capitulo_9_-_integrais_multiplas

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PROF. GUSTAVO VIEGAS 
MATEMÁTICA 
 
RESUMO TEÓRICO 
 
Integrais múltiplas 
 
Integrais duplas 
 
Se z = f(x,y) é uma função positiva para todo (x,y) numa 
região R, então o volume do cilindro limitado pelo gráfico 
de f e o plano xy é 
 
 
 
 
A área de uma região R é 
 
 
 
 
Se R é uma região limitada acima por y = (x) e abaixo por 
y = (x), para a  x  b, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se T é uma região limitada à direita por x = (y) e à 
esquerda por x = (y), para c  y  d, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação 
Em coordenadas polares o elemento de área é dA = rdrd. 
 
Integrais triplas 
 
Se (x, y, z) é a função densidade de um sólido S, então a 
massa de S é 
  
 
 
 
O volume de um sólido S é 
 
 
 
 
Em coordenadas cartesianas dV = dzdydx 
Em coordenadas cilíndricas, dV = rdzdrd. 
Em coordenadas esféricas dV = sen()d dd. 
 
 
 
 
 
 
Integrais de linha 
 
O trabalho realizado pelo campo = f(x, y) + g(x, y) sobre 
uma partícula que percorre a curva C é 
 
 
 
 
 
 
A integral pode ser calculada se tomarmos a 
parametrização (t) = (x(t), y(t)), a ≤ t ≤ b, da curva C. 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema de Green 
Seja R uma região limitada por uma curva C simples, 
fechada C e com orientação positiva. Se = f(x, y) + g(x, y) 
é tal que f e g possuem derivadas de primeira ordem 
contínuas em R, então 
 
 
 
 
 
 
Definição (campo conservativo) 
Dizemos que = f(x, y) + g(x, y) é um campo conservativo 
se existe um potencial (x, y) tal que = . 
 
Proposição 
Se = f(x, y) + g(x, y) é conservativo, então 
 
a) 
b) A integral não depende do caminho e, como = , 
 
 
   
c) Se C é um caminho fechado,