Posição Relativas entre Retas no Espaço

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Posição Relativas entre Retas no Espaço
Quando consideramos duas retas no espaço elas podem estar ou não num mesmo plano. Caso elas estejam num um mesmo plano serão ditas retas coplanares, e podemos para essas retas aplicar a análise de posição relativa que fizemos na seção anterior. Ressaltamos que se duas retas são paralelas elas são necessariamente coplanares. Por outro lado, retas não coplanares recebem o nome de reversas. Em resumo, duas retas no espaço podem ser reversas, se as duas retas não estiverem contidas num mesmo plano. Coplanares, se as duas retas estiverem contidas num mesmo plano. Neste caso, valem as classificações vistas até agora, e as retas podem ser:
Coincidentes;
Paralelas;
Concorrentes.
Retas Paralelas
Duas retas são chamadas de paralelas quando não possuem ponto em comum, ou seja, em toda a sua extensão infinita, não existe nenhum ponto de encontro entre elas. Uma boa ilustração para retas paralelas, embora seja impossível mostrá-las por inteiro, é a seguinte:
Duas retas paralelas: não possuem ponto em comum
Retas concorrentes
Duas (ou mais) retas são chamadas de concorrentes quando possuem um único ponto em comum. Nesse caso, é formado um ângulo entre elas. Quando esse ângulo é de 90°, dizemos que as retas são perpendiculares.
Duas retas concorrentes: possuem apenas um ponto de encontro
Portanto, sempre que duas retas são perpendiculares, elas também são concorrentes. No entanto, nem sempre que duas retas são concorrentes, elas são perpendiculares.
A propriedade mais interessante das retas concorrentes diz respeito a seus ângulos: ângulos adjacentes são suplementares (a soma de ângulos suplementares é igual a 180°) e ângulos opostos pelo vértice (ponto de encontro das duas retas) são iguais.
Retas coincidentes
Duas (ou mais) retas são chamadas de coincidentes quando possuem dois ou mais pontos em comum.
A propriedade dessas retas é a seguinte: Se duas retas possuem pelo menos dois pontos em comum, então, elas possuem todos os pontos em comum. Observe a imagem abaixo. Note que não é possível que duas retas distintas possuam dois pontos em comum.
 (Geometria Analítica e Vetorial - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinuê Lodovici)
Posições relativas de dois planos no espaço 
     Podemos representar dois planos α e β distintos e paralelos do seguinte modo:
Observação: Se dois planos têm todos os pontos comuns dizemos
que eles são coincidentes (paralelos e iguais).
     Dois planos distintos que têm uma reta em comum são chamados planos secantes (ou concorrentes) e essa reta comum é a intersecção dos dois planos. Ou seja:
Posição relativa entre planos
A posição relativa entre planos é o estudo de como esses objetos interagem no espaço tridimensional: com ou sem pontos na intersecção
As posições relativas entre planos são três, a saber:
Planos coincidentes
Caso idêntico ao de retas coincidentes. Quando dois planos equivalem a um único plano, ou seja, quando compartilham todos os pontos, eles são chamados de coincidentes.
Exemplo de planos coincidentes: são o mesmo plano
As retas coincidentes são aquelas que possuem dois pontos em comum. O resultado disso é que elas também compartilham todos os outros infinitos pontos. Já os planos coincidentes são aqueles que possuem três pontos não colineares – que não estão em linha reta – em comum.
Também é possível pensar nessa definição a partir de uma reta e um ponto fora dela, duas retas paralelas ou duas retas concorrentes. Se dois planos compartilham uma reta e um ponto fora dela ou duas retas paralelas ou duas retas concorrentes, eles são coincidentes.
Planos secantes
Os planos secantes, também chamados de planos concorrentes, equivalem às retas concorrentes. Assim, dois planos são secantes quando são distintos e possuem pontos em sua intersecção. Portanto, para que dois planos sejam secantes, é necessário que eles não sejam coincidentes, mas que possuam pontos em comum.
Outro modo de definir planos secantes é o seguinte: Se a intersecção entre dois planos é uma reta, esses planos são secantes. Logo, os pontos em comum entre os dois planos não coincidentes sempre serão uma reta.
As propriedades que envolvem os planos secantes α e β são as seguintes:
Se os planos α e β são perpendiculares e a reta r, pertencente ao plano α, é perpendicular à intersecção entre esses planos, então r também é perpendicular ao plano β.
Quando um plano contém uma reta perpendicular a outro, esses dois planos são perpendiculares.
Planos paralelos
Dois planos são paralelos quando não possuem ponto em comum. As propriedades dos planos paralelos são as seguintes:
Se um plano contém duas retas concorrentes paralelas a outro plano, esses dois planos são paralelos. Para que uma reta r seja paralela a um plano, é necessário encontrar uma reta s nesse plano que seja paralela à reta r;
A distância entre dois planos paralelos (α e β) é igual à distância de ponto a plano entre um ponto pertencente a α e o plano β.
(http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/posicao-relativa-entre-planos.htm)
Posição relativa entre reta e plano.
Uma reta e um plano poderão ter as seguintes posições relativas:
Reta paralela ao plano: considere uma reta t e um plano β, eles serão paralelos se não tiverem nenhum ponto em comum.
Reta contida no plano: considerando uma reta t e um plano β. t está contido em β se todos os infinitos pontos de t pertencerem a β.
Retas e planos secantes ou concorrentes: a reta t será concorrente ao plano β se possuírem um ponto em comum.
PLANO
O alfabeto do plano é o conjunto das posições genéricas que um plano 
pode ter em relação aos planos de projeção. Neste capítulo apresentam-se 
essas posições, assim como posições particulares que alguns planos 
podem ter. Mostra-se que retas podem existir em cada plano e como se 
marcam pontos nos planos. Ainda se apresentam modos diversos de definir os planos.
Plano horizontal
Plano frontal
Plano de topo
Plano vertical
Plano de perfil
Plano de rampa
Plano oblíquo
Plano horizontal
O plano horizontal é paralelo ao plano horizontal de projeção e perpendicular ao plano frontal de projeção. Tem apenas traço frontal. Este plano é projetante frontal, uma vez que as figuras que ele pode conter ficam projetadas frontalmente no seu traço.
Plano frontal
O plano frontal é paralelo ao plano frontal de projeção e perpendicular ao plano horizontal de projeção. Tem apenas traço horizontal. Este plano é projetante horizontal, dado que as figuras que ele pode conter ficam projetadas horizontalmente no seu traço.
Plano de topo
O plano de topo é perpendicular ao plano frontal de projeção e oblíquo ao plano horizontal de projeção. Tem dois traços. Este plano é projetante frontal, pois todas as figuras que nele existam ficam projetadas frontalmente no seu traço frontal
Plano vertical
O plano vertical é oblíquo ao plano frontal de projeção e perpendicular ao plano horizontal de proje-
ção. Tem dois traços. Este plano é projetante horizontal, já que todas as figuras que ele pode conter 
ficam projetadas horizontalmente no seu traço horizontal.
Plano de perfil
O plano de perfil é perpendicular aos dois planos de projeção. Tem dois traços. Este plano é duplamente projetante, o que significa que todas as figuras que nele estiverem contidas ficam projetadas em ambos os seus traços.
. 
Plano de rampa
O plano de rampa é oblíquo aos dois planos de projeção e paralelo ao eixo x. Tem dois traços. Este plano não é projetante.
Plano oblíquo
O plano oblíquo é oblíquo aos dois planos de projeção e oblíquo ao eixo x. Tem dois traços. Este plano não é projetante
Paralelismo: Sabemos que duas retas são paralelas quando são equidistantes durante toda sua extensão, não possuindo nenhum ponto em comum.
Dessa forma, considere duas retas, r e s, no plano cartesiano.
as retas R e S são paralelas se, e somente se, possuírem a mesma inclinação ou seus coeficientes angulares forem iguais.
 Perpendicularidadeentre retas 
Duas retas distintas pertencentes ao mesmo plano ou não serão perpendiculares se formarem um ângulo reto no seu ponto de encontro. 
• Perpendicularidade entre plano e reta 
Um plano α será perpendicular a uma reta t se todas as retas pertencentes a esse plano α e concorrentes a essa reta t (tiver um ponto comum) forem perpendiculares à reta t. 
• Perpendicularidade entre planos 
Dois planos serão perpendiculares se um deles contiver uma reta que seja perpendicular ao outro plano. 
(http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/perpendicularidade.htm)
Projeção ortogonal
     A projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano é a intersecção do plano com a reta perpendicular a ele, conduzida pelo ponto P:
      A projeção ortogonal de uma figura geométrica F ( qualquer conjunto de pontos) sobre um plano é o conjunto das projeções ortogonais de todos os pontos de F sobre :
Distâncias
	      A distância entre um ponto e um plano é a medida  do segmento cujos extremos são o ponto e sua projeção ortogonal sobre o plano:
	
	      A distância entre uma reta e um plano paralelo é a distância entre um ponto qualquer da reta e o plano:
	
	      A distância entre dois planos paralelos é a distância entre um ponto qualquer de um deles e o outro plano:
	
	      A distância entre duas retas reversas, r e s, é a distância entre um ponto qualquer de uma delas e o plano que passa pela outra e é paralelo à primeira reta:
	
Exercícios:
Questão 1 (ESFCEX 2009). Sobre os elementos primitivos da geometria espacial, assinale a alternativa correta.
a) Dois planos paralelos a uma reta são paralelos entre si.
b) Quatro pontos não coplanares determinam quatro planos.
c) Duas retas distintas não paralelas se cortam em um ponto.
d) Três planos distintos sempre se cortam segundo uma reta.
e) Duas retas distintas ortogonais a uma terceira são ortogonais entre si.
Resolução
Vamos analisar cada caso: 
a) Dois planos paralelos a uma reta são paralelos entre si.
A afirmação não está correta. Podemos verificar através da figura abaixo, onde temos dois planos (vermelho e laranja) paralelos à reta r e que NÃO são paralelos entre si.
 
b) Quatro pontos não coplanares determinam quatro planos.
A afirmação está correta. Sejam os pontos A, B, C e D, não coplanares. Podemos formar 4 planos: ABC, ABD, ACD, BCD.
 
c) Duas retas distintas não paralelas se cortam em um ponto.
A afirmação não está correta. Veja na figura duas retas não paralelas que não se cortam em um ponto.
 
d) Três planos distintos sempre se cortam segundo uma reta.
A afirmação não está correta. Veja na figura um exemplo de três planos distintos e que não se cortam.
 
e) Duas retas distintas ortogonais a uma terceira são ortogonais entre si.
A afirmação está incorreta. Veja na figura um exemplo de duas retas distintas (r, s), ortogonais a reta t, porém não ortogonais entre si.
Resposta: B
(PM ES 2013 – Exatus). Dadas as retas r e s, determinadas respectivamente pelas equações 2x + y = 3 e 3x – 4y = -23, é correto afirmar que r e s são retas:
a) concorrentes
b) iguais
c) paralelas
d) perpendiculares
 
Resolução:
Vamos descobrir se as retas têm pontos em comum, para isto, devemos substituir uma reta na outra, conforme abaixo:
Na equação da reta r temos:
y = 3 – 2x 
Substituindo na equação da reta s:
3x – 4(3 – 2x) = -23
3x – 4.3 + 4.2x = -23
3x + 8x – 12 = -23
11x = -23 + 12
11x = -11
x = -11/11 = -1
 
Voltando a equação da reta r, agora com o valor de x = -1:
y = 3 – 2x = 3 – 2(-1) = 3 + 2 = 5
 Assim, o ponto em comum é (-1, 5) e as retas são concorrentes.
Resposta: A
Qual é a distância entre os pontos A e B, em centímetros, sabendo que suas coordenadas são A = (2,3) e B = (-2,-2)?
a) 41 cm
b) 6 cm
c) 49 cm
d) 41,5 cm
e) 6,4 cm
Basta utilizar a fórmula para distância entre dois pontos. Observe:
 Gabarito: Letra E.
Referências:
https://antoniogalrinho.files.wordpress.com/2010/07/3-plano6.pdf;
https://blogdoenem.com.br/paralelismo-e-perpendicularismo/;
www.exatas.ufpr.br/portal/docs_degraf/elementos.pdf;
utfpr.edu.br/taniapreto/geometria-analitica-e-algebra.pdf;
http://www.mat.ufmg.br/ead/acervo/livros/Fundamentos_de_geometria_espacial-sergio-02.pdf;
Livro novo olhar matemática de Joamir Sousa;
Livro contexto e aplicações de Luiz Roberto Dante.
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Mato Grosso - Campus sorriso
 
Discente: Juliana Pigozzo
Turma: 2° ano B do ensino médio integrado ao curso técnico em Alimentos 
	
 	Trabalho avaliativo de matemática
Trabalho para a disciplina de matemática ministrada pela professora Liana Krakecker ifmt/sorriso MT.
Setembro -2017