AULA 01 CARACTERISTICAS GEOMETRICAS, ESFORCOS EXTERNOS E INTERNOS

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Professor: Glediston Nepomuceno Costa Júnior
Características Geométricas de 
Superfícies Planas
Introdução
 As figuras planas simples (retângulos, triângulos, 
círculos) e compostas (trapézios, losangos) possuem 
características geométricas.
 Algumas dessas características são facilmente 
percebidas (dimensões como base, altura, raio), 
enquanto outras precisam ser calculadas para que 
sejam conhecidas (área, momento estático, centróide, 
momento de inércia, raio de giração).
Momento Estático
 Definimos o momento estático 
para um elemento infinitesimal 
como sendo o produto da área 
desse elemento (dS) pela 
distância dele ao eixo de 
referência (x ou y).
 Para obter o momento estático 
(momento de primeira ordem) 
da área total, devemos integrar 
sobre toda a superfície.
Momento Estático
 A partir de uma análise dimensional, a unidade dos 
momentos estáticos é dada pela dimensão L3 .
 Os momentos estáticos são necessários para 
determinar as tensões de cisalhamento que atuam na 
peça devido ao esforço cortante.
Centróide
 É o centro geométrico de 
figuras geométricas.
 É o ponto em que a 
estrutura se mantém em 
equilíbrio.
 Pode está localizado na 
própria figura ou fora 
dela.
Momento de Inércia
 O momento de inércia de 
uma superfície plana em 
relação a um eixo de 
referência, é definido 
através da integral de área 
dos produtos entre os 
infinitésimos da área que 
compõem a superfície e 
suas respectivas distâncias 
ao eixo de referência 
elevadas ao quadrado.
Momento de Inércia
 Os momentos de inércia são características geométricas 
importantes utilizadas no dimensionamento de peças 
sujeitas à flexão.
 Quanto maior for o momento de inércia da Seção 
Transversal em relação ao eixo perpendicular ao plano de 
atuação da flexão, maior será a resistência da peça.
 Realizando uma análise dimensional, temos que a unidade 
do momento de inércia tem a seguinte dimensão: L4.
Momento Polar de Inércia
 É uma característica 
geométrica utilizada nos 
cálculos das tensões 
devidas à torção e 
representa parte da 
resistência do corpo à 
torção.
Momento Polar de Inércia
Teorema dos Eixos Paralelos
Raio de Giração
 É uma característica geométrica utilizada no 
dimensionamento de pilares, que são peças sujeitas à 
compressão paralela ao seu eixo longitudinal e que 
provoca o efeito de flambagem.
 O raio de giração é definido como uma relação entre o 
momento de inércia e a área da figura plana.
Raio de Giração
 Realizando uma análise dimensional, observamos que 
a unidade do raio de giração é dada em dimensão de 
comprimento (L).
Exemplo 01
 Determinar as 
coordenadas do CG de 
cantoneira de abas 
desiguais representada 
na figura a seguir.
 Unidades em mm.
Exemplo 02
 Determinar as 
coordenadas do CG da 
superfície hachadura
representada na figura a 
seguir.
 Considere r = 2 m.
Exemplo 03
 Dado o perfil T, 
determinar o momento 
de inércia e o raio de 
giração relativo ao CG.
 Unidades em mm.
Respostas
Exemplo 01
 xc = 16,54 mm.
 yc = 26,54 mm.
Exemplo 02
 xc = yc = 1,55 m.
Exemplo 03
 Ix = 19,64 cm
4.
 Iy = 10,75 cm
4.
 rx = 1,48 cm.
 ry = 1,09 cm.
Exercício 01
 Dado o perfil I, 
determinar o momento 
de inércia e o raio de 
giração relativo ao CG.
 Unidades em mm.
Respostas
Exercício 01
 Ix = 830.833,33 mm
4.
 Iy = 110.833,33 mm
4.
 rx = 25,28 mm.
 ry = 9,23 mm.
Esforços Externos
Introdução
 No dimensionamento de qualquer peça estrutural, 
além de calcular algumas das características 
geométricas da seção transversal (ST), necessitamos, 
também, conhecer quais são, de que tipo e qual a 
magnitude das cargas que atuam no elemento 
estrutural a ser dimensionado.
Vigas
 As vigas são elementos estruturais que oferecem 
resistência à flexão, que é provocada por 
carregamentos aplicados.
 Por definição, as vigas têm duas dimensões muito 
menores que a terceira (comprimento) e as cargas que 
as solicitam são perpendiculares ao seu eixo 
longitudinal.
Tipos de Vigas
 Em geral, elas são retas, têm ST constante e são 
nomeadas de acordo com seus apoios ou conexões.
Tipos de Apoios
Cálculo das Reações de Apoio
 Estudaremos apenas as estruturas isostáticas, ou seja,
aquelas que podem ser resolvidas somente com a 
utilização das três equações de equilíbrio.
Tipos de Carregamentos nas 
Estruturas
 Cargas externas: provenientes das peças das máquinas 
ou das partes da edificação.
 Esforços internos: responsáveis por manterem unidas 
as partes internas do elemento estrutural.
Tipos de Carregamentos nas 
Estruturas
As cargas externas são de dois tipos:
 Cargas Concentradas: aquelas que atuam em um ponto 
ou região desprezível.
 Cargas Distribuídas: atuam em um trecho ao longo do 
comprimento da viga.
Tipos de Carregamentos nas 
Estruturas
 Essas cargas gerarão esforços internos (momentos 
fletores e esforços cortantes) que devemos determinar 
para podermos dimensionar a viga.
 Determinar erradamente o valor ou posição da carga 
atuante implica em comprometer todo o 
dimensionamento.
Cargas Concentradas
 As cargas concentradas são representadas por uma 
seta.
 Normalmente elas provêm de peças que se apoiam em 
vigas.
 Dessa forma, de acordo com a lei da ação e reação, a 
reação de apoio em uma peça será a ação atuante na 
viga na qual ela se apoia.
Cargas Concentradas
Carga Uniformemente Distribuída e 
Variável
 As cargas distribuídas (normalmente indicadas pela 
letra “q”) são representadas por um conjunto de setas 
ligadas por uma reta ou curva.
 Elas são devidas ao peso próprio da viga, ao peso das 
paredes (ou chapas metálicas verticais) apoiadas 
diretamente sobre a viga, e às reações de apoio de lajes 
apoiadas na viga.
Carga Uniformemente Distribuída e 
Variável
Reações de Apoio devidas às Cargas 
Concentradas
Reações de Apoio devidas a Cargas 
Distribuídas
 Uma carga distribuída sobre um trecho de uma viga 
pode ser substituída por uma carga concentrada 
equivalente, de magnitude igual à área da figura da 
carga distribuída e aplicada no centróide dessa figura.
 Substituindo a carga distribuída por uma carga 
concentrada equivalente, podemos calcular as reações 
de apoio como no caso das vigas sujeitas à carga 
concentrada.
Reações de Apoio devidas a Cargas 
Distribuídas
Reações de Apoio devidas a Cargas 
Distribuídas
Reações de Apoio devidas a Cargas 
Distribuídas
Peso Próprio
Peso Próprio
 Para obtermos o peso próprio distribuído, 
multiplicamos a área da ST pelo peso específico do 
material que compõe a viga.
 É usual denominar “W” ao peso próprio concentrado, 
“P” às demais cargas concentradas, “g” ao peso próprio 
distribuído e “q” às demais cargas distribuídas 
(inclusive quando somadas ao peso próprio 
distribuído).
Exercício 02
 Determine as reações de apoio da viga.
Exercício 03
 Determine as reações de apoio da viga.
Respostas
Exercício 02
 RA = 18 kN.
 RB = 22 kN.
Exercício 03
 RA = 55 kN.
 RB = 45 kN.
Diagramas dos Esforços Internos 
Solicitantes