Apostila de Probabilidade e Estatística

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AUTARQUIA EDUCACIONAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO – AEVSF
FACULDADE DE DIÊNCIAS APLICADAS E SOCIAIS DE PETROLINA-FACAPE
Probabilidade e Estatística
- Caderno de Orientação –
 Prof. Reginaldo Santos
Fevereiro/2012
Conteúdo Programático
1. Conceitos Fundamentais 
 1.1 Arredondamento de Dados, Notação por Índice e Cálculo com Somatório
 1.2 O que é Estatística 
 1.3 O método Estatístico
 1.4 População, Amostra e Variáveis
 
2. Técnicas de Amostragem
 2.1 Amostragem Aleatória Simples – A Tabela de Dígitos Pseudo-Aleatórios
 2.2 Amostragem Sistemática
 2.3 Amostragem Estratificada
 2.4 Amostragem por Conglomerado
3. Séries Estatísticas –
 3.1 Representação Tabular
 3.2 Representação Gráfica
4. Medidas de Posição
 4.1 Média Aritmética
 4.2 Mediana
 4.3 Moda 
5. Medidas de Dispersão
 5.1 Amplitude Total
 5.2 Desvio Médio, A Variância e o Desvio-padrão (Dispersão absoluta)
 5.3 Coeficiente de Variação (Dispersão relativa)
6. Medidas de Assimetria e Curtose
7.Teoria e Cálculo das Probabilidades 
 7.1 Conceitos de Probabilidade – Eventos Complementares –Axiomas e Teoremas
 7.2 Eventos Independentes , Mutuamente Exclusivos – Probabilidade Condicional
 7.3 Teorema da Probabilidade Total e Teorema de Bayes
8. Variável Aleatória Unidimensional
 8.1 Função de Distribuição de Probabilidade
 8.2 O Valor Esperado (Esperança Matemática) 
 8.3 A Variância 
 8.4 Propriedades 
9. Principais Distribuições Discretas de Probabilidade 
A Distribuição de Bernouilli
 9.2 A Distribuição Binomial
 9.3 A Distribuição de Poisson
10. Principais Distribuições Contínuas de Probabilidade
 A Distribuição Uniforme
 A Distribuição Normal
 A Distribuição Exponencial Negativa 
11 . Intervalos de Confiança (IC)
 Introdução 
 11.2IC para a média populacional quando a variância 2 é conhecida 
 11.3 A Distribuição t de Student
 11.4 IC para a média populacional quando a variância 2 é desconhecida 
 11.5 IC para proporções
 11.6 Aplicações 
12. Testes de Hipóteses
 7.1 Introdução 
 7.2 Principais conceitos
7.3 Teste de significância para médias
7.4 Teste de significância para proporções
 7.5 Teste de significância para variâncias 
 7.6 Aplicações aos fenômenos econômicos e sociais
 
1. ARREDONDAMENTO DE DADOS
 O resultado do arredondamento de um número como por exemplo 72,8 para o inteiro mais próximo é 73, visto que 72,8 está mais próximo de 73 de que 72.
- Semelhantemente, 72,8146 arredondando para o centésimo mais próximo, ou com duas casas decimais, é 72,81; porque 72,816 está mais próximo de 72,81 do que 72,82.
- Agora, ao arredondarmos 72,465 para o centésimo mais próximo, entretanto, nos deparamos com um dilema, pois 72,465 dista igualmente de 72,46 e de 72,47. Na prática, então, usa-se em tais casos, aproximar para o número par que precede o algarismo ‘5’.Assim:
- 72,465 é arredondado para 72,46
-183,575 é arredondado para 183, 58
- 116.5000.000 arredondado para as unidades de milhões mais próximas, é 116.000.000.
Conclusão: Esta prática é especialmente valiosa para reduzir ao mínimo os erros cometidos e acumulados por arredondamento, especialmente quando se tratar de um grande número de operações.
Aplicações
1.Some os números: 4,35 ; 8,65 ; 2,95 ; 12,45 ; 6,65 ; 7,55 ; e 9,75
a) Diretamente
b) arredondando para décimos de acordo com a convenção do número par
c) arredondando de amneira que o algarismo anterior a ‘5’ aumente de uma unidade
2. Proceda aos arredondamentos conforme solicitado
2.1 para 3 casas decimais 2.2 Para 2 decimais
a) 234,8765 = - - - - - - - - - - - - - - - a) 4,5454610 = - - - - - - - - - - - - - - - 
b) 67,989652 = - - - - - - - - - - - - - - b) 0,12565 = - - - - - - - - - - - - - - - - -
c) 0,00435 = - - - - - - - - - - - - - - - - c) 12,0000157 = - - - - - - - - - - - - - - 
d) 90,76153 = - - - - - - - - - - - - - - - d) 9,765710 = - - - - - - - - - - - - - - - -
e) 1015,5555 = - - - - - - - - - - - - - - e) 3,40117 = - - - - - - - - - - - - - - - - -
Para o inteiro mais próximo
a) 104,532= - - - - - - - - - - - - - e) 4,55567 = - - - - - - - - - - - - i) 25,672 = - - - - - - - - - - - -
b) 1001.5236 = - - - - - - - - - - - f) 57650 = - - - - - - - - - - - - - - j) 0,756 = - - - - - - - - - - - - -
c) 9,8 = - - - - - - - - - - - - - - - -- g) 0,51 = - - - - - - - - - - - - - - - k) 367.465,50 = - - - - - - - - - 
d) 4923,2137 = - - - - - - - - - - - h) 1,58 = - - - - - - - - - - - - - - - l) 10,501 = - - - - - - - - - - - --
1.1 NOTAÇÃO POR ÍNDICE E CÁLCULOS COM SOMATÓRIOS
 Muitas vezes precisamos escrever expressões que envolvem somas commuitos termos ou cujos termos obedecem a certa lei de formação. Considere por exemplo, a soma dos 100 primeiros números naturais:
 
 1 + 2 + 3 + 4 +. . . . + 99
Vamos simbolizar por xi o i-ésimo termo da soma. Assim x1 representa o primeiro termo, x2 o segundo termo, x3 o terceiro termo e x100 o centésimo elemento. Também chamaremos de ‘n’ o número de termos da soma. No caso n = 100.
Então a soma de ‘n’ termos pode saer representada simbolicamente por: 
No caso anterior, da soma dos 100 primeiros números naturais, representaremos assim:
e lê-se: somatório de ‘i’ variando de 1 a 100
Partes do Simbolo do Somatório
 
Onde:
- letra grega maíscula e indica o operador que indica a instrução para somar;
i - observação individual da série e i = 1 indica o primeiro elemento a ser somado
n - o último termo a ser somado
x – é o nome dos termos a serem somados
Propriedades dos Somatórios
P1 - A soma de uma constante multiplicada por uma variável é igual ao produto derssa constante pela soma da variável, ou seja:
 
 
P2. A soma de uma constante de ‘n’ termos é igual a ‘n’ vezes a constanate, ou seja:
 
 
P3 – O somatório da soma ou da diferença entre duas variáveis é igual a soma ou a diferença do somatório dessas variáveis, ou seja:
 
Aplicações
1. Desenvolver cada uma das seguintes somas:
a) b) c) d) e) f) 
g) h) i) j) k) 
2. Dadas as seguintes distribuições X e Y abaixo:
	Xi
	7
	3
	8
	2
	1
	Yi
	3
	1
	1
	6
	2
Calcular:
a) b) c) d) e) 
3. Utilizando os dados da questão 2, constatar que:
a) b) 
4. Dado que : ; ; ; 
 Calcular:
a) b) c) 
d) e) f) 
Dúvidas, Cáculos e Anotações
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2. A NATUREZA DA ESTATÍSTICA
 Na antiguidade os povos já registravam o número de habitantes, os nascimentos, óbitos e faziam “estatísticas”. 
Já na idade média as informações eram tabuladas com finalidades tributárias e bélicas.
Enquanto que foi no século VI que surgiramas primeiras as primeiraas análises sistemáticas, as primeiras tabelas e os números relativos. E no século VII a Estatística, já com feição científica, é batizada por Godofredo Achenwall. As tabelas ficam mais completas, surgem as primeiras representações gráficas e os cálculos com probabilidades. A Estatística deixa de ser uma simples tabulação de dados numéricos para se tornar “O estudo de como se chegar a conclusões sobre uma população, partindo da observação de partes dessa população (amostra)”.
2.1 ESTATÍSTICA - DEFINIÇÃO
 Parte da matemática aplicada que fornece métodos para a coleta, organização descrição, análise e interpretação de dados, bem como na utilização dos mesmos para tomada de decisão.
A coleta, organização, descrição ficam a cargo da chamada Estatística Descritiva, enquanto que a análise e interpretação dos dados, associado a uma margem de incerteza, dizem respeito à Estatística Indutiva ou Inferencial que se fundamenta na teoria e cálculo das probabilidades.
2.2 O MÉTODO ESTATÍSTICO
 Entendemos por método como sendo um meio mais eficaz para atingir determinada meta ou objetivo pré-estabelecido. Dentre os métodos, podemos destacar o método científico que por sua vez se divide em: método experimental e o método estatístico
2.2.1 Método Experimental
 É o método que consiste em manter constante todas as variáveis, menos uma que aquela que justamente sofre variação para se observar seus efeitos, caso existam. Ex. Estudos de Química, Física,etc
2.2.2 Método Estatístico 
 É aquele que diante da impossibilidade de manter as causas constantes admitem todas essas causas presentes, variando-as e registrando essas variações procurando determinar no resultado final que influências cabem a cada uma delas. Ex. Quais as causas que definem o preço de uma mercadoria quando sua oferta diminui. 
2.3 FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO
1º - Definição do Problema 
Consiste em saber exatamente aquilo que se pretende pesquisar. È o mesmo que definir corretamente o problema;
2º - Planejamento 
 Consiste em responder às questões do tipo: como levantar informações? Que dados deverão ser coletados? Que tipo de levantamento deverá ser utilizado? censitário ou por amostragem? Qual é o cronograma de atividades? Quais os custos envolvidos? etc.
3º - Coleta de Dados
É o registro sistemático de dados com um objetivo determinado. 
Quanto à origem dos dados, os mesmos podem ser:
 Dados Primários – São aqueles que são publicados pela própria pessoa ou organização que os coletou. 
Exemplo: Tabelas do censo demográfico do IBGE.
 Dados Secundários 
Quando são utilizados ou publicados por outra organização.
Exemplo: quando determinado jornal publica estatísticas referentes ao censo demográfico do IBGE.
Obs. – É sempre mais seguro trabalhar com dados de fontes primárias. O uso de fontes secundárias traz o risco de erros de transcrição.
Ainda com respeito à coleta, destacamos a:
1 - Coleta Direta - Quando é obtida diretamente da fonte. Ex: empresa que realiza uma pesquisa para saber a preferência dos consumidores pela sua marca.
A coleta de dados, quanto ao espaço temporal pode ser : 
Contínua – registro de nascimentos, óbitos, casamentos, etc.
Periódica – recenseamento demográfico, censo industrial, PNAD e, 
Ocasional – registro de casos de dengue e outros
2 - Coleta Indireta – É feita por deduções a partir dos elementos conseguidos pela coleta direta, por analogia, por avaliação, indícios ou proporcionalização.
4º Apuração dos Dados
Consiste em resumir os dados através de sua contagem e agrupamento. É a tabulação dos dados, propriamente dita.
5º Apresentação dos Dados
Quanto à apresentação dos dados, existem duas formas que não são excludentes. A apresentação tabular e a apresentação gráfica
6º Análise e Interpretação dos Dados
Esta é a última fase do trabalho estatístico e é também a mais importante e delicada. Está ligada essencialmente ao cálculo de medidas e coeficientes, cuja finalidade principal é descrever o fenômeno (estatística descritiva). Enquanto que a estatística indutiva cuida da interpretação dos dados e se fundamenta na teoria da probabilidade.
Praticando o que aprendeu
1.Defina a ciência estatística
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2. O que se entende por um método?
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3. Quais são as fases do método estatístico?
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4. coloque V (verdadeiro) ou F(falso). Se F, justifique sua sua resposta 
a) Estuda-se estatística para aplicar seus conceitos como auxílio na tomada de decisões em momentos de certeza. ( )
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b) Não interessa para estatística fazer conclusões a respeito de grupos, conjuntos ou agregados,porque seu objetivo é o estudo da amostra. ( )
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c) O método estatístico é diferente tanto Engenharia, como para a Medicina quanto para Computação quanto para a Administração. ( )
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d) A qualquer subconjunto de uma população denominaos de amostra. ( )
5. Responda o que se pede:
a) Exame de todas as unidades da poopulação - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
b) Processo pelo ual se faz seleção de amostras - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
c) Termo utilizado para designar que cada unidade de uma população tem a mesma chance de ser sorteada ou selecionada - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
d) Dados que são publicados pela própriapessoa ou organização que os coletou- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
e) Órgão responsável pelas estatísticas oficiais do governo federal - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
6. Numere a 2ª coluna de acordo com a 1ª 
	1
	Contempla o tipo de levantamento, custos envolvidos, etc.
	
	Apresentação
	2
	Deefinir o que se deseja pesquisar 
	
	Definição do problema
	3
	Estão associados ao cálculo de medidas e coeficientes
	
	Análise e interpretação
	4
	Estão dispostos em forma de gráficos e tabelas
	
	Planejamento
	5
	Registro sistemátaico de dados com um fim específico
	
	Coleta de dados
7. No método estatístico, qual o objetivo da análise e interpretação dos dados? 
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Dúvidas e Anotações
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2.4 DEFINIÇÕES BÁSICAS DA ESTATÍSTICA 
2.4.1 Fenômeno Estatístico
 É qualquer evento que se pretende analisar, cujo estudo seja possível da aplicação do método estatístico e são divididos em três grupos:
Fenômenos de massa ou coletivo 
 São aqueles que não podem ser definidos por uma simples observação. 
Exemplos: A natalidade numa metrópole, o IPCA no Vale do São Francisco, etc.... e os 
Fenômenos Individuais 
 São aqueles que compõm os fenômenos coletivos. 
Exemplos: cada nascimento numa metrópole, preços individuais dos produtos que compõem a cesta para o cálculo de IPCA .
2.4.2 Dado Estatístico 
 É um dado numérico e é considerado a matéria prima sobre a qual iremos aplicar os métodos estatísticos.
2.4.3 População 
 É o conjunto total de elementos portadores, de pelo menos, uma característica comum.
2.4.4 Amostra 
 É uma parcela representativa da população que será examinada com o propósito de fazermos conclusões sobre essa população. (infrência).
2.4.5 Parâmetro 
 São valores singulares que existem na população e que servem para caracterizá-la.
2.4.6 Estimativa 
 É um valor do parâmetro e é calculado a partir da amostra.
O esquema abaixo sintetiza estas definições
 N n
 θ População Amostra 
 ô
 N 
 Parâmetro Estimador
2.4.7 Atributo 
São qualidades apresentadas nos dados estatísticos.
Exemplos da classificação dicotômica do atributo: Classificação dos alunos da FACAPE quanto ao sexo.
Atributo: sexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . classe :alunos da FACAPE
Dicotomia: duas subclasses (masculino e feminino)
2.4.8 Variável 
Uma variável, é convencionalmente, o conjunto de todos os resultados possíveis de um fenômeno. 
A variável pode ser:
2.4.8.1 Variável Qualitativa 
 Quando seus valores são expressos por atributos, tipo, sexo, estado civil, cor da pele, etc 
2.4.8.2 Variável Quantitativa 
 Quando os dados são de caráter nitidamente quantitativos, e o conjunto de resultados possui uma estrutura numérica, trata-se portanto da estatística de variável e se divide em:
2.4.8.2.1 Variável Discreta ou Descontínua 
 Quando seus valores são expressos geralmente por valores inteiros não negativos e resulta geralmente de contagens. Ex: Nº de alunos da rede pública municipal, Nº de nascidos vivos, etc
2.4.8.2.2 Variável Contínua 
 Esta variável resulta normalmente de uma mensuração e a escala numérica de seus valores corresponde ao conjunto R, ou seja podem assumir, teoricamente qualquer valor num intervalo.
Esquematicamente, teríamos:
 
 Qualitativa 
 Discreta
Variável
Quantitativavvvv 
Contínua 
Exercícios para Fixação do Conteúdo
1. Responda o que se pede 
a) Conjunto de seres que possuem pelo menos uma característica em comum.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
b) Parte representativa de uma população.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
c) Qualquer fato econômico ou social que se pretende analizar, cujo estudo se possa aplicar o método estatístico
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
d) Valores que caracterizam uma população.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
e) fenômenos que nõa podem ser definidos por uma simples observação.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
f) Fenômenos que fazem parte dos fenômenos coletivos.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
g) Valor numérico, considerado a matéria prima sobre a qual iremos aplicar os métodos estatísticos.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
h) Valor numérico de um estimador.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
i) conjunto de todos os resultados possíveis de um fenômeno.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
j) Sua renda familiar é: R$ 3.24,00; então:
O estimador é: - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - e a estimativa é: - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
k) seus valores são expressos geralmente por valores inteiros não negativos e resulta geralmente de contagens. 
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
l) Variável que resulta normalmente de uma mensuração e a escala numérica de seus valores corresponde ao conjunto R. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
2. Enumere a 2ª coluna de acordo com a 1ª .
	1
	São qualidades apresentadas nos dados estatísticos
	
	Atributos
	2
	Valor do parâmetro e calculado a partir da amostra
	
	Variável
	3
	Qualidades apresentadas nos dados estatísticos
	
	Parâmetro
	4
	Conjunto de todos os resultados possíveis de um fenômeno estatístico
	
	Estimativa
	5
	Parcela representativa da população
	
	Amostra
3. Coloque V(verdadeiro) e F(falso). Em caso de F justifique sua respoosta.
a) Variável qualitativa, é quando seus valores forem expressos por números.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
b) Quando os valores de uma variável são expressos por atributos, dizemos que essa variável é quantitativa.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
c) A idade, a renda familiar, a temperatura, etc. são exemplos de variáveis qualitativas.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
d) Uma variável discreta é sinônimo de variávael descontínua e seus valores resultam, via de regra, de contagens.
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e) Diz-se que uma variável é contínua quando seus valores resultam normalmentede medidas ou mensurações.
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4. Classifique as variáveis dos fenômenos abaixo em ‘D’ (discreta) e ‘C’ (contínua)
	Fenômeno
	Variável
	Número de propagandas no horário nobre
	
	Peso dos candidatos inscrito num vestibular
	
	Temperatura média numa cidade litorânea
	
	Número de alunos matriculado na arede estadual 
	
	Renda familiar média dos universitários inscritos no FIES
	
	Volume de manga exportada para a Europa no último trimestre pelo Brasil
	
5. Em cada caso, estabeleça a variável, classifique em qualitativa ou quantitativa e, se quantitativa se discreta ou contínua
 
	Fenômeno
	Variável
	D
	C
	Cor dos olhos das alunas aprovadas num concurso 
	
	
	
	Índice de liquidez das indústrias siderúrgicas 
	
	
	
	Produção de carne bovina no Brasil 
	
	
	
	Número de defeitos em DVD’s importados 
	
	
	
	Comprimento de parafusos produzidos por uma 
	
	
	
	O ponto obtido em cada jogada de um dado 
	
	
	
	Número de alunos aprovados em Estatística
	
	
	
	Volume d erecurso investidos por uma siderúrgica
	
	
	
	Quantidade de alimentos produzida por um RU local
	
	
	
Dúvidas e Anotações
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3. TÉCNICAS de AMOSTRAGEM
 Amostragem é o processo pelo qual se faz seleção de amostras e tal processo deve garantir tanto quanto possível o acaso na escolha.
Dentre as técnicas de Amostragem existem dois tipos de métodos: o método probabilístico e o não probabilístico.
3.1 MÉTODOS PROBABILÍSTICOS
 São métodos que exigem que cada elemento da população possua a mesma probabilidade de ser selecionado. Assim, se N for o tamanho da população, a probabilidade de cada elemento ser sorteado será 1/N. Portanto trata-se do método que garante cientificamente a aplicação das técnicas estatísticas de inferências e somente com base em amostragens probabilísticas é que se podem realizar inferências ou induções sobre a população a partir da análise da amostra.
3.2 TIPOS DE AMOSTRAGENS
3.1.1 Amostragem Aleatória Simples
 É o processo mais elementar e mais freqüentemente utilizado. È equivalente a um sorteio lotérico. Pode ser realizada numerando-se a população de 1 a N e sorteando-se a seguir, por meio de um dispositivo aleatório qualquer, x números dessa seqüência, os quais corresponderão aos elementos pertencentes à amostra.
Exemplo: 
Vamos obter uma amostra de 10% representativa para uma pesquisa da estatura de 80 alunos de uma escola qualquer.
1º - numeramos os alunos de 01 a 90
2º - escrevemos os números dos alunos de 01 a 80 em pedaços iguais de papel, colocamos numa urna e após misturar, retiramos, um a um oito números que irão compor a amostra.
OBS: quando o número de elementos da amostra é muito grande, esse tipo de sorteio torna-se muito trabalhoso. Neste caso utiliza-se uma tabela de números pseudo-aleatórios, construída de modo que os algarismos de 0 a 9 são distribuídos ao acaso nas linhas e colunas.
3.1.2 Amostragem Proporcional Estratificada
 Quando a população se divide em estratos (sub-populações), convém que o sorteio dos elementos da amostra leve em consideração tais estratos, daí obtermos os elementos da amostra proporcional ao número de elementos desses estratos.
Exemplo: 
Vamos obter uma amostra proporcional estratificada, de 10% do exemplo anterior, supondo que dos 80 alunos, 54 seja meninos e 26 sejam meninas. São portanto dois estratos (sexo masculino e feminino). Logo, temos:
	Sexo
	Popuilação
	10%
	Amostra
	Masculino
	54
	5,4
	5
	Feminino
	26
	2,6
	3
	Total
	80
	8,0
	8
Numeramos, então os alunos de 01 a 80, sendo 01 a 54 meninos e 55 a 80 meninas e procedemos o sorteio casual com uma urna ou a tabela de números aleatórios.
3.1.3 Amostragem Aleatória Sistemática
 
 Quando os elementos da população já se encontram ordenados, não há necessidade de construir o sistema de referência. São exemplos, os prontuários de hospitais, os prédios de uma rua, uma lista telefônica, etc. Nesses casos, a seleção dos elementos que constituirão a amostra pode ser feita por um sistema imposto pelo pesquisador, da seguinte maneira:
Exemplo: 
 Suponha uma rua com 300 casas, das quis desejamos obter uma amostra formada por 30 casas para uma pesquisa de opinião
1º - Divide-se o tamanho da população pelo tamanho da amostra, ou seja, 300/30 =10
2º - Escolhe-se por sorteio casual, um número entre 01 e 10. Supondo que esse número fosse 3, a amostra seria: 3ª casa, 13ª casa, 23ª casa, 33ª 43ª e assim por diante, até completar a amostra de 30 residências.
3.1.4 Amostragem por Conglomerados ou Agrupamentos
 Algumas populações não permitem ou se tornam difícil que se identifique seus elementos. Não obstante, isso pode ser relativamente fácil identificar alguns subgrupos da população. Em tais casos, uma amostra aleatória simples desses grupos (conglomerados) pode ser escolhida e uma contagem completa deve ser feita para oconglomerado sorteado. Agrupamentos típicos são quarteirões, famílias organizações, agências, edifícios, etc.
Exemplo 
Num levantamento da população de uma cidade, podemos dispor do mapa indicando cada quarteirão e não dispor de uma relação atualizada dos seus moradores. Pode-se, então, colher uma amostra dos quarteirões e fazer a contagem completa de todos os que residem naqueles quarteirões sorteados.
3.2 MÉTODOS NÃO PROBABILÍSTICOS
 São amostragens em que há uma escolha deliberada dos elementos amostrais. Não é possível generalizar os resultados das pesquisas para a população, pois as amostras não-probabilísticas não garantem a representatividade da população.
3.2.1 Amostragem Acidental
 Trata-se de uma amostra formada por aqueles elementos que vão aparecendo e que são possíveis de se obter até completar o tamanho da amostra. Geralmente este tipo de amostragem é utilizado em pesquisa de opinião, em que os entrevistados são acidentalmente escolhidos.
Exemplo 
Pesquisas de opinião pública em praças públicas, ruas movimentadas de grandes cidades, etc.
3.2.2 Amostragem Intencional
 São amostragens realizadas de acordo com determinado critério. Éscolhe-se intencionalmente um grupo de elementos que irão compor a amostra e intencionalmente o investigador coleta a opinião desses elementos.
Exemplo: 
Numa pesquisa sobre a preferência por determinado cosmético, o pesquisador se dirige a um grande salão de beleza e entrevista as pessoas que ali s encontram.
3.2.3 Amostragem por Quotas
 Este é o método de amostragem mais comumente utilizado em pesquisas de 
mercado e em prévias eleitorais. Ela abrange três fases:
1ª- Classificação da população em termos de propriedades que se sabe ou presume serem relevantes para a característica a ser estudada;
2ª- Determinação da proporção da população para cada característica, com base na constituição conhecida, presumida ou estimada da população; 
3ª- Fixação de quotas para cada entrevistador, a quem caberá a responsabilidade de selecionar os entrevistados, de modo que a amostra total observada ou entrevistada contenha a proporção de cada classe, tal como determinada na 2ª fase.
Exemplo 
Numa pesquisa sobre o “trabalho da mulher na atualidade”. Provavelmente se terá interesse em considerar: a divisão, cidade e campo, a habitação, moradia, idade dos filhos, renda média, as faixas etárias, etc.
A primeira tarefa é descobrir as proporções dessas características na população. Imagina-se que haja 47% de homens e 53% de mulheres na população. Logo uma amostra de 50 pessoas deverá ter 23 homens e 27 mulheres. Então o pesquisador receberá uma quota para entrevistar 27 mulheres. A consideração de várias categorias exigirá uma composição amostral que atenda ao n determinado e às proporções populacionais estipuladas.
Exercícios
1. Uma escola de primeiro grau abriga 124 alunos. Obtenha uma amostra representativa correspondente a 15% da população, utilizando como ponto de inicio da linha da tabela de números aleatórios.
2. Tenho 80 lâmpadas numeradas, dentro de uma caixa. Como obtemos uma amostra de 12 lâmpadas?
3. Uma população encontra-se dividida em 3 estratos, com n1 = 40, n2 = 100 e n3 = 60. Sabendo-se que ao realizar uma amostragem estratificada proporcional, 9 elementos foram retirados do 3º estrato, determine o número de elementos da amostra.
3. Sugira um método de amostragem adequado que poderia ser utilizado para obter informações sobre:
a) a atitude dos passageiros em relação a fumar em serviços de ônibus locais.
b) A porcentagem de componentes defeituosos produzidos a cada semana em uma linha de produção
c) as atitudes dos funcionários em relação à existência de um berçário no local de trabalho em uma grande empresa.
d) A opinião dos motoristas de carros em relação às medidas de diminuição do tráfego em uma rua residencial
e) Os prováveis números de vendas de um novo tipo de saquinho de chá
4. O quadro abaixo é uma lista de um grupo de seminário de alunos no 3º ano de um curso de Comunicação Social. Com o auxílio da tabela de números aleatórios você é solicitado a selecionar uma amostra de quatro pessoas utilizando. 
a) amostragem aleatória simples
b) Amostragem aleatória baseada no sexo
c) Amostragem aleatória sistemática
	Nome
	
	Nome
	
	Nome
	
	
	Ana
	
	Bruno
	
	Crisóstomo
	
	Risoleta
	João
	
	Ãngela
	
	Secundino
	
	Gram Bell
	Helena 
	
	Sara
	
	Onomatopéia
	
	Hobin Hood
	Pedro
	
	Joana
	
	Trainee
	
	Crosbol
	Bruno
	
	Davi
	
	Twist
	
	Adrenalina
5. A gerente representante de uma loja de departamentos local pediu a seu assistente de marketing para conduzir uma pesquisa sobre a possibilidade de abrir até tarde nas noites de terças e quintas. A gerente não possui uma lista dos clientes da loja, mas estima que deve haver mais de 10.000 deles, com 90% sendo moradores locais. Ela possui, entretanto, uma análise de portadores de cartão da loja baseada em idade e gênero, como exibido na tabela abaixo:
Dado que o assistente de marketing possui um pequeno orçamento para impressão e produtos de papelaria, e que os resultados da pesquisa foram solicitados para daqui a duas semanas, sugira um tamanho de amostra adequado e um método de amostragem. Dê motivos para sua escolha
	 Gênero
 Idade
	Mascuulino
	Feminino
	Abaixo de 20 anos
	3
	6
	De 20 a 29
	6
	14
	De 30 a 34
	9
	21
	De 35 a 39
	7
	20
	60 anos ou mais
	4
	10
6. Você foi encarregado, por um jornal diário nacional independente e de grande circulação para empreender uma pesquisa nacional sobre a reação das pessoas em relação a vários assuntos, incluindo o tratamento da economia por parte do governo. Você foi instruído que para a pesquisa tenha alguma credibilidade, será necessário pesquisar uma amostra representativa de pelo menos 5.000 pessoas. Considere, detalhadamente, os métodos da amostragem e de coleta de dados que você utilizaria para executar essa pesquisa, prestando uma atenção especial ás exigências de um grupo de participantes grande e representativo
Dúvidas, Cálculos e Anotações
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4. SÉRIES ESTATÍSTICAS – REPRESENTAÇÃO TABULAR
 Uma tabela é um quadro que resume um conjunto de dados dispostos em linhas e colunas de maneira sistemática.
E definimos série estatística como qualquer tabela que apresenta a distribuição de um conjunto de dados estatísticos em função da época, do local ou da espécie.
De acordo com a resolução 886 do IBGE, nas casa ou células da tabela devemos colocar:
	Símbolo
	Descrição
	Significado
	
	Traço horizontal
	Quando o valor é zero
	
	Três pontos
	Quando não dispomos de dados
	0
	zero
	Quando o valor é muito pequeno
	?
	Ponto de interrogação
	Quando temos dúvidas, quanto à exatidão de determi9nado valor
OBS: 1. Tanto o lado esquerdo quanto direito de uma tabela devem ser abertos.
 2. toda tabela deve possuir:
 - Um título que deve reponder às seguintes questões: O que?, Onde? e Quando?
- Uma fonte que de indicar de onde os dados foram coletados;
- Um cabeçalho,
- Uma coluna indicadora e o corpo propriamente dito 
4.1 TIPOS DE SÉRIES
4.1.1 Séries homógradas: 
 São aquelas em que a variável descrita apresenta variação discreta ou descontínua. Podem ser do tipo:
4.1.1.1 Série Temporal 
 A série temporal se identifica-se pelo caráter variável do fator cronológico. Portanto o local e fenômeno são elementos fixos. É também chamada de histórica ou evolutiva
ABC VEÍCULOS LTDA
Vendas no 1º trimestrede 2005
	 Período
	Unidades vendidas (1.000 unid.)
	Jan/96
	 20
	Fev/96
	 10
	Mar
	 15 
	Total
	 45
 Fonte: fictícia
4.1.1.2 Série Geográfica
 
 Apresenta como elemento variável o fator geográfico. A época e o fato são elementos fixos.
 ABC VEÍCULOS LTDA
Vendas no 1º trimestre de 2005
	 Período
	Unidades vendidas (1.000 unid.)
	São Paulo
	 20
	Rio de Janeiro
	 10
	Recife
	 15 
	Total
	 45
 Fonte: fictícia
4.1.1.3 Séries Especificadas
 Neste tipo de série, o que varia é apenas o fato ou o fenômeno, permanecendo fixos o tempo e o local. Também é chamada de série categórica. Veja o exemplo:
 ABC VEÍCULOS LTDA
Vendas no 1º trimestre de 2005
	 Período
	Unidades vendidas (1.000 unid.)
	Fiat
	 20
	Gm
	 10
	Chevrolet
	 15 
	TOTAL
	 45
 Fonte: fictícia
4.1.2 Séries Conjugadas
 São também chamadas de tabelas de dupla entrada. São apropriadas à apresentação de duas ou mais séries de maneira conjugada, havendo duas ordens de classificação: uma horizontal e outra vertical. Veja o exemplo:
 Vendas no 1º trimestre de 2005
	 Filiais
	Janeiro
	 Fevereiro
	 Março
	 São Paulo
	 10
	 7
	 8
	 Rio de Janeiro
	 12
	 5
	 6
	 Recife
	 15
	 3
	 5
	 Total
	 37
	 25 
	 19
 Fonte: fictícia
4.1.3 Séries Heterógradas
 São séries tabeladas em forma de distribuição de freqüências.
4.2 DEFINIÇÕES
4.2.1 Dados Brutos 
 São dados que ainda não foram numericamente organizados. Portanto é difícil termos uma idéia exata do comportamento do grupo como um todo.
Exemplo: 
45, 41, 42, 41, 42, 43, 44, 41, 50, 46, 50, 46, 60, 54, 52, 58, 57, 58, 60, 51
 
4.2.2 Rol 
 Um rol é uma tabela obtida após a ordenação dos dados.
Exemplo: 
41, 41, 41, 42, 42, 43, 44, 45, 46, 46, 50, 50, 51, 52, 54, 57, 58, 58, 60, 60
4.2.3 Distribuição de Freqüência sem Intervalos de Classe: 
 É a simples condensação dos dados conforme a repetição de seus valores.
Exemplo
	Dados
	 41
	 42
	 43
	 44
	 45
	 46
	 50
	 51
	 52
	 54
	 57
	 58
	 60
	Total
	 Fi
	 3
	 2
	 1
	 1
	 1
	 2
	 2
	 1
	 1
	 1
	 1 
	 2
	 2
	20
4.2.4 Distribuição de Freqüência com Intervalo de Classe 
 Quando o tamanho da amostra é mais elevado, é mais racional efetuar o agrupamento dos valores em intervalos de classe. , conforme abaixo 
	 i
	 Classe 
	( fi )
	 1
	41 45
	7
	 2
	45 49 
	3
	 3 
	49 53
	4
	 4
	53 57 
	1
	 5
	57 61 
	5
	 
	
	20
4.3 ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA (com intervalo de classe)
3.3.1 Classe
 É o intervalo de variação da variável e é simbolizado por “i” e o número total de classe é simbolizado por “k”
Exemplo: na tabela anterior k = 5 e i = 1, 2, ... , 5
4.3.2 Limites de Classe - li
 São os extremos de cada classe. O menor número é o limite inferior de classe (li) e o maior número é limite superior de classe (ls).
Exemplo:
Na classe 49 53 , li = 49 e ls = 53. O símbolo representa um intervalo fechado à esquerda e aberto à direita. O valor 53 pertence a 4ª classe e não a 3ª.
4.3.3 Amplitude do Intervalo de Classe - h
 É obtida por meio da diferença entre o limite superior e inferior da classe e é simbolizada por . No exemplo anterior 
4.3.4 Ponto Médio da Classe - PM
 É o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais. Ex. na classe de 49 a 53, o ponto médio é 
4.3.5 Amplitude Total da Distribuição
 É a diferença entre o ponto médio da última classe e o ponto médio da primeira classe. No exemplo anterior, 
 
4.3.6 Amplitude Total da Amostra (Rol)
 É a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo do rol. Em nosso exemplo 
Na prática utilizamos um método sequencial para a construção de uma tabela de distribuição de freqüências com intervalos de classe. O mesmo está descrito abaixo: 
1º - Organizar os dados brutos em um rol utilizando o método de ramos e folhas;
2º - Calcular a amplitude total da amostra;
3º - Calcular o nº de classes, utilizando a “fórmula de Sturges” k = 1,33 + log n, onde n é o número de dados ou de observações;
4º Determinar a amplitude do intervalo de classe, dividindo a amplitude total da amostra pelo número de classes k, ou seja , faça 
Dúvidas e Anotações
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5. SÉRIES ESTATÍSTICAS – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
5.1 Histograma
 É um gráfico formado por retângulos justapostos, cujas bases se localizam no eixo horizontal de tal modo que seus pontos médios coincidem com o ponto médio do intervalo declasse e suas alturas são proporcionais às suas respectivas freqüências absolutas.
5.1.1 Freqüência Simples ou absoluta
 
 São os valores que realmente representam o número de dados de cada classe. A soma das freqüências simples é igual ao número total dos dados da distribuição.
5.1.2 Freqüência Simples Acumulada de uma classe
 É o total das freqüências de todos os valores inferiores ao limite superior do intervalo de uma classe.
5.1.3 Freqüências Relativas 
 São os valores obtidos através do quociente entre as freqüências simples de cada classe e o total das freqüências da distribuição. A soma das freqüências relativas é 1 ou 100%.
5.1.4 Freqüência Relativa Acumulada de uma classe 
 
 É a freqüência acumulada da classe dividida pela freqüência total da distribuição.
5.2 Polígono de Freqüências Simples
 É um gráfico formado por uma linha poligonal fechada, traçada a partir dos pontos médios da base superior de cada retângulo dos intervalos de classe. Para realmente obtermos a linha fechada temos que ligar os extremos da linha obtida aos pontos médios da classe anterior à primeira e da posterior à última, da distribuição.
5.3 Polígono de freqüência Acumulada
 É traçado marcando-se as freqüências acumuladas sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas nos pontos médios correspondentes aos limites superiores dos intervalos de classe.
Aplicação
Com base na tabela acima, pede-se: 
	CLASSE
	 fi
	
	
	
	
	50 54
	2
	
	
	
	
	54 58
	5
	
	
	
	
	58 62 
	8
	
	
	
	
	62 66
	6
	
	
	
	
	66 70
	3
	
	
	
	
	70 74
	1
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
a) os pontos médios da distribuição
b) as freqüências absolutas acumuladas
c) as freqüências relativas
d) as freqüências relativas acumuladas
e) construir o histograma
f) construir o polígono de freqüências
g) construir o polígono de freqüências acumuladas
Solução
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6. MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
 São medidas que fornecem o valor do ponto em torno do qual se distribuem os dados. 
6.1 A Média aritmética
 A média aritmética é uma medida estatística que é calculada somando-se todos os possíveis valores de um conjunto de dados e dividindo-se pelo número de itens desse mesmo conjunto. 
6.1.1 Para Dados Não-Agrupados ou Dados brutos
 
6.1.2 Para Dados Agrupados 
 Dados agrupados são aqueles que estão dispostos em uma tabela de distribuição de freqüências. 
 ; onde 
Exemplo 1
Encontrar a média dos dados a seguir, que considera o número de aulas perdidas por uma turma de alunos em determinada semana.
	 Aulas perdidas 
(Xi)
	Número de alunos (f)
	 Xi fi
	 0
	 8
	 8 . 0 = 0 
	 1
	 10
	 10 . 1 = 10
	 2
	 12
	 12 . 2 = 24 
	 3
	 6
	 6 . 3 = 18
	
 
	
 
	 52 
Logo aulas perdidas nessa semana
Exemplo 3.
 
Nascidos vivos ao nascer segundo o peso, em quilogramas
	Classe
i
	Ponto médio
xi
	Frequência
fi
	xi.fi
	1,5 2,0
	1,75
	3
	5,27
	2,0 2,5
	2,25
	16
	36,00
	2,5 3,0
	2,75
	31
	 85,25
	3,0 3,5
	3,25
	34
	 110,50
	3,5 4,0
	3,75
	11
	41,25
	4,0 4,5
	4,25
	4
	17,00
	4,5 5,0
	4,75
	1
	 4,75
	
	- - - -
	
	
 
kg, ou seja, espera-se que em média as crianças nascidas vivas pesem em torno de 3quilos
6.2 A Mediana - Md
 A mediana é o valor que ocupa a posição central de uma distribuição de dados ordenados em um rol. Para dados não agrupados, temos que considerar:
 
6.2.1 Para Dados Não-Agrupados
6.2.1.1Amostra de Tamanho Ímpar 
Exemplo: 1, 4, 6, 9 e 11 M d = 6
6.2.1.2 Amostra de Tamanho Par 
Exemplo: 1, 5, 7, 8, 10, e 11 M d = (7 + 8) / 2 = 7,5 M d = 7,5
5.2.2 Para dados Agrupados, usamos a fórmula: 
 Onde:
l m d = Limite Inferior da classe que contém a M d 
h = Amplitude da classe M d
n = Tamanho da amostra 
f = Somatório das freqüências anteriores à freqüência absoluta da classe que contém a Mediana 
 fm d = Freqüência absoluta da classe que contém a mediana
Exemplo 2
Calcular a mediana para os dados da tabela abaixo:
 
	Classes
	fi
	Fi
	 35 45
	5
	5
	 45 55 
	12
	17
	 55 65 
	18
	35
	 65 75
	14
	49
	 75 85
	6
	55
	 85 95 
	3
	58
	
	58
	- - - 
 
1º Passo: Calcula-se n / 2. Como n = 58, 58 / 2 = 29º , a mediana se encontra na 29ª posição e terceira classe ou classe mediana;
2º Passo: Identifica-se a classe mediana pela Fi. 
3º Passo : Aplica-se a fórmula. 
Nesse caso, temos: l m d = 55; n = 58; f i = 17; h = 10; f m d = 18.
Daí, calculamos a mediana
M d = 
6.3 A Moda (Mo)
 É o valor que ocorre com mais ou maior freqüência em uma distribuição de dados.
6.3.1 Para dados não Agrupados
Exemplo 
Número de indivíduos, segundo o tipo de sangu
	Tipo de sangue
	O
	A
	B
	AB
	Frequência
	547
	441
	123
	25
Nesse caso a Moda será : - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
6.3.2 Para Dados Agrupados
 Dados agrupados, são dados que estão dispostos em uma tabela de distribuição de frequências e para o cálculoda moda, procedemos da seguinte forma: 
1º Passo : Identifica-se a classe modal. A classe modal é aquela que possui maior freqüência.
2º Passo : Aplica-se a fórmula:
 Onde:
 
 = Limite inferior da classe modal;
 1 = Diferença entre a freqüência da classe modal e a classe anterior ;
 2 = Diferença entre a freqüência da classe modal e a classe posterior;
h = Amplitude da classe.
Exemplo 1
Considere os dados da tabela abaixo para calcular a moda.
	Classes
	fi
	Fi
	 35 45
	5
	5
	 45 55 
	12
	17
	 55 65 
	18
	35
	 65 75
	14
	49
	 75 85
	6
	55
	 85 95 
	3
	58
	
	58
	- - - 
 
Neste caso, a classe de maior freqüência é a 3ª classe, ou classe modal. Daí,
l i = 55; 1 = 18 12 = 6; 2 = 18 14 = 4 e h = 10
Logo, qual seria a moda?
 
M o = 
 
Dúvidas e anotações
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
Questões para Avaliação do Conteúdo
1. A média aritmética é a razão entre 
(a) o número de valores e o somatório deles
(b) os dois valores centrais
(c) o somatório dos valores e o número deles
(d) os valores extremos 
2. Na série 60, 90, 80, 60, 50 a moda é:
(a) 50 (b) 60 (c) 80 ( d) 90 (e) 85
3. A medida que tem o mesmo número de valores abaixo e acima dela: 
 
 (a) a moda (b) a mediana (c) a média (d) o lugar mediano
4. A soma dos desvios entre cada valor e a média é:
 
(a) positiva (b) diferente de zero (c) negativa (d) zero (e) Não sei dizer
5. Na série 60, 50, 70, 80, 90 o valor 70 será:
(a) a média e a moda (c) a mediana e a moda (b) a média e a mediana 
6. Quando queremos verificar a questão de uma prova que apresentou 
 maior número de erros, utilizamos:
(a) moda (b) mediana (c) média (d) amplitude total (e) freqüência acumulada
7. Dado o histograma abaixo, no interior de cujos retângulos foram anotadas as freqüências absolutas, então a mediana é :
 
 30
 
 25 20 
 
 10 15 
 
 
 2 4 6 8 10 12 
(a) 6,5 (c) 7,5 (b) 8,0 (d) 7,0 (e) 30 
8. Na série 15, 20, 30, 40, 50, há abaixo da mediana:
(a) 3 valores (b) 3,5 valores (c) 2 valores (d) 4 valores (e) nenhum valor
 
9. O cálculo da mediana pressupõe o conhecimento da (o):
(a) média (b) desvio padrão (c) moda (d) ponto médio (e) pessoa que sabe
10. Para analisar os dados de uma folha de pagamentos, quais medidas você utilizaria para:
 
a) descobrir o salário mais freqüente - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
b) o salário que divide os pagamentos em partes iguais- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
c) descobrir o salário médio dos funcionários- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
11. Dados os salários anuais, em reais, de cinco jornalistas autônomos, calcule a média, a mediana e a moda. Que medida de tendência central fornece a medida resumo mais adequada?
 17.000 18.000 20.000 23.000 65.000
12. Considere a seguinte série: 4, 5, 6, 6, 6. 7, 8, 
a) Calcule a média, a moda e a mediana
b) Substitua o valor 8 pelo valor 18 e faça novamente os cálculos. 
c) que aconteceu com a média? E com a moda? E a mediana? 
d) Que conclusões vocêpode tirar a respeito desse fato?
13. Calcule o peso médio dos ratos em cada idade, baseado nos dados fornecidos pela tabela a seguir: 
Peso, em gramas, de ratos machos da raça Wistar segundo a idade, em dias
	Nº do rato
	I d a d e
	
	30
	34
	38
	42
	46
	1
	76,2
	95,5
	99,2
	122,7
	134,6
	2
	81,5
	90,0
	101,2
	125,9
	136,2
	3
	50,0
	60,0
	62,3
	72,2
	85,3
	4
	47,5
	50,0
	57,5
	72,3
	84,0
	5
	63,5
	79,2
	82,1
	94,7
	110,0
	6
	65,1
	75,7
	79,3
	88,5
	98,7
	
	
	
	
	
	
 
Com base nos resultados obtidos responda:
a) A média de peso é maior nos ratos com quantos dias? - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- 
b) A média de peso é menor nos ratos com quantos dias? - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
c) Pode-se afirmar, que o peso médio dos ratos aumenta com a idade? - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
e) Qual o rato que apresentou maior ganho de peso nos 16 dias? - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
14. Suponha que você não se encontrando em sua profissão, resolveu entrar no ramo de Delivery de alimentos e após 40 semanas de vendas, resolveu fazer um levantamento geral das atividades. O quadro abaixo mostra os valores das vendas em milhares de R$:
 16 29 16 19 24 17 18 20 19 22
 34 20 19 22 11 14 13 19 20 26
 21 27 24 20 17 18 23 18 20 24
 17 24 19 21 17 22 23 26 22 20
Com base nas suas vendas, determinar:
a) O rol; 
b) a amplitude máxima;
c) amplitude de classes de freqüências;
d) distribuição em classes de freqüências;
15. Elaborar e/ou calcular 
a) histograma; 
b) histograma de freqüência acumulada; 
c) polígono de freqüência acumulada; 
d) a média
e) a mediana
f) a moda 
16. Num restaurante foi observado o consumo mensal de energia elétrica:
 
 290 321 308 213 318 302 358 286 393 398
 352 235 329 333 409 351 325 458 314 181
 396 340 356 369 281 386 334 331 348 339
 321 415 327 377 344 209 327 245 297 355
a) Organize os dados em ordem crescente (Rol)
b) qual é o menor consumo? 
c) qual é o maior consumo? 
d) qual é a amplitude total da distribuição? 
e) qual sua sugestão para o número de classes? 
f) qual é a amplitude do intervalo de classe? 
g) construa a tabela de distribuição de freqüências 
h) Qual o limite inferior da segunda classe?
i) Qual o limite superior da quarta classe?
j) Qual a freqüência absoluta da quarta classe?
k) Qual a freqüência relativa da quinta classe?
l) Calcule a média aritmética
m) Calcule a mediana 
n) Calcule a Moda
o) Qual dessas medidas representa melhor esse consumo de energia?
17. Dada a figura abaixo, podemos afirmar que:
(a) A moda é maior do que a mediana e menor de que a média
(b) A moda é menor do que a mediana e maior do que a média
(c) A moda é menor do que a mediana e esta maior do que a média
(d) A mediana é maior do que a média e menor do que a moda
(e) A média é igual a mediana e esta igual a moda
18. Utilizando a série de dados: 2, 5, 7, 8, comprove as seguintes propriedades da média aritmética.
a) A soma dos desvios em torno da média é igual a zero, isto é 
b) Somando ou subtraindo a mesma quantidade arbitrária de todos os valores da série, a média ficará aumentada ou diminuída dessa mesma quantidade.
c) multiplicando ou dividindo cada termo de uma série por uma constante, a média ficará multiplicada ou divida pela constante.
d) a soma dos quadrados dos desvios medidos em relação à média é um mínimo, ou seja, é sempre menor que a soma dos quadrados dos desvios medidos em relação a outro valor qualquer, isto é, 
Dúvidas, Cálculos, e Anotações
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7. MEDIDAS DE POSIÇÃO
 As medidas de posição são medidas ou separatrizes que dividem a área de uma distribuição de freqüências em regiões de áreas iguais.
7.1 Quartis
 São Separatrizes que dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais, percentualmente
 0 25 50 75 100
 Q1 Q2 Q3 
7.1.1 Primeiro quartil - Q1 
 Separatriz que divide a distribuição em duas partes, tal que 25% dos valores sejam menores que ele e 75% maiores que ele.
7.1.2 Segundo quartil - Q2
 
 O segundo quartil coincide exatamente com a mediana. É o valor que divide a distribuição em exatamente metade dos elementos.
7.1.3 Terceiro quartil - Q3 
 Valor que deixa 75% dos valores à sua esquerda e os 25% restante à sua direita 
Para o cálculo dos quartis utiliza-se a mesma fórmula utilizada para o cálculo da mediana, com pequenas adaptações, ou seja: 
 
Determinação de Q 1
1º Passo : Calcula-se n/4;
2º Passo : Identifica-se a classe Q1, através da Fi ;
3º Passo : Aplica-se a fórmula.
- Determinação de Q3 
1º Passo : Calcula-se 3n/4;
2º Passo : Identifica-se a classe Q3 pela Fi;
3º Passo : Aplica-se a fórmula : 
Aplicação: Dada a distribuição abaixo, determinar Q1, Q2 e Q3.
Classes 7 17 17 27 27 37 37 47 47 57 
 
 fi 6 15 20 10 5 56
 Fi 6 21 41 51 56 - - -
 Q1 Q3 
 Q 2 = M d 
1º Passo : n = 56
Q1 = ? Q2 = Md Q3 = ?
n ÷ 4 = 14º n ÷ 2 = 28º 3n ÷4 = 42º 
2º Passo : Através da F i, identifica-se a classe Q1, M d e a Q 3
3º Passo : Uso das fórmulas: 
 Q1 l Q1 = 17 n = 56 f ant = 6 h = 10 f Q1 = 15
Para M d l m d = 27 n = 56 f ant = 21 h = 10 f md = 20 
 Q3 l Q 3 = n = f ant = h = fQ3 = 
Aplicando esses resultados em suas respectivas fórmulas, obtemos:
Q1 = 22,33 Q2 = M d = 30,5 Q 3 = 38 
Dispondo os valores encontrados. O que significam esses valores?
 25% 25% 25% 25% 
 
 7 22,23 30,5 38 57
Significam que:
o valor 22,33 deixa - - - - - - dos elementos - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- 
o valor 30,5 deixa 50% - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- 
o valor 38 deixa- - - - - - dos elementos - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
 
7.2 Decis
 
 São separatrizes que dividem percentualmente uma série ou uma seqüência de dados ou de observações em 10 partes iguais, 
 0 10 20 30 40 50 . . . . . . . . . . . . . . . 90 100
 
E a fórmula, neste caso, também é idêntica às separatrizes anteriores com pequenas adaptações, ou seja,
E para seu cálculo adotamos o seguinte procedimento:
1º passo : Calcula-se (i . n) / 10, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
2º passo: Identifica-se a classe D i pela F ac.
3º passo : Aplica-se a fórmula:
 
Onde : 
l D i = limite inferior da classe D i , i = 1, 2, 3, …..9
n = tamanho da amostra
h = amplitude de classe
f D i = freqüência da classe D i
 f ant = soma das freqüências anteriores à classe D i
7.3 PERCENTIS
 São as medidas que dividem, percentualmente, a amostra em 100 partes iguais. 
 0 1 2 3 4 . . . . . . . . . . . . . . . .50. . . . . . . . . . . . . 97 98 99 100
 P1 P2 P3 P4 …….. P50 .....…..........P97 P98 P99 P100 
 
A fórmula, neste caso, também é idêntica às separatrizes anteriores com pequenas adaptações, ou seja,
 
Que para eu cálculo seguimos o mesmo procedimento, ou seja,
1º Passo: Calcula-se in / 100 , com i = 1, 2, 3, ......, 98, 99.
2º Passo: Identifica-se a classe Pi pela Fac
3º Passo: Usa-se a mesma fórmula dos Decis, trocando-se l di por l Pi e f Di por f Pi 
Exemplo
 
Determinar o D4 e o P72 da seguinte distribuição:
 Classe 4 9 9 14 14 19 19 24 
 
 f i 8 12 17 3
 
 f ac 8 20 37 40 
 classe D4 classe P72 
 
Cálculo de D4 Cálculo de P72
1º Passo: in /10 = 4. 40 / 10 = 16º in / 100 = 72 .40 /100 = 28,8º
2º Passo: Identifica-se a classe D4 e P72 pela F ac
 3º Passo: Utilização das fórmulas
Para D 4 l D4 = ; f = ; h = ; f D4 = ; n = 
 
 P 72 l P72 = ; f = ; h = ; f P72 = ; n = 
Substituindo nas fórmulas , D4 = 12, 33 e P72 = 16,89
- Análise e Conclusão
O valor 12,33 divide a amostra em duas partes, sendo uma contendo - - - - - - - dos dados e outra contendo 
- - - - - - - - - - - - - -.
Enquanto que o valor 16,89 indica que - - - - da distribuição estão abaixo dele e - - - - - estão acima.
Dúvidas e Anotações 
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7 MEDIDAS DE DISPERSÃO (VARIABILIDADE) 
 
 São medidas que servem fundamentalmente para verificar a representatividade das medidas de tendência central, pois, estas, por si só, não são suficientes para caracterizar totalmente uma seqüência numérica.
7.1 A AMPLITUDE TOTAL
 É a diferença entre o maior e o menor valor de uma seqüência de dados,ou seja, 
 
 
Como se Calcula ? vejamos alguns exemplos:
	Ex
	S é r i e 
	Amplitude
	1
	
: 9 10 11 20 
	
	
	2
	X i
	 4 5 7 9
	
	
	fi
	1 6 10 3
	
	
	3
	classe
	2 4
	4 6
	6 8
	8 10
	
	
	fi
	3
	 7
	 12
	 2
	
 Visto e discutido esses exemplos, vejamos, então qual seria: 
 
a) a vantagem:- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
b) a desvantagem: - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
c) a conclusão: - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
7.2 A VARIÂNCIA E O DESVIO-PADRÃO
 - Considerações
1. Nosso propósito é medir o grau de concentração dos dados em torno da média;
2. Nada mais interessante de que estudarmos os desvios de cada valor em relação à media, isto é, 
3. Ao tomarmos o somatório de todos esses desvios, teremos que:
 
 
4. Para solucionar esse problema, pelo menos duas soluções foram apresentadas. O cálculo do desvio médio e a variância
 
7.2.1 O DESVIO MÉDIO
 
 
7.2.2 O CÁLCULO DA VARIÂNCIA E DO DESVIO-PADRÃO(Dispersão Absoluta)
 Para o cálculo da variância e do desvio-padrão vamos considerar as seguintes expressões:
	Variância
	Desvio padrão
	Universo
	
	
	Populacional
	
	
	Amostral
 
Comentários 
1 - No cálculo da variância, quando elevamos os desvios ao quadrado, a unidade de medida também ficará elevada ao quadrado, sempre;
 
2 - Em diversas situações, a unidade de medida da variância nem faz sentido. É o caso por exemplo, em que os dados são expressos em litros, pizzas, salários, etc... Portanto, o valor da variância não pode ser comparado diretamente com os dados da série, ou seja, a variância não tem interpretação
 
3 - Exatamente para suprir essa deficiência da variância é que lançamos mão da definição do desvio-padrão, que por sua vez, terá sempre a mesma unidade de medida da série e portanto admite interpretação. 
4.O desvio-padrão é, sem dúvida a mais importante das medidas de dispersão e é vital que o pesquisador consiga relacionar o valor obtido através da fórmula, com os dados da série. 
5. Quando uma curva de freqüência representativa de uma série é perfeitamente simétrica, a construção gráfica em forma de sino corresponde a curva normal (curva de Gauss) e podemos afirmar que:
 
 3 2 + +2 +3 
 
 Zona de normalidade (2) 
	Intervalo
	(%) de valores contidos
	
	68
	
	95
	
	99
7.2.2.1 ZONA DE NORMALIDADE
A zona de normalidade é definida por um conjunto de valores (ou uma região) em torno da média aritmética, contidos num intervalo de amplitude “2 ”, ou seja, - antes da média e + depois da média
Aplicação 
Um restaurante cobra o almoço de cada cliente mediante peso (por quilo) da quantidade de alimento consumida. Foi observado, durante um mês, que as quantidades de alimento consumidas são normalmente distribuídas com uma média de 550 g e desvio padrão de 200 g, Calcular:
a) a amplitude do intervalo da zona de normalidade.Vimos que a zona de normalidade é dada por: , sendo e = 200 g , calcula-se o intervalo, ou seja: g e g. 
Portanto, a amplitude do intervalo da zona de neutralidade ou de normalidade, é de 350 g até 750 g. Isso significa que 68% da clientela consomem entre 300 e 750 g de alimentos 
b) Já amplitude dos 95% centrais, é com vocês!
 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
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7.3 O COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (Dispersão Relativa)
Considere as séries abaixo e suas respectivas estatísticas:
	Variável
	Média
	Desviopadrão
	
	X
	10
	2
	
	Y
	100
	5
	
 Com base nesses dados, responda aos seguintes questionamentos 
1. qual série possui maior dispersão? - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
2. que tipo de dispersão? - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
3. levando-se em consideração as médias das duas séries, o desvio-padrão de Y que é - - - - - - -, em relação a sua média que é - - - - - -, é menos significativo que o desvio-padrão de X que é - - - - - - -, em relação a sua média que é - - - - - -. .
4. Este fato nos leva a definir uma medida de dispersão mais completa porque trata-se de dispersão relativa, que é o Coeficiente de Variação, dado pela seguinte expressão,
 
Analisando essa expressão, verificamos que:
	
1. O coeficiente de variação é um número puro, portanto pode ser expresso em percentual.
2. O coeficiente de variação leva em consideração tanto a média quanto a dispersão absoluta da série,
portanto é uma medida mais completa do que a dispersão absoluta isoladamente; 
 
3. Para nosso exemplo, comparando os C V de X e Y conclui-se que Y tem menor dispersão relativa do que X.
Dúvidas e Anotações
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Será que você consegue? Tente, não desista
1. Qual a desvantagem da utilização da variância como medida de dispersão? 
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
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2. Qual é a medida que se utiliza para compensar essa desvantagem?
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
3. O coeficiente de variação é uma medida que expressa a razão entre:
(a) A média e o desvio padrão
(a) O desvio padrão e a média
(c) O desvio padrão e a moda
(d) a soma dos desvios e a média
(e) o desvio padrão e a mediana
4. O desvio padrão de uma distribuição é 9 . A variância será:
 
(a) 3 ( b) 36 (c) 18 (d) 81 (e) – 3
5. Realizou-se uma prova de estatística para duas turmas. Os resultados foram os seguintes:
	Turma 
	Média
	Desviopadrão
	
	A
	5
	205
	
	B
	4
	2,0
	
Qual das alternativas abaixo é a mais correta
(a) A turma B apresentou maior dispersão absoluta
(b) A dispersão relativa de A é igual à dispersão relativa de B
(c) Tanto a dispersão absoluta quanto a dispersão relativa são maiores para a turma B 
(d) A dispersão absoluta de A é maior do que a de B, mas em termos relativos as duas não diferem quanto ao grau de dispersão das notas
(e) A turma A é menos dispersa do que a turma B
6. Examinando a figura abaixo podemos concluir que: 
 
 B
 A
 
(a) Tanto o desvio padrão quanto a média de A são diferentes de B
(b) O desvio padrão de A é maior do que o de B e as médias são iguais
(c) O desvio padrão de A é menor do que o de B e as médias são diferentes
(d) O desvio padrão de A é igual ao de B e independe do valor da média
(e) As duas distribuições possuem o mesmo coeficiente de variação.
7. Dentre as amostras abaixo, a que possui maior desvio padrão é:
Amostra 1: 0 , 1 , 2
Amostra 2: 13,1 , 13,3 , 13,5 , 13,7
Amostra 3: 26 , 27 , 28 
Amostra 4: 1001 , 1002 , 1003
Amostra 5: - 5 , 10 , 25
(a) 1 ( b) 2 ( c) 3 ( d) 4 ( e) 5 
8) Nas operações financeiras, o investidor tenta estabelecer um valor médio de rentabilidade. O risco da operação é medido através:
a) média das rentabilidades 
b) desvio-padrão das rentabilidades 
c) desvio-padrão 
d) desvio modal
e) média ponderada
9. Os coeficientes de variação das estatísticas abaixo são respectivamente:
 Disciplina S 
 Estatística 80 16
 
 Cálculo I 20 5
(a) 16% e 40% (b) 50% e 25% (c) 20% 25% (d) 50% e 40% (e) 80% e 40%
10. Para quaisquer valores de X, quanto vale a expressão (X X)?
 (a) 5 (b) 3 (c) 2 (d) 0 (e) 1
11. Para analisar os dados de uma folha de pagamentos que medida você utilizaria para descobrir a dispersão absoluta em torno da média?- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
12. Numa distribuição de valores iguais, o desvio padrão é:
 (a) negativo (b) positivo (c) a unidade (d) zero (e) não sei do que se trata 
13. O cálculo da variância supõe o conhecimento da:
(a) mediana (b) ponto médio (c) média (d) da moda (e) do desvio padrão 
14. Qual a posição da média, moda e mediana para distribuições consideradas simétricas?
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
15. Qual a forma e o nome da curva que representa as distribuições simétricas?
(a) Sino e Gosset (b) Ferradura e Laplace (c) Sino e Gauss (d) Jota e t-Student
16. Falando em distribuição simétrica, preencha o quadro abaixo:
 Intervalo % Significado
 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
 
 - - - - 95 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
 
 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
 
17. Num determinado bairro residencial de classe média, constatou-se que o consumo médio de energia se distribui normalmente, com uma média de 250 kW, com desvio padrão de 30 kW. Calcule:
a) a amplitude do intervalo da zona de normalidade.
b) Se este bairro possui 7.200 famílias, quantas famílias pertencem à zona de neutralidade de amplitude dos 95% centrais 
Dúvidas, Cálculos e Anotações 
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8 MEDIDAS DE ASSIMETRIA 
 Assimetria é o grau de afastamento de uma distribuição da unidade de simetria.
 Quando uma distribuição é simétrica, os valores da média, da moda e da mediana são coincidentes. A figura abaixo (a) mostra uma distribuição simétrica; (b) assimétrica positiva e (c) assimétrica negativa.
 (a) (b) (c) 
 f f f
 
 simétrica assimétrica positiva assimétrica negativa
8.1 O COEFICIENTE DE ASSIMETRIA
 1º Coeficiente de Pearson 2º Coeficiente de Pearson (Bowley)
 
 Observações
1. O uso de um ou outro coeficiente vai depender da dificuldade de se calcular uma ou outra estatística.
2. Ao binômio (Q3 Q1) Chama-se Intervalo Interqualítico. 
 0 Assimétrica Negativa
3. E quando A S = 0 Simétrica. 
 0 Assimétrica Positiva 
Aplicação
 
 Determinar o coeficiente de assimetria pelos dois processos e classificar a curva para a distribuição abaixo:
 Classe f i 
 0 2 3
 2 4 5
 4 6 8
 6 8 4
 10 1
 
Cálculos e Anotações
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9. MEDIDAS DE CURTOSE
 Curtose é o grau de achatamento de uma distribuição. 
As figuras a, b, e c mostram as três formas que uma distribuição pode se apresentar segundo sua curtose. 
 
 f f (b) f 
 (a) 
 (c)
 mesocúrtica leptocúrtica platicúrtica 
 
 k = 0,263 k > 0,263 k < 0,263 
 
9.1 Cálculo do Coeficiente de Curtose
 
Para se medir o Grau de Achatamento ou de Curtose de uma distribuição utiliza-se o Coeficiente:
 
 
 
que é chamado de Coeficiente Percentílico de Curtose
Onde Q = 1/2 (Q 3 - Q 1) é chamado de Intervalo Semi-interqualítico
 Exemplo 
Classificar a curva que corresponde à distribuição:
 Classes 3 8 8 13 13 18 18 23
 
 f i 5 15 20 10 
 
 Fac
Cálculos e Anotações
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10. TEORIA E CÁLCULO DAS PROBABILIDADES
 Consciente ou inconscientemente a probabilidade é utilizada por qualquer indivíduo que toma decisão em momentos de incerteza. Conhecendo-se ou não as regras para seu cálculo, muitas pessoas interessam-se por eventos ligados à probabilidade. Do contrário com poderíamos explicar o grande número de pessoas que arriscam a sorte, jogando em loterias, bingos, rifas, etc. Aliás, as aplicações iniciais do cálculo das probabilidades tiveram inicio no século XVII em função dos jogos de azar.
A utilização das probabilidades indica a existência de um elemento ao acaso ou de incerteza quanto à ocorrência ou não de um evento aleatório. 
Ao estudarmos um fenômeno coletivo, verificamos a necessidade de descrever o próprio fenômeno e o modelo matemático associado ao mesmo, que permita explicá-lo da melhor forma possível. 
A teoria das probabilidades é um modelo matemático utilizado para explicar fenômenos aleatórios coletivos e fornecem estratégias para a tomada de decisão em momentos de incerteza. Tais fenômenos, mesmo em condições normais de experimentação, seus resultados variam de uma observação para outra, dificultando a previsão de um resultado futuro.
10.1 Tipos de Fenômenos : Na natureza existem dois tipos de fenômenos, a saber:
10.1.1 Determinísticos – Os resultados são sempre os mesmos, quaisquer que sejam as“n” repetições.
Exemplo: a água submetida à temperatura de 100º, passará do estado líquido para o gasoso, sempre.
10.1.2 Aleatórios ou Não-Determinísticos – Os resultados não são previsíveis, mesmo que haja “n” repetições.
Exemplo: 
Num pomar com centenas de laranjeiras, as produções da cada planta serão diferentes e não previsíveis, mesmo estando todas, sob as mesmas condições de solo, temperatura, umidade, etc... 
Obs.
1ª) quando um fenômeno é determinísticoa teoria das probabilidades não fornece um modelo matemático adequado para explicar esse fenômeno;
2ª) o objeto da teoria das probabilidades é o estudo dos fenômenos aleatórios, casuais ou não-determinísticos;
 3ª) para facilitar o desenvolvimento da teoria sem usar recursos matemáticos mais sofisticados, por ora, vamos restringir nosso estudo a uma classe de fenômenos aleatórios chamados de experimentos aleatórios. 
10.2 Experimento Aleatório E 
Os experimentos são fenômenos aleatórios e mesmo que as condições iniciais sejam sempre as mesmas, os resultados finais de cada tentativa, serão diferentes e não previsíveis e possui as seguintes características: 
a) Poderá ser repetido indefinidamente sob as ”mesmas condições”;
b) Não se conhece, a priori, um valor particular do experimento, porém pode-se descrever todos seus possíveis resultados;
c) Quando for repetido um grande número de vezes, surgirá uma regularidade, ou seja, haverá uma estabilidade da fração f = r/n , 
Onde :
r = o número de sucessos de um particular resultado estabelecido antes da realização do experimento 
n = o número de repetições
 
 f 
 1 
 n 
 
10.3 Espaço Amostral Finito Equiprovável – S 
 Um Espaço Amostral é o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório.
Ele será Equiprovável ou Uniforme quando associa cada ponto do espaço amostral a mesma probabilidade de ocorrência.
Exemplos
 
E1 = Lançar um dado não viciado e anotar o número de pontos; 
S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
E2 = Lançar uma moeda e anotar a face voltada para cima;
S2 = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
 
E3 = Retirar uma carta de um baralho com 52 cartas, anotar o naipe 
S3 = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
E4 = lançar duas moedas e observar as faces voltadas para cima.
S4 = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
E5 = Lançar uma moeda sucessivamente até que se obtenha a 1ª cara
S5 = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
E6 = Escolha de um ponto no intervalo 3 , 12 e anotar a distância do ponto 
 escolhido P ao ponto 5;
S6 = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
 
E7 = Jogar uma moeda 4 vezes e anotar o número de caras obtidas
 
S7 = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
E8 = O número de rebites utilizados na asa de um avião
5
S8 = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
E9 = Lançar uma moeda eum dado e anotar os resultados obtidos
S9 = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
10.4 Evento e Operações com Eventos
 Um evento é qualquer subconjunto do espaço amostral S. 
Considere S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 , o espaço amostral relativo ao lançamento de um dado.
Note que, se A = 1, 2 ; B = 2, 4 e C = , são subconjuntos de S e portanto são eventos. Dessa forma:
 O próprio espaço amostral S e o são eventos
 S é dito o evento certo de ocorrer e o evento impossível
 Usando as operações com conjuntos, podemos formar novos eventos:
i) A B = x S / x A ou x B evento que ocorre se A ocorre ou B ocorre, ou ambos ocorrem.
II) A B = x S / x A ou x B evento que ocorre se A e B ocorrerem ao mesmo tempo
III)ou CA é o evento que ocorre se A não ocorrer
Exemplo:
 
Seja S = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ; Se A = 1, 2, 3 B =2, 3, 6 C = 2, 3, 4
A B = A C = CA = 
CB = C (A B) = C(A C) = 
 
10.5 Eventos Mutuamente Exclusivos
 Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos quando a ocorrência de um deles exclui ou impede a possibilidade da ocorrência do outro, ou seja, eles não podem ocorrer simultaneamente, isto é, 
 
 A B = 
Exemplo:
E : jogar um dado e observar o resultado S = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Sejam os eventos : A = ocorrer nº par A = 2, 4, 6
 B = ocorrer nº ímpar B = 1, 3, 5
Logo, A B = . O que isto significa? - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
10.6 Definição de Probabilidade
 Probabilidade é uma função que associa cada evento S um número real e satisfaz aos seguintes axiomas:
 S R
 P 
 B
 A C 
 Probabilidade
A.1 - 0 P (A) 1
A.2 - P (S) =1
A.3 - Se E1, E2, . . ..En, forem mutuamente excludentes, então: 
 P(E1E2.........En) = P(E1) +P (E2) +. . . .+ P(En)
10.7 Principais Teoremas
T.1 - Se é o conjunto vazio, então: P() = 0
T.2 - Se é o complementar de A , então: P() = 1 P (A)
T.3 - Se A B, então: P (A) P (B)
T.4 - Se A e B são dois eventos quaisquer, então: 
 P (A B) = P (A) + P (B) P (A B)
T.5 – Se A, B e C forem três eventos quaisquer, então:
 P (A B C) = P (A) + P (B) + P (C) – P(A∩B) - P(A∩C) - P(B∩C) + P(A∩B∩C)
10.8 Eventos Equiprováveis
 Eventos equiprováveis, são aqueles que têm a mesma probabilidade de ocorrerem, ou seja se o espaço amostral S contém “n” pontos, a probabilidade de cada ponto será : 
 Pi = 1 np = 1 p = 1/n
Por outro lado, se um evento “A” contém “r” pontos, então: P(A) = r . (1/n) . Este é o método de avaliar P(A). e é enunciado da seguinte forma:
‘A probabilidade da ocorrência de um evento qualquer é a razão entre o número de casos favoráveis à ocorrrência desse evento e o número total de casosque podem ocorrer’. 
Em outras palavras, teríamos
 
Exemplo: 
Retira-se uma carta de um baralho comum, bem embaralhado de 52 cartas. Qual a probabilidade de:
a) A = Sair um rei P(A) = 4/52
b) B = Sair uma carta de espadas P(B) = 13/52
c) C = Sair um rei ou uma carta de espadas P(A B) = ?
 
 P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) P(A B) = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
 Logo, P(A B) = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
Dúvidas e Anotações
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Praticando o que Aprendeu
1. Considere o espaço amostral do lançamento de um dado e a observação da face superior. Descreva, por seus elementos, os seguintes eventos;
Sair face par - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
Sair face primo - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Sair face maior que 3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Sair face maior que 6 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
Sair face múltipla de 3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
Sair face menor ou igual a 4 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
2. Considere o espaço amostral S = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 e os seguintes eventos: 
A = 2, 3, 4;B = 1, 3, 5, 7, 9; C = 5; D = 1, 2, 3; E = 2, 4, 6
Determine:
a) A B b) A B c) A C d) CA e) CB f) C(A B) = 
3. Explicitar o espaço amostral de cada um dos seguintes experimentos:
a) O lançamento simultâneo de duas moedas;
b) O lançamento de dois dados;
c) O lançamento simultâneo de três moedas;
d) A distribuição de sexos de uma família com três filhos;
e) O número de caras obtido no lançamento de duas moedas;
f) Anotação da diferença entre o número de caras e coroas no lançamento de duas moedas;
g) Anotação da soma dos pontos no lançamento de dois dados;
h) Retira-se uma bola ao acaso de uma urna que contém 3 bolas brancas e 2 vermelhas. Se a bola retirada for branca, lança-se uma moeda, se ela for vermelha devolve-se para a urna;
i) O lançamento de uma moeda e de um dado, simultaneamente. 
4. Se P (A) = 1/2 ; P (B) =1/4 , sendo A e B mutuamente exclusivos, calcular:
a) b) c) P (A B) e) P (AB) 
5. Determine a probabilidade de cada evento:
a) Um número par aparecer no lançamento de um dado não viciado;
b) Um rei aparecer ao extrair-se uma carta de um baralho;
c) Pelo menos uma cara aparece no lançamento de três moedas;
d) Duas copas aparecem ao retirarem-se duas cartas de um baralho.
6. Dois dados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de:
a) A soma ser menor que 4
b) A soma ser 9
c) O primeiro resultado ser maior do que o segundo
d) O primeiro resultado ser igual ao segundo
7. Uma urna contém 5 bolas brancas e 6 pretas. Três bolas são retiradas. Calcular a probabilidade de:
a) Todas serem pretas b) Exatamente uma ser branca c) Ao menos uma ser preta
8. Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos e duas com defeitos graves. Uma peça é escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que:
a) Ela não tenha defeitos graves
b) Ela não tenha defeitos
c) Ela, ou seja boa ou tenha defeitos graves
9. Um experimento consiste em lançar três moedas e observar a diferença entre o número de caras e o número de coroas obtidos neste lançamento, Explicite esse espaço amostral.
10. A probabilidade de um aluno do sexo masculino resolver um problema de estatística é de 3/5 e de uma aluna resolver esse mesmo problema é de 4/7. Qual a probabilidade de que o problema seja resolvido? 
11. Uma bola é retirada ao acaso de uma urna que contém 6 bolas vermelhas, 4 brancas e 5 azuis. Determinar a probabilidade de ela:
a) Ser vermelha b) Ser branca c) Ser azul d) Não ser vermelha e) Ser vermelha ou branca
12. No lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair o número 5 ou um número par?
Dúvidas, Cálculos e Anotações
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10.9 Probabilidade Condicional – P (A / B)
 Muitas vezes, estamos interessados em calcular a probabilidade de ocorrência de um certo evento, sabendo previamente que outro já ocorreu Por exemplo:
E1 - A probabilidade de chover amanhã sabendo que choveu hoje;
E2 - A probabilidade de um dispositivo eletrônico funcionar 200 horas, sabendo que já funcionou por 100 horas;
E3 - A probabilidade de um projeto de lei ser aprovado no senado, sabendo que já foi aprovado na câmara; 
Em outras palavras, queremos calcular a probabilidade de ocorrência de um evento “A” condicionada à ocorrência prévia de “B”, ou seja, 
P (A / B) Lê-se, P de A dado B
10.10 Definição
 Dados dois eventos, A S e B S, a probabilidade condicionada do evento A, quando B tiver ocorrido será dada por:
 , com P (B) 0 
 Também: , com P (A) 0 
Exemplo 1:
 
Sendo P (A) = 1/3 P (B) =3/4 e P (A B) = 11/12, calcular P (A/B).
Como , devemos calcular:
 
P (AB) = P (A) + P (B) P (A B) = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
 
Daí, P (A B) = 1/6 . Logo P (A/B) = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
Exemplo 2: 
O quadro abaixo se refere à distribuição de alunos presentes numa reunião, classificados por sexo e por curso:
	 Curso
Sexo
	Administração
	Economia
	Total
	H
	40
	60
	100
	M
	70
	80
	150
	Total
	110
	140
	250
Sorteia-se ao acaso um estudante da população de 250 alunos.
a) Qual é a probabilidade de ser mulher?
Como o espaço amostral é composto de 250 alunos, dos quais apenas 150 satisfazem ao evento, então
P (M) = 150/250.
b) Qual a probabilidade do aluno sorteado ser mulher, sabendo que ela estuda economia? 
Nesse caso o espaço amostral ficou reduzido a 140 estudantes que estudam economia, dos quais apenas 80 são mulheres, então: 
 
c) Qual a probabilidade do aluno sorteado ser homem, sabendo que ele estuda administração?
10.11 Regra do Produto 
 Sejam A e B dois eventos contidos em S, então: 
 P (A B) = P (B) P (A/B) ou P (A B) = P (A) P (B/A)
Exemplo: 
 
 Duas bolas são retiradas de uma urna que contém 2 bolas brancas, 3 pretas e 4 verdes. Qual a probabilidade de que ambas:
a) Sejam verdes;
b) Sejam brancas;
c) Sejam da mesma cor.
Solução
a) P (V V) = P(V) P(V/V) = 4/9 3/8 = 1/6
b) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
c) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
10.12 Eventos Independentes
 Intuitivamente se A e B são independentes é porque: 
 
 P (A/B) = P (A) e P (B/A) = P (B)
10.13 Definição 
 Dois eventos A e B são independentes se: 
 
 P (A B) = P (A) P (B)
Exemplo: 
Lançam-se 3 moedas. Os eventos A e B, abaixo definidos são independentes? : 
A = Saída de cara na 1ª moeda
B = Saída de coroa na 2ª e 3ª moedas
E = {c,c,c), (c,c,k), (c,k,c), (k,c,c), (k,k c), (k,c,k), (c,k,k), (k,k,k)}
A = { c,c,c), (c,c,k), (c,k,c), (c,k,k)} P(A) = 1/2 
B = {(c,k,k), (k,k,k)} P(B) = 1/4 
A B = {(c,k,k)} P(A B) 1/8
Daí, P (A) . P (B) = 1/2 x 1/4 = 1/8
E dado que: P (A B) = P (A) P (B) 1/8 = 1/2 x1/4 =1/8. Ent/ao concluimos que A e B são independentes
Importante
1 – Três eventos A, B, e C serão independentes, se todas as 4 proposições abaixo forem satisfeitas: 
a) P (A B C) = P (A) . P (B) . P (C) 
b) P (A B) = P (A) . P (B) 
c) P (A C) = P (A) . P (C) 
d) P (B C ) = P (B) . P (C)
2 – Se A e B são mutuamente exclusivos, então A e B são dependentes, pois se A ocorre, B não ocorre, isto é, a ocorrência de um evento condiciona a não-ocorrência do outro.
10.14 Teorema da Probabilidade Total
 Sejam A1, A2 ,..., An eventos que formam uma partição do espaço amostral S. Seja B também um evento desse espaço, então:
 P (B) = P (Ai) . P (B/Ai)
Para demonstração dessa expressão, vamos considerar o esquema abaixo:
 A1 
 A5 
 A2
 B 
 A3 
 A4 A n 
Então, podemos escrever:
1º) Os eventos (B Ai) e (B A j) para i j , i = 1, 2, . . . n e j = 1, 2, .... n, são mutuamente excludentes, pois: (B Ai) (B Aj) = B (Ai A j) = B = 
2º) O evento “B” ocorre da seguinte forma:
B = (B A1) (B A2) . . . (B A n). 
Daí: P (B) = P (B A1) P (B A2) . . . P (B An).
P (B) = P (A1) . (B / A1) + P (A2) . (B / A2) + . . . . . + P (An) . (B / An).
 Logo, P (B) = P (A i) . P (B / A i) 
 Esta relação é muito útil, porque freqüentemente, quando P (B) é pedida pode , como na maioria das vezes, ser difícil calcula-la diretamente. No entanto com a informação adicional de que os A i tenham ocorrido seremos capazes de calcular P (B/Ai) e em seguida empregar a fórmula acima.
Aplicação: 
Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 amarelas. Uma segunda urna contém 4 bolas brancas e 2 amarelas. Escolhe-se ao acaso uma urna e dela retira-se uma bola. Qual a probabilidade de que seja branca?
Solução
 3 B P (I) =1/2 4 B P (II) = 1/2 
 2 A P (B/I) = 3/5 2 A P (B/II) = 2/3 
 I II
A retirada da bola branca pode ocorrer da seguinte forma:
B = (B I) (B II) P (B) = P {(B I) (B II)} 
P (B) = P (B I) + P (B II) = P (I) . P (B/I) + P (II) . P (B/II) 
P (B) = 1/2 . 3/5 + ½1/2. 2/3 = 19/30
10.15 Teorema de Bayes 
 Sejam A1 , A2 , ..., A n, eventos mutuamente exclusivos que formam uma partição de S. Sejam P (Ai) as probabilidades conhecidas dos vários eventos e B um evento qualquer de S, tal que sejam conhecidas todas as probabilidades condicionais P (B/Ai).
Então para cada “i” tem-se:
 
Este é um resultado de muita importância, pois relaciona a probabilidadesa priori (Ai) ) com probabilidades a posteriori P (B / A i).
Exemplo:
Considere a seguinte configuração:
	 Gaveta
 Bolas
	G1
	G2
	G3
	Pretas
	3
	4
	2
	Brancas
	1
	3
	3
	Azuis
	5
	2
	4
	Total
	9
	9
	9
A qual dispõe de três gavetas, G1, G2 e G3 e dentro das quais encontram-se as respectivas bolas pretas, brancas e azuis 
Agora, vamos escolher uma gaveta ao acaso e dela extrair uma bola. Sabendo que a bola escolhida é branca, qual a probabilidade dela ter vindo da gaveta 2, por exemplo?
Solução
O que queremos saber é P (G2/B).
 
 
 3 1 5 4 3 2 2 3 4 
P (G1) = 1/3 P (G2) = 1/3 P (G3) = 1/3 
P (B/G1) = 1/9 P (B/G2) = 3/9 P (B/G3) = 3/9
 
O que resulta em 9/21, após a substituição dos respectivos valores.
Conclusão: probabilidade a priori de se sortear a G2 que era 1/3, mas sabendo que a bola escolhida foi branca, essa probabilidade passou (a posteriori) para 9/21.
Teste seus conhecimentos
1. Determinar a probabilidade p, ou sua estimativa, para cada um dos eventos:
 
a) de aparecer um número ímpar em um único lançamento de um dado honesto.
b) de ocorrer pelo menos uma cara em dois lances de uma moeda honesta.
c) de surgir um ás, um dez de ouros ou um dois de espadas na retirada de uma carta única de um baralho, bem embaralhado, de 52 cartas
d) de aparecer o total 7 em um único lançamento de dois dados
2. Uma bola é retirada ao acaso de uma urna que contém 6 bolas vermelhas, 4 brancas e 5 azuis. Determinar a probabilidade de ela:
a) ser vermelha 
 b) ser branca 
c) ser azul 
d) não ser vermelha 
e) ser vermelha ou branca
3. Uma moeda é lançada três vezes. Ache a probabilidade de se obterem:
a) Três caras
b) Duas caras e uma coroa
c) Uma cara
d) Pelo menos uma cara
e) Nenhuma cara
4. São lançados dois dados. Qual a probabilidade de:
a) obter-se um par de pontos iguais;
b) um para de pontos diferentes
c) um par em que o 1º > 2º
d) a soma dos pontos ser um número par;
e) obter-se a soma 7, se o par de pontos é diferente;
f) obter-se a soma 6, dado que o par de pontos é igual;
g) a soma ser 14
5. A probabilidade de um aluno do sexo masculino resolver um problema de estatística é de 3/5 e de uma aluna resolver esse mesmo problema é de 4/7. Qual a probabilidade de que o problema seja resolvido? 
6. No lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair o número 5 ou um número par?
7. A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos é 2/5; a e sua mulher é de 2/3. Determinar a probabilidade de que daqui a 30 anos:
a) Ambos estejam vivos;
b) Somente o homem esteja vivo;
c) Somente a mulher esteja viva;
d) Nenhum esteja vivo;
e) Pelo menos um esteja vivo;
8. A e B jogam 120 partidas de xadrez, das quais A ganha 60, B ganha 40 e 20 terminam empatadas. A e B concordam em jogar 3 partidas. Determinar a probabilidade de:
a) A ganhar todas as três partidas;
b) Duas partidas terminarem empatadas;
c) A e B ganharem alternadamente.
9. Uma urna contém 5 bolas brancas, 4 vermelhas e 3 azuis. Extraem-se simultaneamente 3 bolas. Achar a probabilidade de que:
a) nenhuma seja vermelha;
b) exatamente uma seja vermelha;
c) todas sejam da mesma cor.
10. As probabilidades de 3 jogadores A, B, e C marcarem um gol quando cobram um pênalti são 2/3, 4/5 e 7/10, respectivamente. Se cada um cobrar uma única vez, qual a probabilidade de que pelo menos um marque um gol.
a) todos acertarem 
b) apenas um acertar 
 c) todos errarem
11. A tabela abaixo descreve os hóspedes registrados pelo período de uma semana num hotel de Petrolina. A distribuição segue de acordo com o sexo e a idade. 
	Idade
	Sexo
	Total
	
	Masculino
	Feminino
	
	Abaixo de 21 anos
	15
	20
	35
	Entre 20 e 40 anos
	150
	65
	215
	Acima ade 40 anos
	95
	50
	145
	Total
	260
	135
	395
Em hóspede é escolhido aleatoriamente, qual a probabilidade:
a) de ser mulher? 
b) de ser mulher e ter acima de 40 anos? 
c) de ser homem e ter menos de 20 anos?
d) de ser mulher entre 20 e 40 anos?
e) ser homem e ter menos de 40 anos
f) ter entre 20 e 40 anos
12. Um projeto para ser transformado em lei deve ser aprovado pala Câmara dos Deputados e pelo Senado . A probabilidade de ser aprovado pala Câmara dos Deputados é de 40%. Caso seja aprovado na Câmara dos Deputados, a probabilidade de ser aprovado no Senado é 80%. Calcule a probabilidade deste projeto ser aprovado. R: 0,32
13. Uma empresa avalia em 60% a sua probabilidade de ganhar uma concorrência para o recolhimento do lixo em um bairro a da capital. Se ganhar a concorrência no bairro A, acredita que tem 90% de probabilidade de ganhar outra concorrência em um bairro B próximo de A. Qual a probabilidade de a empresa ganhar ambas as concorrências? R: 0,54
14 No primeiro ano de uma faculdade, 25% são reprovados em Cálculo, 15% são reprovados em Estatística e 10% são reprovados em ambas.
Um estudante é selecionado ao acaso, nesta faculdade, calcule a probabilidade de que le seja reprovado em Cálculo sabendo que foi reprovado em Estatística. R: 2/3
15. Uma rifa composta por 15 números irá definir o ganhador de dois prêmios sorteados um de cada vez. Se você adquiriu três números, qual é a probabilidade de ganhar os dois prêmios? R: 1/35
16. São dadas duas urnas:
 5 brancas 4 brancas
 4 pretas 3 pretas
 3 vermelhas 6 vermelhas 
a) calcule a probabilidade de retirar uma bola branca da urna A?
b) qual a probabilidade de retiramos uma bola preta da urna B?
c) determine a probabilidade de retirarmos uma bola branca ou vermelha da urna A?
d) são retiradas duas bolas da urna B, sem reposição. Qual a probabilidade de ambas serem vermelhas?
e) qual a probabilidade de serem retiradas duas bolas pretas da urna A, com reposição
f) são retiradas uma bola de cada urna: qual a probabilidade de ambas serem da mesma cor?
17. Sejam A e B eventos tais que P (A) = 0,2 ; P (B) = P e P (A B) = 0,6. Calcular P considerando A e B:
a) Mutuamente exclusivos 
b) Independentes
18. De um baralho de 52 cartas, uma carta é retirada ao acaso. Qual é a probabilidade de sair um ás ou uma carta de copas?
 
19. Um sistema tem dois componentes que operam independentemente. Suponha que as probabilidades de falha dos componentes 1 e 2 sejam 0,1 e 0,2 respectivamente. Determinar a probabilidade de o sistema funcionar nos seguintes casos:
a) Os componentes estão ligados em série 
b) os componentes estão ligados em paralelo 
20. Depois de um longo período de testes, verificou-se que o procedimento A de recuperação de informação corre um risco de 2% de não oferecer resposta satisfatória. No procedimento B, o risco cai para 1%. O risco de ambos os procedimentos apresentarem resposta insatisfatória é de 0,5%. Qual é a probabilidade de pelo menos um dos procedimentos apresentar resposta insatisfatória? 
Dúvidas, Cálculos e Anotações
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11 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
 Uma variável aleatória é uma variável tal que, não sabemos ao certo que valor tomará, mas para a qual podemos calcular a probabilidade da mesma assumir determinado valor.
11.1 Definição
 Seja E um experimento aleatório e S o espaço amostral associado a esse experimento. Definimos, variável aleatória como sendo uma função X que associa a cada elemento s S um número real X(s). Veja a ilustração.
 S R
 
 X 
 s X(s) 
 
 Variável aleatória
Exemplo: Seja E: o lançamento de duas moedas e X: nº de caras obtidas nas duas moedas:
O espaço amostral associado a esse experimento será dado por: S = (c,c) , (c,k) , (k,c) , (k,k) e associando os valores que a variávael ‘X’, pode assumer, temos:
 0 corresponde ao evento (k,k) P(X =1) = 1/4 
 X = 1 corresponde ao evento (k,c) , (c,k) P(X =1) = 2/4
 2 corresponde ao evento (c,c) P(X =1) = 1/4 
OBS.
1ª) Nas aplicações é conveniente trabalhar com números e não com eventos, daí, o uso da expressão “Variável Aleatória”;
2ª) Uma v. a. “X” será Discreta se seu contradomínio for finito ou infinito numerável. Caso seu contradomínio seja um intervalo ou um conjunto de intervalos, ela será Contínua. 
 
11.2 Variável Aleatória Discreta Função de Probabilidade
 A probabilidade de que a v. a. “X”, assuma um particular valor x, é a chamada Função de Probabilidade de X que se representa por: P (X = x i) ou simplesmente P (x). 
A função P (X = x i) determina a distribuição de probabilidade de X e os números p (xi) devem satisfazer às seguintes condições:
1ª) p (x i) 0 , i = 1, 2, ..... 
2ª) p (x) = 1
P (x) pode ser expressa ou representada por uma tabela, um gráfico ou uma expressão matemática. 
Exemplo: Seja E: lançamento de duas moedas e, X : o nº de caras obtidas
Então a função de probabailidade para este fenômeno poderia ser representado por:
uma tabela
	X
	0
	1
	2
	 p (x)
	P(X)
	1/4
	1/2
	1/4
	1
 
b) um gráfico
 1
 1/2 
 1/4
 
 0 1 2
c) uma fórmula 
 2
 P(x) = 1/4 . , P/x = 0, 1, 2.
 x 
Observação 
Qualquer função de uma variável aleatória é também uma variável aleatória, isto é, se X é uma v.a, então
 Y = f (x) também será uma variável aleatória.
Exemplo: 
Considere as seguintes variáveis aleatórias:
 
X = Os pontos obtidos no lançamento de um dado
Y = X + X A soma dos pontos em dois lançamentos
Z = Max (x 1 , x 2) onde x 1 e x 2 são os pontos dos dois dados.
Construir a distribuição de probabilidade de X, Y e Z.
a) distribuição de probabilidade de X em forma de tabela: 
	X
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	 P(x)
	P (x)
	1/6 
	1/6 
	1/6 
	1/6 
	1/6 
	1/6 
	1
b) distribuição de probabilidade de Y
	1,1
	1,2
	1,3
	1,4
	1,5
	1,6
	2,1
	2,2
	2,3
	2,4
	2,5
	2,6
	3,1
	3,2
	3,3
	3,4
	3,5
	3,6
	4,1
	4,2
	4,3
	4,5
	4,6
	4,6
	5,1
	5,2
	5,3
	5,4
	5,5
	5,6
	6,1
	6,2
	6,3
	6,4
	6,5
	6,6
Logo,a distribuição de probabilidade de Y em forma de tabela será:
	Y
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	10
	11
	12
	P(Y)
	1/36
	2/36
	3/36
	4/36
	5/36
	6/36
	5/36
	4/36
	3/36
	2/36
	1/36
c) A distribuição de probabilidade de Z será dada pela seguinte tabela:
	Z
	1
	2
	3
	45
	6
	P(Z)
	1/36
	3/36
	5/36
	7/36
	9/36
	11/36
Teste seus conhecimentos
1. Uma variável aleatória discreta tem a seguinte distribuição de probabilidade dada por:
 P(x) = k/x para x = 1, 3, 5, 7
a) Calcular o valor de k b) Calcular P (x = 5) c) P (2 x 6)
2. No lançamento simultâneo de dois dados, considere as seguintes variáveis aleatórias:
X = número de pontos obtidos no primeiro dado
Y = número de pontos obtidos no segundo dado
 
Construir a distribuição de probabilidade através de uma tabela e gráfico das seguintes variáveis: 
I) W = X Y II) A = 2Y III) Z = XY IV) B = máx de (X,Y)
3. Suponha que a variável aleatória X tenha a função de distribuição de probabilidade dada por:
P(X = j) = 1/2j , j = 1, 2, 3, … , n . Calcular as seguintes prob: 
 
a) P (X ser par) b) P (X 3) c) P (X ser múltiplo de 3)
11.3 Função de Densidade de Probabilidade - fdp
 Seja X uma variável aleatória contínua. A função densidade de probabilidade f(x), também chamada de função de massa de probabilidade ou função de probabilidade é uma função que satisfaz as seguintes condições:
1ª) ƒ (x) 0 , x R x ; 
2ª)
Define-se também que , a b em R x P (a X b) = 
Observações importantes:
1. A definição mostra que a probabilidade de qualquer valor especificado de X, por exemplo 
x0, tem P (X = x0) = 0, ou seja, P(X = x0) = e também que:
P (a X b) = P (A X b) = P (a X B) = P (a X b)
2. função de probabilidade, não é probabilidade. Isto só ocorrerá quando a função for integrada entre dois limites que será a área sob a curva entre x = a e x = b com a b 
3. Analogamente à mecânica, podemos considerar que numa variável aleatória discreta, a massa de probabilidade está concentrada em pontos isolados da reta real, enquanto que na variável aleatória contínua a massa de probabilidade está espalhada de forma contínua em segmentos de R . Além do mais: 
Exemplo
1.Seja X uma variável aleatória contínua com a f.d.p. dada por:
 f (x) = 2x para 0 x 1
 0 para outros valores
 
a) Verificar se f(x) é uma f.d.p.
 
b) Construir o gráfico da f.d.p.
 f(x) 
 2 y = 2x
 1 
 
 1 X 
c) Calcular a P(1/4 X 3/4) 
 
 
Teste seus conhecimentos
1. Esboce o gráfico para:
 
a) o lançamento de um dado 
b) três lances de uma moeda honesta
2. Uma v. a tem a seguinte f.d.p.
 0 para x 0
 f(x) = kx2 0 x 1
 0 para x 1 
Verifique se f(x) é uma função de densidade de probabilidade e esboce seu gráfico.
3. A f. d. p de uma variável aleatória X é proporcional a x (1 x) para todo 0 x 1, e zero para outros valores de x. Pede-se : 
a) mostrar que f (x) = x (1 x) para todo 0 x 1 b) calcular P (x 1/2)
4. Seja x uma variável aleatória contínua tal que :
 f (x) = 0 para x 0
 f (x) = Ax para 0 x 500 
 f (x) = A (100 x) para 500 x 1000 
 f (x) = 0 para x 1000
Determinar:
a) o valor da constante A b) P (50 x 750)
 Dúvidas, Cálculos e Anotações
11.4 A Esperança e Variância de Variáveis Aleatórias Unidimensionais
11.4.1 Esperança Matemática
 Define-se Expectância, Esperança Matemática ou simplesmente, Média de uma variável aleatória ”X” como sendo:
Para o Caso Discreto:	 
 	
Exemplos: 
1. Um fabricante produz peças tais que 10% são defeituosas. Se uma peça defeituosa for produzida o fabricante perde R$ 1,00, enquanto que uma peça boa lhe dá um lucro de R$ 5,00. Qual o lucro líquido esperado por peça?
 
Seja X = Lucro líquido por peça
E(X) = x i . p (x i) = 1 . 0,10 5 . 0,90 = R$ 4,40/peça 
2. Calcular a esperança matemática da seguinte função de probabilidade: 
	X
	1
	2
	3
	4
	P(X)
	1/10
	4/10
	2/10
	3/10
E(X) = x i . p (x i) = 1.1/10 + 2.4/10 + 3. 2/10 4.3/10 2,7 
Problema proposto 
Uma seguradora paga R$ 30.000,00 em caso de acidente com carro e cobra uma taxa de R$ 1.000,00. Sabendo-se que a probabilidade de que um carro sofra um acidente é de 3%, quanto a seguradora espera ganhar por carro segurado? 
11.4.1.1 Propriedades da Esperança 
P.1 A média de uma constante é a própria constante. 
E (k) = k , k = cte
E(k) = k. p (x) = k p (x) = k . 1 = k
P.2 Multiplicando uma variável aleatória X por uma constante, sua média fica multiplicada por essa constante. 
E (k . X) = k . E (X) , k = cte.
E (k . X) = k . x . p (x) = k . x . p (x) = k . E (X)
P.3 E ( X) = E (X)
P.4 E (a X b) = E (a X) E (b) = a E (X) b a e b, constantes 
P.5 A média de uma variável aleatória centrada na média é nula 
E (X x) = E (X) E ( x) = x x = 0
P.6 A média da soma ou da diferença de duas variáveis aleatórias é igual a soma ou a diferença das médias
E (X Y) = (xi y j).P(xi ,y j) = xi . P(x i ,y j) y j . P (x i ,y j) 
 i j i j i j 
 x i P(x i ,y j) y j P (x i ,y j) = x i . P (xi) yj. P(y j) = = E (X) E (Y)
 i j j i i j 
11.4.2 Variância
 
 O simples fato de conhecermos a média de uma distribuição de probabilidade já é de grande valia, porém não dispomos de uma mediada que nos forneça o grau de dispersão de probabilidade em torno dessa média. 
Já vimos que o desvio médio, E (X ) é nulo, portanto não serve como medida e dispersão. Então, igualmente fizemos em Estatística Descritiva, vamos lançar mão de uma medida que forneça o grau de dispersão em torno da média , que é justamente a variância.
 
Definição
 Definimos a variância para uma variável aleatória discreta, como sendo:
VAR (X) = V (X) = 2 = E X E (X) 2 = E (X 2 ) E 2 (X) 
Sendo: E (X) = x i . p (x i) e E (X 2) = x i2 . p (x i)
Exemplo:
Considerando a distribuição de probabilidade abaixo, calcular a variância de Y.
	Y
	- 2
	-1 
	0
	3
	5
	 
	P (Y) 
	1/5
	1/5
	1/5
	1/5
	1/5
	1
	Y P (Y) 
	2/5 
	0
	3/5
	5/5
	1
	1
	Y2 P(Y)
	4/5
	1/5
	0
	9/5
	25/5
	39/5
Daí, V(Y) = E(Y 2) E(Y) 2 = 39/5 12 = 34/5 V(Y) = 6,8
11.4.2.1 Propriedades da Variância 
P1. V (k) = 0
V (k) = E k E (k) 2= E k k 2= 0
P2. V (k . X) = k 2 . V (X) 
V(k.X) = E(kXkE(X) 2=E k..(X E(X) 2 = E k 2. (X E(X) 2 
E k 2. E (X E(X) 2 = k 2 . V (X)
P3. V(X Y) = V(X) V(Y) 2 COV(X,Y)
V (X Y) = E(X Y) E (X Y) 2= E(X E(X)) (Y E(Y)) 2= 
E (X E(X) 2 (Y E(Y) 2 2 (X E(X). (Y E(Y) =
E (X E(X) 2 + E (Y E(Y) 2 2 E(X E(X). (Y E(Y) =
VV(X) V(Y)2 COV(X,Y)
P4. V X i = V (X i) 2 COV (X i , X j), com i < j
P5. V (a X b) = a2 V(X) , a e b constantes
11.4.3 O Desvio Padrão
Para o cálculo do desvio padrão, basta tomarmos a raiz quadrada positiva da variância, ou seja:
 
No nosso exemplo anterior, basta tomar 
Para o Caso Contínuo 
 Seja X uma variável aleatória contínua com f.d.p. f(x), o Valor esperado ou a esperança de X é definida como: 
11.4.5 Propriedades da Esperança
P1. E (k) = k , onde k = constante
P2. E (k . X) = k E (X) , com k = cte
P3. E (X Y) E (X) E (Y) , X e Y são variáveis aleatórias quaisquer 
P4. E (XY) = E (X) . E (Y) , (X Y) é uma v.a. bidimensional e X e Y são independentes 
P5. E (X1, X2, X3, ....,Xn) = E (X1) + E (X2) + E (X3) ,....., E (Xn) 
11.4.6 Variância 
 Suponha que X represente a duração de vida, em horas, de lâmpadas que estejam sendo entregues por um fabricante e que E(X) = 1.000. Isto poderá significar por exemplo: que a maioria das lâmpadas deveria durar um período compreendido entre 900 e 1.100 horas. Poderia também significar que as lâmpadas recebidas são formadas de dois tipos inteiramente diferentes: cerca de metade são de muito boa qualidade e duração aproximadamente 1.300 horas, enquanto outra metade é de má qualidade e duração aproximadamente 700 horas. Daí a variância é uma medida quantitativa, que serve para distinguir essas situações. 
 Definição : 
Seja X uma variável aleatória. Definimos a variância de X, como sendo:
Exemplo 
Calcular a variância da variável aleatória contínua X com f.d.p. dada por:
 
 f(x) = 1 + x 1 < x < 0
 1 x 0 < x < 1
Cujo gráfico encontra - se na figura abaixo. 
 1 0 1
É fácil perceber que pela simetria de f(x) em relação a x = 0, que E(X) = 0
Logo, 
Dúvidas e Anotações
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12 PRINCIPAIS MODELOS DISCRETOS DE PROBABILIDADE
12.1 A Distribuição de Bernouilli
 Muitos experimentos são tais que apresentam ou não uma determinada característica.
Considere os seguintes exemplos:
a) O lançamento de uma moeda: Resultado: cara ou coroa
b) Um a peça escolhida num lote: de peças. Resultado: defeituosa ou boa
c) O nascimento de caprinos:Resultado: macho ou fêmea
 Consideremos um experimento E, sendo realizada apenas uma única tentativa cujo resultado pode ser um sucesso ou um fracasso. E seja “p” a probabilidade de sucesso e q a probabilidade de fracasso.
12.1.1 Construção do Modelo
 
 Seja X : o número de sucessos em uma única tentativa do experimento.
 
 0 fracasso com P (X = 0) = q
Então X = 
 1 sucesso com P (X = 1) = p
Nessas condições, dizemos que a variável aleatória X tem distribuição de Bernoulli, e sua função de probabilidade será dada por:
 
12.1.2 A Esperança 
 Através da função de distribuição de probabilidade de X, vamos obter a média e a variância da distribuição de Bernouilli.
	X
	P(X)
	X.P(X)
	X2. P(X)
	0
	q
	0
	0
	1
	p
	p
	p
	∑
	1
	p
	p
 
Analisando a tabela vemos que: 
12.1.3 A Variância 
 
 V (X) = p p 2 = p (1 p) = p.q V (X) = p q 
Aplicação
 Uma urna tem 20 bolas brancas e 30 verdes. Retira-se uma bola dessa urna. 
Considere X o número de bolas verdes. Determinar P (X) e calcular a E (X) e V(X) 
Seja X = Número de bolas verdes.
 0 q = 20/50 = 2/5 q = 2/5
 X = 
 1 p = 30/50 = 3/5 p = 3/5
Então 
E (X) = p = 2/5 E (X) = 2/5 e V (X) = p . q = 2/5 . 3/5 = 6/25 V (X) = 6/25
12.2 A Distribuição Binomial
 
 Trata-se de uma distribuição de probabilidade que se adeqüa perfeitamente aos experimentos aleatórios que apresentam apenas dois resultados, sucesso ou fracasso. 
12.2.1 Hipóteses do Modelo
H1 – São realizadas “n” provas independentes e do mesmo tipo. (provas ou tentativas de Bernouilli)
H2 – Cada prova só admite dois resultados: sucesso ou fracasso;
H3 A probabilidade de sucesso em cada prova é p e de fracasso é 1 p = q.
12.2.2 Construção do Modelo (função de probabilidade)
1 Seja X : o número de sucessos nas “n” tentativas 
2 Logo X pode tomar os valores 0, 1, 2, 3, ….. , n
3 Seja SSS .... SFF... F, um resultado particular do experimento. Daí
P(SSS .....SFFF ….F) = p . p . p .... . p .q . q . q . . . q = . 
E, considerando todas as n-úplas com k sucessos, podemos escrever :
 n
 Se X: B (n , p) = . 
 k
Aplicação
1. Uma moeda é lançada 20 vezes. Qual a probabilidade de saírem 8 caras ?
Dados: n = 20 p = 1/2 q = 1/2 k = 8
Seja X = O número de caras X : B (n , p) X : B (20, ½)
 P (X = 8) = . (1/2) 8 . (1/2) 12 = 0,12 013 P (X = 8) = 0,12013
2. Numa criação de coelhos, 40% são machos. Qual a probabilidade de que nasçam pelo menos 2 coelhos machos num dia em que nasceram 20 coelhos? 
Dados : n = 20 p = 0,40 q = 0,60 k = 2
Queremos P (X 2) = 1 – P (X 2) = 1 P ( X = 0) + P (X = 1) = 
 
 
12.2.3 A Esperança 
 De acordo com as hipóteses do modelo, vimos que X é uma soma de “n” variáveis de Bernoulli. Portanto:
 = n . x = n p 
12.2.4 A Variância 
 
 
Aplicação
Calcular. a média e a variância da variável aleatória Y = 3X + 2, onde X : B (20 ; 0,3)
Sendo n= 20 e p = 0,3, temos:
Se E (X) = n p = 20 x 0,3 = 6 E (X) = 6
Então V (X) = n p q = 20 x 0,3 x 0,7 = 4,2 V (X) = 4.2, 
Logo, E (Y) = E (3X + 2) = 3 E (X) + E (2) = 3 x 6 + 2 = 20 E (Y) = 20
E, concluindo: V (Y) = V (3X + 2) = V (3X) + V (2) = 9 .V (X) = 9 x 4,2 = 37,8Exercícios Propostos
1.Sendo X : B(10, 2/5), Calcular:
a) P (X = 3) R: 0,21499 e) P ( X 2 1) R: 0,37623 
b) P (X 2) R: 0,16729 f) P (3 X 5) R: 0,45148
c) P (X 4) R: 0,61772 g) P ( X 3 1) R 0,41326
d) P (X 2 1) R: 0,16729 h) E (X) e V (X) R: 4 e 2,4 
i) E (Z) e V( Z) sendo Z = X X X 
2. Seja B (n,p). Sabendo-se que E(X) = 12 e V(X) = 4. Determinar: 
n, p, E(Z) e V(Z), sendo Z = (X 3) /3. R: 18; 2/3; 2 e 4/9
3. A probabilidade de um arqueiro acertar um alvo com uma única flecha é de 0,20. Se o arqueiro lança 30 flechas, qual a probabilidade de que:
a) Exatamente 4 acertem o alvo? R: 0,13252
b) Pelo menos 3 acertem o alvo? R: 0,95581
4. Uma moeda não viciada é lançada 8 vezes. Encontre a probabilidade de aparecer:
a) 5 caras R: 22%
b) Pelo menos 1 cara R: 99,6%
c) No máximo 2 caras R: 14%
d) Calcular a média e variância da distribuição dessa variável aleatória. R: 4 e 2 
5. Uma urna contém 20 bolas pretas e 30 brancas. Retiram-se 25 bolas com reposição. Qual a probabilidade de que:
a) 2 sejam pretas? R: 0,00038 b) pelo menos 3 sejam pretas? R:0,99957
6. Um lote de placas de multimídia é recebido por uma empresa. 30 placas são inspecionadas. O lote é rejeitado se pelo menos 4 forem defeituosos. Sabendo-se que 1% da placas é defeituosa, determinar a probabilidade da empresa rejeitar todo o lote. 
R: 0,00022
7. Uma prova tipo teste tem 50 questões independentes. Cada questão contém 5 alternativas e apenas uma é correta. Se um aluno resolve a prova respondendo a esmo as questões, qual a probabilidade de tirar nota 5? R: 0,000002
8. Em 320 famílias com 4 crianças cada uma, quantas se esperaria que tivessem: 
a) nenhuma menina; R:20 b) 2 meninos; R: 80 c) 4 meninos; R:20 
9. Um time de futebol X tem 2/5 de probabilidade de vitória sempre que joga. Se X jogar 5 partidas, calcule a probabilidade de X vencer: 
a) Exatamente 3 partidas; 
b) Ao menos uma partida; 
c) Mais da metade das partidas. 
10. Num teste do tipo certo ou errado, com 100 perguntas, qual a probabilidade. de um aluno, respondendo as questões no “chute”, acertar 70% das questões? 
R: C100,70 . (1/2) 100. (1/2) 70
11. Um técnico visita os clientes que compraram assinatura de um canal de TV para verificar o decodificador. Ele sabe por experiência, que 90% desses aparelhos não apresentam defeitos. R: 0,86705
a) determinar a probabilidade de que em 20 aparelhos pelo menos 17 não apresentem defeitos.
b) se a probabilidade de defeito for de 0,0035, qual a probabilidade de que em 2.000 visitas ocorra no máximo 1 defeito. R:0,007295
12. Uma remessa de estabilizadores de tensão é recebida pelo controle de qualidade de uma empresa. São inspecionados 20 aparelhos de remessa, que será aceita se ocorrer no máximo um defeituoso. Há 80 aparelhos defeituosos no lote. Qual a probabilidade de o lote ser aceito? R: 39%
13. Um economista rejeita, em média, 10% dos projetos recebidos opor uma carteira de viabilidade econômica. Calcular a probabilidade de que sejam recusados:
a) Pelo menos 3 projetos de uma remessa de 20 projetos examinados. R:0,32307
b) no máximo 2 projetos de um lote de 25 projetos examinados. R:0,53710
14. Placas de circuito integrado são avaliadas após serem preenchidas com chips semicondutores. Considere que foi produzido um lote de 20 ´placas e selecionadas 5 para avaliação. Calcule a probabilidade de encontrar pelo menos uma placa defeituosa, supondo que o lote tenha 4 defeituosas. R:0,7183 
15. Em um sistema de transmissão de dados existe uma probabilidade igual a 0,05 de um lote de dados ser transmitido erroneamente. Foram transmitidos 20 lotes de dados para a realização de um teste de análise da confiabilidade do sistema.
a) Qual é o modelo teórico mais adequado para esse caso? 
b) Calcule a probabilidade de haver erro na transmissão. R:0,6415
c) Calcule a probabilidade de haver erro na transmissão em exatamente 2 dos 20 lotes de dados. R = 0,1886 
d) Qual é o número esperado de erros no teste realizado? R = 1
Cálculos e Anotações
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12.3. A DISTRIBUIÇÃO de POISSON
 Muitas vezes quando utilizamos o modelo binomial, acontece que o número de tentativas é muito grande (n ) e não se encontra tabelado. Daí termos de lançar mão de algum artifício para resolver essa situação. 
12.3.1 Características 
1-A probabilidade de uma ocorrência em um intervalo é proporcional ao intervalo. Isto é P(X = 1, Δt) = Δt
2 - A probabilidade de mais de uma ocorrência em um intervalo Δt é igual a zero. Isto é P(X 1, Δt) = 0
3 - As ocorrências são variáveis aleatórias e independentes 
12.3.2 Construção do Modelo 
 Seja X o número de sucessos no intervalo considerado. Se X é uma v. a. discreta, que assume valores: 0, 1, 2, .... , n , .... Então:
 
 , k = 0, 1, 2 . . . , n e 0 
Analisando essa expressão, vê-se que ela nada mais é do que uma aproximação da distribuição Binomial quando:
 1– n (maior do que o valor tabelado)
 2 – p 0 (p 0,1) 
 3 – 0 10 
 Quando isso ocorre a média E (X) = np da Binomial será tomada como np = na Poisson. Portanto a distribuição binomial tem a distribuição de Poisson como limite quando n e p 0
12.3.3 Exemplos da Utilização da Distribuição de Poisson:
- Carros que passam num cruzamento por minuto, durante uma determinada hora do dia;
- Colônias de bactérias numa dada cultura por 0,01 mm2, numa plaqueta de microscópio;
- Mortes por ataque do coração por ano, numa cidade;
- Número de doutorandos que não terminam suas teses em tempo;
- Número de filmes que faturam mais de 25 milhões de dólares em um ano, etc, ... É aplicada - também em problemas de filas de espera em geral, e muitas outras situações do cotidiano
12.3.4 A Esperança e a Variância
Se “X” tiver distribuição de Poisson com parâmetro , então:
 
 E (X) = e V (X) = 
Aplicação
1. Suponha que X : B (200; 0,01). Calcular P (X = 10) usando a distribuição Binomial e a aproximação pela distribuição de Poisson.
Usando a Binomial P (X = 10) = C 200, 10 . (0,01) 10. (0,99) 190 = 0,000033 
Usando a Poisson = np = 200 . 0,01 = 2 = 2
Daí, P (X =10) = (e 2 . 2 10 )/ 10! = 0,000038 P (X = 10) = 0,000038
2. A probabilidade de uma lâmpada se queimar ao ser ligada é 0,01. Numa instalação com 100 lâmpadas, qual a probabilidade de 2 lâmpadas se queimarem ao serem ligadas?
Seja X: O número de lâmpadas queimadas e usando a Binomial, temos
X: B (100 ; 0,01), Daí
P ( X = k) = P (X = 2) = C 100 , 2 . (0,01) 2 . (0,99) 98 = 0.183940 e usando Poisson, temos
 = np = 100 . 0,01 = 1 = 1. Daí,
P (X = 2) = (e 1 . 1 2 )/2! = 0,183940 (Poisson com X = 2 e = 1)
Aplicação
Num livro de 800 páginas há 800 erros de impressão. Qual a probabilidade de que uma página contenha pelo menos 3 erros? 
Seja X = número de erros por página, e 
 = 1 porque = 800/800 = 1 (taxa média de ocorrência). Logo,
P (X 3) = 1 P (X 3) = 1 P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) 
= 1 (e 1.10 ) / 0!+ (e 1.11) / 1! + (e 1 .1 2) / 2! = 
1 – (0,367879 +0,367879 + 0,183940) = 0,080302 
Teste seus Conhecimentos
1.Seja X : B (400; 0,02). Calcular, usando a aproximação pela Poisson:
a) P (X = 7) R: 0,139587
b) P (2 X 6) R: 0,188216
c) P (X 3) R: 0,986245
2. Seja X: B (200; 0,04). Usando aproximação, Calcular:a) P (X = 6) R: 0,122138
b) P (X + 2 ) R: 0,986245
c) Sendo Z = 4X – 5, calcular E (Z) e V (Z) R: 27 e 122,9
3. Numa central telefônica chegam 300 telefonemas por hora. Qual a probabilidade de que:
a) num minuto, não haja nenhuma chamada R: 0,006738
b) em 2 minutos haja 2 chamadas R: 0,002270
c) em t minutos não haja chamadas R: e – 5 t 
4. Numa fita de som, há um defeito em cada 200 metros. Qual a probabilidade de que:
a) em 500 metros não aconteça nenhum defeito? R: 0,082085
b) em 800 metros ocorram pelo menos 3 defeitos.? R: 0,761896
5. O número de mortes por afogamento em fins de semana, numa cidade praiana, é de 2 para cada 50.000 habitantes. Qual a probabilidade de que em:
a) 200.000 habitantes ocorram 5 afogamentos? R: 0,091603
b) 112.500 habitantes ocorram pelo menos 3 afogamentos? R: 0,826422
6. Numa estrada, há 2 acidentes para cada 100 km. Qual a probabilidade de que em:
a) 250 km ocorram pelo menos 3 acidentes? R: 0,875348
b) 300 km ocorram 5 acidentes? R: 0,160623
7. Numa linha adutora d’água, de 60 km ocorrem 30 vazamentos no período de um mês. Qual a probabilidade de ocorrer, durante o mês, pelo menos 3 vazamentos num certo setor de 3 km de extensão?
 R: 0,191154
8. Uma firma recebe 720 mensagens em seu fax em 8 horas de funcionamento. Qual a probabilidade de que:
a) Em 6 minutos receba pelo menos 4 mensagens? R: 0,978774
b) Em 4 minutos não receba nenhuma mensagem? R: 0,002479
9. Você está consultando um banco de dados e sabe por experiência, que essas consultas ocorrem de forma independente e aleatória, com uma taxa média de três consultas por minuto. Deseja-se saber:
a prob. de que no próximo minuto ocorram menos do que três consultas; R: 0,4232 
a probabilidade de que nos próximos dois minutos ocorram mais do que 5 consultas. R: 0,5543
10. Em um canal de comunicação digital, a probabilidade de se receber um bit com erro é de 0,0002. Se 10.000 bits forem transmitidos por esse canal qual é a probabilidade de que mais de quatro bits sejam recebidos com erro? R: 0,0527
11. Mensagens chegam a um servidor de acordo com uma distribuição de Poisson, com taxa média de cinco chegadas por minuto.
a) Qual é a probabilidade de que duas chegadas ocorram em um minuto? R: 0,0843
b) Qual a probabilidade de que uma chegada ocorra em 30 segundos? R: 0,5565
Dúvidas, Cálculos e Anotações
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13 PRINCIPAIS MODELOS CONTÍNUOS DE PROBABILIDADE
Introdução
 Seja a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória “X” discreta, definida conforme sua função de distribuição abaixo:
	X
	1
	2
	3
	4
	5
	∑.P(X)
	P(X)
	0,1
	0,2
	0,4
	0,2
	0,1
	1,0
Cujo gráfico está representado pelo histograma abaixo. 
 
 P(x) 
 0,4
 0,3 f (x) 
 0,2
 0,1 
 A1 A2 A3 A4 A5
 1 2 3 4 5 X
A área de cada retângulo será dada por:
A1 = b1 x h1 = 1 x 0,1 = 0,1 A1 = P (X = 1) 
A2 = b2 x h2 = 1 x 0,2 = 0,2 A2 = P (X = 2) 
 
 
 
A5 = b5 x h5 = 1 x 0,1 = 0,1 A5 = P (X = 5) 
Como , temos que 
 
Unindo-se os pontos médios da base superior de cada retângulo e considerando “X” uma variável aleatória contínua, teremos uma função que será contínua em R se existir uma função tal que: 
1º) f (x) 0 
2 º) 
f(x) será então chamada de função de densidade de probabilidade ou simplesmente fdp
13.1 A Distribuição Uniforme
 Dizemos que uma variável aleatória “X” tem distribuição Uniforme de probabilidade no intervalo , se sua f.d.p. for dada por:
f(x) = k se a x b ou f(x) = 1/(b – a) se a x b 
 0 em outro caso 0 em outro caso
13.1.1 Gráfico 
O gráfico de f(x) 
 
 1 
 
 a b X 
13.1.2 Função de Repartição ou de Distribuição 
 Por definição, a função de Repartição ou de Distribuição, fornece:
 . Logo
 0 , se x a
 f(x) = , se a x b
 1 , se x b
13.1.3 Gráfico
 F(x)
 1 
 
 
 
 a b X 
13.1.4 A Esperança Matemática 
Sabendo-se que , temos:
Como a esperança é uma média, nota-se claramente que essa expressão é exatamente o ponto médio do intervalo a,b de f(x), ou seja,
13.1.5 A Variância 
 
Já foi visto que 
Mas 
Daí, 
 Exemplo 
Um ponto é escolhido no intervalo [0,2]. 
a) Qual a probabilidade desse ponto pertencer ao intervalo [1, 3/2]?
Seja X = o ponto escolhido pertença a [0,2] 
Sabemos que: para 
Então a ou 25%
b) Qual seria a esperança matemática?
Sabemos que: E(X) = 
c) E a variância?
Sabemos também que: 
13.2 A Distribuição Normal
Introdução
 É considerada a mais importante distribuição de probabilidade, sendo aplicada em inúmeros fenômenos e é utilizada para o desenvolvimento teórico da estatística.
É também conhecida como distribuição de Gauss., Laplace ou Gauss-Laplace e possui a forma de um sino com a boca voltada para baixo.Dizemos que uma Variável Aleatória Contínua X tem uma distribuição Normal, se sua função de distribuição de probabilidade ou de densidade for dada por:
 , x , onde: 
 = média da distribuição
 = desvio padrão da distribuição
 = 3,14159 ....
e = 2,71828 ....
13.2.1 Gráfico da Função de Densidade de Probabilidade
 ponto de máximo
 
 3 2 1 1 2 3
11.2.2 Principais Características da Distribuição Normal
 a) o ponto de máximo de f(x) é o ponto x = ; 
 b) os pontos de inflexão da função são x = ;
 c) a curva é simétrica em relação à x = ;
 d) E (X) = e V (X) = 2
 Se é uma f.d.p.. então 
13.2.3 Calculando Probabilidades
 Para calcular a probabilidade indicada na figura abaixo, devemos proceder:
 
 a b X
O que apresentaria grandes dificuldades, pois surgem dois grandes problemas:
1 – Para a integração de f (x) é necessário o desenvolvimento em séries de Fourrier;
2- Seria necessário a elaboração de uma tabela de probabilidades, pois f (x) depende de dois parâmetros, fato este que acarretaria um enorme trabalho para tabelar essas probabilidades, considerando-se as várias combinações de e 2.
13.2.4 A Distribuição Normal Padrão 
 
 Dada às dificuldades matemáticas para o cálculo das probabilidades, lançamos mão da distribuição Normal Reduzida, Distribuição Normal Padrão ou Normal (0,1)
Seja X: N ( , 2). Vamos definir uma variável aleatória Z, tal que: , ou seja,
 e demonstra-se que: E (Z) = 0 V (Z) = 1. Portanto,
Se X: N (, 2 Z: N ( 0,1).
Vejamos:
 E (Z) = 0
 V (Z) = 1
Logo a f.d.p. de Z será dada por 
cujos valores se encontram tabelados a partir de z = 0 e qualquer valor positivo de z. Em caso de valores negativos, o cálculo se dá por simetria, já que φ(z) é simétrica 
em relação a z = 0.
1.4.1 – Gráfico de Z 
 φ (z) 
 
 
 0
11.2.5 Propriedades de Z
a) f (x) é simétrica em relação à x = φ (z) é simétrica em relação à z = 0
 f (X) φ (z) 
 
 50% 50% 50% 50% 
 x = μ X z = 0 Z
b) f (x) possui um máximo para x = e φ (z) para z = 0 
c) f (x) tende a “0” quando x tende para ou 
d) f (x) tem dois pontos de inflexão cujas abscissas valem ou φ(z) possui dois pontos de inflexão cujas abscissas valem 1. 
 f (x) (z)
 X 1 0 + 1 Z 
13.2.6 Uso da Tabela
 A tabela de faixa central é o tipo mais comumente utilizado e fornece a área sob a curva normal padrão entre Z = 0 e qualquer valor positivo de Z. A simetria em torno de z = 0, permite obter a área entre quaisquer valores de z (positivos ou negativos). A figura abaixo, 
 
 
 α
 
 0 Z Z
E fornece exatamente a P (0 z Z ) = α
Exemplos 
1. Seja X: N (100, 25). Calcular:
a) P (100 X 106) = P (0 Z 1,2) = 0,384930 
 e 
 
 
 100 106 X 0 1,2 Z
b) P (89 X 106 = P2,2 Z 1,4 = P (2,2 Z 0 P (0 Z 1,2)
 = 0,486097 + 0,384930 P (89 X 106) = 0,871027
 
 Z1 = 89 100 5 = 2,2 e Z2 = 106 100 5 = 1,2
 89 100 107 X 2,2 0 1,4 Z
P (112 X 116) = P (2,4 Z 3,2) = P (0 Z 3,2) P(0 Z 2,4)
 = 0,499313 – 0,491803 = 0,007510 
 
Z1 = (112 100 5 = 2,4 e Z2 = 116100 /5 = 3,2
 100 112 116 X 0 2,4 3,2 Z
c) P (X 108) = P (Z 1,6) = 0,5 P(0 Z 1,6) = 0,5 0,445201= 0,054799
Z1 = (108 – 100) /5 = 1,6
 
 100 108 X 0 1,6 Z
2. Sendo X: N (50, 16) Determinar X tal que:
a) P(X X ) = 0,05 Dados 50 e = 4 0,45
 = 0,05 = 0,05
 
 50 X X 0 Z Z 
 
Procurando 0,45 = (0,50 – 0,05) no corpo da tabela , encontramos Z 0,450 = 1,64.
Como 
b) P (X X = 0,99
 
 
 0,99 0,99 
 0,01 0,01 
 
 50 X X 0 Z Z 
Procurando na tabela a abscissa que corresponde á probabilidade de 0,49 (0,50 – 0,01), encontramos 2,32; ou seja Z = 2,32.
Tentem, Divirtam-se e Não Desistam
1. Calcule as seguintes probabilidades
 
a) P (0 Z 1 R : 0,3413 ; b) P (-2,55 Z1,2) R : 0,8795 
c) P (Z 1,93) R : 0,0268 d) P ( R: 0,3830e) P (1,93 Z 2,55) f) P ( X ) R: 68,26% 
g) P ( 2 X 2) R:95,44% h) P ( 3 X 3) R:99,74% 
2. As alturas dos alunos de uma faculdade, são normalmente distribuídas com média 1,60 e desvio padrão 0,30 m. Encontre a probabilidade de um aluno medir
a) entre 1,50 e 1,8 R = 37,8% 
b) mais de 1,75 R = 30,8 
c) menos de 1,48 R = 0,3446
3. A duração de vida de um certo componente eletrônico tem média de 850 dias e desvio padrão de 45 dias. Calcular a probabilidade desse componente durar:
a) entre 700 e 1.000 dias; R: 1
b) mais que 800 dias R: 0,8665
c) menos que 750 dias ; R: 0,0132
d) exatamente 1.000 dias; R: 0 
e) Qual deve ser o número de dias necessários para que tenhamos de repor no máximo 5% dos componentes; R: 776 dias
4. Uma fábrica de pneumáticos fez um teste para medir o desgaste de seus pneus e verificou que ele obedecia a uma distribuição normal, de média 48.000 km e desvio padrão 2.000 km. Calcular a probabilidade de um pneu escolhido ao acaso;
a) dure mais que 46.000 km; R: 0,8413
b) dure entre 45.000 e 50.000 km; R: 0,7745
5. Os salários médios dos diretores das empresas de Petrolina distribuem-se normalmente com média de R$ 8.000,00 e variância de R$ 500,00. Qual a percentagem de diretores que recebem:
a) menos de R$ 6470,00 ? R: 0,001107
b) entre R$ 8.920,00 e R$ 9.380,00 ? R: 0,029994 
6. Um fabricante de baterias usadas em laptop sabe, por experiência passada, que as baterias de sua fabricação têm vida média de 600 dias e desvio-padrão de 100 dias, sendo que a duração tem aproximadamente distribuição normal. Oferece uma garantia de 312 dias, isto é, troca as baterias que apresentam falhas nesse período. Fabrica 10.000 baterias mensalmente. Quantas baterias deverá repor mensalmente, pelo uso da garantia? R: 20 baterias
7. Uma fábrica de automóveis sabe que os motores de sua fabricação têm duração normal com média de 150.000 km e desvio-padrão de 5.000 km. Qual a probabilidade de que um carro, escolhido ao acaso, dos fabricados por essa firma, tenha um motor que dure:
a) menos de 170.000 km? R: 0,999968
b) entre 140.000 km e 165.000 km? R : 0,97590
c) Se a fábrica substitui o motor que apresenta duração inferior à garantia, qual deve ser esta garantia para que a porcentagem de motores substituídos seja inferior a 0.2%? R : 135.650
8. Numa fábrica foram instaladas 1.000 lâmpadas novas. Sabe-se que a duração média das lâmpadas é de 800 horas e desvio-padrão de 100 horas, com distribuição normal. Determinar a quantidade de lâmpadas que durarão:
a) menos de 500 horas? R: 1,4 lâmpadas
b) mais de 700 horas? R: 841,3 lâmpadas
c) entre 516 e 684 horas? R: 120 lâmpadas
9. O número de vezes que um adulto respira, por minuto, depende da idade e varia de pessoa para pessoa. Suponha que a distribuição dessa variável aleatória Y seja normal, com média de 16 e desvio padrão igual a 10. Se uma pessoa é escolhida aleatoriamente e o número Y de respirações por minuto for anotado, qual a probabilidade de: 
a) Y exceder 22? R: 0,0668 
b) e de sr menor do que 15? R: 0,4013
11. Uma pessoa tem 20 minutos para chegar ao escritório. Para tal, pode optar entre dois caminhos: A ou B. Sabendo que o tempo para percorre o caminho A é N (18;25) e que o tempo para percorre B é N (20 :4), qual é a melhor escolha do trajeto? R: A
12. O número de pessoas que almoçam num determinado restaurante suburbano é aproximadamente norma , com média de 250 e desvio padrão de 20 por dia. Qual é a probabilidade de haver pelo menos 200 clientes em determinado dia? R: 0,9938
13. Suponha que a duração de vida de dois equipamentos, E1 e E2,tenham respectivamente distribuições: N (45 , 90) e N (40 , 36). Se o equipamento tiver que ser usado por um período de 45 horas, qual deles deve ser preferido? R; E1
14. As variáveis X1: (10 , 9) X2 : (- 2 ,4) e X3 : (5 ,25 ) são independentes. Determinar a distribuição de Y = X1+ X2 + X3 R: N : (13 , 38 )
15. Certo produto tem peso médio de 10 gramas e desvio padrão de 0,5 g .E embalado em caixas de 120 unidades que pesam em média 150 g e têm desvio padrão de 8 g. Qual a probabilidade de que uma caixa cheia pese mais de 1370 g? R: 0,0197
16. Suponha que o diâmetro médio dos parafusos produzidos por uma fábrica seja 0,25 polegadas, e o desvio padrão de 0,02 polegadas. Um parafuso é considerado defeituoso se seu diâmetro é maior que 0,28 ou menor que 0,20 polegadas. 
a) Encontrar a porcentagem de parafusos defeituosos. R:7,3
b) Qual deve ser a medida mínima na cauda à esquerda para que tenhamos no máximo 12% de parafusos defeituosos? R: 0,22
17. Numa determinada oficina de Petrolina, o tempo necessário para o conserto da transmissão de um tipo de carro segue uma distribuição normal, com média de 45 min e desvio padrão de 8 min.
a) O mecânico comunicou a um cliente que o carro estará pronto em 50 min. Qual a probabilidade de que o mecânico esteja enganado?
b) Qual deve ser a previsão de tempo de trabalho para que haja 90% de probabilidade de que o conserto da transmissão seja efetuado dentro do tempo previsto?
Dúvidas, Cálculos e Anotações
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14. Aplicações da Distribuição Normal
14.1 Distribuições de Funções de Variáveis Aleatórias Normais
1. Sejam n variáveis aleatórias e independentes, cada uma com distribuição normal, e sejam 
 e . i = 1, 2, ... , n, ou seja, : . 
Vamos considerar a variável . 
 Então X é normalmente distribuída, 
2. Nas condições de 1, se 1 = 2 = . . . = n = e , então:
 X : N (n ; n2)
3. Sejam , i = 1, 2, . . . , n variáveis independentes. Seja . 
Então: 
4. Sejam , i = 1, 2, . . . , n variáveis independentes e seja 
Y = a + b1X1 + b2X2 + b1X1 + . . . + bnXn. Então : 
Exemplo 
1. O peso de um cigarro é a soma dos pesos do papel e do fumo, e vale em média 1,200 g com = 0,600 g. O peso médio do papel é 0,040 g com = 0,020 g. Esses pesos têm distribuição normal.
Os cigarros são feitos em uma máquina automática que pesa o fumo a ser usado, coloca o papel e enrola o cigarro. 
a) Determinar o peso médio e o desvio padrão do fumo em cada cigarro 
b) Qual a probabilidade de que um cigarro tenha menos de 1,130 g de fumo
Solução
a) Seja:
X : peso do cigarro X = 1,200 X = 0,600
Y : peso do papel Y = 0,040 Y = 0,020 
F : peso do fumo
Logo, queremos F = X – Y , com X e Y independentes. Daí,
F = E (F) = E (X – Y) = E(X) – E(Y) = 1,200 – 0,040 F = 1,16 g 
= VAR (F) = VAR (X – Y) = VAR (X) + VAR (Y) –2 COV(X,Y) = 0,062 +0,022 = 0,0040
Então, F : N ( 1,16 ; 0,004)
b) Queremos P (F 1,130) = ? 
P (F 1,13) = P (Z - 0,48) = 0,315614 
2. Um produto pesa em média 10g, com desvio padrão de 2g. É embalado em caixas com 50 unidades. Sabendo-se que as caixas vazias pesam em média 500g com desdvio padrão de 25g e admitindo-se distribuição normal dos pesos e independência entre as variáveis dos pesos dos produtos e da caixa, qual a probabilidade de uma caixa cheia pesar mais de 1050g?
Solução:
Seja X = o peso da caixa cheia, e queremos P(X 1.050).
	
	média
	Desvio
	Nº
	Produto
	10
	2
	50
	caixa
	500
	25
	1
Temos: T = 50. 10 + 500.1 T = 1.00
 = 50.22 + 1.252 = 825
Sendo 
Daí P(X 1.050) = P(Z 1,74) = 0,5 – P(0 Z1,74) = 0,5 – 0,459071 = 0,040929
 0 1,74 Z
3. Uma máquina automática enche latas baseada no peso bruto das mesmas. O peso bruto tem distribuição normal com = 1.000 g e = 20 g. As latas têm peso distribuído normalmente, com = 90 g e = 10. Qual a probabilidade de que uma lata tenha, de peso líquido: 
a) Menos de 830 g 
b) Mais de 870 g? 
c) Entre 860 e 920 g
Solução
Observação. Faça: X1 = peso bruto X1 : N (1.000; 400)
 X2 = peso da lata X2 : N (90; 100)
 X = peso líquido 
Vasmos calcular E(X) e V(X)
E(X) = E(X1 – X2) = E(X1) – E(X2) = 1.000 – 90 E(X) = 910
V(X) = V(X1 – X2) = V(X1) – V(X2) – 2COV(X1 X2) = 400 + 100 – 0 V(X) = 500
Então X : N(910, 500) μ = 910 e σ = 22,36
P(X 830) = P(Z -3,58) = 0,5 –P(-3,58 Z 0) = 0,5 – 0,499828 = 0,00017
 
 
 830 910 X -3,58 0 Z
Z = (830 – 9100)/22,36 Z = - 3,58 
14.2 Aproximação da Distribuição Binomial pela Distribuição Normal
 Para efetuarmos a aproximação da distribuição binomial pela distribuição normaal, usaremos um resultado muito importante. È o chamado teorema do limite central>
Teorema do Limite Central
 Consideremos n variáveis aleatórias X1, X2, ..., Xn, tods independentes com E(Xi) = μi e .
com i = 1, 2, ..., n . Seja também: 
Considerando-se condições bastante gerais, a variável:
Tem distribuição aproximadamente N(0,1).
Se E(Xi) = μi e , com i = 1, 2, ..., n e para n bastante grande (n →∞), 
tem distribuição normal no limite Z ≈ N(0,1).
 Na prática, quando n é fixo, a aproximação será melhor na medida em que as variáveis Xi, i = 1, 2, ..., n forem mais próximas da distribuição normal.
 A aproximação da distribuição binomial pela distribuição normal é feita da seguine forma:
Seja X : B (n, p). Podemos escrever , onde as variáveis X1, X2, ..., Xn são independentes, cada uma com distribuição de Bernouilli.
 Vimos que se uma variável tem distribuição de Bernouilli;
E(Xi) = p
Var(Xi) = pq, i = 1, 2, ..., n
Então, 
13.3 A Distribuição Exponencial
 O modelo exponencial possui uma relação muita íntima com o modelo de Poisson. Enquanto o modelo de Poisson se presta para modelar o número de ocorrências por intervalo contínuo de tempo (t) ou de comprimento (d), a distribuição exponencial serve para modelar a variável aleatória contínu que representa o intervalo de tempo ou de comprimento entre essas ocorrências.
a) o tempo decorrido até a próxima consulta a uma base de dados;
b) o tempo em segundos entre duas solicitações a umservidor
c) distância em metros entre dois defeitos de uma fita.
 A distribuição exponencial pode ser usada quando as suposições de Poisson forem satisfeitas. A figura a seguir ilustra bem essa relação.
 Número x de 
 ocorrências do Poisson 
 evento em 0,t)
 X X X
 0 t
 Tempo até 
 a ocorrência Exponencial 
 do evento
 Para expressar a formulação matemática da distribuição exponencial, consideremos a equivalência entre os dois eventos seguintes:
 A primeira ocorrência Nenhuma ocorrência 
 ser depois do tempo t em 0,t)
Consideremos também as seguintes variáveis:
Xt = número de ocorrências no intervalo de tempo 0,t) ; e
T – Tempo entre as ocorrências
 Sendo a taxa média de ocorrência por unidade de tempo e, considerando independência entre as ocorrências, Xt tem distribuição de Poisson com parâmetro t e a equivalência entre os dois eventos pode ser expressa por:
 T tXt = 0
Logo, 
E usando o evento complementar, podemos definir para todo t > 0 a função de distribuição acumulada de uma variável aleatória T com distribuição exponencial:
 
Em conseqüência, para t > 0, temos a função de densidade de probabiliddae expressa por:
 
13.3.1 Gráfico de f(t)
 
 
 
 
 
 0 t0 t
13.3.2 Calculando Probabilidades
 Para se calcular as probabilidades requeridas, ou lança-se mão do cálculo com integrais simples definidas ou simpesmente se utilizar da função de distribuição acumulada. Veja a ilustração abaixo:
 
 
 
 
 
 
 0 t0 t 
 
Exemplo
 Dada a variável aleatória T = tempo de resposta na consulta a um banco de dados (em minutos) com função de densidade de probabilidade dada por:
f(t) = 2e-2t para t 0
 0, para t 0 
a) calcular a probabilidade da consulta demorar mais que 3 minutos.
Solução:
 
 
 = 2 
 
 
 0 t0 = 3 t 
Pela definição da fdp, vê-se que = 2, então queremos:
 
Ou de uma outra forma,
 
P(T 3) = e2t = e2(3) = e-6 = 0 ,5488
b) calular a probabilidade da consulta demorar menos de 3 minutos.
 = 2 
 0 t0 = 3 t
Analisando o gráfico, podemos escrever: 
P(T 3) = 1 - e2t = 1 - e2(3) = 1 - e-6 = 1 - 0 ,5488 = 0,4512
c) Agora queremos a P(2 T 3), ou seja, a próxima consulta ocorrer no intervalo de 2 a 3 minutos. Podemos utilizar:
 
ou usar 
 = 2
 0 2 3 t
P(2 T 3) = P(T 2) – P(T >3) = e-4 – e-6 = 0,0158
 Para uma vriável aleatória T, com distribuição exponencial de parâmetro , temos que:
 
 e 
 
Aplicação
 Suponha que em determinado período do dia, o tempo médio de atendimento em um caixa de banco seja de 5 minutos. Adimitindo que o tempo para atendimento tenha distribuição exponencial, determinar a probabilidade de um cliente:
a) esperar mais do que 5 minutos:
Pela média da exponencial, temos 
Logo, a P(T > 5) = e-0,2(5) = e-1 = 0,3679 ou 36,79%
b) esperar menos do que 5 minutos
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
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c) esperar entre 3 e 8 minutos:
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11.4 Aplicação da Distribuição Exponencial à Teoria da Confiabilidade
 Na teoria da confiabilidade de componentes, sitemas ou equipamentos, calculamos as probabilidades de que o sitema, equipamento ou componente não venha a falhar durante um intervalo 0, t0, ou seja: a probabilidade de que o componente ainda esteja funcionando na época t0.
Uma das parincipais leis de falhas é aquela cuja duração até falhar é descrita pela distribuição exponencial. 
Admite-se que a taxa de falhas é constante, isto é, depois que a peça, equipamento, sistema, etc esteja em uso, sua probabbilidade de flha não se altera. Logo, não se considera o efeito do desgaste quando o modelo exponencial é admitido. Por exemplo, considerando-se uma taxa de falhas constante, o funcionamento de um rolamento, a qualquer momento, é tão bom quanto novo e, nesses casos o modelo de distribuição de tempo até falhar é exponencial 
Exemplo:
Suponha que a duração da vida de um dispositivo eletrônico seja exponencialmente distribuída com tempo média entre falhas de 100 horas.
a) Qual a probabilidade de o dispositivo não falhar em 150 horas de uso?
Daí, P(T > 150) = e-0,01(100) = e-1,5 = 0,2231 = 22,31%
b) Qual seria o número de horas necessárias para se ter uma confiabilidade de 90%?
A teoria da confiabilida nos diz que R(T) = et , então 0,90 = e-0,01t t = ln 0,90 = -0,01t 
t = ln0,90/-0,01 t = 10,54 horas, ou seja, há 90% de confiabilidade de o dispositivo não falhar antes de 10,54 horas.
Exercícios para Fixação do Conteúdo
1. Uma lâmpada tem a duração de acordo com a densidade de probabiliodade:
 0 para t 0
f(t) = 
 para t 0
 
12 DISTRIBUIÇÕESAMOSTRAIS 
Introdução
 Até agora vimos os principais modelos de distribuições de probabilidade e as medidas que caracterizam uma amostra, quando nos referimos ao estudo da estatística descritiva.
 
Nessa presente abordagem, vamos juntar o conhecimento adquirido a partir dos modelos e das medidas estudadas anteriormente para obter as distribuições amostrais dos principais estimadores.
O conhecimento das distribuições amostrais, será a base para aplicação das técnicas da inferência estatística e para um melhor entendimento desses conceitos, vamos conhecer algumas estatísticas e alguns parâmetros.
12.1. Principais Conceitos
12.1.1 Inferência ou Indução Estatística
 Trata-se do processo se de obter informações sobre uma população a partir de resultados observados em amostras. Serve, fundamentalmente para dar ao pesquisador um grau de confiança em suas incertezas. 
Geralmente tem-se uma população com um grande número de elementos e deseja-se, a partir de uma amostra, retirada dessa população, conhecer o mais próximo possível algumas características dessa população. Veja a figura abaixo
 
 População(N) Amostra(n)
 Dedução 
 
 Indução 
 
12.1.2 Amostra Aleatória 
 Uma amostra aleatória é o conjunto de “n” variáveis aleatórias e independentes (X1 , X2, ... ,Xn) tal que cada Xi (i = 1, 2, ...,n) possui a mesma característica, ou distribuição da variável populacional “X" que se deseja estudar. Por exemplo: Se X : N ( , 2 ), cada Xi: N ( , 2) 
12.1.3 Estimador ou Estatística
 Um estimador ou estatística é qualquer variável aleatória função dos elementos amostrais, ou seja, 
OBS – Essa definição nos permite concluir que qualquer combinação das variáveis amostrais (X1 , X2, .... , Xn) seja um estimador ou estatística.
12.1.4 Estimador para a Média Populacional μ
 
 Média aritmética amostral
12.1.5 Estimador para a Variância Populacional 2
 Variância amostral
12.1.6 Estimador para a Proporção ou Probabilidade de Evento Populacional p
 
 Freqüência relativa
12.1.7 Estimador para o Desvio Padrão Populacional σ
 Dersvio padrão amostral
12.1.8 Estimativa
È o valor numérico do estimador
Exemplo é uma estimativa da verdadeira média populacional 
12.2 Distribuição Amostral da Média
 Se comsiderarmos todas as amostras possíveis de tamanho ‘n’ que podem ser retiradas de uma população e se para cada uma delas, calcularmos um valor do estmador, tem-se uma distribuição amostral desse estimador. Como o estimador é uma variável aleatória, podemosdeterminar suas características, ou seja, sua média, variância, desvio padrão, etc...
 População Parâmetro: 
 Amostra Estimador: 
Então se de uma determinada população ‘X’, retiramos uma amostra de tamnho ‘n’ formada pelos elementos
x1, x2, ..., xn, então o estimador da média populacional , calculado na amostra será dado por : 
Exemplo: 
Vamos considerar uma popoulação finita de tamanho N = 5 e sejaX = 1,2,3,4,5; os elementos dessa população. Calculemos então, a média e a variÂncia dessa população.
 
Já vimos que E(X) = X = xip(xi) = 1/5(1 + 2+ 3+ 4+ =5) = 15/3 E(X) = X = 3 
E, V(X) =
Agora vamos retirar dessa população todas as amostras possíveis, com reposição,de tamanho 2, ou seja, serão 25 amostras e, calcularemos as médias de cada amostra:
 
	Amostras
	
	
	Amostras
	
 
	
	Amostras
	
	1
	(1,1)
	1,0
	
	11
	(3,1)
	2,0
	
	21
	(5,1)
	3,0
	2
	(1,2)
	1,5
	
	12
	(3,2)
	2,5
	
	22
	(5,2)
	3,5
	3
	(1,3)
	2,0
	
	13
	(3,3)
	3,0
	
	23
	(5,3)
	4,0
	4
	(1,4)
	2,5
	
	14
	(3,4)
	3,5
	
	24
	(5,4)
	4,5
	5
	(1,5)
	3,0
	
	15
	(3,5)
	4,0
	
	25
	(5,5)
	5,0
	6
	(2,1)
	1,5
	
	16
	(4,1)
	2,5
	
	
	
	
	7
	(2,2)
	2,0
	
	17
	(4,2)
	3,0
	
	
	
	
	8
	(2,3)
	2,5
	
	18
	(4,3)
	3,5
	
	
	
	
	9
	(2,4)
	3,0
	
	19
	(4,4)
	4,0
	
	
	
	
	10
	(2,5)
	3,5
	
	20
	(4,5)
	4,5
	
	
	
	
 Comovaria de amostra para amostra, é uma variável aleatória, no caso, discreta. Portanto podemos determinar a distribuição da variável e calcularmos e . Daí, temos:
	
	
	
	
	1,0
	1/25
	1/25
	1/25
	1,5
	2/25
	3/25
	4,5/25
	2,0
	3/25
	6/25
	12/25
	2,5
	4/25
	10/25
	25/25
	3,0
	5/25
	15/25
	45/25
	3,5
	4/25
	14/25
	49/25
	4,0
	3/25
	12/25
	48/25
	4,5
	2/25
	9/25
	40,5/25
	5,0
	1/25
	5/25
	25/25
	
	1
	3
	10
Logo, 
Como 
Sendo 
Então
Concluímos, portanto que:
 Proposição 1:
A média ds médias amostrais, é igual a média populacional, ou seja: 
Vejamos:
Lembrando que quando a média amostral é igual a média populacional, o estimador é considerado não viesado ou não tendencioso, ou seja, genericamente:
 
Portanto é um estimador não tendencioso de 
No nosso caso, sendo V(X) = 2, n = 2 e e Concluímos que 
Proposição 2:
A variância amostrl é igual a variância populacional dividida pelo tamanho da amostra, ou seja:
 
De fato, isto ocorre, senão vejamos:
=
Graficamente, teríamos:
 
 P(X) 5/25 
 4/25 
 1/5 3/25 
 2/25 
 1/25 
 1 2 3 4 5 X 1 2 3 4 5 
Conclusão:
1. se X : N( , σ2 ) e se dessa popilação retiramos uma amostra de tamanho ‘n’ suficientemente grande, com reposição, então: 
E isto significa que quanto maior for o tamanho da amostra, menor será a variância amostral, ou o estimador 
será mais preciso, á medida que aumentamos o tamanho de ‘n’
2. Se a população ‘X’ não é normal, a variável ‘Z’ não será exatamente normal, mas sim aproximadamente normal, ou seja: a variável , terá como distribuição limite a distribuição N(0,1).
3. Se a população for finita e de tamanho , conhecido ou se a amostra dela retirada for sem reposição, então:
Exercício de Aplicação
 1. Sabe-se que a altura média dos alunos de escola de ensino médio é de 175 cm e desvio padrão de 5 cm. Sabendo-se que esta população tem 5.000 alunos e retirou-se uma amostra sem reposição de tamnmho igual a 100, qual a distribuição da média amostral
Solução
Se X: (175, 25), então = 175 e 
Então:e 
2. Seja X: N(80,26). Dessa população retiramos uma amostra de tamanho igual a 25. Calcular:
a) P( 83)
b) P( 82)
c) P(- 2)
Solução
a) Como X: N(80,26) 
Daí, 
 80 83 0 2,94 Z 
Logo, a P( 83) = P(Z 2,94) = 0,5 – P(Z 2,94) = 0,5 -0,498359 = 0,001641
b) P( 82) = P(Z1,96) = 0,5 + 0,47002 = 0,975002
 80 82 0 1,96 Z 
c) 
= 
De posse desse valor, podemos afirmar que temos 95% de confiança de que se retirarmos dessa população, uma amostra de 25 elementos, a média amostral pertencerá ao intervalo ou então, se selecuionarmos 100 amostras de tamanho 25, em 95 delas, o valor da média pertencerá ao intervalo e em 5 delas não pertencerá.
3. Seja X: N( 100,85). Retiramos dessa população uma amostra de tamanho n = 20. Determinar: 
a) 
b) 
Resolução:
Se X: N (100, 85) e 
E 
a) 
 
 95 100 105 
Conclusão: a probabilidadade de pertencer ao intervalo (95, 105) é de 98,5%, e a de não pertencer a esse intervalo, que seria o risco de se retirar um valor de ou é de 1,5% 
b) A probabilidade nesse caso, já está dada. Precisamos determinar o valor de tal que 0,95 seja a probabilidade de que a média esteja entre os dois limites , e 0,005, seja a probabilidade d que a média esteja fora desses limites.
Queremos, então
Daí,
 
 0,475
 
 
 -Zα 0 Zα Z 
Pela tabela Zα =Z0,475 = 1,96
Concluindo, podemos afirmar que a probabilidade de que pertença ao intervalo é de 95%, o que significa que temos uma confiança de 95% de que, se retirada uma amostra de n = 20, a média dela estará entre 95,96 e 104,04, ou então há um risco de 5% de que a média seja 95,96 ou 104,04
12.2.1 Dimensionamento de uma Amostra
 Muitas vezes, é importante sabermos qual deverá ser o tamanho de uma amostra para que a probabilidade de que determinado parâmetro ou estimador esteja dentro dos limites seja um valor dado, ou então queremos delimitar o erro da amostragem dentro de um risco determinado.
Para uma melhor compreensão vejamos o seguinte exemplo:
Seja X: (1.200, 840). Qual deverá ser o tamanho de uma amostra a ser retirad ade um apopilação, de tal forma que 
Se X: N (1.200, 840) e 
 0,450
 
 0,90
 1.196 1.200 1.204 - Zα 0 Zα Z 
Zα = Z0,450 = 1,64
 ou 
Por conta da simetria da curva, é indiferente escolher uma das duas expressões
E concluímos que, se retirarmos uma amostra de 141 elementos da população ‘X’, teremos 95% de confiança de que a média amostras pertencerá ao intervalo (1.196 ; 1.204) e 
Teste seus Conhecimentos
1. Uma população se constitui dos números 2, 3, 4 e 5. Consiere todas as amostras possíveis de tamanho 2, que podem ser extraídas dessa população, com reposição. Determinar:
a) a média da população 
b) o desvio padrão populacional 
c) a média da distribuição amostral ds médias 
d) o desvio padrão da mdiostribuição amostral das médias 
2. Seja X: N(900, 642). Retiramos uma amostra de tamanho 30 dessa população. Determinar:
a) P( 894) R: 0,096801
b) P(896 903) R: 0,54726
c) P(- 3 R: 0,9973
3. Seja X:N(1.200, 1444. Retiramos uma amostra de tamanho 15. Determinar:
a) R : 0,458138
b) R: P(1.183,91 1.216,08) = 0,90 
4. Que tamanho deverá ter uma amostra para ser retirada de uma população X: N (200, 350) , para que R: n 54 
5. Seja X: N(100, 65). Retiramos dessa população uma amostra de tamanho 20 determinar:
a) P(95 105) R : 0,984902
b) 
c) R: P(95,96 104,04) 
d) qual é o risco de que a média não pertença a esse intervalo?
e) Qual é a interpretação do valor 0,95 da questão ‘c’? 
Cálculos, Dúvidas e Anotações
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12.3 Distribuição Amostral das Proporçoes
 Seja “X” uma população infinita e “p” a probabilidade ou proporção de sucessos de um evento de “X”. Então (1 – p) = q, será a probabilidade desse evento não ocorrer. Nessas condições e segundo Bernouilli:
 
A média será = E (X) = p e a variância 2 = V (X) = pq = p(1 – p) 
Vamos retirar dessa população, uma grande amostra, n , (x1, x2, ... ,xn), com reposição, e seja “x” o número de sucessos encontrados na amostra, isto é o número de elementos com a característica que se quer estudar. 
Com essas características “X” terá uma distribuição Binomial ou seja, X : B (n, p) com: 
Média, E (X) = np e Variância V (X) = n p q.
Então, a distribuição amostral da freqüência relativa ou do estimador populacional “p” será dada por: 
Calculando a esperança e a variância de temos: 
 ou 
O que nos dá uma garantia de que para grandes amostras a proporção amostral se distribui com média exatamente igual á proporção populacional
Para a variância, temos ou 
Daí, concluímos que a variância da proporção amostral é a variância populacional dividida pelo tamanho da amostra 
Conclusão :
Para n 30 e pelo Teorema Central do Limite, a distribuição amostral de será aproximadamente normal e, será assintoticamente N (0,1) , isto é, ≈ N(0,1) e, concluímos mais uma vez que:
 
1 - Quando a proporção populacional “p” é desconhecida e a amostra com reposição, é grande, determina-se , como estimativa de p.
2 – Estatisticamente, uma amostra é suficiente grande quando n.p 5 e n.q 5 e graficamente, teríamos:
 
 
 
 
Aplicação
1. Desejando-se conhecer a proporção de pessoas de uma população, portadoras de determinada enfermidade, seleciona-se uma amostra de 400 pessoas e através de um exame constata-se que existem 8 pessoas portadoras dessa doença. Definir os limites de confiabilidade de 99% para a proporção populacional.
Solução
O que queremos saber é a proporção de pessoas na população portadoras da doença. Como não conhecemos a proporção populacional, temos que estimá-la, através da freqüência amostral, assim:, 
Como não temos condições da estabelecer um número exato para os portadores dessa doença, devemos estabelecer um intervalo, onde esta proporção estará contida.
 
 0,05 0,99 0,05 = = 2,57 
 
 - Z 0 Z Z
Daí, queremos: 
Logo , P (0,02 2,57 . 0,007 p 0,02 + 2,57 . 0,007) = P (0, 002 p 0,038) = 99%.
2. Em uma população, a proporção de pessoas favoráveis a uma determinada lei é 40%. Retiramos dessa população uma amostra de 300 pessoas. Determinar: 
Dados: n = 300 e p =0,4 q = 0,6 
Agora, temos que determinar 
 0,025 0,95 0,025 
 - Z 0 Z Z
E 
Daí, P (0,4 – 1,96 . 0,0283 0,4 + 1,96 . 0,0283) = 0,95. Então, P ( 34,45% 44,55) = 0,95
Exercícios Propostos
1. Deseja-se saber qual a proporção de eleitores de determinada região que votarão no candidato A, de forma que a probabilidade do erro de estimação seja no máximo 3% com 95% de confiança. Para estudar o problema, retira-se uma amostra de 500 eleitores dessa região, obtendo-se 120