrama de Bode 101
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 Frequência 103
 Amplificando frequências 105
 Controles de frequência 106
UNIDADE 5
 Processamento de sinais digitais e telecomunicações 113
 Frequência de comunicação 114
 Amplitude do sinal 116
 Círculo unitário 116
 Comportamento espectral de sistemas 118
 Circuitos de computador 120
 Análise das exigências do sistema 122
 Etapas de análise 124
 Softwares especializados em engenharia 125
 Software 126
UNIDADE 6
 Filtro de sinais 132
 Tipos de filtro 133
 Sinais em telecomunicações 134
 Passagem de frequências 135
 Torres de sistemas de comunicação 139
 Comunicação 141
 Processamento de sinais digitais 142
 Painel de controle de áudio 144
 Processamentos de sinais 147
 Ondas sonoras 148
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1UNIDADE
2UNIDADE
3UNIDADE
4UNIDADE
5UNIDADE
6UNIDADE
SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA 10
1 TEORIA DE SINAIS E SISTEMAS 12
INTRODUÇÃO DA UNIDADE 12
1.1 INTRODUÇÃO À TEORIA DE SINAIS E SISTEMAS 12
1.2 ANÁLISE DE SINAIS NO DOMÍNIO DO TEMPO 26
2 SISTEMAS LIT CONTÍNUOS E DISCRETOS 38
INTRODUÇÃO DA UNIDADE 38
2.1 SISTEMAS LIT CONTÍNUOS 38
2.2 SISTEMAS LIT DISCRETOS 51
3 CONVOLUÇÃO 63
INTRODUÇÃO DA UNIDADE 63
3.1 CONCEITO DE CONVOLUÇÃO 64
3.2 APLICAÇÕES DA CONVOLUÇÃO 77
4 ESPECTRO DE SINAIS E RESPOSTA EM FREQUÊNCIA 88
INTRODUÇÃO DA UNIDADE 88
4.1 TRANSFORMADA DE FOURIER (TF) 89
4.2 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA DE SISTEMAS LIT 99
5 ESTRUTURAS COMPUTACIONAIS PARA SISTEMAS DISCRETOS 111
INTRODUÇÃO DA UNIDADE 111
5.1 EQUAÇÕES DE DIFERENÇA E A TRANSFORMADA Z (TZ) 112
5.2 IMPLEMENTAÇÃO DE SISTEMAS DISCRETOS 119
6 TEORIA DE FILTROS 131
INTRODUÇÃO DA UNIDADE 131
6.1 FUNDAMENTOS DE FILTROS 132
6.2 PROJETO DE FILTROS EM SISTEMAS LIT DISCRETOS 141
REFERÊNCIAS 152
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ATENÇÃO 
PARA SABER
SAIBA MAIS
ONDE PESQUISAR
DICAS
LEITURA COMPLEMENTAR
GLOSSÁRIO
ATIVIDADES DE
APRENDIZAGEM
CURIOSIDADES
QUESTÕES
ÁUDIOSMÍDIAS
INTEGRADAS
ANOTAÇÕES
EXEMPLOS
CITAÇÕES
DOWNLOADS
ICONOGRAFIA
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APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA
Boas-vindas à disciplina Sinais e Sistemas! Nosso objetivo principal é fornecer 
a você uma compreensão aprofundada e habilidades práticas na análise e 
manipulação de sinais e sistemas, bem como na interação entre esses ele-
mentos.
Você será capaz de dominar os fundamentos de sinais e sistemas, compre-
endendo e operando efetivamente com suas características e propriedades. 
Esperamos que, ao final desta disciplina, você possa:
• Compreender a definição formal de sinais e sistemas.
• Representar adequadamente sinais no domínio do tempo.
• Realizar as operações básicas sobre sinais: amplificação, deslocamento, 
escalonamento e inversão.
• Aprender os conceitos de causalidade, linearidade e invariância no tempo, 
tanto para sistemas contínuos como para sistemasdiscretos.
• Realizar a convolução de sinais contínuos e obter sua transformada de Fourier.
• Realizar a convolução de sinais discretos e calcular sua transformada Z.
• Projetar filtros para sinais discretos.
Esperamos trazer a você uma experiência única, desejando desde já 
bons estudos!
UNIDADE 1
OBJETIVO 
Ao final desta 
unidade, 
esperamos que 
possa:
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> Compreender a 
definição formal de 
sinais e sistemas.
> Representar 
adequadamente 
sinais no domínio do 
tempo.
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SINAIS E SISTEMAS
1 TEORIA DE SINAIS E SISTEMAS
INTRODUÇÃO DA UNIDADE
Esta unidade abordará a teoria inicial de sinais e sistemas, trazendo sua defi-
nição e classificação, abrindo caminho para o vasto campo de aplicações que 
essa teoria proporciona estudar. As características de continuidade, invariân-
cia no tempo e linearidade serão estudadas, estabelecendo uma ligação forte 
entre a natureza de sinais e a natureza de sistemas.
Em sequência, será introduzida a representação de sinais no domínio do tem-
po contínuo e no domínio do tempo discreto. Serão descritas, além de opera-
ções básicas elementares, operações específicas que agem sobre tais entida-
des nesses domínios, em termos de sua amplitude, posição, escala e reflexão.
Por fim, serão apresentados os chamados sistemas lineares invariantes no 
tempo (SLIT), descrevendo-se suas propriedades mais importantes: causali-
dade, linearidade e invariância no tempo.
Ao fim desta unidade, você será capaz de explorar as aplicações avançadas 
em sinais e sistemas e terá conhecimentos sólidos para enfrentar os desafios 
matemáticos que surgirão ao lidar com tal universo de conhecimento, em 
suas mais variadas aplicações.
1.1 INTRODUÇÃO À TEORIA DE SINAIS 
E SISTEMAS
O estudo de sinais e sistemas é considerado um ambiente de estudo clássi-
co para muitas áreas da Ciência, em particular àquelas ligadas à Engenha-
ria e Tecnologia. De fato, a teoria de sinais e sistemas agrupa um conjunto 
valioso de princípios matemáticos que recapitulam os trabalhos de mate-
máticos como Fourier, Laplace e outros nomes de destaque nesse campo 
do conhecimento.
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JEAN-BAPTISTE FOURIER (1768-1830)
Fonte: ©Boilly, Wikimedia Commons (2023).
#pratodosverem - retrato de Fourier. Veste roupas formais e tem cabelos curtos. 
Fourier tem cabelos escuros.
É fato que a teoria de sinais e sistemas tem se destacado de forma única nas 
últimas décadas, em particular nos segmentos voltados às áreas de pesquisa 
em Energia, Comunicações, Eletroeletrônica e, de um modo particular, Pro-
cessamento de Sinais (voz, imagem e vídeo), com suas diversas aplicações. 
Nesse sentido, muito se avançou na direção de se obter facilidades para a vida 
moderna humana. No núcleo do campo de estudo da Teoria de Sinais e Siste-
mas, concentra-se uma curiosidade científica que se baseia na necessidade 
de modelar o comportamento de sistemas físicos de modo preciso e asserti-
vo, descrevendo com razoável segurança e propriedade as regras de causa e 
efeito entre as grandezas sob modelo. Um exemplo clássico a ser citado é o 
da Segunda Lei de Newton, em que o físico inglês Isaac Newton soube mo-
delar o fenômeno da queda de corpos rígidos, a partir da definição de uma 
lei física direta que relacionava a força resultante aplicada a um corpo à ace-
leração que este corpo desenvolvia, ou seja, vinculando ao elemento “força” 
uma característica de causalidade (como uma ação de “entrada”), e ao ele-
mento “aceleração” uma característica de consequência (ou ação de “saída”) 
(Lathi, 2008).
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SISTEMA ENTRADA-SAÍDA, GERADO PELA APLICAÇÃO DE UMA FORÇA F A UM CORPO 
DE MASSA M, GERANDO UMA ACELERAÇÃO A
a
F m
Fonte: elaborado pelo autor (2023).
#pratodosverem - representação de um sistema pela aplicação de um sinal de entrada 
(vetor força F) aplicado a uma esfera azul de massa m que repousa em uma superfície 
retilínea, gerando um sinal de saída (vetor aceleração a).
Desta aceleração, outras grandezas podem ser derivadas, como a posição e a 
velocidade, conforme o modelo preestabelecido que foi construído a partir da 
relação desenhada entre força e aceleração.
Em outra vertente, o estudo da teoria de sinais e sistemas também abriu por-
tas ao desenvolvimento do cálculo diferencial, em que Leibniz e (novamente) 
Newton puderam se basear para modelar sistemas físicos na conformação de 
equações diferenciais, construindo relações matemáticas sólidas que associa-
vam de modo implícito, variáveis de entrada e variáveis de saída (Diniz; Silva; 
Netto, 2014; Frank, 2008). 
GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646-1716) E ISAAC NEWTON (1643-1727)
Fonte: ©Ekenaes; ©Yeeno, Wikimedia Commons (2023).
#pratodosverem - retratos de Leibniz, à esquerda, e Newton, à direita. Ambos têm cabelos 
longos, de Leibniz é preto; de Newton, branco acinzentado, têm pele clara e vestem 
casaco escuro.
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No caso dessas equações, o interesse científico maior se fez sempre no ques-
tionamento de como uma dada saída se comportaria mediante a aplicação 
de uma dada entrada. A descrição desse comportamento é a chave de estudo 
da teoria de sinais e sistemas, permitindo que qualquer fenômeno possa ser 
descrito por leis matemáticas bem definidas, dentro de uma margem reque-
rida de quão precisas se queira representar as situações realísticas em mode-
los. É o caso dos sistemas elétricos, mecânicos e químicos, em que se espera 
um determinado sinal de saída para um sinal de entrada conhecido, por meio 
do conhecimento do modelo desenhado (Higuti; Kitano, 2003; Nalon, 2013; 
Santana et al., 2012). Com base em tais premissas, apresentaremos nas próxi-
mas seções, os conceitos de sinais e sistemas, ilustrando suas propriedades.
1.1.1 DEFINIÇÃO DE SINAIS E SISTEMAS
Pode-se entender sinal como sendo, matematicamente, uma função real ou 
complexa que pode assumir diversos valores ao longo do tempo. No caso da 
teoria de sinais e sistemas, o modelamento de fenômenos reais admite que 
todo sinal pode ser representado em função de combinações lineares de sinais 
senoidais ou mesmo exponenciais complexos, já que tal consideração permi-
te que condições de linearidade e invariância no tempo, abordadas mais à 
frente nesta unidade, sejam obedecidas. A figura a seguir ilustra a representa-
ção de um sinal arbitrário modelado por , 
cujos valores variam com o tempo.
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SINAIS E SISTEMAS
REPRESENTAÇÃO DE UM SINAL NO DOMÍNIO DO TEMPO
Fonte: elaborada pelo autor (2023).
#pratodosverem - representação de um sinal arbitrário no domínio do tempo. A curva em 
azul indica variações do sinal no domínio do tempo.
Na Engenharia e na Computação, o conceito de sistema remete tanto a ob-
jetos tangíveis – como sistemas de softwares, sistemas eletrônicos, sistemas 
computacionais, sistemas mecânicos – quanto a elementos abstratos – como 
sistemas de equações lineares ou modelos de entrada e saída ou um modelo 
matemático de entrada e saída (Diniz; Silva; Netto, 2014; Frank, 2008; Lathi, 
2008). Em ambos os casos, a representação de sistemas por meio de um me-
canismo de entrada e saída se faz importante para que fique clara a conexão 
entre causa e efeito, expressando com razoável precisão os fenômenos na-
turais que traduzem, em sua ocorrência, a mesma relação de antecedência 
/ consequência. Em outras palavras, um sinal de entrada excita um determi-
nado sistema, que modifica tal sinal egera um sinal de saída como resposta 
à entrada aplicada – o que não deixa de trazer uma conexão com a condição 
física de ação e reação, notoriamente reportada na Mecânica Clássica.
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SISTEMA
SISTEMA
Objetos 
tangíveis 
Sistemas 
computacionais
Sistemas 
eletrônicos
Sistemas 
de software
Sistemas 
mecânicos 
Sistemas de 
equações 
lineares 
Modelos de 
entrada e saída
Modelo 
matemático de 
entrada e saída
Elementos 
abstratos 
Fonte: elaborada pelo autor (2023).
#pratodosverem - esquema hierárquico mostrando o conceito de sistema. No topo, a 
palavra Sistema; no nível seguinte, Objetos tangíveis e Elementos abstratos. Abaixo de 
objetos tangíveis: sistemas de software; sistemas eletrônicos; sistemas computacionais; 
sistemas mecânicos. Abaixo de Elementos abstratos: sistemas de equações lineares; 
modelos de entrada e saída; modelo matemático de entrada e saída.
Para fins de análise, nesta unidade, designa-se como sistema toda relação 
matemática entre um sinal que é injetado como entrada e um sinal que é 
coletado como saída, cuja representação formal é feita por meio de um mo-
delo. Ou seja, a todo sistema estudado corresponde um modelo, que será tão 
mais simples ou mais complexo conforme se deseje tornar mais superficial 
ou mais complexa sua descrição.
A representação de sinais teve na figura de Fourier seu maior impulso ao lon-
go da história. Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), matemático fran-
cês, era também notório egiptólogo e administrador, tendo grande influên-
cia na Física Matemática por meio de seu trabalho Théorie Analytique de La 
Chaleur (1822). Fourier mostrou como a condução de calor em corpos sólidos 
pode ser analisada em termos de séries matemáticas infinitas, que recebe-
ram seu nome – Séries de Fourier (Senda et al., 2005). 
Extrapolando o conceito para além do tema específico de condução de calor, 
os estudos de Fourier estimularam bastante as pesquisas em Física e Mate-
mática, que, desde então, têm sido frequentemente associadas à solução de 
problemas de contorno, bem como ao modelamento de ocorrências naturais, 
como manchas solares, marés e condições climáticas. O trabalho de Fourier 
também exerceu grande influência na teoria das funções de uma variável real, 
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SINAIS E SISTEMAS
que é considerado hoje um dos principais ramos da Matemática Moderna 
(Bonatti; Lopes; Peres, 2009; Roberts, 2010). Fourier, filho de um alfaiate, fre-
quentou pela primeira vez a escola quando foi aluno da instituição militar da 
localidade em que morava, dirigida por monges beneditinos. Naquela oca-
sião, demonstrou tamanha proficiência em matemática, ainda nos primeiros 
anos, e mais tarde, se tornou professor de matemática da própria instituição. 
Os ideais da Revolução Francesa conduziram Fourier para a carreira política, 
o que o fez por mais de uma vez correr risco real de perder sua vida. O mate-
mático foi um dos melhores professores de seu tempo, destacando-se na co-
munidade acadêmica e vindo a trabalhar, em sua carreira, em parceria com 
outros físicos e químicos expoentes da época, como John Frederic Daniell e 
Michael Faraday.
MICHAEL FARADAY (1791-1867) E JOHN FREDERIC DANIELL (1790-1845)
Fonte: ©Materialscientist; ©Wdwwd, Wikimedia Commons (2023).
#pratodosverem - retratos de Faraday e Daniell. Ambos vestem roupas formais e têm 
cabelos curtos. O retrato de Faraday é em preto e branco; o de Daniell, colorido.
O cerne do trabalho de Fourier reside no fato de que o matemático sempre 
vislumbrou a ideia de equacionamento de problemas tomando como base a 
necessidade de construção de modelos bem definidos, regidos por equações 
sistêmicas (Stelle, 2005). 
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A teoria de Fourier é até hoje expoente em diversas 
aplicações em Telecomunicações, Processamento 
de Sinais e Sistemas de Controle, não tendo 
encontrado teoria que a tivesse substituído, o que 
marca Fourier como um dos grandes pensadores e 
estudiosos de seu tempo. 
1.1.2 CLASSIFICAÇÃO DE SINAIS: CONTÍNUOS 
E DISCRETOS, DETERMINÍSTICOS E 
ALEATÓRIOS
Segundo a teoria de sinais, é útil que se classifique tais sinais de acordo com 
características que melhor o definam, em termos de simetria, de distribuição 
no tempo e de estacionariedade. Faz- se aqui uma breve descrição de como 
se caracterizam, a fim de que se possam criar posteriormente conceitos e 
definições.
CATEGORIZAÇÃO DE SINAIS ESTACIONÁRIOS
Sinais 
periódicos
Sinais 
quasi-periódicos
Sinais 
estacionários
Sinais 
determinísticos
Sinais 
estocásticos
Fonte: elaborada pelo autor (2023).
#pratodosverem - diagrama de blocos mostrando a classificação de sinais estacionários. 
Abaixo de Sinais estacionários, no nível seguinte, sinais determinísticos e sinais 
estocásticos; abaixo de sinais determinísticos, sinais periódicos e sinais quase-periódicos.
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Diz-se que um sinal x(t) é contínuo se é definido para todo instante t. São 
exemplos de sinais contínuos:
A figura a seguir ilustra um sinal arbitrário contínuo.
REPRESENTAÇÃO DE UM SINAL CONTÍNUO
Fonte: elaborada pelo autor (2023).
#pratodosverem - representação de um sinal contínuo.
Por outro lado, um sinal x[n] é discreto se existe apenas para valores de n in-
teiros. São exemplos de sinais discretos:
A figura a seguir ilustra um sinal arbitrário sinal discreto. É importante desta-
car que um sinal discreto existe apenas para instantes de tempo representa-
dos por números inteiros, positivos ou negativos.
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REPRESENTAÇÃO DE UM SINAL NO TEMPO DISCRETO
Fonte: elaborada pelo autor (2023).
#pratodosverem - representação de um sinal no tempo discreto.
Já no que diz respeito à característica probabilística, pode-se conceituar um 
sinal como sendo determinístico ou aleatório. Um sinal é determinístico se 
pode ser reproduzido caso sejam aplicadas as mesmas condições utilizadas 
em sua geração (Lathi, 2008; Senda et al., 2005). 
A figura a seguir ilustra um sinal arbitrário determinístico.
REPRESENTAÇÃO DE UM SINAL DETERMINÍSTICO
Fonte: elaborada pelo autor (2023).
#pratodosverem - representação de um sinal determinístico.
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Já sinais aleatórios (ou estocásticos) são sinais que possuem uma variabilida-
de que dificulta sua predição ou caracterização na forma analítica, sem pos-
suírem traços de periodicidade (Lathi, 2008).
A figura a seguir ilustra um sinal arbitrário estocástico.
REPRESENTAÇÃO DE UM SINAL ALEATÓRIO
Fonte: elaborada pelo autor (2023).
#pratodosverem - representação de um sinal aleatório ou estocástico.
Sinal determinístico
é um sinal que pode ser completamente descrito por uma função 
matemática ou equação, ou seja, cujo comportamento ao longo do 
tempo é completamente previsível e não aleatório.
Sinal estocástico
é um sinal que exibe alguma forma de aleatoriedade ou 
imprevisibilidade em seu comportamento ao longo do tempo. 
Distintamente de um sinal determinístico, cujo comportamento 
futuro pode ser completamente previsto com base em equações 
matemáticas, possui incerteza em relação aos valores futuros.
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É importante destacar que a classificação de sinais em contínuos/discretos 
ou determinísticos/estocásticos não possui nenhuma dependência, ou seja, 
sinais contínuos ou discretos podem ser determinísticos ouestocásticos, sem 
perda de generalidade.
Tome-se um exemplo numérico:
De acordo com a classificação anterior, o sinal acima 
é classificado como contínuo, em termos de existir 
para todo instante de tempo, bem como se trata 
de um sinal determinístico, posto que pode ser 
reproduzido com clareza segundo uma expressão 
matemática. 
1.1.3 CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS: 
LINEARES, INVARIANTES NO TEMPO (LIT) E 
SUAS PROPRIEDADES
Do mesmo modo que sinais são devidamente classificados conforme carac-
terísticas bem definidas, os sistemas também recebem classificações com 
base nas propriedades que tais sistemas possuem.
No que diz respeito à característica de invariância no tempo, define-se um 
sistema como invariante no tempo se, ao se aplicar um retardo ou avanço de 
tempo no sinal de entrada, provoca-se um deslocamento de tempo idêntico 
no sinal de saída. As características de um sistema invariante no tempo não se 
alteram com o tempo (Frank, 2008; Santana et al., 2012).
A figura a seguir ilustra o efeito da invariância no tempo na caracterização 
de sistemas.
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SINAIS E SISTEMAS
INVARIÂNCIA NO TEMPO PARA SISTEMAS DISCRETOS
Fonte: elaborada pelo autor (2023).
#pratodosverem - invariância no tempo para sistemas discretos. Os sinais à esquerda dos 
blocos são sinais de entrada, ao passo que os sinais à direita dos blocos são sinais de saída.
Invariância no tempo: 
propriedade que associa a rigidez de um sistema à variação de 
instante de aplicação de um sinal.
Meios: 
identifica-se um sistema como invariante no tempo para permitir 
sua caracterização de forma assertiva, sem perda de generalidade na 
análise de sinais deslocados no tempo.
Objetivos: 
com a invariância no tempo, as operações básicas realizadas sobre 
sinais se mantêm válidas mesmo na condição de atrasos na aplicação 
do sinal de entrada.
No que tange à definição de linearidade, um sistema é linear se atende ao 
princípio da superposição, que estabelece o seguinte enunciado: Dado um 
sistema sujeito à aplicação de uma entrada x1(t) que implica uma saída y1(t), 
bem como à aplicação de uma entrada x2(t) que implica uma saída y2(t), à 
aplicação de uma entrada x3(t) que implica uma saída y3(t), e assim por diante 
para tantas quantas forem as entradas, pode-se dizer que a saída global para 
a totalização (soma) das entradas é igual à totalização (soma) das saídas indi-
viduais (Diniz; Silva; Netto, 2014; Lathi, 2008; Nalon, 2013).
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Tal efeito é mais bem descrito no diagrama a seguir.
LINEARIDADE PARA SISTEMAS DISCRETOS.
Fonte: elaborada pelo autor (2023).
#pratodosverem - linearidade para sistemas discretos. À esquerda dos blocos, os sinais de 
entrada individuais; à direita, suas respectivas saídas. O bloco final contém como entrada, 
todas as entradas individuais somadas, sendo sua saída igual à soma das saídas 
individuais anteriores.
Linearidade: 
propriedade que associa a um sistema, sua característica de responder 
a diferentes sinais de entrada de forma a somar em sua saída, as 
respostas individuais referentes a cada entrada.
Meios: 
identifica-se um sistema como linear para permitir sua caracterização 
de forma assertiva, sem perda de generalidade na análise de 
sinais individuais.
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Objetivos: 
com a linearidade, as operações básicas realizadas sobre sinais se 
mantêm válidas mesmo na condição de independência de distintos 
sinais de entrada.
1.2 ANÁLISE DE SINAIS NO DOMÍNIO DO TEMPO
Uma vez descrita a diferença entre sinais e sistemas, e apresentadas caracte-
rísticas relevantes de comportamento no tempo para ambas as entidades, é 
preciso entender como representar sinais dentro do escopo de existência da 
variável tempo, já que sinais podem existir em intervalos contínuos ou discre-
tos de tempo.
1.2.1 REPRESENTAÇÃO DE SINAIS CONTÍNUOS 
E DISCRETOS NO DOMÍNIO DO TEMPO
A representação de sinais contínuos e discretos segundo a variável tem-
po apresenta uma distinção relevante em aplicações de processamento 
de sinais e na análise de sistemas. Como já anteriormente definido, sinais 
contínuos são aqueles que variam de forma suave e contínua ao longo do 
tempo, sendo descritos assim por funções matemáticas contínuas (Diniz; 
Silva; Netto, 2014; Lathi, 2008; Stelle, 2005). 
Um exemplo clássico de sinal contínuo é uma onda senoidal, representada 
por uma função trigonométrica ou combinação de funções trigonométricas, 
como seno ou cosseno. No caso, representar sinais contínuos, envolve, então, 
o uso de equações matemáticas que descrevem sinais com existência em to-
dos os pontos no tempo, como ilustrado na figura a seguir.
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REPRESENTAÇÃO DE UM SINAL CONTÍNUO: EXISTÊNCIA PARA TODO T
Fonte: elaborada pelo autor (2023).
#pratodosverem - representação de um sinal contínuo.
Por outro lado, os sinais discretos se referem a amostragens dos sinais contí-
nuos em intervalos de tempo regulares, o que significa que o sinal é observa-
do apenas em pontos discretos, não estando disponível em todos os instantes 
de tempo. Assim, a representação de sinais discretos envolve uma sequência 
finita ou infinita de valores (Diniz; Silva; Netto, 2014; Lathi, 2008).
Exemplos de sinais discretos são os sinais de áudio digital, em que a amplitu-
de do som é amostrada a uma taxa fixa, segundo uma frequência definida de 
amostragem. A figura a seguir ilustra o mesmo sinal da figura anterior, mas 
em sua versão amostrada no tempo, ou seja, discreta.
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REPRESENTAÇÃO DE UM SINAL DISCRETO: EXISTÊNCIA PARA ALGUNS T
Fonte: elaborada pelo autor (2023).
#pratodosverem - representação de um sinal discreto.
É importante observar que a diferença de valores na escala de tempo não 
significa que os vetores tempo contínuo e tempo discreto tenham de possuir 
mesmos limites (no caso, o sinal contínuo pode existir para uma faixa de tem-
po e, ao ser amostrado, existir em valores de tempo discreto distintos). 
Em outras palavras, o fato de o sinal discreto existir para n = 90 não significa 
que sua amostra correspondente no tempo contínuo ocorra em t = 90 s. No 
caso, a 90ª amostra do sinal pode corresponder a qualquer valor de tempo 
contínuo, de acordo com o intervalo de tempo em que são registrados os va-
lores do sinal (o que é definido como “período de amostragem”) – no caso das 
figuras, há uma amostra discreta a cada 0,1 segundo, o que indica que as 100 
amostras obtidas representam, de fato, 10 segundos do sinal contínuo.
A escolha entre a representação contínua ou 
discreta para caracterizar um sinal depende do 
contexto da aplicação. Sinais contínuos são úteis 
quando se deseja modelar fenômenos físicos 
de forma precisa; já sinais discretos permitem o 
uso eficiente de algoritmos digitais para análise e 
processamento de informações. 
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Caso se deseje transportar um sinal contínuo para um sinal na forma discre-
ta, como ilustrado nas figuras anteriores, coletam-se valores a intervalos de 
tempo fixos. O período em que tais amostras são coletadas é definido como 
período de amostragem (Lathi, 2008; Nalon, 2013)
Período de amostragem: 
corresponde ao período em que as amostras de um sinal contínuo são 
coletadas, para formar sua versão discretizada ou discreta.
Meios: 
o período de amostragem pode ser mensurado com base na 
identificação de amostras de um sinal contínuo que se repete de 
forma sistemática, sendomedido pela distância entre tais amostras 
(no caso de sinais senoidais, pela distância entre pontos de mesma 
fase).
Objetivos: 
conhecendo-se o período de amostragem de um sinal discreto, 
pode-se, sob determinadas condições, recuperar a versão contínua 
desse sinal.
Os processos de conversão entre sinais contínuos e discretos e vice-versa, co-
nhecidos como amostragem e reconstrução, aparecem em diversas aplica-
ções, sendo operações usuais em Processamento de Sinais para garantir que 
a informação seja representada e manipulada de forma adequada no domí-
nio do tempo discreto. 
Para um sinal contínuo limitado em faixa (ou seja, sem “vazios” entre a fre-
quência nula e seu conteúdo espectral) com máxima frequência fM , pode-se 
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reconstruir tal sinal com base em suas amostras se a amostragem tiver sido 
realizada de tal forma que a frequência de amostragem fS (inversa do período 
de amostragem) obedecer à seguinte condição:
Tal condição é referida na literatura como “Teorema da Amostragem”, ou 
Teorema de Nyquist-Shannon. 
Para reconstruir um sinal contínuo, com base em 
suas amostras discretas sem perda de informação, 
a frequência de amostragem deve ser pelo menos 
igual ao dobro da frequência máxima presente no 
sinal contínuo (Lathi, 2008). 
Se a frequência de amostragem não atender a essa condição, ocorrerá um 
fenômeno chamado de aliasing, em que componentes de frequência do 
sinal original serão erroneamente interpretadas como frequências distintas 
das originais, resultando em distorção e perda de informação no processo de 
reconstrução (Lathi, 2008; Santana et al., 2012).
O Teorema da Amostragem é fundamental em 
algumas aplicações de Processamento Digital 
de Sinais, como na digitalização de áudios, vídeos 
e imagens, garantindo que os sinais analógicos 
possam ser representados com precisão em sua 
forma digital, e com possibilidade de reconstrução 
sem perdas. 
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1.2.2 OPERAÇÕES BÁSICAS COM SINAIS: 
DESLOCAMENTO, ESCALONAMENTO 
E INVERSÃO
Sinais podem ser livremente combinados como funções matemáticas ele-
mentares, admitindo certas operações matemáticas usuais, como desloca-
mento, escalonamento e inversão, descritos a seguir. A definição dessas fun-
ções, estabelecida a sinais contínuos, também se aplica a sinais discretos, 
como apresentado a seguir.
a. Deslocamento
Para um sinal x(n), equivale a se calcular sua versão adiantada ou atrasada, ou 
seja, representar x(n – n0).
SINAL DESLOCADO
Fonte: elaborada pelo autor (2023).
#pratodosverem - é ilustrado o sinal original; no gráfico inferior, o sinal deslocado de 2 
amostras (atrasado no tempo discreto). Cada amostra é indicada por um círculo, com 
altura proporcional à amplitude.
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b. Escalonamento
Para um sinal x(n), equivale a se calcular sua versão amplificada ou atenuada, 
ou seja, representar .
SINAL ESCALONADO
Fonte: elaborada pelo autor (2023).
#pratodosverem - representação de um sinal escalonado. No gráfico superior, é ilustrado 
o sinal original; no gráfico inferior, o sinal multiplicado de 2 unidades no tempo discreto. 
Cada amostra é indicada por um círculo, com altura proporcional à amplitude.
c. Inversão
Para um sinal x(n), equivale a se calcular sua versão refletida em relação ao 
eixo vertical Y, ou seja, representar x(– n).
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SINAL DISCRETO INVERTIDO
Fonte: elaborada pelo autor (2023).
#pratodosverem - representação de um sinal deslocado. No gráfico superior, é ilustrado 
o sinal original; no gráfico inferior, o sinal deslocado de 2 amostras (atrasado no tempo 
discreto). Cada amostra é indicada por um círculo, com altura proporcional à amplitude.
1.2.3 PROPRIEDADES DE SISTEMAS LIT: 
LINEARIDADE, INVARIÂNCIA NO TEMPO E 
CAUSALIDADE
Das considerações anteriores, é possível caracterizar invariância no tempo e 
linearidade para sinais, de modo que se utiliza a notação de SLIT para indicar 
a classificação de Sistema Linear Invariante no Tempo. Um sistema que seja 
assim classificado possui as características de ser invariante no tempo para 
atraso aplicado em uma entrada, bem como, quando submetido a diferentes 
entradas, responde de forma conjunta a cada entrada, somando as diferentes 
saídas individuais (Lathi, 2008; Nalon, 2013; Roberts, 2010).
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Sistema linear invariante no tempo – é um 
sistema que carrega em si ambas as propriedades: 
linearidade, garantindo que a saída de entradas 
individuais é combinada como saída única 
resultante da soma de tais entradas; e invariância 
no tempo, em que entradas deslocadas no tempo 
conduzirão a saídas deslocadas no tempo por 
igual quantidade. 
CONCLUSÃO
Esta unidade buscou apresentar os conceitos de sinais e sistemas, caracteri-
zando-os em termos de suas propriedades e condições de existência. A distin-
ção apropriada entre tais conceitos permite explorar com a devida proprieda-
de o tratamento matemático de fenômenos naturais, em termos de modelos 
que a partir desses fenômenos são definidos, com as devidas precisão numé-
rica e elegância.
Foram também apresentadas características de representação dessas enti-
dades mediante os conceitos de tempo contínuo e tempo discreto, permi-
tindo que a conformação matemática de sinais e sistemas possa se adequar 
à natureza da aplicação de Processamento de Sinais que seja selecionada 
como forma de representação. 
Assim, adquire-se embasamento para o estudo de representações adequa-
das de sinais e sistemas nos tempos contínuo e discreto, permitindo que se-
jam realizadas operações gráficas de escalonamento, deslocamento no tem-
po e inversão, que são operações consideradas usuais ao se processar sinais.
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• Estacionariedade: no campo da Estatística, 
a estacionariedade se refere a uma condição 
de séries temporais que indica haver, em 
tais séries, constância de propriedades 
estatísticas, ou seja, valores de média, variância 
e outras características da série não se alteram 
significativamente ao longo do tempo.
• Sinal: é a representação numérica de um 
fenômeno ou variável física que descreve uma 
ação ou estado físico, de forma a tornar tal 
entidade tratável para operações matemáticas 
e/ou gráficas.
• Sistema: é uma entidade composta por partes 
independentes e interligadas, representando as 
características de um modelo e respondendo a 
sinais de entrada, gerando como resposta sinais 
de saída.
• Sistema invariante no tempo: sistema que 
responde a um sinal de entrada adiantado ou 
atrasado, posicionando o sinal de saída com o 
mesmo avanço/atraso observado na entrada.
• Sistema linear: sistema que responde a um 
sinal de entrada combinado de vários sinais 
individuais como uma única saída também 
combinada como soma das saídas individuais. 
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SINAIS E SISTEMAS
MATERIAL COMPLEMENTAR
Para saber mais sobre este tema, leia os artigos a 
seguir:
1. Sinais e sistemas. ELE 0331 – Princípios de 
Comunicações. 
2. Sinais e sistemas definidos sobre aritmética 
intervalar complexa. 
3. Linearidade em Sinais e Sistemas.
4. Apostila de Sinais e Sistemas.
5. Aplicações de Processamento Digital de Sinais 
em Engenharia Elétrica.
https://www.feis.unesp.br/Home/departamentos/engenhariaeletrica/optoeletronica/sinais_e_sistemas.pdf
https://www.scielo.br/j/tema/a/yDqX7r5frKFkvvLJTWfYVqk/abstract/?lang=pt#https://www.scielo.br/j/tema/a/yDqX7r5frKFkvvLJTWfYVqk/abstract/?lang=pt#
https://www.decom.fee.unicamp.br/~rlopes/EA616/Ivanil/LSS.pdf
http://paginapessoal.utfpr.edu.br/mdasilva/disciplinas/et75h/et75h/SinaisESistemas_Stelle.pdf
https://www.lcs.poli.usp.br/~marcio/Papers/Senda2005.pdf
https://www.lcs.poli.usp.br/~marcio/Papers/Senda2005.pdf
OBJETIVO 
Ao final desta 
unidade, 
esperamos que 
possa:
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SINAIS E SISTEMAS
UNIDADE 2
> Compreender a 
representação de 
sinais e sistemas 
contínuos.
> Compreender a 
representação de 
sinais e sistemas 
discretos.
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SINAIS E SISTEMAS
2 SISTEMAS LIT CONTÍNUOS E 
DISCRETOS
INTRODUÇÃO DA UNIDADE
Esta unidade abordará a manipulação matemática de sinais, em termos de 
sua representação distinta para os casos contínuo e discreto, sendo cada 
uma delas indicativa de diferentes universos de aplicações na teoria de sinais 
e sistemas. 
Inicialmente, será estabelecida a distinção entre equações diferenciais e 
equações de diferença, existentes para modelar, respectivamente, sistemas 
baseados no tempo contínuo e no tempo discreto. A análise de tais equações 
tem como propósito avaliar o comportamento de sistemas em termos de sua 
resposta para sinais de entrada tomados como referência, como sinais em 
impulso e em degrau, permitindo assim que se possa qualificar qualquer sa-
ída com base no conhecimento explícito do sistema.
Em sequência, será dada atenção às características de resposta para sistemas 
no tempo contínuo, avaliando-se suas condições de estabilidade, ou seja, em 
que situações as respostas desses sistemas a entradas estáveis se comportam 
também em condições de estabilidade.
Por fim, a mesma atenção será dispensada ao caso de sistemas no tempo 
discreto, avaliando-se igualmente as respostas de sistemas ao caso de sinais 
de entrada estáveis no domínio do tempo discreto, de forma a consolidar o 
conceito de estabilidade nesse tipo de domínio temporal.
Ao fim desta unidade, você será capaz de explorar com razoável habilidade os 
sinais contínuos e discretos, em termos de seu comportamento associado à 
estabilidade diante dos diversos sinais de entrada a que forem apresentados.
2.1 SISTEMAS LIT CONTÍNUOS
No estudo de sinais e sistemas, a análise específica e detalhada dos chama-
dos “sistemas lineares e invariantes no tempo” (ou SLIT), como visto anterior-
mente, é fundamental para o entendimento de como sinais e sistemas se 
relacionam, em termos de caracterizar adequadamente os sinais gerados por 
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esses sistemas em resposta a outros sinais. No caso, sistemas assim denomi-
nados são muito importantes por representarem a maior parte dos sistemas 
que se encontram na natureza, sendo sua compreensão essencial para anali-
sar diversos fenômenos científicos (Bonatti; Lopes; Peres, 2009).
A história que acompanha o desenvolvimento teórico dos SLIT remonta ao 
século XVIII, quando o matemático alemão Leonhard desenvolveu as bases 
para toda a teoria das equações diferenciais, ganhando corpo no século XX, 
com o advento da teoria de Controle e com os avanços da Eletrônica (Diniz; 
Silva; Netto, 2014).
 LEONHARD EULER (1707-1783)
Fonte: ©Jakob Emanuel Handmann, Wikimedia Commons (2023).
#Paratodosverem - retrato de Euler. O matemático veste roupas despojadas e tem 
cabelos brancos.
Por meio do estudo focado de equações diferenciais para modelar fenôme-
nos físicos e químicos, os estudiosos de sistemas passaram a perceber que 
havia uma conexão intrínseca entre sinais de entrada e sinais de saída, per-
fazendo-se uma relação matematicamente consistente entre tais entidades.
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SINAIS E SISTEMAS
DIAGRAMA DE BLOCOS DE UM SISTEMA
Entrada SaídaSistema
Fonte: elaborado pelo autor (2023).
#Paratodosverem - diagrama de blocos de um sistema. À esquerda, o sinal de entrada; à 
direita, o sinal de saída. O sistema recebe o sinal de entrada e gera uma saída conforme 
suas características intrínsecas.
Na modelagem de fenômenos contínuos, ou seja, que respondem continua-
mente a excitações aplicadas em sua entrada, tais sistemas se definem tam-
bém contínuos, de modo que o estudo da resposta (e assim das equações 
que os regem) é útil no sentido de caracterizar completamente os sistemas 
associados (Frank, 2008).
Com base em tais considerações, apresentam-se nas próximas seções os con-
ceitos de equações diferenciais aplicadas a SLIT contínuos, investigando a se-
guir as respostas ao impulso e ao degrau, bem como as questões de estabili-
dade e causalidade.
2.1.1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E EQUAÇÕES 
DE DIFERENÇA EM SISTEMAS LIT CONTÍNUOS
As equações diferenciais assumem, na Teoria de Sinais, um importante papel 
para descrever e analisar toda forma de sistema que represente (por meio de 
um modelo) um dado fenômeno natural, seja físico, químico ou biológico. De 
fato, as equações diferenciais, muitas vezes referidas na literatura como EDs, 
trazem um modo elegante e preciso de descrever sistemas LIT contínuos, 
sendo o elemento de conexão entre os sinais de entrada e as respostas desses 
sistemas mediante a aplicação de tais sinais, permitindo que se compreenda 
como se comportam em relação ao tempo (Lathi, 2008).
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Uma equação diferencial nada mais é que uma expressão matemática que 
relaciona a derivada de uma função desconhecida a ela própria, em conjun-
to com outras variáveis. Em outras palavras, no contexto da compreensão 
de um sistema LIT contínuo, tais equações absorvem a relação entre um si-
nal de entrada, a resposta do sistema a tal entrada e suas derivadas (Higuti; 
Kitano, 2003).
Os primeiros registros históricos da utilização de equações diferenciais re-
montam à Grécia Antiga, fazendo referência aos matemáticos Zenão de Cítio 
e Eudoxo de Cnido, que estudavam o comportamento de taxas de variação. 
(Diniz; Silva; Netto, 2014).
ZENÃO DE CÍTIO (333 A.C.-263 A.C.)
Fonte: ©Jeremy Weate, Wikimedia Commons (2023).
#Paratodosverem - busto de Zenão de Cítio aparentemente em mármore representando 
um homem sério de barba longa.
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SINAIS E SISTEMAS
Foi, todavia, no Renascimento e, posteriormente, com os trabalhos de ma-
temáticos como Newton e Leibniz, que o mundo presenciou os primeiros 
passos do Cálculo Diferencial e Integral. Desses avanços, outros matemáticos, 
como Lagrange e Poincaré, trouxeram contribuições significativas à teoria de 
equações diferenciais (Diniz; Silva; Netto, 2014).
JOSEPH-LOUIS LAGRANGE (GIUSEPPE LODOVICO LAGRANGIA) (1736-1813) 
E HENRI POINCARÉ (1854-1912)
Fonte: Wikimedia Commons (2023).
#Paratodosverem - retratos de Lagrange e Poincaré. Ambos vestem roupas formais e têm 
cabelos curtos. Lagrange tem cabelos brancos; Poincaré tem cabelos pretos e usa óculos.
Um exemplo usual da aplicação de equações diferenciais em sistemas LIT 
contínuos é a Equação Diferencial Linear Ordinária (EDO), ferramenta ma-
temática que descreve o comportamento de sistemas cujas respostas são 
proporcionais às entradas e às suas taxas de variação. As EDOs são parti-
cularmente úteis em Sistemas de Controle, Eletrônica e Processamento de 
Sinais, em que se prestam a modelar todos os fenômenos físicos inerentes 
a tais campos.
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UTILIZAÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA A MODELAGEM 
DE SISTEMAS
Hipóteses
Representação 
por equações 
diferenciais
Resoluçãode equações 
diferenciais
Soluções
Predições do 
modelo
Alteração das 
hipóteses ou 
refinamento 
do modelo
Formulação 
matemática
Comparação 
das predições 
com modelo 
prévio
Fonte: elaborada pelo autor (2023).
#Paratodosverem - diagrama de blocos envolvendo o fluxo de modelagem de um sistema 
por meio de equações diferenciais. Os blocos seguem o fluxo no sentido horário, na 
seguinte ordem: Hipóteses; Representação por Equações Diferenciais; Formulação 
Matemática; Resolução das Equações Diferenciais; Soluções; Predições do Modelo; 
Comparação das Predições com o Modelo Prévio; Alteração das Hipóteses ou 
Refinamento do Modelo.
A associação de equações diferenciais com sistemas LIT contínuos é uma fer-
ramenta válida que permite determinar a complexidade do sistema e assim 
facilitar sua análise. Como derivadas de qualquer ordem podem estar envolvi-
das nas equações, compreender as propriedades e soluções dessas equações 
é fundamental para prever e controlar o comportamento de sistemas LIT con-
tínuos em uma diversidade de aplicações. À medida que se ganha mais noção 
de como as equações diferenciais formam a base para o projeto de sistemas 
complexos, mais fácil se torna modelar problemas do mundo real.
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SINAIS E SISTEMAS
Considere um exemplo clássico de sistema massa-mola, constituído por uma 
massa m presa a uma mola de constante elástica k, de modo que se pode 
escrever a equação diferencial:
No caso, a equação diferencial, de 2ª ordem, descreve completamente o mo-
vimento da massa e a deformação da mola, sujeitas à aplicação da força F.
SISTEMA MASSA-MOLA
Fonte: elaborado pelo autor (2023).
#Paratodosverem - sistema massa-mola; mola representada na cor prata sobre um 
pedestal dourado no qual há a letra “m” minúscula. À esquerda da mola, uma seta 
vermelha aponta para cima e ao lado dela há a letra “F” maiúscula. À direita da mola, 
há a letra “k” minúscula.
Um exemplo interessante de uso de equações 
diferenciais se dá na modelagem de sistemas 
climáticos para prever padrões meteorológicos. 
Essas equações auxiliam os cientistas a entenderem 
como fatores como temperatura, pressão 
atmosférica e ventos interagem ao longo do tempo, 
permitindo previsões climáticas mais precisas. 
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2.1.2 RESPOSTAS AO IMPULSO E AO DEGRAU 
EM SISTEMAS LIT CONTÍNUOS
Um dos aspectos mais importantes no estudo de sistemas LIT contínuos diz 
respeito ao fato de compreender como esses sistemas reagem a estímulos 
específicos, como o impulso e o degrau. Essas respostas trazem aproxima-
ções importantes sobre o comportamento do sistema e exercem um papel 
fundamental na teoria de sinais e sistemas. Descrevem-se a seguir tais cate-
gorias de resposta.
a. Resposta ao Impulso
A resposta ao impulso de um sistema LIT contínuo é uma característica única 
e fundamental da sua dinâmica de funcionamento. No caso, consiste na res-
posta do sistema a um sinal de entrada definido como “impulso unitário”, que 
é representado pela função 
sendo o valor 1, no caso, representativo da área da função impulso.
FUNÇÃO IMPULSO
Fonte: ©Whiteknight, Wikimedia Commons (2023).
#Paratodosverem - função impulso ou delta de Dirac. A função impulso aparece ilustrada 
no gráfico em dois eixos, sendo representada por uma seta vertical centrada na origem, 
possuindo área equivalente à de um retângulo também centrado na origem e situado 
entre -A/2 e A/2. Quando A tende a zero, a altura do retângulo tende a infinito e sua 
largura tende a zero, de modo que o próprio retângulo acaba por tender à seta.
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A resposta ao impulso traz informações detalhadas sobre como o sistema 
se comporta quando é submetido a uma perturbação instantânea e uni-
tária, sendo frequentemente usada para determinar a resposta do sistema 
para qualquer entrada arbitrária por meio de uma convolução, um processo 
matemático recorrente em teoria de sinais e sistemas – a ser abordado nas 
próximas unidades.
b. Resposta ao Degrau
A resposta ao degrau é outra forma de se perfazer a análise de sistemas LIT 
contínuos. Tal resposta descreve a reação do sistema a um sinal de entrada do 
tipo degrau, indicado pela função
que representa uma mudança abrupta no valor da entrada no instante t = 0. 
Quando A = 1, o degrau é dito unitário.
FUNÇÃO DEGRAU
Fonte: ©RicHard-59, Wikimedia Commons (2023).
#Paratodosverem - função degrau. A função impulso aparece ilustrada no gráfico em azul, 
com um segmento de reta de amplitude nula para t < 0 e de amplitude diferente de zero 
para t >= 0. A função vale zero até atingir o valor de t = 0, e no instante t = 0 sobe para um 
valor constante, que se mantém até o infinito, como se fosse um degrau de escada, daí o 
nome “degrau”.
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A resposta ao degrau possibilita o entendimento de como um sistema se ajus-
ta a perturbações constantes, bem como fornece meios para se avaliar qual 
seu comportamento estacionário após a mudança do sinal de entrada. Com 
a resposta ao degrau, pode-se determinar parâmetros importantes, como 
tempo de subida, tempo de acomodação, sobressinal percentual e saída em 
regime permanente, que são significativos para caracterizar elementos proje-
tados como sistemas de controle e filtros seletores de sinais.
Pode-se, sem perda de generalidade, provar que:
Função Impulso: 
corresponde a uma função com duração infinitesimal e amplitude 
infinita, de modo que é convencionada como possuindo área unitária, 
sendo daí chamada de função impulso unitário ou simplesmente 
impulso unitário.
Função degrau: 
corresponde a uma função nula para todo intervalo de tempo t < 0, 
assumindo valor constante e positivo a partir de t = 0. A transição da 
função nesse intervalo ocorre em um intervalo de tempo infinitesimal, 
de modo que sua derivada exprime exatamente a função 
impulso unitário. 
Em termos de aplicações práticas, as respostas ao impulso e ao degrau se 
prestam a diversas aplicações. Na Engenharia de Controle, por exemplo, a res-
posta ao degrau é utilizada como referência no projeto de controladores que 
assegurem uma resposta rápida e estável do sistema. A resposta ao impulso, 
por sua vez, é fundamental para a análise de sistemas de comunicação, com 
vistas a mensurar a capacidade desse sistema de transmitir informações sem 
distorções significativas. Além disso, ambas as respostas são essenciais na re-
solução de problemas de engenharia, como filtragem de sinais, projeto de 
circuitos elétricos e modelagem de sistemas físicos (Nalon, 2013).
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Nas próximas seções, serão frequentemente referenciados os termos “respos-
ta ao impulso” e “resposta ao degrau” para sistemas LIT contínuos, explorando 
suas propriedades matemáticas, interpretações físicas e aplicações práticas 
em diferentes domínios da engenharia e da ciência. A compreensão dessas 
respostas é muito útil para desenvolver sistemas eficazes e eficientes em uma 
ampla gama de campos de estudo. 
Quando se toma o sinal:
o sinal resultante é tal que existe somente para 
intervalos de tempo entre 0 e 1, ou seja, configura 
uma “porta” contínua entre 0 e 1. 
2.1.3 ESTABILIDADE E CAUSALIDADE DE 
SISTEMAS LIT CONTÍNUOS
A estabilidade e a causalidade são duas propriedades de muita relevância no 
projeto de sistemas LIT contínuos, pois permitem determinar se um sistema 
é robusto e se seu comportamento é previsível em resposta a diferentes en-
tradas. Tais conceitos devem ser avaliados de forma sistemática e individual 
(Roberts, 2010).
A estabilidade éuma propriedade fundamental de sistemas LIT contínuos 
que determina a resposta do sistema a entradas limitadas. Um sistema é con-
siderado estável se, quando sujeito a uma entrada limitada, sua saída perma-
necer limitada. Em outras palavras, se um pequeno distúrbio na entrada não 
conduzir a respostas não limitadas em amplitude, o sistema é considerado 
estável. A análise da estabilidade é de vital importância na engenharia, pois 
sistemas instáveis podem conduzir a resultados imprevisíveis.
Na figura a seguir, no caso (a), o sistema é instável, pois qualquer ação de 
entrada pode conduzir a uma saída imprevista – a bolinha pode sair do equi-
líbrio. No caso (b), o sistema é estável, pois qualquer ação de entrada não alte-
rará a saída – a bolinha volta ao equilíbrio.
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ANÁLISE DE ESTABILIDADE
Fonte: ©Theotetm, Wikimedia Commons (2023).
#Paratodosverem - análise de estabilidade. À esquerda, uma bolinha equilibrada em 
situação instável, sobre uma parábola com concavidade para baixo. À direita, uma 
bolinha equilibrada em situação estável, dentro de uma parábola com concavidade 
para cima.
A causalidade é outra propriedade essencial de sistemas LIT contínuos. Ela 
determina se a saída de um sistema depende apenas das entradas presen-
tes e passadas, sem depender de entradas futuras. Em outras palavras, um 
sistema causal não pode prever ou antecipar o futuro, mas apenas responde 
ao que já aconteceu. A causalidade é uma característica fundamental em sis-
temas do mundo real, pois sistemas não causais não são realísticos e podem 
desafiar o bom senso físico.
As propriedades de estabilidade e causalidade possuem aplicações críticas 
em uma infinidade de campos de conhecimento, sobretudo em aplicações 
que requerem que sinais assumam valores comportados ou especificados 
dentro de um padrão esperado – por exemplo no controle de trajetória de 
um foguete no espaço, que está sujeito a uma enorme quantidade de forças 
atuantes, em que a estabilidade é mandatória, ou em sistemas de comunica-
ção via rádio, em que a causalidade implica remoção de ecos ou atrasos. Nas 
próximas unidades, tais conceitos tornarão a ser investigados, a fim de que se 
ganhe segurança no projeto de sistemas.
Estabilidade: 
refere-se à propriedade que determina se um sistema retorna a um 
estado de equilíbrio ou permanece sob controle após ser perturbado 
por uma entrada ou uma condição inicial específica.
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Meios: 
caracteriza-se um sistema como estável para que possa assim ser 
utilizável mediante diversos sinais de entrada.
Objetivos: 
com a estabilidade, sistemas podem ser mantidos em uso sem a 
necessidade de controle do sinal de entrada.
Deve-se reforçar que não existe conexão direta entre tais conceitos, ou seja, 
um sistema estável não é necessariamente causal, ou vice-versa.
Causalidade: 
propriedade que se refere à relação de causa e efeito, ou seja, à ideia 
de que um evento, condição ou ação é responsável por produzir uma 
mudança, efeito ou resultado específico em outro evento, condição ou 
objeto.
Meios: 
caracteriza-se um sistema como causal para assegurar que toda saída 
será decorrente apenas de entradas prévias.
Objetivos: 
com a causalidade, as operações básicas realizadas sobre sinais se 
mantêm válidas independentemente do instante de aplicação do sinal 
de entrada.
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2.2 SISTEMAS LIT DISCRETOS
No campo de sinais e sistemas, também é importante explorar a análise de 
sistemas lineares e invariantes no tempo discretos, ou sistemas LIT discretos. 
Esses sistemas representam a base teórica para manipular sinais no domínio 
do tempo discreto, sendo essenciais em áreas como processamento digital 
de sinais, telecomunicações e controle digital, entre outros.
SINAL DISCRETO
Fonte: elaborada pelo autor (2023).
#Paratodosverem - exemplo de sinal discreto. Cada amostra do sinal é pintada em azul, e 
a altura de cada amostra representa sua amplitude.
A evolução dos sistemas LIT discretos está intrinsecamente conectada ao 
avanço da tecnologia de computadores e à necessidade de se lidar com 
sinais e dados discretos em sistemas digitais. A década de 1940 marcou 
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o início da era da computação digital e, desde tal período, a análise de sistemas 
discretos tornou-se um campo que ganhou muito destaque em Engenharia 
e na Ciência da Computação. Com a proliferação de dispositivos concebidos 
pela Eletrônica Digital nas últimas décadas, a teoria dos sistemas LIT discretos 
tornou-se ainda mais relevante, ganhando uma importância única em nossas 
vidas cotidianas, desde a transmissão de dados em redes de comunicação até 
o processamento de imagens e som em dispositivos eletrônicos (Stelle, 2005).
Em termos da representação, análise e propriedades dos sistemas LIT discre-
tos, faz-se uma extensão natural de todos os princípios e regras estabelecidas 
para sistemas LIT contínuos, com algumas adaptações referentes à natureza 
do eixo temporal, agora discreto. Além disso, equações diferenciais agora se 
convertem em equações de diferença, sem perda de generalidade, manten-
do-se os requisitos naturais de estabilidade e causalidades, validados para o 
caso contínuo. 
2.2.1 EQUAÇÕES DE DIFERENÇA E DE 
RECORRÊNCIA EM SISTEMAS LIT DISCRETOS
Para compreender plenamente as propriedades dos sistemas LIT discretos, é 
essencial a intepretação modificada das chamadas equações de diferença, 
que são a base matemática para a representação e modelagem de sistemas 
discretos. Assim, como as equações diferenciais são pontos centrais para sis-
temas LIT contínuos, as equações de diferença exercem essa figura na análise 
de sistemas LIT discretos.
As equações de diferença descrevem a relação entre uma sequência de va-
lores de saída (normalmente representada por y[n]) e uma sequência corres-
pondente de valores de entrada (geralmente representada por x[n]) (Lathi, 
2008). Em essência, elas representam como um sistema LIT discreto evolui no 
tempo discreto, especificando como o valor atual de saída depende dos valo-
res de entrada passados e presentes. Uma equação de diferença típica pode 
ser expressa na forma geral:
em que f é uma função que relaciona as entradas passadas e presentes com 
a saída atual, e k é a ordem da equação de diferença, que determina quantos 
valores passados influenciam a saída atual.
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Na figura seguinte, ilustra-se a saída de um sistema que atrasa a entrada me-
diante a ponderação de amostras atrasadas, compondo uma saída segundo 
uma equação genérica de diferenças.
EXEMPLO DE UM SINAL DISCRETO GERADO POR RECORRÊNCIA
Fonte: elaborada pelo autor (2023).
#Paratodosverem - exemplo de sinal discreto gerado por recorrência.
As equações de diferença são amplamente utilizadas para modelar sistemas 
no domínio discreto. Elas encontram nicho em áreas como processamento 
de sinais digitais, controle digital, análise de séries temporais, simulação de 
sistemas discretos, entre outros. Ao modelar sistemas do mundo real, é co-
mum encontrar equações de diferença que descrevem como esses sistemas 
respondem a entradas discretas, tornando possível prever e controlar seu 
comportamento (Lathi, 2008).
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A resolução de uma equação de diferença envolve encontrar uma expressão 
geral para a sequência de saídas em termos da sequência de entradas e das 
condições iniciais. Isso permitea previsão do comportamento do sistema ao 
longo do tempo discreto. A solução pode ser obtida por diversos métodos, 
como a transformada Z, a transformada discreta de Fourier e técnicas analí-
ticas específicas para tipos particulares de equações de diferença – algumas 
dessas técnicas serão objeto das próximas unidades.
A ordem de uma equação de diferença, k, é um parâmetro importante que 
determina o número de valores de entrada passados que influenciam a saída 
atual. Equações de diferença de primeira ordem (k = 1) são as mais simples, 
enquanto ordens maiores (k > 1) levam em consideração valores de entrada 
mais distantes no passado.
Considere um sinal discreto x[n] aplicado a um 
sistema LIT discreto, gerando uma saída y[n]. Uma 
possível equação de diferença para o sistema é:
Como a saída depende unicamente de amostras 
presentes e passadas da entrada, tal sistema, 
discreto, é causal. 
A compreensão das equações de diferença é fundamental para a modela-
gem e análise de sistemas LIT discretos, já que em muitos casos são a única 
informação conhecida desses sistemas (Roberts, 2010). A forma como o proje-
tista deve resolver tal equação é livre, conforme os meios a que tenha acesso 
para tal.
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Um fato interessante sobre sistemas LIT 
discretos é que eles possuem uma influência 
forte na tecnologia moderna, especialmente em 
processamento digital de sinais e comunicação 
digital. Os algoritmos usados em smartphones, 
players de música digital e câmeras digitais são 
fundamentados em sistemas LIT discretos, ou seja, 
sempre que se utiliza um dispositivo digital para 
ouvir música, assistir a um vídeo ou fazer uma 
chamada telefônica, há interação com sistemas LIT 
discretos que processam e manipulam os sinais de 
áudio e vídeo de maneira eficiente. 
2.2.2 RESPOSTAS AO IMPULSO E AO DEGRAU 
EM SISTEMAS LIT DISCRETOS
Assim como em sistemas LIT contínuos, as respostas ao impulso e ao degrau 
são parâmetros fundamentais para se analisar sistemas LIT discretos. Essas 
respostas trazem características únicas sobre o comportamento desses sis-
temas quando sujeitos a entradas peculiares, tornando claro o entendimento 
de como reagem a diferentes entradas discretas (Santana, 2012).
A resposta ao impulso em sistemas LIT discretos é similar ao caso contínuo, 
sendo obtida pela resposta do sistema a um sinal de entrada definido como 
função impulso unitário discreto, representada como δ[n]. O impulso unitário 
discreto é definido como:
sendo o valor 1, no caso, representativo da área da função impulso.
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FUNÇÃO IMPULSO NO TEMPO DISCRETO
Fonte: elaborada pelo autor (2023).
#Paratodosverem - função impulso discreto. A função impulso discreto possui uma única 
amostra, situada em n = 0.
A resposta ao impulso discreto, assim como no caso contínuo, traz informa-
ções detalhadas sobre como um sistema discreto se comporta quando é sub-
metido a uma perturbação instantânea e unitária, sendo também usada para 
determinar a resposta do sistema a qualquer entrada arbitrária por meio da 
convolução discreta (Senda et al., 2005).
a. Resposta ao Degrau
A resposta ao degrau no tempo discreto também é usada para se realizar a 
análise de sistemas LIT discretos. Tal resposta descreve a reação do sistema a 
um sinal de entrada do tipo degrau, no tempo discreto, indicado pela função
que representa uma mudança abrupta no valor da entrada no instante n=0. 
Quando A = 1, o degrau é dito unitário.
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FUNÇÃO DEGRAU NO TEMPO DISCRETO.
Fonte: elaborada pelo autor (2023).
#Paratodosverem - função degrau no tempo discreto. A função degrau corresponde a 
vários impulsos, em azul, ocorrendo para valores de n maiores ou iguais a zero.
A resposta ao degrau, do mesmo modo que para o caso contínuo, permite 
que se compreenda como um sistema discreto se comporta diante de per-
turbações constantes, bem como provê meios para se avaliar seu compor-
tamento estacionário para n>0. Com o uso da resposta ao degrau, pode-se 
avaliar parâmetros importantes, como convergência e estabilidade, que são 
destacados na caracterização de sistemas de controle digital e filtros digitais 
(Stelle, 2005).
Pode-se também, sem perda de generalidade, provar que:
As respostas ao impulso e ao degrau no tempo discreto também revelam 
muitas aplicações práticas em processamento de sinais digitais, filtragem 
digital e controle digital (Lathi, 2008).
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2.2.3 ESTABILIDADE E CAUSALIDADE EM 
SISTEMAS LIT DISCRETOS
A estabilidade e a causalidade são, do mesmo modo que para sistemas LIT 
contínuos, propriedades fundamentais que regem de forma crítica o desem-
penho de sistemas LIT discretos, em termos de como avaliar a robustez de um 
sistema e seu comportamento é previsível para diferentes entradas (Frank, 
2008; Lathi, 2008).
A estabilidade em sistemas LIT discretos se relaciona à capacidade do sistema 
de manter as respostas limitadas quando sujeito a entradas limitadas.
Sistema estável – um sistema é considerado 
estável se, para uma entrada limitada, sua saída 
permanecer limitada. 
A análise da estabilidade de sistemas discretos é fundamental para que se 
evite a ocorrência de oscilações indesejadas, tornando-os incontroláveis em 
sua saída. Assim, avaliar a estabilidade de sistemas LIT discretos requer a ava-
liação de condições matemáticas específicas que garantam que o sistema 
permanecerá sob controle em todas as circunstâncias (Frank, 2008).
Quanto à causalidade de sistemas LIT discretos, esta segue os mesmos princí-
pios usados para análise de sistemas LIT contínuos. A causalidade determina, 
reforça, se a saída de um sistema depende apenas das entradas presentes e 
passadas, sem depender de entradas futuras. Em outras palavras, um sistema 
causal não prevê o futuro, mas responde apenas ao que já aconteceu.
Estabilidade e Causalidade são, para sistemas discretos, importantes no sen-
tido de que aplicações em Controle Digital requerem o ajuste fino de variá-
veis de processo coletadas de forma discreta, bem como há exemplos como 
a transmissão de dados em uma rede de computadores requer, para fins 
de controle de erros, que se garanta a entrega de pacotes de forma causal 
(Lathi, 2008).
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Sistema LIT discreto – é um sistema que carrega 
em si as propriedades de linearidade, que assegura 
que a saída de entradas individuais é combinada 
como saída única resultante da soma de tais 
entradas, e invariância no tempo discreto, em que 
entradas deslocadas no tempo discreto conduzirão 
a saídas deslocadas no tempo por igual quantidade. 
CONCLUSÃO
Esta unidade buscou apresentar as características de sinais e sistemas em 
termos da característica contínua ou discreta do tempo. A distinção devida 
entre tempo contínuo e tempo discreto é importante no sentido de prover a 
adequada análise de sinais de entrada vistos como referência, em que se des-
tacam sinais do tipo impulso unitário e do tipo degrau unitário, consagrados 
na literatura para implementação dessa análise.
Foram apresentados os conceitos de equação diferencial e equação de dife-
renças, respectivamente para o caso contínuo e para o caso discreto, que fa-
zem a ligação da natureza do sistema com as variáveis nele modeladas. Além 
disso, foi definida para cada modelo a importância da análise de resposta ao 
impulso e resposta ao degrau, o que associa a tal representação a adequada 
métrica para observação de desempenho.
Por fim, foram abordadas as propriedades de estabilidadee causalidade, que 
são essenciais para garantir que os sistemas se comportem de maneira previ-
sível e controlável, tanto no caso contínuo como no caso discreto.
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• Causalidade: refere-se à relação de causa e 
efeito entre eventos ou fenômenos, indicando 
que um evento (a causa) traz influência ou leva 
a outro evento (o efeito). Essa relação implica 
que uma ação ou condição precedente tem o 
poder de produzir uma mudança ou resultado 
subsequente.
• Degrau Unitário: é uma função matemática que 
é igual a zero para valores de tempo menores que 
zero e igual a um para valores de tempo maiores 
ou iguais a zero. É frequentemente usada como 
entrada de referência em sistemas dinâmicos 
para estudar como o sistema responde a uma 
mudança repentina e constante.
• Equação de diferenças: é uma equação que 
descreve como uma sequência de valores 
depende dos valores anteriores da sequência. 
É comumente usada para representar sistemas 
dinâmicos discretos, como sistemas de controle 
digital ou séries temporais discretas.
• Equação diferencial: é uma equação 
matemática que envolve derivadas de uma ou 
mais variáveis independentes em relação a uma 
variável dependente. É amplamente usada 
para descrever como quantidades mudam ao 
longo do tempo ou espaço contínuos, sendo 
fundamental na modelagem de fenômenos 
naturais e físicos. 
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• Estabilidade: indica a capacidade de um 
sistema retornar a um estado de equilíbrio 
após ser perturbado, em vez de divergir ou se 
tornar incontrolável. Um sistema é considerado 
estável quando suas respostas a perturbações 
permanecem limitadas e previsíveis.
• Impulso Unitário: é uma função matemática 
que é igual a zero para todos os valores de 
tempo, exceto para um ponto específico, 
em que é infinitamente alta, possuindo área 
unitária. No contexto de sistemas dinâmicos, é 
usado como uma entrada para avaliar como o 
sistema responde a uma perturbação breve e 
intensa, como um impulso instantâneo. 
MATERIAL COMPLEMENTAR
Para saber mais sobre este tema, leia os artigos a 
seguir:
1. Introdução aos Sinais e Sistemas. 
2. Sinais e Sistemas Lineares I. 
3. Aplicações em Processamento de Sinais.
4. Sinais e Sistemas Lineares.
5. Sinais.
http://www.univasf.edu.br/~edmar.nascimento/analise/analise_aula03.pdf
https://hector.paginas.ufsc.br/files/2013/12/Sinais-I-Slides.pdf
https://fei.edu.br/~isanches/pel304/pel304-aulas_1_e_2.pdf
https://www.cin.ufpe.br/~dmg/SS-ufpe-aula-02-sinais-e-sistemas.pdf
http://users.isr.ist.utl.pt/~jsm/teaching/ss/1_Sinais.pdf
OBJETIVO 
Ao final desta 
unidade, 
esperamos que 
possa:
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UNIDADE 3
> Interpretar 
a operação de 
convolução de sinais.
> Compreender 
o significado da 
convolução em 
sistemas LIT.
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3 CONVOLUÇÃO
INTRODUÇÃO DA UNIDADE
Esta unidade abordará a operação de convolução, como manipulação ma-
temática de sinais, em termos de sua representação distinta para os casos 
contínuo e discreto, sendo cada uma delas indicativa de diferentes universos 
de aplicações na teoria de sinais e sistemas. 
Inicialmente, direcionaremos nossa atenção para o conceito de convolução 
de sinais, explorando suas implicações nos domínios contínuo e discreto. A 
convolução tem uma função vital na análise de sistemas lineares invariantes 
no tempo, permitindo que se compreenda como um sistema responde a di-
ferentes entradas ao longo do tempo. Serão apresentadas a convolução con-
tínua e a convolução discreta, destacando as nuances de cada abordagem e 
sua relevância na modelagem e análise de sistemas.
Diferentemente da manipulação direta de equações diferenciais ou de dife-
rença, a convolução oferece uma perspectiva única para entender a relação 
entre entrada e saída em sistemas dinâmicos. No contexto contínuo, a convo-
lução é uma integral que descreve a contribuição de cada instante de tempo 
para a resposta do sistema. Já no domínio discreto, a convolução é represen-
tada por uma soma ponderada dos valores dos sinais em diferentes instantes, 
revelando como o sistema responde a sequências discretas de entrada.
Ao explorar a convolução de sinais, você desenvolverá uma compreensão sóli-
da das ferramentas matemáticas essenciais para analisar e modelar sistemas 
dinâmicos. Essa habilidade será fundamental para qualificar o comporta-
mento de sistemas diante de uma variedade de sinais de entrada, fortale-
cendo sua capacidade de análise e interpretação no contexto mais amplo da 
teoria de sinais e sistemas.
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3.1 CONCEITO DE CONVOLUÇÃO
A convolução de sinais é um conceito fundamental em processamento de 
sinais e análise de sistemas, oferecendo uma abordagem matemática po-
derosa para entender a relação entre diferentes sequências temporais. Essa 
operação é especialmente útil ao lidar com sistemas lineares invariantes no 
tempo, proporcionando uma ferramenta funcional para modelar e analisar o 
comportamento dinâmico desses sistemas.
No contexto da convolução, é possível explorar duas perspectivas distintas: a 
convolução contínua e a convolução discreta. Na convolução contínua, a ope-
ração é expressa como uma integral, permitindo a avaliação da contribuição 
de cada ponto no tempo para a resposta do sistema. Essa visão é importante 
ao lidar com sinais analógicos e sistemas contínuos. Já na convolução dis-
creta, a operação é representada por uma soma ponderada dos valores dos 
sinais em diferentes instantes temporais. Esse método é importante ao tratar 
de sinais digitais e sistemas discretos, sendo amplamente utilizado em áreas 
como processamento de imagens, comunicações e processamento de áudio.
EQUIPAMENTO DE ÁUDIO
Fonte: ©vecstock, Freepik (2023).
#pratodosverem - fotografia de equipamento musical com tela digital mostrando os sinais 
e frequências sonoros.
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Credenciada pela portaria MEC nº 767, de 22/06/2017, Publicada no D.O.U em 23/06/2017
SINAIS E SISTEMAS
A convolução é importante na análise de sistemas dinâmicos, trazendo no-
ções sobre como esses sistemas respondem a diferentes padrões de entrada 
ao longo do tempo. Sua aplicação estende-se além da teoria de sinais, sendo 
fundamental em diversas disciplinas e campos da ciência, do processamento 
de sinais biomédicos ao aprendizado de máquina.
Ao compreender o conceito de convolução de sinais, é possível não ape-
nas analisar e modelar sistemas complexos, mas também desenvolver apli-
cações práticas em uma variedade de campos. Isso contribui para avanços 
significativos em diversas áreas tecnológicas e científicas (Diniz; Silva; Lima 
Netto, 2014).
A operação de convolução em sinais tem uma história rica e suas origens re-
montam a várias áreas da matemática e engenharia. Não há um único es-
tudioso a que possa ser atribuída a formulação exclusiva da convolução de 
sinais, pois seu desenvolvimento foi um processo gradual ao longo do tempo, 
com contribuições de diversos pesquisadores em diferentes campos.
No contexto matemático, a convolução aparece em trabalhos que remontam 
ao século XVIII. O matemático francês Joseph Fourier, no século XIX, exerceu 
um papel único ao desenvolver a transformada de Fourier, que está intrinse-
camente relacionada à convolução. Seus estudos sobre séries trigonométri-
cas e análise de sinais contribuíram significativamente para a compreensão 
matemática dessa operação. Na área da teoria de controle e sistemas lineares, 
a convolução ganhou destaque no início do século XX. Engenheiros e mate-
máticos como