Módulo 01 Revisão Trigonometria e Vetores (Aluno)

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Mecânica Básica
Prof. Adauri Jr.
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Mecânica Básica
A Mecânica é a física aplicada trazendo para o cotidiano
soluções de problemas reais.
A Estática é ramo da física associada com o estado de
repouso em corpos submetidos a ação de forças.
A Mecânica é a mais antiga das ciências físicas. Os
princípios da mecânica como uma ciência, incorporam os
conceitos matemáticos para a solução de problemas utilizando-
os como ferramenta.
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Revisão
As ferramentas matemáticas são muito utilizadas para os cálculos vetoriais
amplamente aplicados em problemas práticos.
Porém temos que estar bem firmes em conceitos de trigonometria e relações
entre os triângulos, pois estes são amplamente aplicados na engenharia de modo geral
em função de sua reconhecida estabilidade como estrutura.
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Modelamento via software de uma estrutura de telhado em 3D.
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Teorema de Tales
O Teorema de Tales trabalha as semelhanças e proporcionalidade entre
ângulos e distâncias. Amplamente aplicado em cálculos de engenharia.
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Classificação dos tipos de triângulos
Os triângulos podem ser classificados quanto a forma.
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Classificação dos tipos de triângulos
Os triângulos podem ser classificados quanto aos ângulos internos.
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Mediatriz e Circuncentro
A mediatriz é a reta perpendicular a um lado do triângulo, traçada pelo seu
ponto médio. O circuncentro, que é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo,
que passa pelos três vértices do triângulo
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Altura e Ortocentro 
Altura é um segmento de reta perpendicular a um lado do triângulo ou ao seu
prolongamento, traçado pelo vértice oposto. O ponto de interseção das três alturas de
um triângulo denomina-se ortocentro.
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Bissetriz interna
A bissetriz interna de um triângulo corresponde ao segmento de reta que
parte de um vértice, e vai até o lado oposto do mesmo em que partiu, dividindo o seu
ângulo em dois ângulos iguais. O ponto de interseção delas chama-se incentro.
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Mediana e Baricentro
Mediana é o segmento de reta que une cada vértice do triângulo ao ponto
médio do lado oposto. O ponto de interseção das três medianas é o baricentro ou
centro de gravidade do triângulo
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Semelhanças de Triângulos
As semelhanças de triângulos são regras de proporcionalidade amplamente
empregados em cálculos de engenharia.
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Relações Métricas dos Triângulos Retângulos
As Relações Métricas dos triângulos retângulos são casos particulares de
semelhança de triângulo.
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Relações Métricas dos Triângulos Retângulos
As Relações Métricas dos triângulos retângulos são casos particulares de
semelhança de triângulo.
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Relações Métricas dos Triângulos Retângulos
As Relações Métricas dos triângulos retângulos são casos particulares de
semelhança de triângulo.
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Relações Métricas dos Triângulos Retângulos
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Ciclo Trigonométrico
Ciclo trigonométrico é uma circunferência com:
-Raio igual a 1; -Ponto de origem dos arcos “A”; -Orientação: Sentido positivo é ante-horário.
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Quadrantes
Os Quadrantes são marcados enumerados também no sentido ante horário:
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Quadrantes
Através dos Quadrantes temos os sinais das projeções dos vetores.
-Quadrante I : X: Positivo Y: Positivo
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Quadrantes
Através dos Quadrantes temos os sinais das projeções dos vetores.
-Quadrante II : X: Negativo Y: Positivo
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Quadrantes
Através dos Quadrantes temos os sinais das projeções dos vetores.
-Quadrante III : X: Negativo Y: Negativo
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Quadrantes
Através dos Quadrantes temos os sinais das projeções dos vetores.
-Quadrante IV : X: Positivo Y: Negativo
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Projeções dos vetores
Vamos imaginar um vetor com 36,89º, conforme mostrado abaixo.
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Projeções dos vetores
Projetamos verticalmente o ponto de intercessão do vetor com a circunferência.
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Projeções dos vetores
Ao projetar teremos uma componente no eixo horizontal.
Cosseno
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Projeções dos vetores
Repetindo o processo teremos uma outra componente no eixo vertical.
S
e
n
o
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Projeções dos vetores
Importante reconhecer bem o triângulo que estamos trabalhando através do ângulo
interno, pois ele marca a projeção do cosseno.
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Projeções dos vetores
Prolongando as linhas que formam o ângulo e subindo uma reta perpendicular ao eixo
“X” e tangente a circunferência temos um novo componente.
T
a
n
g
e
n
te
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Tabelas trigonométricas
As tabelas trigonométricas são apenas o resultados dos cálculos trigonométricos
dispostos em uma tabela. Estes valores estão incorporados nas memórias das calculadoras.
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Cálculos e Fórmulas
Observe os triângulos abaixo:
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Lei dos Senos
A lei dos senos é também uma fórmula que leva em consideração a
proporcionalidade entre os senos dos ângulos internos com relação aos seus
respectivos lados opostos.
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Lei dos Cossenos
As leis do seno e do cosseno são conceitos que trabalham com apenas dois elementos:
ângulo e medida do lado.
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Exercícios
1) Calcule as projeções dos vetores usando a trigonometria.
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Exercícios
2) Calcule as projeções dos vetores usando a trigonometria.
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Exercícios
3) Calcule as projeções dos vetores usando a trigonometria.
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Exercícios
4) Calcule as projeções dos vetores usando a trigonometria.
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Exercícios
5) Calcule a diagonal do paralelogramo aplicando a lei dos cossenos.
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Exercícios
6) Calcule os ângulos internos “α” e “β” utilizando a lei dos senos.
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Exercícios
7) Calcule os ângulo do tronco de cone representado abaixo:
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Exercícios
8) Quando o sol projeta no chão a sombra de uma haste perpendicular com
3m. A sombra projetada mede 2,3m. Qual é o ângulo “θ”?
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Vetores e Escalares
A Mecânica Básica lida muito com dois tipos de grandezas
“Escalares e Vetores”.
As quantidades escalares são aquelas que estão associadas apenas
a intensidade ou ordem de grandeza.
Exp.: Tempo; Volume; Densidade e Massa.
As quantidades vetoriais além da intensidade possuem direção,
sentido, módulo e origem.
Exp.: Deslocamentos; Velocidades; Aceleração; Forças e Movimentos.
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Decomposição de Vetores
Portanto, seja o vetor abaixo.
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Este vetor possui Origem, Módulo, Direção e Sentido.
Decomposição de Vetores
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O vetor pode ser decomposto em componentes retangulares em termos
unitários das direções “X” e “Y”.
Decomposição de Vetores
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O vetor pode ser decomposto em componentes retangulares em termos
unitários das direções “X” e “Y”.
Decomposição de Vetores
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Módulo de um vetor 
O módulo é a intensidade de um vetor e é representado por duas barras
verticais e pode ser entendido como uma grandeza.
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Vetor Unitário
O vetor unitário recebe este nome, pois possui seu módulo igual a “1” e são
uma fração do vetor original (mantendo todas suas propriedades).
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Exercícios Propostos
1) Ao decompor o vetor de força de 220N no eixo “Y” e no eixo auxiliar b–b’, sabendo que este eixo
auxiliar é defasada em 40º do eixo “Y”, conforme mostrado na figura abaixo, determine.
(a) Usando a trigonometria, determine o ângulo “α” sabendo que a projeção da força 220N ao longo do eixo
auxiliar b–b’ é 154N.
(b) Qual é o correspondente valor do ângulo “β”.
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1) Ao decompor o vetor de força de 220N no eixo “Y” e no eixo auxiliar b–b’, sabendo que este eixo
auxiliar é defasada em 40º do eixo “Y”, conforme mostrado na figura abaixo, determine.
(a) Usando a trigonometria, determine o ângulo “α” sabendo que a projeção da força 220N ao longo do eixo
auxiliar b–b’ é 132N.
(b) Qual é o correspondente valor do ângulo “β”.
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3) A força possui uma intensidade de 600N. Expresse este vetor como um vetor unitário.
a) Faça a decomposição do vetor nas componentes escalares “Fx” e “Fy”.
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3) A força possui uma intensidade de 800N. Expresse este vetor como um vetor unitário.
a) Faça a decomposição do vetor nas componentes escalares “Fx” e “Fy”.
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4) A força possui uma intensidade de 1500N. Expresse este vetor como um vetor unitário.
a) Faça a decomposição do vetor nas componentes escalares “Fx” e “Fy”.
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5) A força possui uma intensidade de 2000N é aplicada na extremidade de uma viga de perfil “I”.
Expresse este vetor como um vetor unitário.
a) Faça a decomposição do vetor nas componentes escalares “Fx” e “Fy”.
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DESAFIO
1) Para o projeto de automação mecânica o projetista deseja decompor a força
de 90N em componentes retangulares de modo a encontrar no ponto “D” as componentes
“Fx” e “Fy”. Considerar o ponto “D” o centro de massa do cilindro, conforme mostrado na
figura abaixo.
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DESAFIO
2) Para o projeto de uma alavanca é necessário decompor a força de 379N em
componentes “Fx” e “Fy”. Considerar a aplicação da força no centro da roldana, conforme
mostrado na figura abaixo.