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Gabarito da Segunda Prova de Ca´lculo I - 2014 Unifesp- 1o semestre [01] Calcule ∫ 4 0 3x √ x2 + 2dx Resposta:: 52 √ 2 [02] Calcule a integral indefinida abaixo:∫ cos7(x)sen(x)dx. Resposta: − 18cos8(x) + C. [03] Calcule ∫ x cos(7x)dx Resposta: 149cos(7x) + x 7 sen(7x) + C [04] Qual e´ a a´rea entre as curvas y = cos(x) e y = cos2(x) entre 0 e pi2 ? Resposta: Nenhuma das respostas. (1− pi4 ) [05] Calcule a integral abaixo∫ xsen(x)cos(x)dx. Resposta: −x2 cos2(x) + 14cos(x)sen(x) + x4 + C. Questa˜o 6 Resolva as integrais abaixo: (a) (2,0 pontos) ∫ exsen(x)dx Soluc¸a˜o: u = sen(x), dv = exdx v = ex, du = cos(x)dx∫ exsen(x) dx = exsen(x)− ∫ excos(x)dx. Novamente usando integrac¸a˜o por partes na u´ltima integral do lado direito: u = cos(x), dv = exdx v = ex, du = −sen(x)dx∫ exsen(x) dx = exsen(x)− ( excos(x)− ∫ ex(−sen(x))dx ) = ex(sen(x)− cos(x))− ∫ exsen(x)dx︸ ︷︷ ︸ ←↩ +C ∴ 2 ∫ exsen(x) dx = ex(sen(x)− cos(x)) + C ⇒ ∫ exsen(x) dx = 1 2 ex(sen(x)− cos(x)) + C (b) (1,0 ponto) ∫ tg(x)dx Soluc¸a˜o: ∫ tg(x)dx = ∫ sen(x) cos(x) dxu = cos(x) du dx = −sen(x)⇒ dx = − du sen(x)∫ tg(x)dx = − ∫ du u = −ln|cos(x)|+ C (c) (2,0 pontos) ∫ 1 x2 √ 16−x2 dx Soluc¸a˜o: Fazendo a substituic¸a˜o trigonome´trica x = 4 sen(θ)⇒ dx = 4 cos(θ)dθ temos∫ 1 x2 √ 16− x2 dx = ∫ 1 16sen2(θ) √ 16− 16sen2(θ)4 cos(θ)dθ = 1 16 ∫ 1 sen2(θ) ��� �4 cos(θ) ��� �4 cos(θ) dθ = 1 16 ∫ cossec2(θ)dθ = − 1 16 cotg(θ) + C O triaˆngulo nos permite escrever 1 θ x √ 16− x2 4 ∫ 1 x2 √ 16− x2 dx = − √ 16− x2 16x + C 2
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