remat flexao plana estado tensao set2016

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I 
 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL 
 
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
EXAME DE ÉPOCA ESPECIAL - SETEMBRO / 2016 
FLEXÃO PLANA - ESTADO PLANO DE TENSÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIO 
CONSIDERANDO AS 
CONVENÇÕES: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OUTROS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PODERÃO SER CONSULTADOS NA PÁGINA DA AUTORA: 
paginas.isep.ipp.pt/iat/ 
ISABEL ALVIM TELES 
xx
y
y
yx
yx
xy
xy
+ x
y
G
y
x
+
+
Mx+
1,60 m
50kN/m
20kN
6
28 cm 6
5 cm
8 cm
5 cm
12 cm
17 cm
15 cm
P
3
SECÇÃO TRANSVERSAL FINAL
I 
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
EXAME DE ÉPOCA ESPECIAL - SET/2016 – FLEXÃO PLANA E ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 1/4 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
ENUNCIADO 
Considere a viga encastrada com 1,60 m de vão, sob a ação 
do carregamento representado na figura abaixo. 
Inicialmente a viga era constituída por uma secção 
transversal maciça cujas características se apresentam na 
Tabela ao lado. 
Posteriormente foi necessário introduzir uma abertura no 
banzo superior com dimensão 28cm x 8cm, ficando a secção 
transversal final com a geometria indicada na Tabela 
correspondente. 
Notas: 
- O plano de solicitação é baricêntrico. 
- A solicitação apresentada já inclui o peso próprio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considere a secção do encastramento e o ponto P representado na Tabela acima. 
a) Defina o tensor das tensões que caracteriza o estado plano de tensão no ponto P; 
b) Calcule por um processo analítico a tensão normal (σ) e a tensão tangencial (τ) que atuam na 
faceta AB e represente-as graficamente num esquema idêntico ao da Figura 1. 
 
 
 
 
 
 
 
15
5
(medidas: cm)
3
u
17
6
P
SECÇÃO TRANSVERSAL FINAL
13.9
28
15
u
I = 106151 cm4
u
G
I = 85806 cm4
(medidas: cm)
v
8
SECÇÃO TRANSVERSAL INICIAL
v
12.5
5
Área = 1027 cm2
12
21.1
6
v
12.5
Viga encastrada 
35°
C
PB
A
D
Figura 1 
1,60 m
50kN/m
20kN
I 
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
EXAME DE ÉPOCA ESPECIAL - SET/2016 – FLEXÃO PLANA E ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 2/4 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
RESOLUÇÃO 
Alínea a) 
 
Área da secção transversal final 
 cm 803 8 28 1027 A 2=×−= 
Posição do centro de gravidade 
O eixo y é eixo de simetria, logo o centro de gravidade da 
secção transversal posiciona-se sobre o eixo y ⇒ xG = 0 
 
O eixo x e o eixo y são eixos principais centrais de inércia, 
pois o eixo y é de simetria. 
 
 cm 19,73 
803
4)40 5 (17224 1,211027
 y 
G
=
−++×−×
= 
Momento de inércia Ix 
48-42
3
2 m 10732,8 77 cm 732,8 77 19,73) (26224 
12
828
 19,73)(21,11027 806 85 
x
×==





−×+×−−×+=I 
 
Esforços na secção do encastramento: 
 kN 100 1,650 20 V 
kNm 96 
2
1,6
 50 1,6 20 M 
2
X





−=×−−=
−=×−×−=
 
 
Tensão normal no ponto P 
Y 
M
 
X
X
xσ I
= com m 0327,0 cm 27,3 12),2715( Y −=−=−−= 
 kPa 4,4038 0,0327)( 
10732,8 77
96
 
8x
σ =−×
×
−
=
−
 (tração) 
 
 
 
Tensão tangencial no ponto P: 
b 
S V τ
I
= 
V = -100 kN 
4-84 m 10732,8 77 cm 732,8 77 ×==I 
m 0,12 0,062 b =×= 
( ) ( )[ ]
 m 10122,7 3 cm 122,7 3 
 3,5515,2776 2 5,227,15540 S
36-3 ×==
=−−×××+−××= 
kPa 347,7 3 kPa 347,7 3 
0,12 10 732,8 77
10 122,7 3 100
 
b 
S V
 τττ
xy8-
-6
=−=⇒−=
××
××−
==
I
 
6 14 cm 6
5
8
5
17
7.5
X
Y
G
7.5
14 cm
19.73 cm
15.27
6 14 cm 6
X
Y
G
14 cm
12
P
19.73 cm
15.27
6 14 cm 6
X
Y
G
14 cm
P
19.73 cm
15.27
5
7
I 
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
EXAME DE ÉPOCA ESPECIAL - SET/2016 – FLEXÃO PLANA E ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 3/4 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
Estado de tensão: Tensor das tensões : kPa 
 0 7,3347
 7,3347 4,4038
 T










= 
 
 
Alínea b) - Fórmulas 
 
Tensão normal e tensão tangencial numa faceta 
2θ sen 2θ cos 
2
σ σ
 
2
σ σ
 xy
yxyx
θσ τ+
−
+
+
= 
 2θ cos 2θ sen 
2
σ σ
 xy
yx
θ ττ +
−
−= 
 
 
Ponto P 
kPa 3347,7 
0 
kPa 038,44 
 
YXXY
Y
X
τ τ
σ 
σ 







==
=
=
⇒ 
 
 
Para θ = -145° 
 
kPa 4,752 
kPa 5855,6 
 
kPa 4,752 )290( cos 3347,7 )290( sen 
2
4,4038
 
kPa 855,65 )290( sen 3347,7 )290( cos 
2
4,4038
 
2
4,4038
 
AC
AC
145 θ
145 
σσ





−=
=
⇒







−=−+−−=
=−+−+=
−=
−=
ττ
��
��
�
�θ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
y
+
++
τ
τ
τ
 = 4038,4 kPa
τ = 3347,7 kPa
P
P
35°
B
A
=
585
5,6
 
kPa=
-
752
,4 k
Pa
I 
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 
EXAME DE ÉPOCA ESPECIAL - SET/2016 – FLEXÃO PLANA E ESTADO PLANO DE TENSÃO ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 4/4 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
Alínea b) - Cálculo Matricial 
 
 )145- cos ; 145- sen ( n
 )145- sen ; 145- cos ( n
//
��
��
−=
=⊥ 
 
 
[ ][ ] ⊥⊥⊥ ××=⇒×= n n T σ n T σ T R 
[ ] kPa 855,65 
145- sen
145- cos
 x 2742,35228.2 
145- sen
145- cos
 x 
145- sen
145- cos
 x 
0 7,3347
7,3347 4,4038
 σ
T 
=










−−=








































=
�
�
�
�
�
�
 
Como o sinal é positivo, o sentido da tensão σ vai ser o mesmo que o do vector ⊥ n . 
 
[ ][ ] //T //R n n T n T ××=⇒×= ⊥ττ �� 
[ ] kPa 752,4 
145- cos
145- sen
 x 2742,35228.2 
145- cos
145- sen
 x 
145- sen
145- cos
 x 
0 7,3347
7,3347 4,4038
 
T 
=










−
−−=










−






























=
�
�
�
�
�
�
τ
 
Como o sinal é positivo, o sentido da tensão τ vai ser igual ao do vector // n , que pela convenção 
corresponderá a uma tensão tangencial negativa. 
 
 
Tensões positivas: 
 (convenção) 
 
xx
y
y
yx
yx
xy
xy
+
P
35°
x
y
n
n
θ= -145°
θ
P
35°
B
A
=
585
5,6
 
kPa=
-
752
,4 k
Pa