2 - AULA 2 - MECÂNICA TÉCNICA

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Capítulo 2 
Vetores de 
Força 
Disciplina: Mecânica Técnica 
Engenharia de Produção 
Professora : MSc. Marcela Gonçalves Ferreira 
OBJETIVOS DO CAPÍTULO 
• Mostrar como adicionar forças e decompô-las em componentes 
usando a lei do paralelogramo. 
• 
• Expressar a força e sua posição na forma de um vetor cartesiano 
e explicar como determinar a intensidade e a direção do vetor. 
 
• Introduzir o produto escalar para determinar o ângulo entre dois 
vetores ou a projeção de um vetor sobre outro. 
ESCALARES E VETORES 
 Um escalar é qualquer quantidade física positiva ou negativa que 
pode ser completamente especificada por sua intensidade. 
 
 Exemplos de quantidades escalares: 
 
 Comprimento 
 Massa 
 Tempo 
 
 
ESCALARES E VETORES 
 Um vetor é qualquer quantidade física que requer uma 
intensidade e uma direção para sua completa descrição. 
 
 Exemplos de vetores: 
 
 Força 
 Posição 
 Momento 
 
OPERAÇÕES VETORIAIS 
OPERAÇÕES VETORIAIS 
 Adição de vetores 
 Todas as quantidades vetoriais obedecem à lei do paralelogramo 
da adição. 
 
OPERAÇÕES VETORIAIS 
 Adição de vetores 
 Também podemos somar B a A usando a regra do triângulo: 
 
OPERAÇÕES VETORIAIS 
 Adição de vetores 
 No caso especial em que os dois vetores A e B são colineares, 
a lei do paralelogramo reduz-se a uma adição algébrica ou 
escalar R = A + B: 
Subtração de vetores 
 R' = A – B = A + (–B) 
OPERAÇÕES VETORIAIS 
DETERMINANDO UMA FORÇA RESULTANTE 
Podemos aplicar a lei dos cossenos ou a lei dos senos para o triângulo 
a fim de obter a intensidade da força resultante e sua direção. 
DETERMINANDO AS COMPONENTES DE 
UMA FORÇA 
 Algumas vezes é necessário decompor uma força em duas 
componentes para estudar seu efeito de ‘empurrão’ ou ‘puxão’ em 
duas direções específicas. 
As componentes da força Fu e Fv são estabelecidas simplesmente 
unindo a origem de F com os pontos de interseção nos eixos u e v. 
DETERMINANDO AS COMPONENTES DE 
UMA FORÇA 
• Esse paralelogramo pode então ser reduzido a um triângulo, que 
representa a regra do triângulo. 
DETERMINANDO AS COMPONENTES DE 
UMA FORÇA 
 PROCEDIMENTO PARA ANÁLISE 
Problemas que envolvem a soma de duas forças podem ser 
resolvidos da seguinte maneira: 
 
Lei do paralelogramo: 
 Duas forças ‘componentes’, F1 e F2 se somam conforme a lei 
do paralelogramo, dando uma força resultante FR que forma a 
diagonal do paralelogramo. 
PROCEDIMENTO PARA ANÁLISE 
• Se uma força F precisar ser decomposta em componentes ao longo de 
dois eixos u e v, 
 
• Então, iniciando na extremidade da força F, construa linhas paralelas 
aos eixos, 
• Formando, assim, o paralelogramo. 
• Os lados do paralelogramo representam as componentes, Fu e Fv. 
PROCEDIMENTO PARA ANÁLISE 
 Rotule todas as intensidades das FORÇAS CONHECIDAS e 
DESCONHECIDAS e os ÂNGULOS no esquema e identifique as 
duas forças desconhecidas quanto à intensidade e à direção de FR ou 
às intensidades de suas componentes. 
 
TRIGONOMETRIA 
 Redesenhe metade do paralelogramo para ilustrar a adição 
triangular ‘extremidade-para-origem’ das componentes. 
 
 Por esse triângulo, a intensidade da força resultante é determinada 
pela lei dos cossenos, e sua direção, pela lei dos senos. As 
intensidades das duas componentes de força são determinadas 
pela lei dos senos. 
PONTOS IMPORTANTES 
 Escalar é um número positivo ou negativo. 
 
 Vetor é uma quantidade que possui intensidade, direção e sentido. 
 
 A multiplicação ou divisão de um vetor por um escalar muda a 
intensidade do vetor. O sentido dele mudará se o escalar for 
negativo. 
 
ADIÇÃO DE UM SISTEMA DE FORÇAS 
COPLANARES 
Quando uma força é decomposta em duas componentes ao 
longo dos eixos x e y, as componentes são, então, chamadas 
de componentes retangulares. 
 
 NOTAÇÃO ESCALAR. 
 
 NOTAÇÃO DE VETOR CARTESIANO. 
NOTAÇÃO ESCALAR 
•Como essas componentes formam um triângulo retângulo, 
suas intensidades podem ser determinadas por: 
No entanto, 
 
 
 
 
 
•Como esse triângulo e o triângulo maior sombreado são 
SEMELHANTES, o comprimento proporcional dos lados fornece: 
 
 
 e 
 
NOTAÇÃO ESCALAR 
NOTAÇÃO VETORIAL CARTESIANA 
•Também é possível representar as componentes x e y 
de uma força em termos de vetores cartesianos 
unitários i e j. 
 
•Como a intensidade de cada componente de F é sempre uma 
quantidade positiva, representada pelos escalares (positivos) 
Fx e Fy, então, podemos expressar F como um vetor cartesiano. 
 
NOTAÇÃO VETORIAL CARTESIANA 
RESULTANTE DE FORÇAS COPLANARES 
•Qualquer um dos dois métodos descritos pode ser usado para 
determinar a resultante de várias forças coplanares. Por exemplo: 
RESULTANTE DE FORÇAS COPLANARES 
Usando a notação vetorial cartesiana, cada força é representada 
como um vetor cartesiano, ou seja, 
F1 = F1xi + F1yj 
F2 = – F2xi + F2yj 
F3 = F3xi – F3yj 
 
O vetor resultante é, portanto, 
FR = F1 + F2 + F3 
 
= F1xi + F1yj – F2xi + F2yj + F3xi – F3yj 
 
= (F1x – F2x + F3x) i + (F1y + F2y – F3y) j 
 
= (FRx)i + (FR y)j 
RESULTANTE DE FORÇAS COPLANARES 
Se for usada a notação escalar, temos então 
(→ + ) FRx = F1x – F2x + F3x 
(+ ↑) FRy = F1y + F2y – F3y 
 
• As componentes da força resultante de qualquer número de forças 
coplanares podem ser representadas simbolicamente pela soma 
algébrica das componentes x e y de todas as forças, ou seja, 
 
RESULTANTE DE FORÇAS COPLANARES 
• Uma vez que estas componentes são determinadas, elas podem ser 
esquematizadas ao longo dos eixos x e y com seus sentidos de direção 
apropriados, e a força resultante pode ser determinada pela adição 
vetorial. 
RESULTANTE DE FORÇAS COPLANARES 
•Pelo esquema, a intensidade de FR é determinada pelo teorema de 
Pitágoras, ou seja, 
 
 
 
•Além disso, o ângulo θ, que especifica a direção da força resultante, 
é determinado através da trigonometria: 
 
 
 
PONTOS IMPORTANTES 
 A resultante de várias forças coplanares pode ser determinada facilmente se 
for estabelecido um sistema de coordenadas x e y e as forças forem 
decompostas ao longo dos eixos. 
 
 A direção de cada força é especificada pelo ângulo que sua linha de ação 
forma com um dos eixos, ou por um triângulo da inclinação. 
 
 A orientação dos eixos x e y é arbitrária e sua direção positiva pode ser 
especificada pelos vetores cartesianos unitários i e j. 
 
 As componentes x e y da força resultante são simplesmente a soma algébrica 
das componentes de todas as forças coplanares. 
 
 A intensidade da força resultante é determinada pelo teorema de 
Pitágoras e, quando as componentes são esquematizadas nos eixos x e y, a 
direção é determinada por meio da trigonometria. 
 
 
VETORES CARTESIANOS 
• As operações da álgebra vetorial, quando aplicadas para resolver 
problemas em três dimensões, são enormemente simplificadas se os 
vetores forem primeiro representados na forma de um vetor 
cartesiano. 
SISTEMA DE COORDENADAS DESTRO 
Dizemos que um sistema de coordenadas retangular é destro desde 
que o polegar da mão direita aponte na direção positiva do eixo z, 
quando os dedos da mão direita estão curvados em relação a esse eixo 
e direcionados do eixo x positivo para o eixo y positivo. 
 
VETORES CARTESIANOS 
VETORES CARTESIANOS 
Regra da mão direita: O POLEGAR 
DESSA MÃO DIREITA APONTE NA 
DIREÇÃO POSITIVA DO EIXO Z, 
quando dos dedos dessa mão são 
dobrados em torno desse eixo e 
orientados a partir do eixo x positivo 
para o eixo y positivo. 
VETORES CARTESIANOS 
 Em geral, quando A está orientado em um oitante do sistema 
x,y,z, com duas aplicações sucessivas da lei do paralelogramo 
pode-se decompô-lo em componentes, como: 
VETORES CARTESIANOS 
VETOR UNITÁRIO 
“vetor A em 
negrito” !“tamanho do vetor” A! 
VETOR UNITÁRIO 
•Indica, portanto, que o vetor A é expresso em termos tanto 
de sua intensidade quanto de sua direção separadamente, 
ou seja, 
• A (escalar positivo) define a INTENSIDADE de A; 
• uA ( vetor adimensional) define a direção e o sentido de A 
VETORES CARTESIANOS UNITÁRIOS 
• Em três dimensões, o conjunto de vetores 
unitários i, j , k é usado para designar as 
direções dos eixos x, y e z. 
 
• O sentido ( ou ponta da flecha) desses 
valores será descrito por um sinal 
positivo ou negativo, dependendo se 
indicam o sentido positivo ou negativo 
dos eixos x,y ou z. 
 
• Os vetores cartesianos unitários positivos 
são mostrados na figura abaixo. 
REPRESENTAÇÃO DE UM VETOR CARTESIANO 
REPRESENTAÇÃO DE UM VETOR CARTESIANO 
•Como os três componentes de A atuam nas direções 
positivas i, j,k ( figura 2.24 abaixo): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Pode-se escrever A sob a forma de vetor cartesiano como: 
INTENSIDADE DE UM VETOR CARTESIANO 
• É sempre possível obter a intensidade de A, desde que ele esteja 
expresso sob a forma vetorial cartesiana. 
Como mostra a figura ao lado. 
 
•Temos , pelo triângulo retângulo azul–claro: 
 
 
•Temos , pelo triângulo retângulo cinza-
escuro: 
DIREÇÃO DE UM VETOR CARTESIANO 
• A orientação de A é definida pelos ângulos α (alfa), β(beta) e γ (gama); 
•Medidos entre a origem de A e os eixos positivos x, y , z localizados na origem de A. 
ÂNGULOS DIRETORES COORDENADOS 
•Criando um vetor unitário na direção de A; 
•Expressando A sob a forma de vetor cartesiano: 
ÂNGULOS DIRETORES COORDENADOS 
DETERMINAÇÃO DOS ÂNGULOS DIRETORES 
COORDENADOS 
ÂNGULOS DIRETORES COORDENADOS 
ÂNGULOS DIRETORES COORDENADOS 
ÂNGULOS DIRETORES COORDENADOS 
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE VETORES 
CARTESIANOS 
• As operação vetoriais de adição e subtração de dois ou 
mais vetores são simplificadas se os vetores são expressos 
em função de seus componentes. 
Capítulo 2 
2.6 
Disciplina: Mecânica Técnica 
Engenharia de Produção 
Professora : MSc. Marcela Gonçalves Ferreira 
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE VETORES 
CARTESIANOS 
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE VETORES 
CARTESIANOS 
cos2 60º 
SISTEMAS DE FORÇAS CONCORRENTES 
AULA 2 
Capítulo 2 
Disciplina: Mecânica Técnica 
Engenharia de Produção 
Professora : MSc. Marcela Gonçalves Ferreira 
Vetores Força 
Coordenadas x, y, z. 
• Será utilizado o sistema de coordenadas, usando a regra da mão direita para indicar a 
localização de pontos no espaço. 
 
• A convenção adotada será: sentido positivo do eixo z – orientado para cima( de 
modo que seja o sentido para medir a altura do objeto); 
 Os eixos x, y ficam no plano horizontal; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Os pontos no espaço estão localizados em relação à origem das coordenadas, 
O, por meio de medidas sucessivas ao longo dos eixos x, y, z. 
Coordenadas x, y, z. 
 
•Ex.: Na figura abaixo, as coordenadas do ponto A são obtidas 
começando em O e medindo xA = +4m ao longo do eixo x; 
 yA= +2m ao longo do eixo y; 
 zA = - 6m ao longo do eixo z. 
 
 
 
 
 
 
• Então, o ponto A será: 
 A ( 4, 2, -6). 
• Coordenadas de B( 0,2,0). 
 
•Coordenadas C(6,-1,4). 
 
Ponto A 
Capítulo 2 
 2.7 
Disciplina: Mecânica Técnica 
Engenharia de Produção 
Professora : MSc. Marcela Gonçalves Ferreira 
Vetor posição 
Vetor posição 
•Observe que a adição vetorial “ extremidade para origem das três componentes 
produz o vetor r ( Figura b); 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
•Começando na origem O, x desloca-se na direção de +i, depois y na direção +j, e 
depois, z na direção +k. 
•Na maioria dos casos, o vetor posição pode ser direcionado de um ponto A 
para um ponto B no espaço; 
 
•Esse vetor é designado pelo símbolo r; 
•Por uma questão de convenção, algumas vezes será 
indicado dois índices subscritos para indicar o ponto de 
origem e o ponto para o qual está orientado; 
• Assim rAB também será designado como o vetor r. 
OU 
Capítulo 2 
 2.8 
Disciplina: Mecânica Técnica 
Engenharia de Produção 
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Vetor força orientado ao longo de uma reta 
•Nos problemas de estática tridimensional, a direção de uma força é definida por 
dois pontos pelos quais passa sua linha de ação. 
 
 A força F é orientada ao longo da corda AB; 
 
Pode-se definir F como um vetor cartesiano , pressupondo que tenha a mesma 
direção e sentido que o vetor posição r orientado do ponto A para o ponto B da 
corda. 
Essa direção comum é especificada pelo vetor unitário u= r/r. Então: 
Vetor força orientado ao longo de uma reta 
 A força F é orientada ao longo da corda AB; 
 
Pode-se definir F como um vetor cartesiano , pressupondo que tenha a mesma 
direção e sentido que o vetor posição r orientado do ponto A para o ponto B da 
corda. 
 
 
Essa direção comum é especificada pelo vetor unitário u= r/r. Então: 
 
Vetor força orientado ao longo de uma reta 
•Nos problemas de estática tridimensional, a direção de uma força é definida por 
dois pontos pelos quais passa sua linha de ação. Mostrada na figura abaixo. 
Vetor força orientado ao longo de uma reta 
•Nos problemas de estática tridimensional, a direção de uma força é definida por 
dois pontos pelos quais passa sua linha de ação.