lista de exercicios taxas relacionadas e otimização

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Cálculo 1 
Lista para Nota – Parte 2 
1. Ar está sendo bombeado para dentro de um balão esférico e seu 
volume cresce à taxa de 100𝑐𝑚3/𝑠. Qual a velocidade com que o 
raio cresce quando o diâmetro for 50 𝑐𝑚? 
2. Um tanque de água tem a forma de um cone circular invertido, com 
raio da base 2𝑚 e a altura 4𝑚. Se a água está sendo bombeada 
para dentro do tanque à taxa de 2𝑚3/𝑚𝑖𝑛 , encontre a taxa pela 
qual o nível de água estará elevando quando a água estiver a 3 𝑚 
de profundidade. 
3. O carro A segue em uma estrada (leste-oeste), em direção a oeste a 
90 𝑘𝑚/ℎ e o carro B segue em uma estrada (norte-sul), rumo ao 
norte a 100 km/h. Ambos estão se dirigindo para a interseção das 
duas estradas. A que taxa os carros se aproximam um do outro 
quando o carro A está a 60𝑚 e o carro B está a 80𝑚 da interseção? 
4. Cada lado de um quadrado está aumentando a uma taxa de 6 𝑐𝑚/
𝑠. Com que taxa a área do quadrado estará aumentando quando a 
área do quadrado for 16 𝑐𝑚2? 
5. O comprimento de um retângulo está crescendo a uma taxa de 
8 𝑐𝑚/𝑠 e sua largura está crescendo a uma taxa de 3 𝑐𝑚/𝑠. Quando 
o comprimento for 20 𝑐𝑚 e a largura for 10 𝑐𝑚, quão rapidamente 
estará crescendo a área do retângulo? 
6. Um avião voa horizontalmente a uma altitude de 2 𝑘𝑚, a 
800 𝑘𝑚/ℎ, e passa diretamente sobre uma estação de radar. 
Encontre a taxa segundo a qual a distância entre o avião e a estação 
aumenta quando ele está a 3 𝑘𝑚 da estação. 
7. Um foguete é lançado verticalmente de um local a 9 𝐾𝑚 de um 
ponto de observação. Após 20 𝑠, sua velocidade de subida é de 
700 𝑚/𝑠 e ele está a altura de 12 𝐾𝑚. Determine a velocidade com 
que ele se distancia do ponto de observação. 
8. Encontre a equação da reta tangente à curva abaixo, no ponto 
indicado: 
a. 𝑦 = ln(𝑥𝑒𝑥
2
) 𝑃(1,1) 
9. Encontre o coeficiente angular da reta tangente à curva abaixo, no 
ponto indicado: 
a. 𝑒𝑥
2
− ln(2𝑦) + 2𝑥3𝑦2 + 3𝑦 = 4 − 2𝑥 𝑃(0,1) 
10. Derive as funções abaixo, simplificando os resultados: 
a. 𝑦 = ln (
√𝑥2+1
4
sec3(1−2𝑥)
) 
b. 𝑦 = ln (
3−2𝑥
√𝑥3+2
3 ) 
11. Um terreno retangular deve ser cercado da seguinte forma: um dos 
lados é um muro, que já existe, e os outros três lados estão 
conforme a figura ao lado. O lado oposto ao muro deve receber 
uma cerca reforçada que custa 𝑅$ 5,00 o metro, enquanto que os 
dois lados restantes recebem uma cerca padrão de 𝑅$ 2,00 o 
metro. Quais são as dimensões do terreno de maior área que pode 
ser cercado com 𝑅$ 160,00? 
12. Um recipiente em forma de paralelepípedo com base quadrada 
deve ter um volume de 2250 𝑐𝑚3. O material para a base e a 
tampa do recipiente custa 𝑅$ 2,00 por 𝑐𝑚2 e o dos lados 𝑅$ 3,00 
por 𝑐𝑚2. Ache as dimensões do recipiente de menor custo. 
13. Um terreno retangular deve ser cercado de duas formas. Dois lados 
opostos devem receber uma cerca reforçada que custa 𝑅$ 3,00 o 
metro, enquanto que os dois lados restantes recebem uma cerca 
padrão de 𝑅$ 2,00 o metro. Quais são as dimensões do terreno de 
maior área que pode ser cercado com 𝑅$ 6000,00? 
14. Um fazendeiro tem 1200𝑚 de cerca e quer cercar um campo 
retangular que está à margem de um rio reto. Ele não precisa cercar 
ao longo do rio. Quais são as dimensões do campo de maior área? 
15. Encontre as dimensões de um retângulo com um perímetro de 
100𝑚 cuja área seja a maior possível. 
Gabarito 
1) 
1
25𝜋
 𝑐𝑚/𝑠 
2) 
8
9𝜋
 𝑚/𝑚𝑖𝑛 
3) −134 𝑘𝑚/ℎ 
4) 48𝑐𝑚2/𝑠 
5) 140 𝑐𝑚2/𝑠 
6) 596,3 𝑘𝑚/ℎ 
7) 560 𝑚/𝑠 
8) 𝑦 = 3𝑥 − 2 
9) 𝑚 = −1 
10) a. 𝑦′ =
𝑥
2(𝑥2+1)
+ 6𝑡𝑔(1 − 2𝑥) b. 𝑦′ =
−4−3𝑥2
(𝑥3+2)(3−2𝑥)
 
11) 16 𝑚 e 20 𝑚 
12) 15 𝑐𝑚 e 10 𝑐𝑚 
13) 500 𝑚 e 750 𝑚 
14) 300 𝑚 e 600 𝑚 
15) 25 𝑚 e 25 𝑚