Geometria Esferica UERJ 2015

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Um Curso de Geometria Esfe´rica
Alexandre Teixeira Be´hague
Suma´rio
1 G.E. parte 1 Fundamentos ba´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Operac¸o˜es com nu´meros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Aplicac¸o˜es e func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 G.E. parte 1 Um pouco da nomenclatura da Geometria plana . . . . . . . 11
2.1 Enumerac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 G.E. parte 1 Um pouco de Geometria anal´ıtica . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1 Distaˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4 Operac¸o˜es com vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 G.E. parte 2 C´ırculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.1 Comprimento de arcos de c´ırculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 Parametrizac¸a˜o de c´ırculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5 G.E. parte 2 A Geometria esfe´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.1 Polos de c´ırculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2 Aˆngulo entre segmentos na esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.3 Algumas construc¸o˜es em Geometria esfe´rica . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.4 Triaˆngulos esfe´ricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.5 A´rea de triaˆngulos esfe´ricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.6 Quadrila´teros especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.7 Fo´rmulas fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6 G.E. parte 2 Parametrizac¸a˜o de esferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.1 A projec¸a˜o estereogra´fica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.2 Esferas em coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.3 Paralelos e meridianos em esferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.4 Milha na´utica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.5 O conceito de distaˆncia sobre esferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
1
Suma´rio Suma´rio
Uma ide´ia matema´tica abstrata, sem contato com a intuic¸a˜o e a natureza, e´ frequ¨entemente
vista como uma �curiosidade matema´tica� e desprezada pelo ceticismo daqueles que valorizam
somente a pra´tica, a aplicac¸a˜o dos nu´meros. Ocorre que a histo´ria registra inu´meros exemplos
de �ide´ias curiosas�, desenvolvidas por matema´ticos despreocupados com a praticidade, e que
se mostraram indispensa´veis em va´rias a´reas aplicadas do conhecimento humano.
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 2 Geometria Esfe´rica
Suma´rio Suma´rio
Observac¸o˜es para o aluno
◦ Geometria esfe´rica e´ uma matema´tica pouco conhecida, e´ uma mate´ria dif´ıcil com
argumentos incomuns, que exige muita dedicac¸a˜o e interesse. Na˜o existem livros completos
sobre o assunto em portugueˆs. O texto disponibilizado aqui tem por objetivo resumir as
partes centrais e os principais fatos dessa mate´ria, e mesmo assim trata-se de um texto
bem longo, equivalente a um livro com 220 pa´ginas.
◦ Esse texto e´ completado com comenta´rios sobre sutilezas da teoria, feitos durante
as aulas. Com regularidade, essas sutilezas sa˜o exploradas nas provas, logo a auseˆncia em
uma determinada aula pode custar caro.
◦ Na˜o sa˜o disponibilizadas listas avulsas de exerc´ıcios, pois esse texto apresenta um
bom nu´mero de exemplos e exerc´ıcios, sendo que esses sa˜o resolvidos em sala de aula.
Cabe ao aluno estuda´-los e, havendo du´vida, procurar o professor fora do hora´rio de
aulas.
◦ Sera˜o feitas duas provas e o crite´rio de avaliac¸a˜o para essa mate´ria e´ o definido pelo
regimento interno da UERJ, me´dia M :=
P1 + P2
2
≥ 7 aprova; se 4 ≤ M < 7, faz prova
final e e´ aprovado se conseguir me´dia final Mf :=
M + Pf
2
≥ 5, isto e´, Pf ≥ 10−M .
◦ Na˜o sa˜o feitas provas de reposic¸a˜o/substitutiva, a na˜o ser nos casos indicados pelo
regimento interno dessa universidade.
Fonte bibliogra´fica
◦ O u´nico livro indicado para apresentac¸a˜o de alguns to´picos dessa mate´ria e´ Con-
vite a`s Geometrias na˜o-euclidianas, Coutinho, L., mas muito fraco na teoria
matema´tica, completado pelo texto do curso.
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 3 Geometria Esfe´rica
Suma´rio Suma´rio
Introduc¸a˜o
A esmagadora maioria da populac¸a˜o mundial na˜o sabe que cieˆncia e´
conhecimento exato e racional de coisa determinada,
e´ sistema de conhecimentos com um objeto determinado e um me´todo pro´prio.
Muitas pessoas acham que Geometria e´ a parte da Matema´tica que se ocupa com
desenhos, retas, triaˆngulos, c´ırculos, etc. Geometria e´ muito mais do que isso, e´ uma
cieˆncia exata com nomenclatura e procedimentos pro´prios, que se subdivide em va´rios
ramos teo´ricos, de acordo com o objeto de estudo. Existem:
GeometriadeLobatchevski-Bolyai
GeometriadeRiemann
Teoriageométricadafolheações
Sistemasdinâmicos
Topologiadiferencial
Topologiaalgébrica
Análiseemumaouváriasvariáveis,reaisoucomplexas
Teoriadegrupos
Cálculodiferencialeintegral
Álgebraelementarevetorial
Geometriadiferencial
Topologiageral
Geometriariemanniana
Geometriaeuclidiana
Geometriadescritiva
Geometriaprojetiva
Geometriaanalítica
Esse artigo e´
fornecido em
cara´ter pessoal ao
aluno inscrito em
Matema´tica
Especial I,
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A Geometria plana (axioma´tica, euclidiana) e´ a base da Matema´tica e surgiu no Egito
e na Babiloˆnia, numa fase intuitiva, na˜o sistema´tica. Na Gre´cia, com Tales de Mileto
(640-546 a.C.), Pita´goras (580-500 a.C.), Eudoxo de Cnide (408-355 a.C. ou 395-355
a.C.) e Arquimedes de Siracusa (287-212 a.C.), foi apoiada em proposic¸o˜es gerais, na˜o
intuitivas. Foi o grego Euclides de Alexandria (330-275 a.C, provavelmente) quem primeiro
sistematizou de modo axioma´tico aquilo que iniciou a Matema´tica.
Sem du´vida alguma, os treze livros ’Os Elementos’ escritos por Euclides tiveram mais
influeˆncia no desenvolvimento da civilizac¸a˜o do que qualquer outra criac¸a˜o anterior ou
posterior.
As ide´ias fundamentais da Geometria sa˜o divididas em axiomas ’1’ e postulados ’2’.
Os axiomas originais sa˜o:
A1. Coisas iguais a uma terceira sa˜o iguais entre si;
A2. Se quantidades iguais sa˜o adicionadas a iguais, os totais sa˜o iguais;
A3. Se quantidades iguais sa˜o subtra´ıdas de iguais, os restos sa˜o iguais;
A4. Coisas que coincidem uma com a outra sa˜o iguais;
A5. O todo e´ maior do que qualquer de suas partes.
Os postulados originais sa˜o:
P1. Uma reta pode ser trac¸ada de um ponto a outro, escolhidos a` vontade;
1 Do grego axioma, ’eu acredito ser verdadeiro’ - princ´ıpio aceito por todo os ramos do conhecimento
2 Do grego postulare, ’pedir, requerer, exigir’ - proposic¸o˜es geome´tricas espec´ıficas
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 4 Geometria Esfe´rica
Suma´rio Suma´rio
P2. Uma reta pode ser prolongada indefinidamente;
P3. Um c´ırculo pode ser trac¸ado com centro e raio arbitra´rios;
P4. Todos os aˆngulos retos sa˜o iguais;
P5. Se uma reta transversal a duas outras forma aˆngulos, de um mesmo lado dessa
transversal, cuja soma e´ menor que dois aˆngulos retos, enta˜o essas retas, se prolongadas
suficientemente, encontrar-se-a˜o em um ponto desse mesmo lado.
O 5o postulado e´ modernamentechamado postulado das paralelas e assim enunci-
ado:
Por um ponto exterior a` uma reta passa uma reta e somente uma paralela a` reta dada.
Durante se´culos, matema´ticos tentaram provar essa ide´ia e somente 2104 anos apo´s
Euclides, em 1829, e´ que Lobatchevski ’3’ mostrou a impossibilidade de se provar o 5o
postulado e enta˜o enveredou por uma nova Geometria que o negava. Uma Geometria
na˜o-euclidiana e´ definida precisamente pela substituic¸a˜o do 5o postulado euclidiano e
existem duas, a Geometria hiperbo´lica ’4’ e a Geometria esfe´rica ’5’. Iremos tratar dessa
Geometria, onde se troca o P5 euclidiano pelo seguinte riemanniano:
Por um ponto exterior a` uma reta na˜o passa reta paralela a` reta dada.
Geometria e´, antes de mais nada, a fusa˜o de um ambiente com resultados provados
(teoremas e proposic¸o˜es) que surgem da considerac¸a˜o de certos axiomas e postulados. Se
for mudado o 5o postulado, enta˜o o ambiente muda.
Diz-se que um espac¸o (ambiente acolhedor de determinados objetos, tais como espac¸o
me´trico, espac¸o vetorial, superf´ıcie de Riemann, etc.) e´ homogeˆneo quando suas pro-
priedades permanecem invariantes em qualquer local sobre ele. E e´ isotro´pico quando
suas propriedades independem da direc¸a˜o em que sa˜o consideradas. Valendo essas duas
propriedades, diz-se que o espac¸o e´ uniforme. De todos os poss´ıveis espac¸os na˜o-euclidianos
uniformes existem apenas dois, um suporta a Geometria hiperbo´lica e e´ a pseudo-esfera
(horosfera), o outro suporta a Geometria esfe´rica e e´ claramente a esfera, nosso objeto de
estudo nesse curso.
Na ocasia˜o de seu teste para a posic¸a˜o de professor na Universidade de Go¨ttingen,
Riemann apresentou treˆs assuntos aos membros do Departamento de Matema´tica, um dos
quais era Gauss ’6’ que escolheu o assunto sobre Geometria (na˜o-euclidiana), pois queria
3 Nikolai Ivanovich Lobatchevski, matema´tico russo, 1792-1856
4 Ou Geometria de Lobatchevski-Bolyai, devido a Lobatchevski e Ja´nos Bolyai, matema´tico amador
hungaro, 1802-1860
5 Ou Geometria de Riemann, devido a Georg Friedrich Bernhard Riemann, matema´tico alema˜o, 1826-
1866. E´ devido a ele o in´ıcio da generallizac¸a˜o da Geometria diferencial que seria conhecido como
Geometria riemanniana, na qual os seus trabalhos em Geometria esfe´rica tiveram grande influeˆncia
6 Carl Friedrich Gauss, matema´tico, astroˆnomo e f´ısico alema˜o, 1777-1855. Professor de Riemann. E´,
ao mesmo tempo, o u´ltimo dos matema´ticos cla´ssicos e o primeiro dos matema´ticos modernos, isso porque
resolveu problemas cla´ssicos por meio de me´todos modernos
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 5 Geometria Esfe´rica
Suma´rio Suma´rio
Euclides???????V iète????????Girard???????Riemann
testar a desenvoltura de Riemann em um assunto ta˜o complicado; este foi muito feliz em
sua exposic¸a˜o ao juntar as te´cnicas de Gauss para descrever a Geometria das superf´ıcies
curvas bi-dimensionais (tema de Geometria diferencial) e seu pro´pria ide´ia original sobre
certos objetos geome´tricos multi-dimensionais, hoje chamados variedades n-dimensionais.
Tal palestra foi posteriormente publicada com o t´ıtulo Sobre as hipo´teses subjacentes
aos fundamentos da Geometria. Em 1851, ele desenvolveu essa nova Geometria, de um
ponto de vista puramente teo´rico, e demonstrou que as Geometrias na˜o-euclidianas podem
representar superf´ıcies curvas. Essa abordagem conduziu a enu´meras questo˜es, dentre elas
saber se nosso espac¸o f´ısico (o Universo) e´ finito.
E´ certo que na˜o somente Riemann foi o responsa´vel pelo desenvolvimento dessa Ge-
ometria na˜o-euclidiana, antes dele outros contribu´ıram com a Trigonometria esfe´rica,
Franc¸ois Vie`te ’7’, John Napier ’8’, Albert Girard ’9’, Giovanni Girolamo Saccheri ’10’,
Simon Antoine Jean L’Huilier ’11’ e Carl Friedrich Gauss, dentre outros, mas ainda sem
a preocupac¸a˜o de modelar uma Geometria na esfera.
7 Matema´tico e advogado franceˆs, 1540-1603. Em 1589, ele e´ encarregado de decifrar os co´digos se-
cretos dos inimigos de Franc¸a, sendo importante na guerra contra Espanha. Mesmo que na˜o tivesse
sido um matema´tico em tempo integral, pois dedicou quase toda sua vida profissional a` carreira jur´ıdica
e pol´ıtica, suas descobertas alcanc¸aram a formalizac¸a˜o do Ca´lculo alge´brico, em In artem analyticam
isagoge, de 1593, ele e´ o primeiro na histo´ria a utilisar letras para designar, por um lado quantidades
conhecidas (consoantes B,C,D...) e, por outro, quantidades desconhecidas (vogais A,E, I...). Foi ele
quem sistematizou o uso da a´lgebra para a resoluc¸a˜o de problemas de Geometria
8 Ou Neper, matema´tico, f´ısico, astroˆnomo, astro´logo e teo´logo escoceˆs, 1550-1617. Foi o criador dos
logar´ıtmos, publicados em Mirifici logarithmorum canonis descriptio, e escreveu trabalhos em Trigonome-
tria esfe´rica. Popularizou a notac¸a˜o do ponto separando a parte inteira da parte fraciona´ria de um nu´mero
decimal
9 Matema´tico franceˆs, 1595-1632. Foi tambe´m engenheiro, se ocupando com a fortificac¸a˜o de con-
struc¸o˜es militares. Preocupado com a causa das coisas, inovac¸o˜es da nova a´lgebra de Vie`te. Sa˜o deles,
em 1626, as primeiras anotac¸o˜es sobre a func¸a˜o seno. Primeiro a tomar em conta ra´ızes complexos
em equac¸o˜es polinomiais e enunciar que todo polinoˆmio de grau n admite n ra´ızes reais ou complexas
(eventualmente iguais)
10 Matema´tico amador italiano e padre jesu´ıta, 1667-1733
11 Ou L’Huiller, matema´tico su´ıc¸o, 1750-1840
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 6 Geometria Esfe´rica
1 G.E. parte 1 Fundamentos ba´sicos
1 G.E. parte 1 Fundamentos ba´sicos
A leitura da parte 1 do texto - cap´ıtulos 1, 2, e 3 - e´ deixada sob responsabilidade do
aluno. O professor se ocupara´ com a leitura e explicac¸a˜o minuciosas dos fundamentos da
parte 2 - cap´ıtulos 4,5 e 6 -, bem com a elaborac¸a˜o dos exerc´ıcios propostos.
1.1 Conjuntos
Conjunto e´ uma colec¸a˜o de coisas fundamentais, indivis´ıveis, minimais (em Geome-
tria sa˜o chamados pontos, em A´lgebra sa˜o elementos), na˜o constitu´ıdos de nada menor
e que possuem todos uma mesma propriedade matema´tica, que pode ser nume´rica (quan-
titativa), ou na˜o nume´rica (qualitativa). A nomenclatura usual e´
’s´ımbolo do conjunto’ = {’elemento do conjunto’; ’propriedade espec´ıfica do conjunto’}
Um subconjunto Y de um dado conjunto X e´ uma colec¸a˜o de pontos particulares de
X com uma determinada propriedade comum P, escreve-se
Y = {pontos A ∈ X; A verifica P},
leia ’Y e´ formado dos pontos A que pertencem a X, tais que A verifica a propriedade P’.Esse artigo e´
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Usa-se a notac¸a˜o Y ⊂ X, leia ’Y esta´ contido em X’, ’Y e´ subconjunto de X’, para
indicar que cada ponto de Y e´ tambe´m ponto de X.
A ide´ia de igualdade em Matema´tica na˜o e´ ta˜o simples como muitos acham: quando
se diz ’X e´ igual a Y’, quer-se dizer que todos os pontos do conjunto X sa˜o pontos do
conjunto Y, e todos os pontos de Y sa˜o tambe´m pontos de X. Nesse caso, escrevemos
X = Y. Mas basta um ponto de X na˜o ser ponto de Y, ou um ponto de Y na˜o ser ponto
de X, para que os conjuntos na˜o sejam iguais e enta˜o escrevemos X 6= Y.
Com dois conjuntos podemos formar treˆs tipos especiais de conjuntos:
1) A unia˜o de X e Y e´ o conjunto
X∪Y = {pontos A; A ∈ X ou A ∈ Y}.
2) A intersec¸a˜o de X e Y e´ o conjunto
X∩Y = {pontos A; A ∈ X e A ∈ Y}.
Quando X∩Y = ∅, ou seja, quando X e Y na˜o teˆm ponto comum, diz-se que X e Y
sa˜o disjuntos. Mas cuidado, em Matema´tica a palavra ou na˜o significa ’ou e´ P ou e´ Q’,
pode ocorrer ’e´ P e e´ Q’.
3) O produto cartesiano de X e Y e´ o conjunto
X×Y = {(x, y); x ∈ X e y ∈ Y}
de pares ordenados, onde os conjuntosX e Y podem ter mesma natureza ou na˜o, um pode
ser nume´rico e o outro na˜o nume´rico.
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 7 Geometria Esfe´rica
1 G.E. parte 1 Fundamentos ba´sicos 1.2 Operac¸o˜es com nu´meros reais
1.2 Operac¸o˜es com nu´meros reais
1) Os nu´meros racionais Q = {x
y
; x ∈ Z e y ∈ Z, y 6= 0} reunidos com os nu´meros irra-
cionais {a0, a1a2...an... d´ızima na˜o perio´dica ; a0, a1, a2, ..., an, ... ∈ Z} formam o conjunto
R dos nu´meros reais e nele tem destaque o subconjunto R+ dos nu´meros reais positivos,
bem como R− = {−x; x ∈ R+}. As operac¸o˜es sobre R:
1. Adic¸a˜o, a cada (x, y) ∈ R×R se associa a soma x+ y;
2. Multiplicac¸a˜o, a cada par (x, y) se associa o produto x.y = xy;
3. Subtrac¸a˜o, (x, y) e´ associado a` diferenc¸a x− y := x+ (−y);
4. Divisa˜o, (x, y), com y 6= 0, e´ associado ao quociente x
y
:= xy−1.
Observe a diferenc¸a entre
1
2
3 =
3
2
e
1
2
1
3
=
1
6
e
1
2
1
3
=
3
1
1
2
=
3
2
.
A adic¸a˜o e a multiplicac¸a˜o se relacionam atrave´s das seguintes regras de distribuic¸a˜o:
x(y + z) = xy + xz e (y + z)x = yx+ zx = xy + xz,∀x, y, z ∈ R.
A equac¸a˜o
x− 3
5
=
7
2
se desenvolve via multiplicac¸a˜o em cruz, isto e´, multiplicando-se
ambos membros da equac¸a˜o por
2
7
, logo
x− 3
5
=
7
2
⇒ (traduza essa flecha dupla ’⇒’
como ’implica em’) 2(x− 3) = 35⇒ 2x− 6 = 35⇒ x = 41
2
.
Vale x0 = 0,∀x ∈ R: de fato, x0 + x = x0 + x1 = x(0 + 1) = x1 = x e, somando −x
a ambos os membros da igualdade x0 + x = x, tem-se x0 = 0.
Se xy = 0, enta˜o x = 0, ou y = 0: com efeito, se y 6= 0, enta˜o xyy−1 = 0y−1 ⇒ x1 =
x = 0. Se, ao contra´rio, x 6= 0, enta˜o xx−1y = x−10 ⇒ 1y = y = 0. Isto significa que o
u´nico divisor de zero em R e´ o nu´mero zero.
Pode-se facilmente estabelecer as regras dos sinais, isto e´, x(−y) = −(xy) = (−x)y e
(−x)(−y) = xy: de fato, x(−y) + xy = x(−y + y) = x0 = 0 e, somando −(xy) a ambos
membros da igualdade x(−y) + xy = 0, tem-se x(−y) = −(xy). O mesmo e´ feito para
(−x)y = −(xy). Por fim (−x)(−y) = −[x(−y)] = −[−(xy)] = xy. Segue, em particular,
que (−1)(−1) = 1.
2) Potenciac¸a˜o. A n-e´sima poteˆncia de x e´ o nu´mero xn igual a x. x. . . x︸ ︷︷ ︸
n vezes
, sendo
que o nu´mero n se chama o expoente de x. Claro que x1 = x.
(x+ y)2 e´ o segunda poteˆncia de x+ y, e´ o quadrado de x+ y, enquanto que x2 + y2
e´ a soma do quadrado de x com o quadrado de y. Claro que (x+ y)2 = (x+ y)(x+ y) =
x2 + 2xy + y2 6= x2 + y2.
(x − y)2 e´ o quadrado da diferenc¸a x − y, enquanto que x2 − y2 e´ a diferenc¸a do
quadrado de x pelo quadrado de y. Note que (x− y)2 = (x− y)(x− y) = x2− 2xy+ y2 e
x2 − y2 = (x+ y)(x− y).
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 8 Geometria Esfe´rica
1 G.E. parte 1 Fundamentos ba´sicos 1.2 Operac¸o˜es com nu´meros reais
(2x+3)2 = (2x)2+2(2x)3+32 = 4x2+12x+9. Note que (3x−5)2 = (3x)2−2(3x)5+52 =
9x2− 30x+25 e´ diferente de (3x)2− 52 = (3x− 5)(3x+5) = (3x)2 +(3x)5− 5(3x)− 25 =
9x2 − 25.
3) Radiciac¸a˜o. A raiz n-e´sima de x e´ o nu´mero n
√
x := x
1
n igual a y, no sentido que
yn = ( n
√
x)n = (x
1
n )n = x
n
1
n = x.
Observe que
√
4 = ±2 porque 22 = 4 e (−2)2 = 4. So´ se pode assumir √4 = 2 quando
uma resposta negativa na˜o e´ conforme a` situac¸a˜o estudada, algo comum quando se opera
distaˆncias, a´reas, volumes que sa˜o, por definic¸a˜o, nu´meros positivos.
4) Polinoˆmio. E´ uma expressa˜o alge´brica em que esta˜o envolvidas as operac¸o˜es de
adic¸a˜o, subtrac¸a˜o e multiplicac¸a˜o, bem como expoentes inteiros positivos.
Uma expressa˜o da forma f(x) = ax+ b e´ um polinoˆmio do primeiro grau, pois o maior
exponente de x e´ 1, ja´ uma expressa˜o da forma f(x) = ax2 + bx + c e´ um polinoˆmio do
segundo grau, visto que o maior exponente de x e´ 2.
Encontrar uma raiz de f(x) = ax + b equivale a` se resolver a equac¸a˜o ax + b = 0.
Assim, a raiz de f(x) = 3x+ 2 e´ obtida de 3x+ 2 = 0, ou seja, x = −2
3
.
Encontrar uma raiz de f(x) = ax2 + bx + c consiste em se resolver a equac¸a˜o ax2 +
bx + c = 0 via o Teorema de Ba´skara, o qual indica que x =
−b±√b2 − 4ac
2a
. Note
que se b2 − 4ac > 0, enta˜o a equac¸a˜o ax2 + bx + c = 0 tera´ duas soluc¸o˜es, uma e´
x =
−b+√b2 − 4ac
2a
, a outra e´ x =
−b−√b2 − 4ac
2a
.
A resoluc¸a˜o de f(x) = 3x2 − 4x + 1: escreva 3x2 − 4x + 1 = 0 e aplique o Teorema
de Ba´skara, de sorte que x =
−(−4)±√(−4)2 − 4.3.1
2.3
=
4± 4
6
e as ra´ızes sa˜o x0 =
4
3
e´
x1 = 0.
5) A relac¸a˜o de ordem para os nu´meros reais. Dados x, y ∈ R, escreve-se x < y (leia
’x e´ menor do que y’) quando y − x ∈ R+. Tambe´m podemos escrever y > x (’y e´ maior
do que x’). Claro que x > 0 quando x ∈ R+ e x < 0 quando x ∈ R−.
6) O valor absoluto de x ∈ R, mo´dulo de x, e´ definido por |x| = max{x,−x} ={
x, se x ≥ 0
−x, se x < 0 e possui as seguintes propriedades:
1. |x| ≥ 0 e |x| = 0 se, e somente se, x = 0;
2. |x− y| = |y − x|;
3. |xy| = |x||y|;
4. |x
y
| = |x||y| , para y 6= 0;
5. |x+ y| ≤ |x|+ |y|.
Como subproduto da definic¸a˜o, para qualquer x ∈ R, tem-se −x ≤ |x|, x ≤ |x| e
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 9 Geometria Esfe´rica
1 G.E. parte 1 Fundamentos ba´sicos 1.3 Aplicac¸o˜es e func¸o˜es
−|x| ≤ x ≤ |x|. Exemplos, | − 4| = 4, | − pi + 3| = pi − 3 (pi: pi, ’p’ latino), |x − 3| ={
x− 3, quando x ≥ 3
−x+ 3 quando x < 3 .
1.3 Aplicac¸o˜es e func¸o˜es
Por aplicac¸a˜o entende-se uma regra de associac¸a˜o matema´tica e dois conjuntos, tais
que, a cada ponto de um, faz-se corresponder um ponto do outro. O conjunto onde a regra
e´ aplicada chama-se domı´nio, o outro conjunto, que conte´m os resultados da aplicac¸a˜o
da regra, e´ chamado contra-domı´nio. Em s´ımbolos, escrevemos
f : X→ Y (leia ’f esta´ definida de X para Y’),
em que f e´ a regra de associac¸a˜o, X e´ o domı´nio de f e Y e´ o contra-domı´nio de f .
A cada x ∈ X, f associa um u´nico y ∈ Y e escrevemos y = f(x) (leia ’y e´ igual a f de
x’). O ponto y e´ a imagem de x por f , o valor de f em x. O conjunto imagem de
f e´ o conjunto
f(X) = {f(x) ∈ Y; x ∈ X} (leia ’f de X’).
O gra´fico de f e´ o conjunto
G(f) = {(x, f(x)); x ∈ X} ⊂ X×Y
e pode assumir uma infinidade de formas, dependendo da expressa˜o de f .
A pre´-imagem de um subconjunto E ⊆ Y por f : X→ Y e´ o conjunto
f−1(E) = {x ∈ X; f(x) ∈ E} (leia ’f a menos um de E’).
O termo func¸a˜o e´ reservado exclusivamente para as aplicac¸o˜es que assumem valores
reais ou complexos, ou seja, Y = R ou C = {x+ iy; x, y ∈ R e i = √−1 }.
Alguns tipos gerais de aplicac¸o˜es:
1. Biun´ıvoca, x 6= y ∈ X⇒ f(x) 6= f(y) ∈ f(X).
2. Sobre Y, dado y ∈ Y, existe (ao menos) um x ∈ X tal que f(x) = y. Assim,
f(X) = Y.
3. Correspondeˆncia biun´ıvoca quando e´ biun´ıvoca e sobre.
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 10 Geometria Esfe´rica
2 G.E. parte 1 Um pouco da nomenclatura da Geometria plana
2 G.E. parte 1 Um pouco da nomenclatura da Geometria plana
1) Segmento de reta AB e´ o conjunto de todos os pontos alinhados (colineares)
com A e B e que esta˜o entre A e B.
A B
..
2) Semi-reta
−→
AB e´ o conjunto AB ∪ {pontos P ; B esta´ entre P e A}.
. .
A B
Esse artigo e´
fornecido em
cara´ter pessoal ao
aluno inscrito em
Matema´tica
Especial I,
IME03-1366,
UERJ.
O autor na˜o
autoriza a
transfereˆncia a
terceiros e a
divulgac¸a˜o na
Internet de parte
ou da integra
desse documento
E´ um conjunto com in´ıcio, a origem A, e que se estende infinitamente com uma
determinada orientac¸a˜o (direc¸a˜o, indicac¸a˜o de rumo a seguir, sentido).
3) Reta
←→
AB e´ a reunia˜o
−→
AB ∪ −→BA, conjunto infinito formada de infinitos pontos.
. .
A B
Treˆs pontos sa˜o colineares se ha´ uma reta que os conte´m; sa˜o na˜o colineares se na˜o
esta˜o simultaneamente em uma mesma reta.
4) A intersecc¸a˜o de duas retas e´ um u´nico ponto edetermina um plano. Isto e´, se
retas r e s teˆm ponto comum A, escolha B ∈ r, C ∈ s e o plano que conte´m r e s, o plano
que conte´m A,B e C na˜o colineares, e´ a reunia˜o {retas que passam por A e um ponto de
BC} ∪ {retas que passam por B e um ponto de AC} ∪ {retas que passam por C e um
ponto de AB}.
.
.
.C
A B
Dados uma reta r e um ponto P 6∈ r, existe um u´nico plano Π (pi maiu´sculo, ’P’) que
os conte´m. Duas retas sa˜o paralelas quando sa˜o coplanares (esta˜o em um mesmo plano)
e disjuntas.
Dois planos sa˜o paralelos quando sa˜o disjuntos, infinitos planos paralelos determinam
o espac¸o, muitas vezes denotado pelo s´ımbolo R3, ou V3.
Dados um plano Π e um ponto P 6∈ Π, existe um u´nico plano Σ (sigma maiu´sculo,
’S’) que conte´m P e e´ paralelo a Π.
5) Dadas duas semi-retas
−→
AB e
−→
AC, o plano que as conte´m fica dividido em duas
partes, sendo que a parte convexa e´ chamada aˆngulo e denotado por B̂AC.
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 11 Geometria Esfe´rica
2 G.E. parte 1 Um pouco da nomenclatura da Geometria plana
.
.
.
C
A
B
O ponto A e´ o ve´rtice do aˆngulo, as semi-retas limitantes sa˜o as arestas do aˆngulo.
6) Dados uma reta r e um ponto P 6∈ r, existe uma u´nica reta s que conte´m P e
e´ perpendicular a r, isto e´, ficam definidos quatro aˆngulos retos a partir do ve´rtice
A = r ∩ s, e escreve-se r ⊥A s.
.
.
P
A
s
r
Existem infinitas retas em um plano Π que conteˆm (passam) por um dado P ∈ Π e
diz-se que uma reta r e´ perpendicular a Π por P (escreve-se r ⊥P Π) se for r perpendicular
a duas quaisquer retas s, t ⊂ Π com s ∩ t = P .
P
retarperpendicularaoplano
.
s
t
7) A projec¸a˜o (perpendicular) de uma reta r sobre um plano Π e´ o conjunto de pontos
A′ ∈ Π, tais que ←→AA′ ⊥A′ Π, com A ∈ r.
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 12 Geometria Esfe´rica
2 G.E. parte 1 Um pouco da nomenclatura da Geometria plana 2.1 Enumerac¸a˜o
A
rs
Π
.
A’
.
8) Um triaˆngulo de ve´rtices A,B,C e´ a reunia˜o AB ∪BC ∪ AC.
P
A .
B.
C
.
2.1 Enumerac¸a˜o
1) Imagine pontos em algum conjuto X onde e´ fixada uma unidade de medida de
comprimento, um cent´ımetro (1 cm), um metro (1 m), etc. A cada par de pontos A,B ∈ X,
fica estabelecido un nu´mero real na˜o-negativo que e´ chamado a distaˆncia entre A e B,
ou ainda o comprimento de AB e que deve verificar as seguintes propriedades:
D1. d(A,B) ≥ 0;
D2. d(A,B) = 0 se, e somente se, A = B;
D3. d(A,B) = d(B,A);
D4. d(A,B) ≤ d(A,C) + d(B,C).
Na pra´tica, quando se tratar de pontos em uma reta, em um plano, ou no espac¸o,
podemos imaginar d(A,B) obtido atrave´s de uma re´gua, de uma fita me´trica, ou mesmo
por meio de um raio laser.
2) Em uma reta sa˜o fixados um ponto O, dito a origem da reta, uma unidade de
medida de comprimento (1 cm, 1 m, etc.) e um sentido de movimento, dito sentido
positivo. Para um ponto A da reta que e´ alcanc¸ado a partir de O seguindo o sentido
positivo, define-se a coordenada de A como sendo a distaˆncia de A ate´ O, denotada por
a = d(A,O). E se um ponto B e´ alcanc¸ado a partir de O seguindo o sentido negativo,
define-se a coordenada de B como sendo b = −d(B,O).
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 13 Geometria Esfe´rica
2 G.E. parte 1 Um pouco da nomenclatura da Geometria plana 2.1 Enumerac¸a˜o
Para qualquer par A,B de pontos, com coordenadas a e b, respectivamente, se faz
corresponder exatamente um nu´mero real d(A,B) = |a− b|, chamado a distaˆncia entre
A e B, a distaˆncia de A a B, e que se identifica com o comprimento de AB.
O
b>c>a
C A BD
0 a b-a
.
c
. . . .
Assim, qualquer reta r pode ser identificada com R, basta considerar a func¸a˜o biun´ıvoca
e sobre f : r → R, tal que f(A) = a.
3) Fixados uma reta r e pontos A ∈ r, B 6∈ r, a coordenada da semi-reta −→AB e´
um nu´mero no intervalo fechado [0, 180] ’12’ (obtido pelo instrumento transferidor) e
munido da unidade grau (o). Duas semi-retas
−→
AB,
−→
AC (C 6∈ r), de coordenadas a e b
respectivamente, formam o aˆngulo B̂AC e se associa o nu´mero real |a − b| graus, valor
absoluto da diferenc¸a de coordenadas das semi-retas, chamado a medida de B̂AC.
Esse nu´mero e´ denotado por m(B̂AC) e tambe´m por med(B̂AC). O certo e´ escrever
med(B̂AC) = 60o; na pra´tica, e por abuso de linguagem, pode-se escrever B̂AC = 60o.
r
.
A
.
.
C
B
. .
0º 180º
Mas muito cuidado, observe na figura abaixo que B̂AC e ÊDF medem 45o e assim
pode-se escrever B̂AC = 45o e ÊDF = 45o, o que na˜o significa que B̂AC = ÊDF , pois
os dois aˆngulos sa˜o conjuntos diferentes.
A
D
B
C
E
F
.
.
45º
.
.
45º
12 O s´ımbolo [a, b] indica frequ¨entemente o intervalo fechado de nu´meros reais com extremos a e b, isto
e´, o conjunto de todos os nu´meros reais x, tais que a ≤ x ≤ b
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 14 Geometria Esfe´rica
2 G.E. parte 1 Um pouco da nomenclatura da Geometria plana 2.1 Enumerac¸a˜o
4) O sistema nu´merico associado aos aˆngulos na˜o e´ decimal, mas sim sexagesimal. Isto
significa que 1o (um grau) e´ subdividido em sessenta partes chamadas minuto (′), cada
minuto e´ subdividido em sessenta partes chamadas segundo (′′). Assim,
1o = 60′, 1′ =
1o
60
= 60′′ e 1′′ =
1′
60
=
1o
3600
.
Dado um aˆngulo (nu´mero) medido em graus, podemos explicitar facilmente as sub-
unidades (′) e (′′): basta multiplicar a d´ızima (numeral apo´s v´ırgula) por 60, se o resultado
ainda apresentar d´ızima, essa e´ multiplicada por 60. Mesmo que ainda persista d´ızima,
agora essa e´ mantida.
Assim, por exemplo, 32, 452o e´ igual a 32o +0, 452o = 32o +0, 452.60′ = 32o +27, 12′ =
32o + 27′ + 0, 12′ = 32o + 27′ + 0, 12.60′ = 32o + 27′ + 7, 2′′. Lemos 32 graus, 27 minutos,
7,2 segundos e convenciona-se escrever 32o27′7, 2′′.
Inversamente, 46o58′72′′ e´ igual a 46o + 58′ +
72′′
60
= 46o + 58′ + 1, 2′ = 46o +
59, 2′
60
=
46, 98666... graus.
Outra unidade de aˆngulo e´ o radiano, obtido pela equivaleˆncia entre 360o e a circun-
fereˆncia 2pi de um c´ırculo unita´rio (raio 1); 1 radiano =
360o
2pi
= 57, 29577951...o.
5) As func¸o˜es seno, co-seno e tangente sa˜o muito utilizadas em Geometria esfe´rica e
cada uma delas admite uma func¸a˜o inversa.
A func¸a˜o inversa de seno e´ a func¸a˜o arco seno, que a cada nu´mero x ∈ [−1, 1] (isto
e´, −1 ≤ x ≤ 1) corresponde o nu´mero arcsen x ∈ [−90o, 90o], assim definido:
y = arcsen x⇔ x = sen y ′13′.
Por exemplo, arcsen−0, 5 = −30o porque sen−30o = −0, 5. Outros s´ımbolos para o
arco seno de x e´ sen−1 x e asen x.
A func¸a˜o inversa de co-seno e´ a func¸a˜o arco co-seno, que a cada x ∈ [−1, 1] associa
o nu´mero arccos x ∈ [0, 180o], assim definido:
y = arccos x⇔ x = cos y.
Por exemplo, arccos
√
3
2
= 30o porque cos 30o =
√
3
2
. Outros s´ımbolos para o arco
co-seno de x e´ cos−1 x e acos x.
E a func¸a˜o inversa de tangente e´ a func¸a˜o arco tangente, que para cada x ∈ R faz
corresponder o nu´mero arctg x ∈ [−90o, 90o], assim definido:
y = arctg x⇔ x = tg y.
Outros s´ımbolos para o arco tangente de x e´ tg−1 x e atg x.
13 Imagine que P e Q sa˜o duas frases. O s´ımbolo P ⇒ Q e´ lido ’P implica Q’, e tambe´m ’se P, enta˜o
Q’. Significa que se vale a frase P, enta˜o vale a frase Q.
O s´ımbolo P ⇔ Q e´ lido ’P se, e somente se, Q’, indicando que tanto vale a afirmac¸a˜o P ⇒ Q, quanto
a afirmac¸a˜o rec´ıproca Q ⇒ P
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 15 Geometria Esfe´rica
2 G.E. parte 1 Um pouco da nomenclatura da Geometria plana 2.1 Enumerac¸a˜o
Exerc´ıcio 1. Calcule os arcos inversos (arccos, arcsen e arctg) de x = 0, 15 e x = 0, 3,
respostas explicitando as unidades o, ′ e ′′.
6) A t´ıtulo de curiosidade, seguem algumas relac¸o˜es trigonome´tricas importantes.
• sen2 u+ cos2 u = 1 (1o teorema fundamental da Trigonometria).• 1+tg2 u = sec2 u (2o teorema fundamental da Trigonometria), em que sec u = 1
cos u
.
• sen(u+ v) = senu cos v + cos u sen v.
• sen(u− v) = senu cos v − cos u sen v.
• cos(u+ v) = cos u cos v − senu sen v.
• cos(u− v) = cosu cos v + senu sen v.
• tg(u+ v) = tg u+ tg v
1− tg u tg v .
• tg(u− v) = tg u− tg v
1 + tg u tg v
.
• sen2 u = 1− cos 2u
2
.
• cos2 u = 1 + cos 2u
2
.
Sejam x, y, z os comprimentos das arestas BC,AC e AB, respectivamente; a, b, c as
medidas dos aˆngulos Â, B̂ e Ĉ, respectivamente. Na trigonometria do triaˆngulo, teˆm
destaque as seguintes relac¸o˜es.
• x2 = y2 + z2 − 2yz cos a, y2 = x2 + z2 − 2xz cos b, z2 = x2 + y2 − 2xy cos c (Lei
dos co-senos, tambe´m conhecido como Teorema de al-Kashi).
• x
sen a
=
y
sen b
=
z
sen c
(Lei dos senos, Teorema de Abu l’Wafa).
• A a´rea do triaˆngulo e´ igual a √s(s− x)(s− y)(s− z) (Fo´rmula de Heron), em que
s =
x+ y + z
2
e´ o semi-per´ımetro do triaˆngulo.
7) Uma enorme quantidade de situac¸o˜es estudadas nesse curso faz uso de calculadora
cient´ıfica e surge o problema de arredondamento. Para relacionar as arestas α (alfa, ’a’), β
(beta, ’b’) e γ (gama, ’g’) de um triaˆngulo contido na esfera, usaremos muito a expressa˜o
cosα = cos β cos γ + sen β sen γ cos a
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 16 Geometria Esfe´rica
2 G.E. parte 1 Um pouco da nomenclatura da Geometria plana 2.1 Enumerac¸a˜o
conhecida como 1a fo´rmula fundamental.
Suponha que a = 20o, β = 10o e γ = 30o, quanto vale α com precisa˜o de quatro casas
decimais ? Alguns acham que se pode fazer arredondamentos a cada vez que se usa a
calculadora, vejamos: cosα = cos 10o cos 30o + sen 10o sen 30o cos 20o = 0, 9848. 0, 866 +
0, 1736. 0, 5. 0, 9397 = 0, 9344 e α = 20, 8686o. Sem arredondamento ate´ a resposta,
cosα = 0, 934456487... e α = 20, 85948658... graus. Com quatro casas decimais, α =
20, 8595o e a diferenc¸a 0,0091o parece irriso´ria, mas representa um erro de 1011 metros.
Outra problema, calcular a tal que cos 30o = cos 10o cos 20o + sen 10o sen 20o cos a.
Procedendo-se ao arredontamento em cada ca´lculo, cos a =
0, 866− 0, 9848.0, 9397
0, 1736.0, 342
=
−1, 000764007 e na˜o existe tal nu´mero. Na verdade, sem arredondamento, chega-se facil-
mente a cos a = 1 e a = 0o.
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 17 Geometria Esfe´rica
3 G.E. parte 1 Um pouco de Geometria anal´ıtica
3 G.E. parte 1 Um pouco de Geometria anal´ıtica
O espac¸o cartesiano de dimensa˜o k ∈ N = {1, 2, 3, ..., 10, ...} e´ o conjunto de
pontos, tais que, a cada ponto A, se faz corresponder biunivocamente uma colec¸a˜o de k
nu´meros reais x1, ..., xk. O nu´mero x1 e´ a 1
a coordenada de A, x2 e´ a 2
a coordenada
de A,..., xk e´ a k-e´sima coordenada de A. Nesse ambiente, escrevemos
A = (x1, x2, ..., xk).
.
Ox
A.
1
2
j
Ox
Ox
A
A
A1 2
j .
.
O
.
Cada coordenada e´ obtida por projec¸a˜o perpendicular
de A sobre um eixo (= reta munida de uma origem, de uma
unidade de medida de comprimento e de um sentido positivo
de movimento) e sa˜o considerados k eixos perpendiculares
entre si, chamados eixo-x1 (ou Ox1), eixo-x2 (ou Ox2),...,
eixo-xk (ou Oxk). O ponto comum a todos esses eixos e´ o
ponto O identificado com a k-upla ordenada (0, 0, ..., 0).Esse artigo e´
fornecido em
cara´ter pessoal ao
aluno inscrito em
Matema´tica
Especial I,
IME03-1366,
UERJ.
O autor na˜o
autoriza a
transfereˆncia a
terceiros e a
divulgac¸a˜o na
Internet de parte
ou da integra
desse documento
Assim, a projec¸a˜o de A sobre Oxj define um ponto Aj ∈ Oxj e a j-e´sima coordenada de
A e´ xj = d(O,Aj) = comprimento do segmento OAj, sendo que a coordenada e´ positiva
de acordo com o sentido positivo. Esses eixos e essas coordenadas formam o sistema
cartesiano de coordenadas ’14’ e o ponto O e´ a origem desse sistema.
Porque cada ponto do espac¸o cartesiano de dimensa˜o k e´ representado por k coorde-
nadas reais (= k nu´meros reais), podemos considerar cada ponto como em um produto
cartesiano R×...× R de k fatores iguais a R. Por isso, esse espac¸o e´ denotado por Rk.
Para dar sentido ao sistema de coordenadas, o ponto Aj e´ identificado com a k-upla
ordenada (0, 0, ..., xj , ..., 0), onde todas as coordenadas sa˜o nulas, a` excec¸a˜o da j-e´sima
que vale xj e e´ igual a` distaˆncia de O ate´ Aj. Tambe´m cada eixo identifica-se com a reta
real R = R− ∪{0} ∪ R+, assim, se A e´ projetado na parte R+, teremos xj > 0; se A e´
projetado na parte R−, teremos xj < 0. Isto condiz com um sentido de crescimento em
cada eixo, de modo que −2 significa que Aj dista 2 de O e e´ alcanc¸ado, a partir da origem,
percorrendo o eixo no sentido negativo. E 3 indica que Aj dista 3 de O, sendo alcanc¸ado,
a partir da origem, percorrendo o eixo no sentido positivo.
Aqui nesse curso usar-se-a´ sempre k = 3, pois vivemos em um mundo tridimensional.
Suponha que A e´ projetado sobre eixo−x1, eixo−x2 e eixo−x3, de modo que x1 = 3, x2 =
−5 e x3 = 1. Enta˜o escrevemos A = (3,−5, 1), so´ isso !
Esta˜o estabelecidas as seguintes regras operacionais:
1. P e Q ∈ R3 de coordenadas x1, x2, x3 e y1, y1, y3, respectivamente, sa˜o identificados
se, e somente se, x1 = y1, x2 = y2, x3 = y3;
14 Ide´ia original de Re´ne´ Descartes, 1596-1650, matema´tico e filo´sofo franceˆs, fundador do racionalismo
moderno, cr´ıtico da auseˆncia de fundamentos teo´ricos no ensino de cieˆncias. Publicou Discurso do me´todo
em 1637 com ensaios sobre O´ptica geome´tria e refrac¸a˜o, Meteorologia e, o mais importante, sobre como
ligar a Geometria (cla´ssica) ao Ca´lculo, criando a Geometria anal´ıtica, cieˆncia que estuda a Geometria
euclidiana por meio da associac¸a˜o de equac¸o˜es aos entes geome´tricos e apoiado na Alge´bra linear
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 18 Geometria Esfe´rica
3 G.E. parte 1 Um pouco de Geometria anal´ıtica 3.1 Distaˆncia
2. P e Q sa˜o somados, coordenada a coordenada, e o resultado e´ o ponto P + Q =
(x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3);
3. P pode ser multiplicado por um nu´mero real a ∈ R e o resultado e´ o ponto
aP = (ax1, ax2, ax3).
3.1 Distaˆncia
Motivados pelo importante Teorema de Pita´goras, os matema´ticos definiram uma
maneira muito simples e pra´tica de se medir distaˆncias em R3. A distaˆncia euclidiana
de A = (x1, y1, z1) a B = (x2, y2, z2), tambe´m distaˆncia euclidiana entre A e B, e´ o
comprimento do segmento AB e toma a forma
d(A,B) =
√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2.
Exemplo 1. A distaˆncia entre A = (−1, 5,−4) e B = (6,−4, 9) e´ o nu´mero [(−1− 6)2 +
(5− (−4))2 + (−4− 9)] 12 = √299. C
3.2 Coordenadas polares
A = (x1, y1) no plano R
2 tambe´m pode ser considerado como um par ordenado (r, φ)
de nu´meros, tais que:
1. r e´ a distaˆncia de A ate´ a origem O;
2. φ (phi, ’f’) e´ uma orientac¸a˜o (a partir da semi-reta dos nu´meros reais positivos).
x
f
B
A.
.
.
O
y
Essas coordenadas envolvendo aˆngulos sa˜o as coorde-
nadas polares e muitas vezes sa˜o mais u´teis do que as
coordenadas cartesianas. Os dois tipos de coordenadas, o
cartesiano e o polar, sa˜o facilmente intercambia´veis.
Projeta-se ortogonalmente A = (x1, y1) sobre o eixo Ox,
o que determina B = (x1, 0).
No triaˆngulo retaˆngulo ABO, tem-se cosφ =
x1
r
, senφ =
y1
r
e x21 + y
2
1 = (r cosφ)
2 + (r senφ)2 =
r2(cos2 φ+ sen2 φ) = r2. Assim:
1. (r, φ)⇒ x1 = x1(r, φ) = r cosφ e y1 = y1(r, φ) = r senφ;
2. (x1, y1)⇒ r = r(x1, y1) =
√
x21 + y
2
1 e φ = φ(x1, y1) = arctg
y1
x1
, desde que x 6= 0.
Portanto, os pares (x, y) e (
√
x2 + y2, arctg
y
x
) representam o mesmo ponto, cada um
no respectivo sistema de coordenadas.
Exemplo 2. Encontrar as coordenadas polares do ponto (−1,√3).
Tem-se
√
(−1)2 + (√3)2 = 2 6= 0, assim podemos calcular o aˆngulo entre Ox e o segmento
de reta que liga 0 com o ponto. Pelo vistoacima, tgα = −√3 implica em α = 60o e
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 19 Geometria Esfe´rica
3 G.E. parte 1 Um pouco de Geometria anal´ıtica 3.2 Coordenadas polares
φ = 180o − α = 120o. Em consequ¨eˆncia, o ponto tem coordenadas cartesianas (−1,√3) e
coordenadas polares (2, 120o). C
Exerc´ıcio 2. Encontre as coordenadas cartesianas do ponto cujas coordenadas polares
sa˜o (4, 135o).
A = (x1, y1, z1) no espac¸o R
3 tambe´m e´ uma tripla ordenada (r, φ, θ) de nu´meros, tais
que:
1. r e´ o comprimento de OA;
2. φ e´ uma orientac¸a˜o no plano Oxy a partir do semi-eixo Ox+;
3. θ (te´ta: ’q’) e´ uma orientac¸a˜o em R3 a partir da horizontal, do plano Oxy.
Projeta-se A sobre o plano Oxy, o que determina B = (x1, y1, 0).
x
f
q
B
A.
.
y
z
Enta˜o φ e´ o aˆngulo entre Ox e OB, θ e´ o aˆngulo entre OA e OB.
Como antes, a passagem de coordenadas retangulares para polares e´ facilmente deter-
minada: cosφ =
x1
d(O,B)
=
x1√
x21 + y
2
1
, senφ =
y1
d(O,B)
=
y1√
x21 + y
2
1
, cos θ =
d(O,B)
r
=√
x21 + y
2
1√
x21 + y
2
1 + z
2
1
e sen θ =
z1
r
=
z1√
x21 + y
2
1 + z
2
1
. Assim:
1. (r, φ, θ) ⇒ x1 = x1(r, φ, θ) = d(O,B) cosφ = r cosφ cos θ, y1 = y1(r, φ, θ) =
d(O,B) senφ = r senφ cos θ e z1 = z1(r, φ, θ) = r sen θ.
Assim, (x, y, z) = r(cosφ cos θ, senφ cos θ, sen θ).
2. (x, y, z) ⇒ r = r(x, y, z) =
√
x2 + y2 + z2, φ = φ(x, y, z) = arctg
y
x
e θ =
θ(x, y, z) = arctg
z√
x2 + y2
.
Portanto, os ternos ordenados (x, y, z), (r cosφ cos θ, r senφ cos θ, r sen θ) e
(
√
x2 + y2 + z2, arctg
y
x
arctg
z√
x2 + y2
) representam o mesmo ponto, cada um no sem
pro´prio sistema de coordenadas.
A segunda coordenada polar e´ tambe´m conhecida por longitude, e a terceira coorde-
nada e´ tambe´m chamada latitude. Retornaremos a`s coordenadas polares durante o estudo
de esferas.
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 20 Geometria Esfe´rica
3 G.E. parte 1 Um pouco de Geometria anal´ıtica 3.3 Vetores
Exerc´ıcio 3. Encontre as coordenadas cartesianas do ponto de coordenadas polares
(6, 135o, 45o).
3.3 Vetores
O segmento de reta desenhado de um ponto A para outro B e´ chamado segmento
orientado (A,B), sendo que A e´ sua origem e B e´ sua extremidade.
Diz-se que (C,D) e´ equipolente a (A,B), que ’e´ uma co´pia de’ (A,B), quando:
(1) AB e CD sa˜o paralelos, isto e´, teˆm mesma direc¸a˜o,
(2) AC e BD na˜o teˆm ponto comum, isto e´, AB e CD teˆm mesmo sentido,
(3) d(A,B) = d(C,D), isto e´, AB e CD teˆm mesmo comprimento.
O vetor
−→
AB e´ o conjunto formado por (A,B) e todos os segmentos equipolentes a
(A,B), ou seja, imaginamos
−→
AB como formado por todas as co´pias de (A,B).
vetor AB
A
B
.
.
X
Y
.
D
C
.
.
.
A ide´ia de vetor surgiu da necessidade de se considerar (A,B) onde for necessa´rio, se
na˜o esta´ no local ideal para um determinado estudo, troque-o por um segmento equipo-
lente no local ideal.
Muitas vezes na˜o e´ de interesse destacar qualquer segmento orientado para indicar um
vetor, usamos enta˜o letras minu´sculas com uma seta superior tal como −→a ,−→b ,−→v , etc.
v
E´ muito comum ver em textos cient´ıficos a ilustrac¸a˜o que deve
ser interpretada com cuidado: o s´ımbolo −→v ao lado do segmento
orientado (flecha) esta´ somente nos lembrando que esse segmento
orientado e´ um dos infinitos segmentos orientados que formam o vetor. Na˜o e´ o vetor
propriamente dito ! Bem ao contra´rio do que muitos acham, na˜o podemos desenhar
vetor simplesmente porque vetor na˜o e´ um segmento de reta.−→u e −→v sa˜o paralelos quando os segmentos orientados de um sa˜o paralelos aos seg-
mentos orientados do outro, nesse caso se escreve −→u ‖ −→v . E os vetores sa˜o ortogonais
quando os segmentos orientados de um sa˜o ortogonais (formam 90◦) aos segmentos orien-
tados do outro, nesse caso se escreve −→u ⊥ −→v .
A norma de
−→
AB e´ o comprimento do segmento geome´trico AB e e´ denotado por |−→AB|.
Assim, |−→v | = 3 significa que −→v e´ formado por uma infinidade de segmentos orientados
todos medindo 3.
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 21 Geometria Esfe´rica
3 G.E. parte 1 Um pouco de Geometria anal´ıtica 3.4 Operac¸o˜es com vetores
3.4 Operac¸o˜es com vetores
Ja´ vimos no in´ıcio desse cap´ıtulo 3 como se pode associar treˆs coordenadas cartesianas
a um ponto em R3. Qualquer vetor pode tambe´m ser associado biunivocamente a treˆs
nu´meros reais. Geometricamente, isso e´ feito assim: estando fixados os eixos Ox e Oy
horizontais e o eixo Oz vertical, tomamos um segmento orientado contido em −→v , de
origem A = (x1, y1, z1) e extremidade B = (x2, y2, z2), e enta˜o
−→v = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1).
E se for considerado outro segmento orientado em −→v , com origem C = (x3, y3, z3) e
extremidade D = (x4, y4, z4), enta˜o
−→v = (x4 − x3, y4 − y3, z4 − z3) = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1).
Exemplo 3. Os segmentos orientados (A,B) e (C,D), comA = (1, 2, 3), B = (5, 3, 1), C =
(−2, 1, 4) e D = (2, 2, 2), pertencem ao vetor −→v = (5 − 1, 3 − 2, 1 − 3) = (4, 1,−2),
obtido com as coordenadas de A e de B. Se usarmos as de C e D, tem-se −→v =
(2− (−2), 2− 1, 2− 4) = (4, 1,−2). C
Soma de vetores
A soma de−→a = (x1, y1, z1) e−→b = (x2, y2, z2) e´ o vetor−→a +−→b = (x1+x2, y1+y2, z1+z2),
e valem as seguintes propriedades:
1. (−→a +−→b ) +−→c = −→a + (−→b +−→c );
2. −→a +−→b = −→b +−→a ;
3. −→a + (−−→a ) = −→0 , de modo que −−→a = (−x1,−y1,−z1).
Exemplo 4. Suponha −→a = (3, 2,−1),−→b = (−2, 2, 1) e −→c = (6, 0, 2).
−→a + −→b = (3, 2,−1) + (−2, 2, 1) = (1, 4, 0) e (−→a + −→b ) + −→c = [(3, 2,−1) + (−2, 2, 1)] +
(6, 0, 2) = (1, 4, 0)+(6, 0, 2) = (7, 4, 2) e −→a +(−→b +−→c ) = (3, 2,−1)+[(−2, 2, 1)+(6, 0, 2)] =
(3, 2,−1) + (4, 2, 3) = (7, 4, 2).
−−→a = −(3, 2,−1) = (−3,−2, 1). C
Diferenc¸a de vetores
A diferenc¸a entre −→a = (x1, y1, z1) e −→b = (x2, y2, z2) e´ o vetor −→a −−→b = −→a + (−−→b ) =
(x1 − x2, y1 − y2, z1 − z2).
Exemplo 5. Sejam −→a = (1, 1, 1) e −→b = (7, 5, 3).
−→a −−→b = (1, 1, 1)−(7, 5, 3) = (−6,−4,−2). E −→b +−→c = −→0 implica que (7, 5, 3)+(x, y, z) =
(0, 0, 0) e (7 + x, 5 + y, 3 + z) = (0, 0, 0), logo x = −7, y = −5, z = −3. De fato,
−→c = (−7,−5,−3) = −−→b . C
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 22 Geometria Esfe´rica
3 G.E. parte 1 Um pouco de Geometria anal´ıtica 3.4 Operac¸o˜es com vetores
Norma de vetor
Visto que os eixos coordenados Ox,Oy,Oz sa˜o perpendiculares entre si, a norma de−→a = (x, y, z) e´ o nu´mero |−→a | =
√
x2 + y2 + z2.
E se −→a = −→AB, com A = (x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2) 6= O, enta˜o |−→a | = |−−→OB − −→OA| =
|(x2, y2, z2)− (x1, y1, z1)| =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2.
Quando dois vetores sa˜o ortogonais, vale |−→a +−→b |2 = |−→a |2 + |−→b |2.
Exemplo 6. −→a = (4, 3, 1) tem norma √42 + 32 + 12 = √26. C
Produto de nu´mero real por vetor
O produto de x ∈ R por −→a = (x1, y1, z1) e´ o vetor x−→a = (xx1, xy1, xz1), e valem as
seguintes propriedades:
1. |x−→a | = |x||−→a |, isto e´, todos os segmentos orientados que pertencem a x−→a sa˜o
paralelos aos segmentos orientados de −→a , mas medindo o comprimento de qualquer um
desses multiplicado por |x|;
2. x−→a e −→a sa˜o de mesma direc¸a˜o e mesmo sentido se x > 0; e sa˜o de mesma direc¸a˜o
e sentido contra´rio se x < 0. Assim, a multiplicac¸a˜o de um vetor por um escalar negativo
implica que todos os segmentos orientados do vetor teˆm o sentido inicial invertido (rotac¸a˜o
de 180o).
4. x(y−→a ) = (x.y)−→a ;
5. x−→a + y−→a = (x+ y)−→a ;
6. x−→a + x−→b = x(−→a +−→b );
7. 0−→a = x−→0 = −→0 .
Exemplo 7. Considere −→a = (10,−1, 1) e −→b = (3, 2, 5). Temos |−→a | = √102, 3−→a =
3(10,−1, 1) = (30,−3, 3),−2−→b = −2(3, 2, 5) = (−6,−4,−10), 3−→a +2−→a = 3(10,−1, 1)+
2(10,−1, 1) = (50,−5, 5) = 5−→a . E 4−→a + 4−→b = 4(10,−1, 1) + 4(3, 2, 5) = (52, 4, 24) =
4(13, 1,6) = 4(−→a +−→b ). C
Soma de ponto com vetor
A soma de A = (x1, y1, z1) e
−→v = (x2, y2, z2) e´ o ponto B = A + −→v = (x1 + x2, y1 +
y2, z1 + z2) que se identifica com a extremidade de (A,B) pertencente a
−→v , e valem as
seguintes propriedades:
1. (A+−→u ) +−→v = A+ (−→u +−→v );
2. A+−→u = A+−→v ⇒ −→u = −→v ;
3. A+−→v = B +−→v ⇒ A = B;
4. (A−−→v ) +−→v = A.
Exemplo 8. Sejam A = (3,−1,−1),−→u = (2, 1, 2) e −→v = (3, 9, 2). Enta˜o A + −→u =
(3,−1,−1) + (2, 1, 2) = (5, 0, 1) e (A+ −→u ) +−→v = (5, 0, 1) + (3, 9, 2) = (8, 9, 3). C
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 23 Geometria Esfe´rica
3 G.E. parte 1 Um pouco de Geometria anal´ıtica 3.4 Operac¸o˜es com vetores
Produto interno
O produto interno de −→a = (x1, y1, z1) por −→b = (x2, y2, z2) e´ denotado pelo s´ımbolo
−→a .−→b e corresponde ao nu´mero |−→a ||−→b | cosα , em que α e´ o aˆngulo formado por −→a e −→b .
Prova-se que e´ igual tambe´m a x1x2 + y1y2 + z1z2 e valem as seguintes propriedades:
1. Se −→a e −→b sa˜o na˜o nulos, enta˜o −→a ⊥ −→b ⇔ −→a .−→b = 0;
2. −→a .−→b = −→b .−→a ;
3. k−→a .−→b = k−→a .−→b = −→a .k−→b ,∀k ∈ R;
4. (−→a +−→b ).−→c = −→a .−→c +−→b .−→c e −→a .(−→b +−→c ) = −→a .−→b +−→a .−→c .
Exemplo 9. Se |−→a | = 4, |−→b | = 3 e cosα = 0, 5, enta˜o −→a .−→b = 4.3.0, 5 = 6. C
Exemplo 10. Considere −→a = (5, 4, 1) e −→b = (−1, 1, 2). O produto interno e´ −→a .−→b =
5(−1)+4.1+1.2 = 1 e tambe´m |−→a ||−→b | cosα = √42√6 cosα, logo cosα = 1√
42
√
6
implica
em α = 86, 3883◦. E −→a .5−→b = (5, 4, 1).(−5, 5, 10) = −25 + 20 + 10 = 5 = 5 −→a .−→b . Sendo
−→c = (2, 3,−2), tem-se (−→a +−→b ).−→c = [(5, 4, 1)+(−1, 1, 2)].(2, 3,−2) = (4, 5, 3).(2, 3,−2) =
4.2 + 5.3 + 3.(−2) = 17. E −→a .−→c + −→b .−→c = (5, 4, 1).(2, 3,−2) + (−1, 1, 2).(2, 3,−2) =
20− 3 = 17. C
Produto vetorial
O produto vetorial de −→a = (x1, y1, z1) por −→b = (x2, y2, z2) e´ denotado pelo s´ımbolo−→a ∧ −→b e corresponde ao vetor (y1z2 − z1y2,−(x1z2 − z1x2), x1y2 − y1x2) . Valem as
seguintes propriedades:
1. |−→a ∧ −→b | = |−→a ||−→b | senα, em que α e´ o aˆngulo formado por −→a e −→b ;
2. −→a ∧ −→b ⊥ −→a e −→a ∧ −→b ⊥ −→b ;
3. −→a ,−→b e −→a ∧ −→b verificam a regra˜o da ma˜o direita.
ea
bÁrea|???|
c=xa+yb+za vb
va b
va b
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 24 Geometria Esfe´rica
3 G.E. parte 1 Um pouco de Geometria anal´ıtica 3.4 Operac¸o˜es com vetores
Valem mais algumas propriedades:
1. −→a ∧ −→b = −→0 se, e somente se, (1) ao menos um dos vetores e´ nulo ou (2) se sa˜o
colineares;
2. −→a ∧ −→b = −−→b ∧ −→a ;
3. k−→a ∧ −→b = −→a ∧ k−→b = k−→a ∧ −→b ;
4. −→a ∧ (−→b +−→c ) = −→a ∧ −→b +−→a ∧ −→c e (−→a +−→b ) ∧ −→c = −→a ∧ −→c +−→b ∧ −→c .
Exemplo 11. Vamos trabalhar com −→a = (3,−2, 2) e −→b = (1, 5, 5). O produto vetorial
e´ −→a ∧ −→b = (−2.5 − 2.5,−(3.5 − 2.1), 3.5 − (−2).1) = (−20,−13, 17). Verificando a
ortogonalidade dele com relac¸a˜o a −→a e −→b : (−→a ∧ −→b ).−→a = (−20,−13, 17).(3,−2, 2) =
−60+26+34 = 0 e (−→a ∧−→b ).−→b = (−20,−13, 17).(1, 5, 5) = −20−65+85 = 0. Note que−→
b ∧ −→a = (5.2 − 5.(−2),−(1.2 − 5.3), 1(−2) − 5.3) = (20, 13,−17) = −(−20,−13, 17) =
−−→b ∧−→a . Tem-se −→a ∧ 3−→b = (3,−2, 2)∧ (3, 15, 15) = (−2.15− 2.15,−(3.15− 2.3), 3.15−
(−2).3) = (−60,−39, 51) = 3(−20,−13, 17) = 3 −→a ∧ −→b . Sendo −→c = (4, 4, 2), enta˜o −→a ∧
(
−→
b +−→c ) = (3,−2, 2)∧ (5, 9, 7) = (−2.7−2.9,−(3.7−2.5), 3.9− (−2).5) = (−32,−11, 37)
e −→a ∧ −→b +−→a ∧ −→c = (−20,−13, 17) + (−12, 2, 20) = (−32,−11, 37). C
Mais algumas situac¸o˜es
Exemplo 12. −→v = (1, 4,−5) diz que os segmentos orientados que formam −→v sa˜o parale-
los, de mesmo sentido e comprimento relativamente aquele segmento orientado que tem
origem O = (0, 0, 0) e extremidade P = (1, 4,−5). Claro que −→OP = (1, 4,−5) = −→v . C
Exemplo 13. Sendo A = (4, 2, 1) e B = (−2,−3, 5), enta˜o −→AB = (−6,−5, 4). E se C =
(1,−3, 7), quais as coordenadas de D, de sorte que −−→CD = −→AB ? Escrevemos D = (x, y, z)
e ocorre de
−−→
CD = (x− 1, y − (−3), z − 7) = (−6,−5, 4) e assim D = (−5,−8, 11). C
Exemplo 14. Sejam A = (3, 4, 2) e B = (−2, 6, 1). No caso dos vetores com origem em
O = (0, 0, 0), temos
−→
OA = (3, 4, 2) e
−−→
OB = (−2, 6, 1). Quanto a −→AB, e´ igual ao vetor−−→
OB −−→OA = (−2, 6, 1)− (3, 4, 2) = (−5, 2,−1). C
Exemplo 15. SupondoA eB do exemplo precedente, 4
−→
AB = 4(−5, 2,−1) = (−20, 8,−4),
−1
3
−→
AB = −1
3
(−5, 2,−1) = (5
3
,−2
3
,
1
3
). C
Exemplo 16. Se −→w = (1, 2, 6) e 3−→v = −→w , enta˜o −→v = 1
3
(1, 2, 6) = (
1
3
,
2
3
, 2). C
Exemplo 17. Resolva a equac¸a˜o vetorial 3−→u + 2(−→v +−→w ) = 5(−→w −−→v ) na inco´gnita −→w .
O objetivo e´ bem simples, aplicar propriedades operacionais a fim de isolar −→w na equac¸a˜o.
Com isso em mente, 3−→u + 2(−→v + −→w ) = 5(−→w − −→v ) ⇒ 3−→u + 2−→v + 2−→w = 5−→w − 5−→v ⇒
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 25 Geometria Esfe´rica
3 G.E. parte 1 Um pouco de Geometria anal´ıtica 3.4 Operac¸o˜es com vetores
3−→u + 2−→v + 2−→w + (−2−→w ) = 5−→w − 5−→v + (−2−→w )⇒ 3−→u + 2−→v +−→0 = 5−→w − 2−→w − 5−→v ⇒
3−→u + 2−→v = 3−→w − 5−→v ⇒ 3−→u + 2−→v + 5−→v = 3−→w − 5−→v + 5−→v ⇒ 3−→u + 7−→v = 3−→w +−→0 ⇒
1
3
(3−→w ) = 1
3
(3−→u + 7−→v )⇒ 1−→w = 1−→u + 7
3
−→v e −→w = −→u + 7
3
−→v . C
Exemplo 18. Resolva o sistema de equac¸o˜es vetoriais nas inco´gnitas −→x e −→y .
−→x − 3−→y = −10−→v
−→x +−→y = 7−→u − 6−→v
1o me´todo. Isolar uma das inco´gnitas em uma das equac¸o˜es e substitui-la na outra
equac¸a˜o. Vamos isolar −→x em −→x − 3−→y = −10−→v : −→x − 3−→y + 3−→y = −10−→v + 3−→y ⇒−→x + −→0 = −→x = −10−→v + 3−→y . Substitu´ındo −→x por −10−→v + 3−→y na segunda equac¸a˜o,
(−10−→v + 3−→y ) +−→y = 7−→u − 6−→v ⇒ −10−→v + 4−→y = 7−→u − 6−→v ⇒ −10−→v + 4−→y + 10−→v =
7−→u − 6−→v + 10−→v ⇒ −10−→v + 10−→v + 4−→y = 7−→u + 4−→v ⇒ −→0 + 4−→y = 7−→u + 4−→v ⇒ 1
4
4−→y =
1
4
(7−→u +4−→v )⇒ 1−→y = 7
4
−→u +1−→v e enta˜o −→y = 7
4
−→u +−→v . Por fim substitua −→y por 7
4
−→u +−→v
em −→x = −10−→v + 3−→y , ou seja, −→x = −10−→v + 3(7
4
−→u + −→v ) = −10−→v + 21
4
−→u + 3−→v =
21
4
−→u −10−→v +3−→v = 21
4
−→u −7−→v . Portanto, a resposta e´ −→x = 21
4
−→u −7−→v e −→y = 7
4
−→u +−→v .
2o me´todo. Multiplique os membros de uma das equac¸o˜es por um dado nu´mero e depois
some ambas equac¸o˜es, membro a membro. Por exemplo, multiplicando a primeira equac¸a˜o
por −1, teremos
{
−−→x + 3−→y = 10−→v
−→x +−→y = 7−→u − 6−→v ⇒ −
−→x +−→x + 3−→y +−→y = 10−→v + 7−→u − 6−→v ⇒
−→
0 + 4−→y = 7−→u + 10−→v − 6−→v ⇒ 4−→y = 7−→u + 4−→v ⇒ 1
4
4−→y = 1
4
(7−→u + 4−→v ) ⇒ 1−→y =
7
4
−→u + 1−→v ⇒ −→y = 7
4
−→u + −→v . Agora, substitua −→y por 7
4
−→u + −→v em qualquer uma das
duas equac¸o˜es originais e resolva com antes. Outra opc¸a˜o e´ multiplicar a 2a equac¸a˜o por
3, somar as equac¸o˜es e proceder como acima. C
Exemplo 19. Se A = (−3,−2,−1) e B = (4,−7, 5), tem-se |−→AB| = [(4− (−3))2 +(−7−
(−2))2 + (5− (−1))2] 12 = √110. C
Exemplo 20. Sejam −→u = (4, 4,−20) e −→v = (−1, 1, 5), tais que −→u = a−→v . Enta˜o
a = ±|
−→u |
|−→v | =
√
432√
27
= ±4. Teste mostra que a = −4. C
Exemplo 21. Dados −→a = (2,−7, 3),−→b = (−5, 1, 1), tem-se −→a .−→b = 2.(−5) + (−7).1 +
3.1 = −14. Essa informac¸a˜o por si so´ e´ pouco valiosa, mas e´ essencial no estudo do aˆngulo
formado pelos vetores. De fato, −→a .−→b = |−→a ||−→b | cosα = x1x2 + y1y2 + z1z2 implica em
α = arccos
x1x2 + y1y2 + z1z2√
x21 + y
2
1 + z
2
1
√
x22 + y
2
2 + z
2
2
.
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 26 Geometria Esfe´rica
3 G.E. parte 1 Um pouco de Geometria anal´ıtica 3.4 Operac¸o˜es com vetores
Os vetores (2,−7, 3), (−5, 1, 1) formam aˆngulo igual a arccos− 14√
62
√
27
= 110, 01o. C
Exemplo 22. Determine o aˆngulo que −→a = (3,−6, 2) forma com os eixos coordenados.
Vamos denotar por φ1 o aˆngulo entre
−→a e −→e1 = (1, 0, 0) (esta´ em Ox),por φ2 o aˆngulo
entre −→a e −→e2 = (0, 1, 0) (esse em Oy) e por φ3 o aˆngulo entre −→a e −→e3 = (0, 0, 1) (contido
em Oz). Assim, −→a .−→e1 = 7 cosφ1 = 3 implica cosφ1 = 3
7
, φ1 = 64, 6231
o. Analogamente,
−→a .−→e2 = 7 cosφ2 = −6 implica cosφ2 = −6
7
e φ2 = 148, 9973
o, e −→a .−→e3 = 7 cosφ3 = 2
implica cosφ3 =
2
7
e φ3 = 73, 3985
o. C
Exerc´ıcio 4. Os vetores −→a = (2,−2, 1) e −→b = (1, 2, 2) sa˜o ortogonais.
Exemplo 23. O produto −→a ∧ −→b se for −→a = (2, 3,−1) e −→b = (1, 2, 1) e´ −→a ∧ −→b =
(3.1− (−1).2,−(2.1− (−1).1), 2.2− 3.1) = (5,−3, 1). C
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 27 Geometria Esfe´rica
4 G.E. parte 2 C´ırculos
4 G.E. parte 2 C´ırculos
Considerando um ponto S em um plano Π (pode-se pensar Π como sendo R2), o
c´ırculo de centro S e raio r e´ o conjunto dos pontos de Π cuja distaˆncia de S e´ igual a r,
em s´ımbolo S1(S; r) = {X ∈ Π; d(X,S) = r} = {X ∈ Π; |−→XS| = r}. Com a distaˆncia
euclidiana, c´ırculos teˆm a forma esperada, aquela que se obte´m via compasso.
Se S = (x0, y0), enta˜o um ponto X = (x, y) ∈ S1 verifica (x− x0)2 + (y − y0)2 = r2 ,
que e´ equac¸a˜o geral do c´ırculo de centro (x0, y0) e raio r.
Exemplo 24. A equac¸a˜o do c´ırculo de centro (−2, 3) e que passa pelo ponto (4, 5).
A distaˆncia entre esses pontos e´ r =
√
(4− (−2))2 + (5− 3)2 = √36 + 4 = √40, logo a
equac¸a˜o do c´ırculo e´ (x+ 2)2 + (y − 3)2 = 40. C
(-2,3)
(4,5)
.
.
Ox
Oy
Esse artigo e´
fornecido em
cara´ter pessoal ao
aluno inscrito em
Matema´tica
Especial I,
IME03-1366,
UERJ.
O autor na˜o
autoriza a
transfereˆncia a
terceiros e a
divulgac¸a˜o na
Internet de parte
ou da integra
desse documento
O conceito de vetor tangente a um c´ırculo e a` uma esfera e´ muito u´til em certas
situac¸o˜es e esta´ associado ao conceito anterior de reta tangente a` uma curva, isto e´, ao
fato (local) de uma reta tocar uma dada curva em um u´nico ponto. Vamos ver.
f?a
gráficodef
a
a = f’atg (?)
a x
(?)
f?x(?)
dx
dy
yD
}
}
}
0,b(??)
.
.
A derivada de uma func¸a˜o f : X ⊆ R → R
avaliada em um ponto a ∈ X nada mais e´ do que
o coeficiente angular da reta tangente a G(f)
em (a, f(a)), isto e´, a reta que tangencia G(f) em
(a, f(a)) tem equac¸a˜o y = f ′(a)x+ b, em que b e´ o
coeficiente linear da reta, ou seja, o ponto intersec¸a˜o
entre a reta e Oy tem coordenadas (0, b).
Define-se a diferencial de x em a como dx = x−
a. A passagem de x para a faz com que (x, f(x)) ∈
G(f) passe para (a, f(a)) ∈ G(f).
Assim, a reta tangente sobre ou desce dy =
f ′(a)dx = f ′(a)(x − a), em que dy e´ a diferencial
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 28 Geometria Esfe´rica
4 G.E. parte 2 C´ırculos
de y em a. Ja´ o gra´fico de f sobre ou desce ∆y = f(x)− f(a), em que ∆y e´ o incremento
de y em a. Claro que ∆y 6= dy, mas se dx ≈ 0, enta˜o ∆y ≈ dy.
Exemplo 25. Func¸a˜o f : R→ R definida por f(x) = x3 + 3x2 − x− 7.
A reta que passa pelo ponto (2, f(2)) = (2, 11) tem coeficiente angular f ′(2) = (3x2 +
6x − 1)|x=2 = 23 = tgα, logo esta´ inclinada de α = arctg 23 = 87, 51o. A equac¸a˜o
ponto-coeficiente angular de uma reta e´
y − y0 = m(x− x0),
em que (x0, y0) e´ um ponto conhecido dela e m e´ seu coeficiente angular. Assim, y− 11 =
23(x − 2) leva a y = 23x − 35, que e´ a equac¸a˜o geral da reta tangente ao gra´fico de f
no ponto (2, 11). C
Exemplo 26. Determinar o coeficiente angular das retas tangentes ao c´ırculo de equac¸a˜o
(x+ 2)2 + (y − 3)2 = 40 nos pontos (4, 5), (−2 +√40, 3) e (−2, 3−√40).
Na˜o existe uma u´nica func¸a˜o f : R→ R cujo gra´fico seja esse c´ırculo (ou qualquer outro),
mas se pode definir duas func¸o˜es:
• f1 : (−2−
√
40,−2 +√40) ⊂ R→ R;
x 7→ f1(x) = 3 +
√
40− (x+ 2)2
• f2 : (−2−
√
40,−2 +√40) ⊂ R→ R .
x 7→ f2(x) = 3−
√
40− (x+ 2)2
Essas coincidem (f1 = f2) nos extremos (−2 −
√
40, 3) e (−2 + √40, 3) do diaˆmetro
horizontal. O semi-c´ırculo superior e´ igual a G(f1), o semi-c´ırculo inferior e´ G(f2). A
func¸a˜o f1 tem derivada f
′
1(x) = −
x+ 2√
40− (x+ 2)2 , enquanto que f2 tem derivada f
′
2(x) =
x+ 2√
40− (x+ 2)2 , ambas na˜o definidas nos pontos (−2 −
√
40, 3) e (−2 + √40, 3), isto e´,
nesses pontos encontramos f ′1, f
′
2 = +∞.
Ponto (4, 5): o coeficiente angular e´ f ′1(4) = −3 (inclinac¸a˜o de −71, 5651o) e a reta t tem
equac¸a˜o y = −3x+ 17. Vamos testar a tangeˆncia por dois me´todos, (1) usando t e a reta
r que passa por (−2, 3) e (4, 5), (2) usando um vetor −→t em t, com ponto inicial em (4, 5),
e o chamado vetor raio −→r , de (−2, 3) ate´ (4, 5).
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 29 Geometria Esfe´rica
4 G.E. parte 2 C´ırculos
r
t
x
y
(-2,3)
.
(4,5)
.
(1) A Geometria anal´ıtica nos ensina que uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que
uma reta r de coeficiente angular mr seja perpendicular a` outra t, coeficiente mt, e´ que
mr.mt = −1. E´ evidente que mr = 1
3
e que
1
3
(−3) = −1.
(2) A Geometria euclidiana tambe´m ensina que outra condic¸a˜o necessa´ria e suficiente
para t tangente e´ que essa seja perpendicular ao raio que conte´m o ponto de tangeˆncia.
Precisa-se enta˜o de um A ∈ t, digamos A = (2, 11). Seja −→t = (2, 11) − (4, 5) = (−2, 6).
Claro que −→r = (4, 5)− (−2, 3) = (6, 2) e −→r .−→t = 0.
Ponto (−2+√40, 3): lim
x→−2+
√
40
f ′1(x) = +∞ indica que a inclinac¸a˜o de t e´ igual a 90o. De
outro modo, e´ bem evidente que −→r e´ horizontal, logo −→t e´ vertical.
Ponto (−2, 3−√40): f ′2(−2) = 0 e t e´ horizontal. C
Exerc´ıcio 5. Considere, pois de fato e´ isso mesmo, que cada ponto de S1(S; 3), S =
(3,−4), e´ a extremidade de um segmento orientado com origem em O. Qual e´ o ponto
sobre S1 mais pro´ximo de O, qual e´ o ponto mais afastado, respostas em coordenadas
cartesianas.
Exemplo 27. Considere P = (2, 4,−1) e S1(S; 3) horizontal, S = (6,−1, 1). Mostre que
por P na˜o ha´ reta algum que cruza com S1 em dois pontos. Descreva {a−−→PX, com X ∈
S1}.
Qualquer ponto X sobre S1 verifica (x − 6)2 + (y + 1)2 = 9 e tem cota 1. Como P tem
cota −1, as retas por P na˜o podem interceptam S1 de modo secante. Por outro lado,
a
−−→
PX = a(x − 2, y − 4, 2), com a percorrendo R, descreve a reta que passa por P e X, e
como nos ensina a Geometria anal´ıtica, a reunia˜o de infinitas retas por um ponto dado e
por uma curva dada e´ uma superf´ıcie coˆnica. C
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 30 Geometria Esfe´rica
4 G.E. parte 2 C´ırculos 4.1 Comprimento de arcos de c´ırculo
4.1 Comprimento de arcos de c´ırculo
Considerando-se um ponto S em um plano Π, o c´ırculo de centro S e raio r e´ o
conjunto S1(S; r) dos pontos de Π cuja distaˆncia de S e´ igual a r. Toda reta em Π que
passa pelo centro do c´ırculo, o intercepta em dois pontos A e B, assim AB e´ um diaˆmetro,
AS e BS sa˜o dois raios.
P
S
.
A
.
B
. t
A reta t em Π que intercepta o c´ırculo apenas em A e´ a reta tangente ao c´ırculo em
A e tem-se t ⊥A AS. Tambe´m se pode dizer que o c´ırculo e´ tangente a` reta em A.
Pontos A e B formam raios AS e BS que determinam dois aˆngulos no c´ırculo, o aˆngulo
menor ÂSB e´ o aˆngulo central do arco
_
AB.
A B
Arcomenor
Arcomaior
Ângulocentral
S
A medida de
_
AB e´ igual a` medida de ÂSB, mas tambe´m e´ igual a` distaˆncia entre
A e B ao longo do menor arco desde A ate´ B.
A medida de
_
AB e´ diretamente proporcional a` medida do aˆngulo central α que o
define, assim como a circunfereˆncia e´ igual a 2pir. Logo,
_
AB mede α graus e tambe´m
mede
2pirα
360o
=
pirα
180o
. Isto quer dizer que para arcos de c´ırculos existem duas maneiras
diferentes de medic¸a˜o, uma angular (α graus), outra linear (
pirα
180o
).
Embora α e
pirα
180o
sejam nu´meros de natureza diferente, diz-se que α corresponde a
pirα
180o
. Cuidado, corresponde 6= igual.A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 31 Geometria Esfe´rica
4 G.E. parte 2 C´ırculos 4.2 Parametrizac¸a˜o de c´ırculos
Por exemplo, se r = 3 cm e ÂSB = 50o, enta˜o
_
AB mede 50o e tambe´m mede
5pi
6
cm.
E´ comum dizer ’o arco
_
AB tem medida α’, ’o arco
_
AB mede α’, ’α e´ a medida de
_
AB’.
Denota-se a medida de
_
AB por m(
_
AB) e tambe´m por med(
_
AB). Em teoria, escreve-se
med(
_
AB) = 80o; mas na pra´tica, e por abuso de linguagem, pode-se escrever
_
AB= 80o.
Observe que, de acordo com a figura abaixo,
_
AB e
_
CD medem 115o, assim podemos
escrever
_
AB= 115o e
_
CD= 115o. Mas na˜o podemos escrever
_
AB=
_
CD, pois os dois arcos
sa˜o conjuntos diferentes.
A
B
C
D
115º
115º
4.2 Parametrizac¸a˜o de c´ırculos
Vamos estudar a parametrizac¸a˜o de c´ırculos, pois esta serve como preparac¸a˜o e mo-
tivac¸a˜o da parametrizac¸a˜o de esferas. Embora na˜o haja uma u´nica func¸a˜o que defina um
c´ırculo, existe uma curva que o faz, isto e´, uma aplicac¸a˜o cont´ınua ’15’ f : [a, b] ⊂ R→ R2
definida em um intervalo real e cujo conjunto imagem na˜o e´ subconjunto de R.
De fato, se x0 = y0 = 0, enta˜o f : [0, 360
o] → R2 dada por f(t) = (r cos t, r sen t) tem
o c´ırculo S1(O; r) de equac¸a˜o x2 + y2 = r2 como imagem.
No caso geral, x0, y0 6= 0, a curva f : [0, 360o]→ R2 dada por
f(t) = (x0, y0) + r(cos t, sen t) = (x0 + r cos t, y0 + r sen t)
tem o c´ırculo S1((x0, y0); r) de equac¸a˜o (x− x0)2 + (y − y0)2 = r2 como imagem.
15 Uma aplicac¸a˜o f : X→ Y e´ cont´ınua no ponto a ∈ X quando lim
x→a
f(x) = f(a), ou seja, se um ponto
x ∈ X se aproxima de a, enta˜o a imagem f(x) se aproxima de f(a). Diz-se que f e´ cont´ınua quando f e´
cont´ınua em cada um dos pontos de seu domı´nio
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 32 Geometria Esfe´rica
4 G.E. parte 2 C´ırculos 4.2 Parametrizac¸a˜o de c´ırculos
0 2pt
t
Ox
Oy
0 0
f?t=x?,y?+?cost,sent(?) (?????????)(???)
0 0
(???)x?,y
.
.
.
r
Observe que:
1. |f(t)−(x0, y0)| = |(r cos t, r sen t)| =
√
r2 cos2 t+ r2 sen2 t = r e assim f(t)−(x0, y0)
e´ um vetor raio.
2. Derivando-se f com respeito a` varia´vel tempo t, tem-se o vetor τ(t) = (−r sen t, r cos t)
(τ : tau, ’t’).
3. (f(t) − (x0, y0)).τ(t) = (r cos t, r sen t).τ(t) = −r2 cos t sen t + r2 sen t cos t = 0
implica que (r cos t, r sen t) e τ(t) sa˜o ortogonais. Como existe um vetor igual a τ(t)
com ponto inicial f(t), pensamos τ(t) como sendo o vetor ortogonal ao raio em f(t) e o
chamamos o vetor tangente ao c´ırculo em f(t).
0 2pt
t
Ox
Oy
cost,sent(?????????)
0 0
(???)x?,y
.
.
r
t(?)t
t(?)t“???“
Exemplo 28. Seja S1((−2, 3);√40) de equac¸a˜o (x+ 2)2 + (y − 3)2 = 40.
A curva que o determina e´ dada por f(t) = (−2, 3)+√40(cos t, sen t) = (−2+√40 cos t, 3+√
40 sen t), cuja derivada e´ τ(t) =
√
40(− sen t, cos t). Vamos considerar t = 0, pi
3
,
pi
2
, pi,
isto e´, os pontos (−2+√40, 3), (√10,√30), (−2, 3+√40) e (−2−√40, 3) sobre o c´ırculo.
Para esses valores de t obte´m-se τ(0) = (0,
√
40), τ(
pi
3
) = (−√30,√10), τ(pi
2
) = (−√40, 0)
e τ(pi) = (0,−√40), todos vetores tangentes de norma √40. C
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 33 Geometria Esfe´rica
4 G.E. parte 2 C´ırculos 4.2 Parametrizac¸a˜o de c´ırculos
(-2,3)
2
_p
.
.
(?)
p(?)
_p(?)
3
pf (?)
.
f
2
_p(?)
. f (?)0
(?)0.
f _p(?)
3
t
t
t
t
Exemplo 29. Qual e´ a expressa˜o da equac¸a˜o do c´ırculo de centro (3, 2,−1), raio 2,
contida no plano de equac¸a˜o geral 2x+ y + 3z − 5 = 0 ?
Um pontoX = (x, y, z) sobre o plano e sobre o c´ırculo deve verificar a condic¸a˜o d2(C,X) =
(x− 3)2 +(y− 2)2 +(z+1)2 = 4. Como suas coordenadas satisfazem 2x+ y+3z− 5 = 0,
temos (x− 3)2 + (y − 2)2 + (8− 2x− y
3
)2 = 4 e enta˜o a equac¸a˜o do c´ırculo em ana´lise e´
7x2 + 4y2 − 4xy − 50x− 28y + 67 = 0. C
Exerc´ıcio 6. Determine a curva que parametriza o c´ırculo de centro (2, 5), raio 3. Qual
e´ o valor do paraˆmetro t para que o vetor tangente associado forme 30o com a vertical ?
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 34 Geometria Esfe´rica
5 G.E. parte 2 A Geometria esfe´rica
5 G.E. parte 2 A Geometria esfe´rica
O que e´ reta ? Estamos acostumados com a ide´ia conforta´vel de reta da Geometria
plana, sendo automa´tica a vinculac¸a˜o da palavra reta com a figura (ilustrada via re´gua)
de uma linha formada de pontos alinhados entre si e com extensa˜o infinita. Pore´m, na˜o e´
o fato da linha ter pontos alinhados que faz dela uma reta, ha´ oculta uma caracter´ıstica
mais importante !
Em uma plano e dados pontos A e B, a reta (da Geometria euclidiana) liga A com
B e determina um pedac¸o de linha (segmento de reta) de extensa˜o d. Qualquer outra
linha que ligue A com B vai estabelecer um pedac¸o de linha medindo > d. E´ isso que
caracteriza uma reta, o fato de ligar dois pontos dados em uma determinada superf´ıcie
(plano, esfera, etc.) e estabelecer o segmento mais curto com extremos definidos !Esse artigo e´
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Se os pontos forem posicionados sobre algo diferente de um plano, enta˜o o objeto
matema´tico que liga aqueles pontos e´ a reta, mas sua forma na˜o e´ mais como a da reta da
Geometria plana: reta e´ um conjunto de pontos que depende intrinsecamente do ambiente,
mude-o e a forma da reta muda.
nãoéumar etadasuperfície
éumar etadoespaço
éumar etadasuperfície
nãoér etadoespaço
A
.
B
.
Na Geometria esfe´rica/Geometria de Riemann, o postulado das paralelas e´ substitu´ıdo
pelo postulado riemanniano, que admite os seguintes enunciados equivalentes:
• Quaisquer duas retas teˆm um ponto em comum;
• Por um ponto exterior a uma dada reta na˜o e´ poss´ıvel uma reta paralela;
• Todas as retas que passam por um ponto exterior a` uma dada reta acabam por
intercepta´-la.
Imagine a seguinte situac¸a˜o: uma reta
←→
AB que e´ perpendicular a` outra reta r em A,
bem como uma reta s perpendicular a
←→
AB em B. Seja X o ponto onde s corta r, existe
tal ponto pois ja´ esta´ valendo o postulado riemanniano. De acordo com o 1o postulado de
Euclides ’16’ (por dois pontos passa uma reta e uma so´), X deve ser u´nico, mesmo quando
16 Somente o 5o postulado de Euclides e´ negado na Geometria esfe´rica
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 35 Geometria Esfe´rica
5 G.E. parte 2 A Geometria esfe´rica
se move sobre r. A reta r se acha assim fechada e, consequ¨entemente, finita. O mesmo
vale para s.
Portanto, em Geometria esfe´rica, as retas sa˜o fechadas, mas na˜o podemos dizer que
elas sa˜o limitadas, porque na˜o existem pontos onde elas comec¸am ou terminam.
Ao se trocar o 5o postulado, ocorre enta˜o que na˜o valem os resultados da Geometria
euclidiana que dependem do postulado das paralelas, em particular, na˜o valem o bem
conhecido Teorema de Pita´goras, o Teorema do aˆngulo externo e o Teorema segundo o
qual a soma das medidas dos aˆngulos internos de qualquer triaˆngulo e´ igual a pi ' 180o.
Cuidado, e´ um absurdo dizer ’a menor distaˆncia entre dois pontos e´ uma reta’. Esta´ er-
rado, pois distaˆncia e´ um nu´mero, enquanto que reta e´ um conjunto. Nu´meros e conjuntos
sa˜o objetos inconfund´ıveis.
Fixado um ponto S no espac¸o, a esfera de centro S e raio r e´ o conjunto S2(S; r)
dos pontos no espac¸o cuja distaˆncia a S e´ igual a r. Visualmente, se assemelha a uma
’bolha de saba˜o’. Mais adiante trataremos dessas superf´ıcies em termos de coordenadas.
Dois pontos A e B na esfera sa˜o ditos ant´ıpodas quando sa˜o diametralmente opostos,
isto e´, A,B e S esta˜o alinhados.
Considerando-se uma linha cont´ınua (ininterrupta)(em verde) sobre a esfera e com
extremos A e B, inscrevemos uma poligonal retil´ınea AA1∪A1A2∪...∪AnB (em vermelho),
bem como a poligonal
_
AA1 ∪
_
A1A2 ∪...∪
_
AnB (em azul) formada por arcos de grandes
c´ırculos (centro igual ao da esfera, raio igual ao da esfera).
S
.
jA.
A
. A1.
.
j+1
A
B
.
Quando o nu´mero n de pontos e´ aumentado sem limite (n→∞) na linha curva com
extremos A = A0 e B = An+1, dois pontos consecutivos Aj e Aj+1 ficam mais e mais
pro´ximos, cada arco
_
AjAj+1 e cada segmento AjAj+1 fica mais e mais curto, tendendo
a um ponto. A raza˜o entre a medida αj de
_
AjAj+1 e o comprimento mj de AjAj+1 e´
sempre maior do que 1, ficando mais e mais pro´ximo de 1, o mesmo se da´ com a raza˜o
α0 + α1 + ...+ αn
m0 +m1 + ...+mn
> 1
entre o comprimento da poligonal curva e o comprimento da poligonal retil´ınea, de sorte
que essas duas quantidades teˆm mesmo limite.
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 36 Geometria Esfe´rica
5 G.E. parte 2 A Geometria esfe´rica
Assim, o comprimento de uma linha cont´ınua sobre a esfera e´ o limite para o qual
tende o comprimento de uma poligonal formada de arcos de c´ırculos de raio ma´ximo,
quando cada um desses arcos tendem a um ponto. Se desde o in´ıcio a linha com extremos
A e B for um arco de c´ırculo de raio ma´ximo, concluiremos que essa e´ a mais curta dentre
todas as linhas com extremos A e B. Ale´m disso, esse arco de c´ırculo esta´ contido no
u´nico c´ırculo de centro S e que conte´m A e B. Esta´ provado o seguinte.
Teorema 5.1. Sobre a esfera, somente um c´ırculo tem raio ma´ximo e conte´m dois pontos
na˜o ant´ıpodas. E de todos os arcos de c´ırculo que podem ser trac¸ados ligando aqueles
pontos, o de raio ma´ximo e´ a linha mais curta.
Ta˜o importante esse resultado, que sa˜o apresentadas mais treˆs demonstrac¸o˜es.
Demostrac¸a˜o. (geome´trica) Existe uma infinidade de c´ırculos que conteˆm A e B, alguns
sa˜o indicados na figura.
S.
B.
A
.
Um u´nico c´ırculo (em vermelho) conte´m A e B e tem centro S, ou seja, tem raio igual ao
da esfera. Suponha agora um c´ırculo de centro C 6= S que passa por A e B. Faz-se uma
co´pia dele no plano de ABS e contendo ainda A e B. Ficam evidentes dois arcos com
extremos em A e em B, um contido no c´ırculo de centro S, o outro no c´ırculo de centro
C. O ponto me´dio do primeiro arco encontra-se mais pro´ximo de AB quando comparado
ao ponto me´dio do segundo arco, isto indica que o arco de c´ırculo de raio ma´ximo e´ mais
curto do que o arco de c´ırculo de raio menor. �
Demostrac¸a˜o. (geome´trica) Subdivide-se sucessivamente
_
AB e sa˜o criados arcos menores
de mesma medida. Isso e´ feito considerando um pontoA1, depoisA2, A3, depoisA4, A5, A6,
A7, etc., todos sobre
_
AB. Em cada etapa, os ı´ndices dos pontos sa˜o permutados, a fim
de poˆ-los em ordem crescente.
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 37 Geometria Esfe´rica
5 G.E. parte 2 A Geometria esfe´rica
.
.
..
.
B
.
.
.
.A .
A
1
B
1
.
.
2
3
4
5
2
3
4
5
6
A
A
A
A
B
B
B
B
C
S
.
.
.
.
.
B.
A
B
a
b 6
7
7
A
A figura mostra a situac¸a˜o com 7 pontos. Na quarta divisa˜o ter-se-a˜o 15 (= 24 − 1)
pontos, na quinta divisa˜o sera˜o 31 (= 25−1), etc. Em cada etapa, mede-se AA1 que serve
de marcador para pontos B1, B2..., Bn, etc, sobre o arco de centro C. Desse modo, as
poligonais AA1 ∪A1A2 ∪ ...∪An−1An e AB1 ∪B1B2 ∪ ...∪Bn−1Bn teˆm mesma extensa˜o,
sendo que An e´ equidistante de An−1 e de B, mas Bn na˜o e´ equidistante de Bn−1 e de B.
Isto ocorre precisamente porque o arco de grande c´ırculo e´ menor. �
Demostrac¸a˜o. (anal´ıtica) A esfera de centro S tem raio s, o c´ırculo de centro C tem raio
r ≤ s, ÂSB = α < β = ÂCB. Um primeira tentativa e´ escrever a = pisα
180o
, b =
pirβ
180o
e
b
a
=
rβ
sα
, mas na˜o se consegue concluir diretamente um relac¸a˜o de ordem entre a e b.
E´ preciso trabalhar um pouco mais. Fixados S = O e C no eixo−x, A acima e B sime´trico
a A embaixo, tem-se que a segunda coordenada de A tanto e´ igual a s sen
α
2
, quanto a
r sen
β
2
, de sorte que β = 2 arcsen(
s
r
sen
α
2
) . Isso estabelece β como uma func¸a˜o de r,
em que r pode variar de um mı´nimo s sen
α
2
, quando o c´ırculo tem centro no ponto me´dio
M de AB, a um ma´ximo s.
Consequ¨entemente, ter-se-a`
rβ
sα
≥ 1⇔ β ≥ sα
r
⇔ h(r) = 2 arcsen(s
r
sen
α
2
)− sα
r
≥ 0.
Note que h(s) = 0 e uma ana´lise detida permite verificar que h(s sen
α
2
) = pi− α
sen
α
2
> 0.
Tambe´m, um estudo detalhado indica que h′(r) = − 2s
r2
√
1− s
2
r2
sen2
α
2
sen
α
2
+
sα
r2
< 0.
Assim sendo, h e´ estritamente decrescente (x < y ⇒ h(y) < h(x)), e´ cont´ınua ’17’, tem
valor ma´ximo h(s sen
α
2
) > 0 e valor mı´nimo h(s) = 0, de sorte que o h nunca assume
valor negativo. �
17 lim
r→t
h(r) = h(t). O gra´fico de h e´ uma linha cont´ınua, sem interrupc¸o˜es
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 38 Geometria Esfe´rica
5 G.E. parte 2 A Geometria esfe´rica
Exemplo 30. Sobre uma esfera de raio 5, tem-se
_
AB= 30o. Analise os c´ırculos de raio
r0 = 3 e r1 = 1, no sentido do que se fez na demonstrac¸a˜o precedente.
Note que r0 = 3 ≥ 5 sen 15o e assim o c´ırculo tem diaˆmetro suficiente para interceptar A
e B, estabelece arco de aˆngulo central β = 51, 1084o, cuja extensa˜o linear e´ b = 2, 676.
Note que
_
AB mede a = 2, 618. Por outro lado, r1 = 1 < 5 sen 15
o indica que o c´ırculo e´
pequeno demais para interceptar A e B. C
A t´ıtulo de curiosidade, sobre o planeta Terra com s = 6378 km e utilizando um
c´ırculo de raio r = 4000 km, a diferenc¸a de extensa˜o sera´ b − a = pirβ
180o
− pisα
180o
=
pi
180o
(4000 48, 7475o − 6378 30o) = 63, 7 km.
Exemplo 31. Alguns ca´lculos expl´ıcitos com s = 3.
• α = 30o. C´ırculos com raio 3 sen 15o = 0, 7765 ≤ r ≤ 3.
h(3 sen 15o) = 2 arcsen(
3
3 sen 15o
sen 15o)− 3
3 sen 15o
30o = 64, 0889o, b = 0, 7764pi >
a =
pi
2
.
h(2) = 2 arcsen(
3
2
sen 15o)− 3
2
30o = 0, 6886o, b = 0, 5077pi > a.
h(3) = 0.
• α = 60o. C´ırculos com raio 1, 5 ≤ r ≤ 3.
h(3 sen 30o) = 60o, b = 1, 5pi > a = pi.
h(2) = 7, 1808o, b = 1, 0798pi > a = pi.
• α = 90o. C´ırculos com raio 2, 1213 ≤ r ≤ 3.
h(3 sen 45o) = 52, 7208o, b = 2, 1213pi > a = 1, 5pi.
h(2, 5) = 8, 1039o, b = 1, 6123pi > a.
• α = 120o. C´ırculos com raio 2, 5981 ≤ r ≤ 3.
h(3 sen 60o) = 41, 4359o, b = 2, 5981pi > a = 2pi.
h(2, 8) = 7, 6434o, b = 2, 1189pi > a.
• α = 150o. C´ırculos com raio 2, 8978 ≤ r ≤ 3.
h(3 sen 75o) = 24, 7086o, b = 2, 8978pi > a = 2, 5pi.
h(2, 9) = 20, 341o, b = 2, 8277pi > a. C
A. T. Be´hague - Prof. Doutor IME/UERJ 39 Geometria Esfe´rica
5 G.E. parte 2 A Geometria esfe´rica
Pode-se resumir a informac¸a˜o principal da u´ltima demonstrac¸a˜o como segue:
• Raio do menor c´ırculo que pode conter os extremos do segmento dado: s sen α
2
.
• Diferenc¸a entre a extensa˜o linear do arco de c´ırculo e do segmento de reta: b− a =
pi
180◦
(2r arcsen(
s
r
sen
α
2
)− sα).
O queˆ se depreende de todas essas informac¸o˜es ? Imagine um c´ırculo cujo centro C
se move (pontos 1, 2, 3, 4, 5) em direc¸a˜o ao centro S da esfera. Seu raio r e´ crescente no
intervalo fechado [s sen
α
2
, s] e enta˜o ocorre que o arco definido com extremos A e B tem
extensa˜o decrescente e assume valor mı´nimo precisamente quando r = s !
2
3
4
1
2
3
4
S
5
5
.
A
B.
1
.
.
.
.
.
.
Mais adiante, veremos o teorema 6.1 que estabelece mesmo fato, pore´m no caso par-
ticular em que o c´ırculo de raio r e´ horizontal (um paralelo).
A Geometria plana se baseia na existeˆncia de uma u´nica