geometria analitica DETERMINANTES matrizes

Prévia do material em texto

Determinantes
1. Introdução:
A teoria dos determinantes teve origem em meados do século
XVII, quando eram estudados processos para resolução de
sistemas lineares de equações. Hoje em dia, embora não sejam
um sistema prático para a resolução de sistemas, os
determinantes são utilizados, por exemplo, para sintetizar
certas expressões matemáticas complicadas.
2. Definição:
A toda matriz quadrada associa-se um número, denominado 
determinante da matriz, que é obtido por meio de operações 
entre os elementos da matriz.
Notação : det A ou |A|
3.1. Determinantes da matriz de 1ª ordem
O determinante da matriz quadrada de 1ª ordem é igual ao 
próprio elemento da matriz .
Ex.:
3
2
3
2

3. Cálculo dos Determinantes:
3.2. Determinantes da matriz de 2ª ordem
O determinante da matriz quadrada de 2ª ordem é igual 
diferença entre os produtos dos elementos da diagonal 
principal e da diagonal secundária .
Ex.:
5381)]( . 3)[( 4). (2
41
32



3.3. Determinantes da matriz de 3ª ordem
(Regra de Sarrus)
1. Ao lado direito da matriz copiam-se as duas primeiras 
colunas.
2. Multiplicam-se os elementos da diagonal principal e, na 
mesma direção da diagonal principal, multiplicam-se os 
elementos das outras duas filas à sua direita.
3. Multiplicam-se os elementos da diagonal secundária e, na 
mesma direção, os elementos das outras duas filas à sua direita.
4. O determinante da matriz é a subtração dos produtos 
obtidos em 2 e 3.
Ex.:

 531
420
321

 31-
20
21
 
531
420
321
- -- + ++
10 – 8 + 0 + 6 – 12 + 0 = -4
ATIVIDADES
• Resolva: 
1) Calcule o determinante da matriz A, dado
2) 3) 
4)
Respostas: 1) 29; 2) 2; 3) 28; 4) 30.
4. Cofator de uma matriz
Seja A uma matriz quadrada de ordem n  2. Chama-se cofator de um elemento aij
de A ao número real Aij = (-1
)i + j . Dij, em que Dij é o determinante obtido da matriz 
A quando se eliminam a linha e a coluna em que se encontram o elemento aij
.
Ex.:
12A calcule ,
52-4
21-3
021
A Seja 
54
23
.)1(A 2112

)815( . 1 

A12 = -7
5. Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz A, de ordem n  2, é a soma dos produtos dos 
elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores.
Ex.:

 5234
2003
3412
1121
3 . A31 + 0 . A32 + 0 . A33+ 2 . A34 =
234
412
121
 . 2
523
341
112
 . 3 

= -176
TEOREMA DE LAPLACE
• O determinante de uma matriz A, de ordem 
n  2, é a soma dos produtos dos elementos 
de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos 
seus respectivos cofatores.
• Chama-se cofator de um elemento aij de A ao 
número real Aij = (-1
)i + j . Dij.
• Dij (menor complementar) é o determinante 
obtido da matriz A quando se eliminam a 
linha e a coluna em que se encontram o 
elemento aij .
Exemplo:
• Calcular com o auxílio do Teorema de 
Laplace, o seguinte determinante:
• Resposta: 70
3 2 0 1
1 1 13 
0 2 0 0 
14 3 2 



Propriedades dos Determinantes
P1. Fila Nula
Se todos os elementos de uma fila de uma matriz A forem nulos, então det A = 0 .
Ex.:



6201
0000
4413
5421
0
P2. Filas Paralelas Iguais ou Proporcionais
Se duas filas paralelas de uma matriz A forem iguais ou proporcionais, então 
det A = 0 .
Ex.:
0
808
545
232


0
504
426
213



e
2ª linha = 2 x 1ª linha 
Se liguem, sempre que 
nos referimos a filas, 
estamos falando de 
linhas e também de 
colunas!
1ª coluna = 3ª coluna 
     4262132213 
P3. Matriz Transposta
O determinante de uma matriz é igual ao de sua transposta.
Ex.:
843
015
102 
43
15
02 = 16 + 0 – 20 + 3 + 0 + 0 = -1
801
410
352
 01
10
52

= 16 – 20 + 0 + 3 + 0 + 0 = -1
P4. Teorema de Binet
Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem n, então:
det(A . B) = det A . det B
Ex.:













21
03
B e 
32
14
A
det A = 10, det B = 6 e det A . det B = 6 . 10 = 60


















69
213
21
03
 . 
32
14
det A . det B = 13 . 6 – 2 . 9 = 78 – 18 = 60
P5. Matriz Triangular
P6. Troca de Filas Paralelas
O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da 
diagonal principal.
Ex.:
872
019
005

= 5 .1 .8 = 40
Se trocarmos de posição duas filas paralelas de uma matriz M, obteremos uma 
outra matriz M´, tal que:
det M´ = - det M
Ex.:
22286
27
43
 22628
43
27

P7. Produto de uma Fila por uma Constante
Se todos os elementos de uma fila, de uma matriz, forem multiplicados por um 
mesmo número real k, o determinante da matriz assim obtida fica multiplicado 
por k.
Ex.:
 
511
430
291
 11
30
91

= 15 – 36 + 0 + 6 + 4 - 0 = -11
Multiplicando a 2ª coluna de A por (-3), temos:
 
531
490
2271



31
90
271


 = -45 + 108 + 0 – 18 – 12 + 0 = 33
Consequência: Seja uma matriz A, de ordem n, e k um número real, temos:
det (k . A) = kn . det A
Matriz inversa
• Método prático:
• Só é válido para matrizes 2x2.
• Lembre-se que uma matriz 'quadrada' só 
possui inversa se o Determinante dela for 
diferente de 'zero'.
• Procedimento:
– Troque de posição os elementos da diagonal 
principal.
– Troque os sinais da diagonal secundária.
– Divida todos os termos pelo determinante da 
matriz original.
Matriz inversa
• Exemplo: Encontre a inversa das 
matrizes:
• A = 
• B = 
• Respostas:






32
10









01
2
1
2
3
1A








51
42















3
1
6
1
3
2
6
5
1B
P8. Determinante da Matria Inversa
Seja A uma matriz e A-1 sua inversa, então:
A det
1
A det 1- 
523
12
13
A det 


Ex.:
5
1
25
5
25
2
25
3
5
3
5
2
5
1
5
1
A det 1- 


Matriz de Vandermonde
Chamamos matriz de Vandermonde, ou das potências, toda matriz de ordem n  2, 
em que suas colunas são potências de mesma base, com expoente inteiro, variando 
de 0 à n – 1 (os elementos de cada coluna formam uma progressão geométrica de 
primeiro termo igual a 1).
Obs.: Os elementos da 2ª linha são chamados elementos característicos da matriz.
O determinante da matriz de Vandermonde é igual ao produto de todas as 
diferenças possíveis entre os elementos característicos e seus antecessores.
Ex.:
343125278
492594
7532
1111

7 5 3 2 (3 – 2)(5 – 2)(5 – 3)(7 – 2)(7 – 3)(7 – 5)
1 . 3 . 2 . 5 . 4 . 2
240
EXEMPLOS01) Calcule o determinante 
de 
43
12 . 
 
16
02) Calcule o 
63
24 . 
03) Calcule o determinante 
de 
021
102
321
 
04) Calcule o determinante de: 
201
770
003
 
05) (FUVEST) É dada a matriz 
P = 





10
11 . 
Calcule P2 e P3 
 
EXEMPLO 6
17
EXEMPLO 7
18