Prova Calculo Vetorial P1

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Universidade Federal de Santa Catarina
Centro Tecnolo´gico de Joinville
I Avaliac¸a˜o de Ca´lculo Vetorial - 27/05/2018
Prof. Dr. Ro´mulo Castillo
Nome: Matr´ıcula:
Escreva em forma n´ıtida e justifique sua resposta a cada uma das seguintes questo˜es.
Questa˜o 1. Seja L1 a reta dada pela intersecc¸a˜o dos planos x + 2y + 3z = 1 e x − y + z = 1, e seja
L2 a reta dada pelas equac¸o˜es x(t) = 3 + 2t, y(t) = 4 − t, e z(t) − 1 = 3t. L1 e L2 sa˜o
retas reversas ?.
(2 ptos)
Questa˜o 2. Seja r a curva dada pela intesecc¸a˜o das superficies z =
√
x2 + y2 e z = 1 + y.
a) Encontre a equac¸a˜o do plano osculador da curva r no ponto (1, 0, 1).
b) Existe vetor tangente a` curva r no ponto (0,−1
2
, 2)?.
(2 ptos)
Questa˜o 3. Considere a curva C = C1 ∪ C2 onde C1 e´ a curva dada pela equac¸a˜o y − 2x− 3 = 0 do
ponto (0, 3) ao ponto (3, 9) e C2 a curva y − x2 = 0 do ponto (3, 9) ao ponto (5, 25).
a) Calcule
∫
C1
xy2dx + dy.
b) Calcule
∫
C2
2y2ds.
c) Determine o trabalho realizado pelo campo de forc¸a F(x, y) = 3xyi + (4x2− 3y)j sobre
uma part´ıcula que se move ao longo de C.
d) Represente no plano os vetores F(2, 1), F(−1, 0) e F(−1,−1) onde F e´ o campo definido
no item anterior.
(4,5 ptos)
Questa˜o 4. Dada a func¸a˜o y = ex, encontre o valor da curvatura no ponto (0, 1). Desenhe alguns
vetores tangentes no gra´fico da func¸a˜o e explique o que acontece com a curvatura quando:
a) x→ +∞.
b) x→ −∞.
(1,5 ptos)