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___________________________ Matemática Combinatória _____________________________	_ ______________________ Princípio Aditivo e Multiplicativo ___________________________
Matemática Combinatória
   
A necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória. Trata-se de uma parte da Matemática que estuda os métodos de contagem. Esses estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois dele vieram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662). 
  
	
Pascal
	
Fermat
	
Tartaglia
I − Princípio Aditivo e Princípio Multiplicativo
Exemplo 1: Suponha que tenham entrado em cartaz 3 filmes e 2 peças de teatro e que Carlos tenha dinheiro para assistir a apenas 1 evento. Quantos são os programas que Carlos pode fazer no sábado?
 
Exemplo 2: Se no exemplo 1 Carlos tiver dinheiro para assistir a um filme e a uma peça de teatro, quantos são os programas que ele pode fazer no sábado?
 Os exemplos acima ilustram o Princípio Aditivo e o Princípio Multiplicativo, respectivamente.
 Princípio aditivo: Se A e B são dois conjuntos disjuntos (A(B = () com, respectivamente, p e q elementos, então A(B possui p+q elementos.
Extensão do princípio Aditivo: Se A1, A2, ... , An são conjuntos disjuntos 2 a 2, e se Ai possui ai elementos, então a união 
possui 
.
Princípio Multiplicativo: Se uma decisão 
 pode ser tomada de x maneiras e se, uma vez tomada a decisão 
, a decisão 
 puder ser tomada de y maneiras então o número de maneiras de se tomarem as decisões 
 e 
 é x . y. Em linguagem de conjuntos, se A é um conjunto com x elementos e B é um conjunto com y elementos, então o conjunto AxB (lê-se A cartesiano B) dos pares ordenados (a, b), tais que a pertence a A e b pertence a B, tem cardinalidade x . y.
 
Extensão do princípio multiplicativo: Se um evento Ai pode ocorrer de xi maneiras diferentes, para i = 1, 2, 3, ..., n, então esses n eventos podem ocorrer, em sucessão, de x1 . x2 . .... . xn maneiras diferentes.
Aplicações do Princípio Aditivo e Multiplicativo
Exemplos
01 ( Para fazer uma viagem Rio(São Paulo(Rio, posso usar como transporte o trem, o ônibus ou o avião. De quantos modos posso escolher os transportes se não desejo usar na volta o mesmo meio de transporte usado na ida?
02 − Um marceneiro tem 20 modelos de cadeiras e 5 modelos de mesa. De quantas maneiras podemos formar um conjunto de 1 mesa com 4 cadeiras iguais?
03 ( Uma bandeira é formada por quatro listras, que devem ser coloridas usando-se apenas as cores amarelo, branco, e cinza, não devendo listras adjacentes ter a mesma cor. De quantos modos pode ser colorida a bandeira?
04 − Um amigo mostrou-me 5 livros diferentes de matemática, 7 livros diferentes de física e 10 livros diferentes de química e pediu-me para escolher 2 livros com a condição de que eles não fossem da mesma matéria. De quantas maneiras eu posso escolhê-los?
05 − Quantos são os anagramas de 2 letras formados por uma vogal e uma consoante escolhidos dentre 18 consoantes e 5 vogais?
06 − Há 12 moças e 10 rapazes, onde 5 deles (3 moças e 2 rapazes) são filhos da mesma mãe e os restantes não possuem parentesco. Quantos são os casamentos possíveis?
07 ( Quantos números naturais de três algarismos distintos (na base 10) existem? Quantos números inteiros entre 100 e 999 não têm algarismos repetidos?
“Pequenas dificuldades adiadas costumam transformar-se em grandes dificuldades. Se alguma decisão é mais complicada que as demais, ela deve ser tomada em primeiro lugar.”
08 ( Quantos números naturais de 4 algarismos (na base 10), que sejam menores que 5000 e divisíveis por 5, podem ser formados usando-se apenas os algarismos 2, 3, 4, e 5?
09 − Escrevendo-se os números inteiros de 1 a 2000, inclusive, quantas vezes o algarismo 1 é escrito?
10 − Quantos são os números que podemos formar com todos os dígitos 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2 e 3?
11 − Quantos são os divisores positivos de 178200?
12 − Uma moeda equilibrada é lançada 4 vezes e, em cada lançamento, o que aparece na face superior é anotado.
a) Qual o número de resultados possíveis?
b) Encontre o número de maneiras distintas nas quais cara aparece em seguida, exatamente, 2 vezes?
Aplicações
01 ( Quantas palavras contendo 3 letras diferentes podem ser formadas com um alfabeto de 26 letras? 15 600
02 ( Quantos são os gabaritos possíveis de um teste de 10 questões de múltipla-escolha, com cinco alternativas por questão? 510
03 ( Quantos inteiros há entre 1000 e 9999 cujos algarismos são distintos? 4 536
04 ( De quantos modos diferentes podem ser escolhidos um presidente e um secretário de um conselho que tem 12 membros? 132
05 – De quantos modos 3 pessoas podem sentar-se em cinco cadeiras em fila? 60
06 ( Quantos números de quatro dígitos são maiores que 2400 e:
têm todas os dígitos diferentes. 3 864
não têm dígitos iguais a 3, 5, ou 6. 1 568
têm as propriedades a) e b) simultaneamente. 560
07 ( O conjunto A possui 4 elementos e o conjunto B possui 7 elementos. Quantas são as funções f: A(B? Quantas são as funções injetoras f: A(B? 2 401; 840
08 ( A e B são conjuntos tais que #A = n e #B = r. Quantas funções f: A(B existem? rn
09 ( Quantos divisores naturais possui o número 360? Quantos são pares? 24; 18
10 ( Quantos divisores positivos tem o número N = 2a . 3b. 5c. 7 d?
11 ( Quantos são os números naturais de 4 dígitos que possuem pelo menos dois dígitos iguais? 4 464
12 ( Quantos subconjuntos possui um conjunto que tem n elementos?
13 ( De quantos modos podemos arrumar 8 torres iguais em um tabuleiro de xadrez (8x8) de modo que não haja duas torres na mesma linha nem na mesma coluna? 8!
14 ( Em uma banca há 5 exemplares iguais da revista A, 6 exemplares iguais de revista B e 10 exemplares iguais da revista C. Quantas coleções não vazias de revistas dessa banca é possível formar? 461
15 – De um baralho comum (52 cartas) sacam-se sucessivamente e sem reposição três cartas. Quantas são as extrações nas quais a primeira carta é de copas, a segunda é um rei e a terceira não é uma dama? 2 350
16 ( Um vagão de metrô tem 10 bancos individuais, sendo 5 de frente e 5 de costas. De 10 passageiros, 4 preferem sentar de frente, 3 preferem sentar de costas e os demais não têm preferência. De quantos modos os passageiros podem se sentar, respeitando-se as preferências? 43 200
17 – Há duas estradas principais da cidade A até a cidade B, ligadas por 10 estradas secundárias, como na figura. Quantas rotas livres de auto interseções há de A até B? 211
18 - Quantos números inteiros entre 100 e 999 são ímpares e possuem três dígitos distintos? 320
19 – Quantos são os números de 5 algarismos, na base 10:
a) nos quais o algarismo 2 figura? 37 512
b) nos quais o algarismo 2 não figura? 52 488
20 – Em um concurso há três candidatos e cinco examinadores, devendo cada examinador votar em um candidato. De quantos modos os votos podem ser distribuídos? 243
21 - O código morse usa “palavras” contendo de 1 a 4 “letras”, as “letras” sendo ponto e traço. Quantas “palavras” existem no código morse? 30
22 ( Fichas podem ser azuis, vermelhas ou amarelas; circulares, retangulares ou triangulares; finas ou grossas. Quantos tipos de fichas existem? 18
23 – No Senado Federal, o Distrito Federal e os 26 estados da federação têm 3 representantes cada. Deve-se formar uma comissão de modo que todos os estados e o distrito Federal estejam representados por 1 ou 2 senadores. De quantos modos essa comissão pode ser formada? 627
24 ( a) Quantas são as palavras de cinco letras distintas de um alfabeto de 26 letras nas quais a letra A figura, mas não é a letra inicial da palavra? b) Refaça o item a) suprimindo a palavra “distintas” do enunciado.
25 − (FUVEST)Quantos são os números inteiros positivos de 5 algarismos que não tem algarismos adjacentes iguais? 95
26 − ​(FUVEST) Sendo A = {2,3,5,6,9,13} e B={ab / a(A, b(A, a ( b}, o número de elementos de B que são pares é?
27 − Uma moeda equilibrada é jogada 5 vezes e, em cada lançamento, é anotado o que aparece na face superior. Encontre o número de maneiras distintas em que coroa aparece em seguida no mínimo 3 vezes. 8
28 − Um salão tem 5 portas e estão todas fechadas. De quantas maneiras diferentes ele poderá ser aberto? 31
29 – Quantos números inteiros múltiplos de 5 existem de 10000 a 60000? 10001
30 − a) Quantos divisores inteiros positivos possui o número 99000? 96 
b) Quantos desses divisores são ímpares? 24 
c) Quantos são pares? 72 
d) Quantos são quadrados perfeitos? 8 
e) Quantos são cubos perfeitos? 4
II ( Permutações Simples
Fatorial
	A fim de simplificar as fórmulas do número de permutações e de arranjos, bem como outras que iremos estudar, vamos definir o símbolo fatorial.
	Seja n um número inteiro não negativo (n(N). Definimos fatorial de n (e indicamos por n!) por meio da relação: 
n! = n . (n −1) . ... . 3.2.1 , com n(2 e definimos 1! = 1 e 0! = 1.
Exemplos:
a) 
b) 
Exercício:
1 − Mostre que: 
5! + 7! ≠12!
8! − 3! ≠5!
2 . (5!) ≠(2.5)!
2 − Obtenha m na equação (m + 2)! = 72.m!
3 − Exprima mediante fatoriais 12 . 22 . 32. ... . n2
4 − (PUC - RS) A expressão (n − 1)! [ ( n+1)! − n!] equivale a:
(a) n! (b) (n-1)! (c) (n+1)! (d) (n!)2 (e) [(n-1)!]2
5 − (UFCE) A soma e o produto das raízes da equação 
 		(x + 1)! = x ! + 6x são?
Permutação Simples 
	Dados n objetos distintos 
,
, .., 
, de quantos modos é possível ordená-los?
Por exemplo: Para os objetos A, B e C, há 6 ordenações.
O número de modos de ordenar n objetos distintos é n.(n(1) . ... .1 = n!
Cada ordenação dos n objetos é chamada uma permutação simples dos n objetos e o número de permutações simples de n objetos distintos é representado por 
. Assim, 
= n! ( Já que 0! = 1, define-se 
=1)
Exemplos
01 ( Quantos são os anagramas da palavra PRÁTICO? 5040
02 ( Quantos são os anagramas da palavra PRÁTICO que começam e terminam por consoante? 1440
03 − De quantas maneiras 12 moças e 12 rapazes podem formar pares para uma dança? 12!
04 ( De quantos modos 5 rapazes e 5 moças podem se sentar em 5 bancos de dois lugares cada, de modo que em cada banco fiquem um rapaz e uma moça? 460 800
05 − Uma agência de propaganda deve criar o nome de um sabonete a partir de 5 sílabas significativas, definidas previamente. Qualquer uma destas 5 sílabas, sozinha ou combinada com uma ou mais das outras quatro, poderá formar um nome. Qual o número de nomes diferentes possíveis que podem ser formados, sem repetir sílaba? 325
06 ( De quantos modos podemos formar uma roda com 5 crianças? 24
07 − Considerando os dígitos 1, 2, 3, 4 e 5, quantos números de 2 algarismos distintos podem ser formados? 20
08 − Dado o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}, quantos subconjuntos de 2 elementos A possui? 10
09 − De quantos modos podemos dividir 8 pessoas em dois grupos de 4 pessoas cada? 35
10 − De quantas maneiras distintas posso distribuir 10 pessoas em 3 grupos onde um terá 5 pessoas, o outro 3 e o terceiro 2 pessoas? 2520
11 − De quantas maneiras podemos distribuir 6 objetos diferentes entre 2 pessoas, de modo que cada uma receba pelo menos 1 objeto? 62
12 − De quantas maneiras podemos separar 6 objetos diferentes em 2 conjuntos não-vazios? 31
13 − De quantas maneiras podemos distribuir 6 laranjas (iguais) entre 2 pessoas? Acrescentando a restrição que cada pessoa receba pelo menos 1 laranja? 7 ; 5
14 − De quantas maneiras podemos distribuir 6 laranjas (iguais) em 2 caixas iguais? 4
15 − De quantas maneiras podemos distribuir 5 laranjas (iguais) em 2 caixas iguais? 3
16 − De quantas maneiras podemos distribuir 6 laranjas (iguais) em 2 caixas iguais, de modo que nenhuma caixa fique vazia? 3
17 − De quantas maneiras podemos distribuir 5 laranjas (iguais) em 2 caixas iguais, de modo que nenhuma caixa fique vazia? 2
Aplicações
01 ( Quantos são os anagramas da palavra CAPÍTULO:
que começam por consoante e terminam por vogal? 11 520
que têm as letras C, A, P juntas nessa ordem? 720
que têm as letras C, A, P juntas em qualquer ordem? 4320
que tem as vogais e as consoantes intercaladas? 1152
que tem a letra C em 1º lugar e a letra A em 2º lugar? 720
que tem a letra C em 1º lugar ou a letra A em 2º lugar? 9360
 02 ( Permutam-se de todos os modos possíveis os algarismos 1,2,4,6,7 e escrevem-se os números assim formados em ordem crescente. 
a) que lugar ocupa o número 62417?	81ª
b) qual o número que ocupa o 66º lugar? 46 721
03 ( De quantos modos é possível sentar 7 pessoas em cadeiras em fila de modo que duas determinadas pessoas dessas 7 não fiquem juntas? 3 600
04 – De quantos modos é possível colocar em uma prateleira 5 livros diferentes de matemática, 3 diferentes de física e 2 diferentes de estatística, de modo que livros de um mesmo assunto permaneçam juntos? 8 640
05 ( De quantas formas 12 crianças podem formar uma roda? 39 916 800
06 ( Se A é um conjunto com n elementos, quantas são as funções f: A (A bijetoras? n!
07 ( De quantas formas 4 homens e 5 mulheres podem ficar em fila, se: a) os homens devem ficar juntos; 17 280
b) os homens devem ficar juntos e as mulheres também? 5 760 
08 - De quantos modos podemos dividir 12 pessoas:
a) em dois grupos de 6? 462 
b) em três grupos de 4? 5 775
c) em um grupo de 5 e um grupo de 7? 792
d) em seis grupos de 2? 10 395
e) em dois grupos de 4 e dois grupos de 2? 51 975
09 ( De quantos modos r rapazes e m moças podem se colocar em fila de modo que as moças fiquem juntas? m! (r+1)!
10 ( Delegados de 10 países devem se sentar em 10 cadeiras em fila. De quantos modos isso pode ser feito se os delegados do Brasil e de Portugal devem sentar juntos e o do Iraque e o dos EUA não podem sentar juntos? 564 480
11 ( Um cubo de madeira tem uma face de cada cor. Quantos dados diferentes podemos formar gravando números de 1 a 6 sobre essas faces? 720
12 ( Temos 5 meninas e 5 meninos De quantos modos eles podem ficar em fila se meninos e meninas ficam em posições alternadas? 28 800
13 ( Temos m meninos e m meninas. De quantas formas eles podem formar uma roda, de modo que os meninos e as meninas se alternem? (m-1)! m!
14 – Um campeonato é disputado por 12 clubes em rodadas de 6 jogos cada. De quantos modos é possível selecionar os jogos de primeira rodada? 10 395
15 ( Considere um teste de múltipla escolha, com 5 alternativas distintas, sendo uma única correta. De quantos modos distintos podemos ordenar as alternativas, de maneira que a única correta não seja nem a primeira nem a última? 72
16 − Quantos subconjuntos de 3 elementos possui o conjunto {1,2,3,4 5}? 10
17 − De quantas maneiras diferentes as letras a, a, a, a, b, b, b, c, c, d, podem ser distribuídas entre duas pessoas? 120
18 − Numa sorveteria, há 20 sabores diferentes de sorvete. Considerando que não se possa misturar sabores, de quantas maneiras 7 amigos podem fazer seus pedidos? 207
19 − De quantas maneiras podemos distribuir n objetos diferentes em duas caixas diferentes, de modo que nenhuma caixa fique vazia? 2n − 2
20 − De quantos maneiras podemos distribuir n objetos diferentes em 2 caixas iguais, de modo que nenhuma fique vazia? 2n −1 −1
21 − De quantas maneiras podemos distribuir n objetos iguais em 2 caixas diferentes? Acrescentando que nenhuma caixa fique vazia? n+1;n−1
22 − Seja n um número par de objetos idênticos. De quantas maneiras podemos colocá-los em 2 caixas iguais? n/2 +1
23 − Seja n um número ímpar de objetos idênticos. De quantas maneiras podemos colocá-los em 2 caixas iguais? (n+1)/2
24 − Seja n um número par de objetos idênticos. Dequantas maneiras podemos colocá-los em 2 caixas iguais, de modo que nenhuma caixa fique vazia? n/2
25 − Seja n um número ímpar de objetos idênticos. De quantas maneiras podemos colocá-los em 2 caixas iguais, de modo que nenhuma caixa fique vazia? (n−1)/2
26 − 5 rapazes e 5 moças devem posar para uma fotografia, ocupando 5 degraus de uma escadaria, de forma que em cada degrau fique um rapaz e uma moça. De quantas maneiras podemos arrumar este grupo? 460 800
27 − Há 15 estações num ramal de estrada de ferro. Quantos tipos de bilhetes de passagem são necessários para permitir a viagem entre 2 estações quaisquer? 210
28 − a) Qual a soma dos divisores inteiros de 720? 2418
b) De quantos modos 720 pode ser decomposto em um produto de dois inteiros positivos? 15
Arranjos 
Arranjos com repetição
 Exemplo 1: Uma urna contém uma bola vermelha (V), uma branca (B) e uma azul (A). Uma bola é extraída, observada sua cor e reposta na urna. Em seguida outra bola é extraída e observada sua cor. Quantas são as possíveis seqüências de cores observadas? 9
Definição: Seja M = {a1, a2, ..., an} e indicamos por (AR)n,r o número de arranjos com repetição de n elementos tomados r a r. Cada arranjo com repetição é uma seqüência de r elementos, em que cada elemento pertence a M. Logo, o número de arranjos com repetição será: 	(AR)n,r = n . n . .... . n = nr
Arranjos Simples
Exemplo 2: Em um campeonato de futebol, participam 20 times. Quantos resultados são possíveis para os três primeiros lugares? 6840 
Definição: Arranjos simples de n elementos tomados r a r, onde n ( 1 e r é um número natural tal que r ( n, são todos os grupos de r elementos distintos, que diferem entre si pela ordem e pela natureza dos r elementos que compõem cada grupo. Logo, o número de arranjos simples (seqüência de r elementos) será:
 
 A
 = n . (n-1)....[n-(r-1)] =
 = n . (n −1)....[n-(r-1)]
=
 A
=
 
III ( Combinações Simples
	De quantos modos podemos escolher p objetos distintos entre n objetos distintos dados? Ou, quantos são os subconjuntos com p elementos do conjunto {
,
, ..., 
}?
Exemplo: As combinações simples de classe 3 dos objetos a, b, c, d, e, são:
{a,b,c} {a,b,d}{a,b,e}{a,c,d}{a,c,e}{a,d,e}{b,c,d}{b,c,e}{b,d,e}{c,d,e}
O número de combinações simples de classe p de n objetos é representado por 
. Assim, 
=10.
Analisemos esta resposta: a escolha do 1º elemento da combinação pode ser feita de 5 modos; a do 2º, de 4 modos e a do 3º de 3 modos. A resposta parece ser 5x4x3=60. Entretanto se pensarmos numa combinação, por exemplo {a,b,c}, verificamos que as combinações {a,b,c},{a,c,b}, {b,a,c} etc... são idênticas e foram contadas como se fossem diferentes. Na resposta 60 estamos contando cada combinação uma vez para cada ordem de escrever seus elementos. Como em cada combinação os elementos podem ser escritos em 
=3! = 6 ordens, cada combinação foi contada 6 vezes. Logo, a resposta é 60/6 = 10.
No caso geral, temos 
=
 
=
,0 ( p ( n.
Exemplos
Quantas saladas, contendo exatamente 4 frutas, podemos formar se dispomos de 10 frutas diferentes? 210
2) Quantos triângulos diferentes podem ser traçados utilizando-se 14 pontos de um plano, não havendo 3 pontos alinhados? 364
Marcam-se 5 pontos sobre uma reta R e 8 pontos sobre uma reta R’ paralela à R. Quantos triângulos existem com vértice em 3 desses 13 pontos? 220
Combinações Complementares
Consideremos n objetos distintos. O número de maneiras de escolhermos p objetos é idêntico ao número de maneiras de escolhermos (n−p) objetos, pois, se dos n objetos tirarmos p, sobram (n−p) e, conseqüentemente, se de n objetos tirarmos (n−p), sobram p. Logo, 
 , no qual 
é chamada combinação complementar de 
.
Exemplos
De quantas maneiras podemos arrumar em fila 5 sinais (−) e 7 sinais(/)? 792
De quantas maneiras pode-se escolher 3 números distintos do conjunto A={1,2,3,...50} de modo que sua soma seja um múltiplo de 3? 6544
Dado A ={1,2,3,4,5}, de quantos modos é possível formar subconjuntos de 2 elementos nos quais não haja números consecutivos? 6
Dado A ={1,2,3, ..., n}, de quantos modos é possível formar subconjuntos de p elementos nos quais não haja números consecutivos?
Uma fila tem 20 cadeiras, nas quais devem sentar-se 8 meninas e 12 meninos. De quantos modos isso pode ser feito se 2 meninas não devem ficar em cadeiras contíguas?
Um baralho tem 52 cartas. De quanto modos diferentes podemos distribuí-las entre 4 jogadores de modo que cada um receba 13 cartas?
Temos 52 mudas diferentes plantadas em pequenos vasos. De quantos modos diferentes poderemos colocá-los em 4 caixas iguais, de modo que cada caixa contenha exatamente 13 vasos?
Exercícios:
Obtenha m, sabendo que: 
 Resp.: 6
Em um torneio (de dois turnos) do qual participam seis times, quantos jogos são disputados? 30
Uma linha ferroviária tem 16 estações. Quantos tipos de bilhetes devem ser impressos, se cada tipo deve assinalar a estação de partida e de chegada, respectivamente? 240
As 5 finalistas do concurso Miss Universo são: Miss Japão, Miss Brasil, Miss Finlândia, Miss Argentina e Miss Noruega. De quantas formas os juízes poderão escolher o primeiro, o segundo e o terceiro lugares nesse concurso? 60
Um cofre possui um disco com os dígitos 0,1, 2, , .., 9. O segredo do cofre é formado por uma seqüência de 3 dígitos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverão fazer (no máximo) para conseguir abri-lo. (Suponha que a pessoa sabe que o segredo é formado por dígitos diferentes). 720
Uma comissão formada por 3 homens e 3 mulheres deve ser escolhida em um grupo de 8 homens e 5 mulheres. 
a) Quantas comissões podem ser formadas? 560
b) Qual seria a resposta se um dos homens não aceitasse participar da comissão se nela estivesse determinada mulher? 434
Quantas diagonais possui um polígono de n lados?
Quantas diagonais principais possui:
a) um cubo? 4
b) um prisma hexagonal regular? 18
Em um torneio no qual cada participante enfrenta todos os demais, são jogadas 780 partidas. Quantos são os participantes?
Quantos são os p-subconjuntos (isto é, subconjuntos com p elementos) de {
,
, ..., 
} nos quais:
a) 
 figura;	 
b) 
 e 
 figuram; 
c) exatamente um dos elementos
,
 figura;
d) 
 não figura;
e) pelo menos um dos elementos 
,
 figura.
De quantas maneiras podemos arrumar em fila 5 sinais (−) e 7 sinais (/), de modo que não haja dois sinais (−) juntos? 56
De quantos modos podemos repartir 8 brinquedos diferentes entre três garotos, sendo que os dois mais velhos recebam 3 brinquedos cada e o mais novo receba dois brinquedos?
De quantos modos diferentes podemos distribuir 8 bolas distintas em três caixas iguais, de modo que duas delas tenham exatamente 3 bolas cada?
De quantas maneiras pode-se escolher 3 números naturais distintos de 1 a 30, de modo que a soma dos números escolhidos seja par? 2030
Uma empresa distribui a cada candidato a emprego um questionário com 3 perguntas. Na primeira, o candidato deve declarar sua escolaridade escolhendo uma das 5 alternativas. Na segunda, deve escolher, em ordem de preferência, três de seis locais onde gostaria de trabalhar. Na última deve escolher os dois dias da semana em que quer folgar. Quantos questionários, com conjuntos diferentes de respostas, podem o examinador encontrar? 12 600
Dezessete livros distintos serão distribuídos entre 5 estudantes. De quantas maneiras diferentes estes livros podem ser distribuídosde modo que dois destes estudantes recebam 4 livros cada um e os outros 3 estudantes recebam 3 livros cada um? 28 588 560 000
Uma lanchonete oferece “sanduíches personalizados” de carne e queijo. Para montar seu sanduíche você escolhe um dos 4 tipos de carne, um dos 3 tipos de queijo e, se quiser, pode escolher no máximo 3 acompanhamentos diferentes dentro dos seguintes: pickles, tomate, ketchup, cebola, alface e mostarda. Quantos sanduíches diferentes de carne e queijo, com ou sem acompanhamentos diferentes, poderão ser feitos? 504
De um grupo de sete crianças, de quantas maneiras distintas posso escolher 3 delas para uma visita ao Zoológico? De quantas maneiras posso escolher as 4 crianças que não irão ao Zoológico? 35
De quantas maneiras distintas posso distribuir 10 pessoas em 3 grupos onde um terá 5 pessoas, o outro 3 e o terceiro 2 pessoas? 2520
(FUVEST) O jogo da sena consiste no sorteio de 6 números distintos, escolhidos ao acaso, entre os números 1, 2, 3,..., 50. Uma aposta consiste na escolha (pelo apostador) de 6 números distintos entre os 50 possíveis, sendo premiadas aquelas que acertarem 4 (quadra), 5 (quina) ou todos os 6 (sena). Um apostador, que dispõe de muito dinheiro para jogar, escolhe 20 números e faz todos os jogos possíveis de serem realizados com esses 20 números. Realizado o sorteio, ele verifica que todos os 6 números estão entre os 20 que ele escolheu. 
a) Quantos cartões ele fez? 38.760 
b) Quantas apostas premiadas com a quina este apostador conseguiu? 84
c) Quantas apostas premiadas com a quadra ele conseguiu? 1.365 
Tem-se 5 pontos sobre uma reta R e 8 pontos sobre uma reta R’paralela a R. Quantos quadriláteros convexos com vértices em 4 desses 13 pontos existem? 280
De quantos modos é possível dividir 20 pessoas:
em dois grupos de 10? 92378
em quatros grupos de 5? 488 864 376
em um grupo de 12 e um de 8? 125 970
em três grupos de 6 e um de 2? 543 182 640
O conjunto A possui p elementos e o conjunto B possui n elementos. Determine o número de funções f: A(B sobrejetoras para:
 a) p = n;				b) p = n+1.
De quantos modos é possível colocar em fila h homens e m mulheres, todos de alturas diferentes, de modo que os homens entre si e as mulheres entre si fiquem em ordem crescente de alturas?
Uma classe tem a meninas e b meninos. De quantas formas eles podem ficar em fila, se as meninas devem ficar em ordem crescente de peso, e os meninos também? (Suponha que 2 pessoas quaisquer não tenham mesmo peso)
De quantos modos 15 jogadores podem ser divididos em 3 times de basquetebol de 5 jogadores cada, denominados esperança, confiança e vitória? 756 756
Empregando dez consoantes e cinco vogais, calcule o número de palavras de seis letras que se podem formar sem usar consoantes nem vogais adjacentes:
a) se são permitidas repetições;	250 000
b) se não são permitidas repetições. 86 400
Prove que 
 é par, se n ( 1. 
De quantos modos podemos formar uma roda de ciranda com 7 crianças, de modo que duas determinadas dessas crianças não fiquem juntas? 480
De quantos modos 5 meninos e 5 meninas podem formar uma roda de ciranda de modo que pessoas de mesmo sexo não fiquem juntas? 2880
De quantos modos n crianças podem formar uma roda de ciranda de modo que duas dessas crianças permaneçam juntas? E de modo que p (p<n) dessas crianças permaneçam juntas?
De quantos modos n casais podem formar uma roda de ciranda de modo que cada homem permaneça ao lado de sua mulher e que pessoas do mesmo sexo, não fiquem juntas?
De quantos modos 5 mulheres e 6 homens podem formar uma roda de ciranda de modo que as mulheres permaneçam juntas?
De quantos modos distintos posso dispor 6 casais em torno de uma mesa circular de modo que um determinado homem sente-se ao lado de sua esposa e duas outras determinadas esposas precisam sentar-se uma ao lado da outra? 1 451 520
De quantas maneiras distintas podemos dispor 3 homens, 2 mulheres e 4 crianças em torno de uma mesa circular de modo que as crianças fiquem juntas e um homem não se sente ao lado de outro homem? 288
Quantos colares podem ser formados com 7 contas diferentes? 360
IV – PERMUTAÇÕES DE ELEMENTOS NEM TODOS DISTINTOS
Exemplo: Quantos anagramas possui a palavra Tártara?
O número de anagramas de TARTARA será representado por 
indicando o número de permutações de 7 letras das quais 3 são iguais a A, 2 iguais a R e 2 iguais a T.
Para determinar o número de anagramas de TÁRTARA, podemos pensar de dois modos:
Para formar um anagrama de TÁRTARA temos que arrumar 3A, 2R e 2T em 7 lugares, _ _ _ _ _ _ _ . 
 O nº de modos de escolher os lugares onde serão colocados o A é 
. Depois disso temos 
 modos de escolher os lugares para colocar os R e, finalmente, um único modo de escolher os lugares para os T. Logo, 
=
.
.1 = 35x6x1 = 210.
Se as letras fossem diferentes, obteríamos 
= 7! Anagramas. Como os A são iguais, contamos cada anagrama 3! vezes. Analogamente contamos cada anagrama 2! vezes por serem iguais os R e 2! vezes por serem iguais os T. Logo, 
=
=210
No caso geral, temos para ( + ( + ... + ( + ( = n,
=
=
Exemplos
Quantos são os anagramas da palavra MATEMÁTICA?
Quantos são os anagramas de URUGUAI que começam por vogal?
Exercícios
De quantas formas 8 sinais + e 4 sinais ( podem ser colocados em uma seqüência? 495
Quantos números de 7 dígitos, maiores que 6000000, podem ser formados usando apenas os algarismos 1,3,6,6,6,8,8? 300
Quantos números de 5 algarismos podem ser formados usando apenas os algarismos 1,1,1,1,2 e 3? 30
Sobre uma mesa são colocadas em linha 6 moedas. Quantos são os modos possíveis de colocar 2 caras e 4 coroas voltadas para cima? 15
Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 2 amarelas. Elas são extraídas uma a uma sem reposição. Quantas seqüências de cores podemos observar? 10
Com os dígitos 1,2,3,4,5,6,7 de quantas formas podemos permutá-los de modo que os números ímpares fiquem sempre em ordem crescente? 210
A figura representa o mapa de uma cidade, na qual há 7 avenidas na direção norte-sul e 6 avenidas na direção leste-oeste. Quantos são os trajetos de comprimento mínimo ligando o ponto A ao ponto B? Quantos destes trajetos passam por C? 462; 210
Uma cidade é formada por 16 quarteirões dispostos segundo a figura ao lado. Uma pessoa sai do ponto P e dirige-se para o ponto Q pelo caminho mais curto, isto é, movendo-se da esquerda para a direita, ou de baixo para cima. Nessas condições, quantos caminhos diferentes ele poderá fazer? 10
V ( Partições e Combinações Completas 
Partições Ordenadas
Seja um conjunto A e K subconjuntos de A não vazios, tais que:
Chamaremos de uma partição ordenada do conjunto A à seqüência de conjuntos (
).
Exemplo: De quantas maneiras podemos colocar 10 pessoas em três salas, A, B e C, de modo que em A fiquem 4 pessoas, em B fiquem 3 pessoas e em C também 3 pessoas?
Partições Não Ordenadas
Seja um conjunto A e K subconjuntos de A não vazios, tais que:
Chamaremos de uma partição não ordenada do conjunto A à família (
).
Exemplo: De quantos modos 12 pessoas podem ser repartidas em 3 grupos, tendo cada grupo 4 pessoas?
EXERCÍCIOS
Um grupo de 10 viajantes pára para dormir num hotel. Só havia 2 quartos diferentes com 5 lugares cada um. De quantas formas eles puderam se distribuir para dormir naquela noite?
De quantos modos 8 pessoas podem ocupar duas salas distintas, devendo cada sala conter pelo menos 3 pessoas?
Com 10 pessoas, de quantas formas podemos formar dois times de bolas ao cesto?
Separam-se os números inteiros de 1 a 10 em dois conjuntos de 5 elementos, de modo que 1 e 8 não estejam no mesmo conjunto. Isso pode ser feito de n modos distintos. Qual é o valor de n?
De quantas formas podemos distribuir 10 bolinhas, numeradas de 1 a 10, em 2 urnas, A e B (podendo eventualmente uma ficar vazia)?
Combinações Completas
	De quantos modos é possívelcomprar 3 sorvetes em uma loja que os oferece em 7 sabores?
	
, seria o modo de escolher 3 sabores diferentes entre os 7 sabores oferecidos. A resposta desse problema é representado por 
 (número de combinações completas de classe 3 de 7 objetos), ou seja, número de modos de escolher 3 objetos entre 7 objetos distintos, valendo escolher mais de um uma vez.
Exemplo: De quantos modos podemos escolher 3 elementos de um grupo de 4, {a, b, c, d}?
aaa	aab	bba	cca	dda	abc
bbb	aac	bbc	ccb	ddb	abd
ccc	aad	bbc	ccd	ddc	acd
ddd					bcd
= 20
Podemos interpretar 
 de outro modo.
Soluções inteiras não negativas de uma equação linear
Exemplo 1: De quantas formas, podemos comprar 4 camisas numa loja que só oferece 2 modelos? 
Para efetuar a compra devemos escolher valores para as variáveis x e y, onde x é a quantidade que vamos comprar de blusas do 1º tipo e y é a quantidade de blusas do 2º tipo, com x e y inteiros não negativos. Consideremos a equação linear x + y = 4 e encontremos o número de soluções inteiras não negativas da mesma. Por tentativas, encontramos: 
(0,4); (1,3); (2,2); (3,1); (4,0), ou seja, 5 soluções inteiras não negativas.
Exemplo 2: Quantas são as soluções inteiras e positivas da equação x + y + z = 7 ?
Consideremos x + y + z = 7 com x, y e z >0, calcule sem utilizar tentativa.
Temos que dividir 7 unidades em 3 partes ordenadas, de modo que fique em cada parte um número maior que zero.
Indiquemos cada unidade por um ponto.	( ( ( ( ( ( (
Como queremos dividir as 7 unidades em 3 partes, vamos usar duas barras para fazer a separação.
Exemplos:
( ( ( | ( ( | ( ( (x = 3, y = 2, z = 2) 
( | ( ( ( ( | ( ( (x = 1, y = 4, z = 2) 
Como temos 6 lugares para colocar 2 barras temos 
=15 possibilidades.
Exemplo 3: Consideremos agora x + y + z = 7, com x, y e z (0, o que altera?
Temos que dividir 7 unidades em 3 partes ordenadas, de modo que fique em cada parte um número maior ou igual a zero.
Exemplos:
( ( ( | ( ( | ( (	(x = 3, y = 2, z = 2)
( ( | | ( ( ( ( (	(x = 2, y = 0, z = 5)
( ( ( | ( ( ( ( | 	(x = 3, y = 4, z = 0)
Como temos 9 símbolos (7 ( e 2 | ), o número de permutações desses símbolos será, permutação de 9 símbolos sendo 7 iguais a ( e 2 iguais a | . Logo,
= 36. 
Ou, combinação de 9 lugares para colocar 2 barras, 
 = 36 que é o número de soluções inteiras não negativas da equação x + y + z = 7.
Teorema
O número de soluções inteiras não negativas da equação 
 é 
�� EMBED Equation.3 
Exemplo 4: Voltemos à compra dos 3 sorvetes na loja que oferece em 7 sabores.
A resposta desse problema é representada por 
, número de combinações completas de classe 3 de 7 objetos, ou seja, número de modos de escolher 3 objetos entre 7 objetos distintos, valendo escolher o mesmo objeto mais de uma vez.
Podemos montar a seguinte equação 
, onde 
 representa o primeiro sabor e assim por diante. 
 Logo, 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
Exemplos
5) Quantas são as soluções inteiras e não negativas de x + y + z (5? 56
6) Quantas são as soluções inteiras da equação x + y + z = 20 com x(2, y(2 , z (2? 120
7) Encontrar o número de soluções em inteiros positivos da equação x + y + z = 20, onde y >5. 91
8) Quantos números inteiros entre 1 e 100000 têm soma dos algarismos igual a 6? 210
9) Encontrar o número de soluções em inteiros não-negativos de x + y + z + t + v = 18, nas quais exatamente 2 incógnitas são nulas. 1 360
EXERCÍCIOS
1) Uma mercearia tem em seu estoque pacotes de café de 6 marcas diferentes. Uma pessoa deseja comprar 8 pacotes de café. De quantas formas pode fazê-lo? 1237
2) Uma confeitaria vende 5 tipos de doces. Uma pessoa deseja comprar 3 doces. De quantas formas isso pode ser feito? 35
3) Temos duas urnas, A e B. De quantas formas podemos colocar 5 bolas indistinguíveis, podendo eventualmente uma das urnas ficar vazia? 6
4) Encontrar o número de soluções em inteiros positivos para a inequação 0< x + y + z + t ≤ 6. 15
5) De quantos modos podemos comprar 4 refrigerantes em um bar que vende 2 tipos de refrigerantes? 5 
6) De quantos modos diferentes podemos distribuir 10 bombons idênticos em 4 caixas diferentes? 286
7) Sabendo-se que a equação x +y + z + t = n possui 10 soluções inteiras positivas, determinar n. 6
8) Quantas são as soluções inteiras positivas de x + y + z + t + u = 17, nas quais t≥3? 1001
9) Em quantas soluções inteiras positivas da equação x + y + z + t + u = 18, exatamente 2 variáveis são iguais a 1? 660
10) Quantos números inteiros entre 1 e 10000 têm soma dos algarismos igual a 12? 
VI -Números Binomiais
Triângulo de Pascal
Chamamos de Triângulo de Pascal o quadro formado pelos números 
 (chamados números binomiais, coeficientes binomiais ou números combinatórios).
n = 0 
					 
n = 1 
					
n = 2 
				
n = 3 
			
n = 4 
			
n = 5 
				
n = 6 
	 	
n = 7 
	 		
n = 0	1
n = 1	1 1
n = 2	1 2 1 
n = 3	1 3 3 1
n = 4	1 4 6 4 1
n = 5	1 5 10 10 5 1
n = 6	1 6 15 20 15 6 1
n = 7 	1 7 21 35 35 21 7 1
Relação de Stifel:	
+
=
Somando dois elementos consecutivos de uma mesma linha obtemos o elemento situado abaixo da última parcela.
Relação de Combinações Complementares: 
 = 
Em uma mesma linha do triângulo de Pascal, elementos eqüidistantes dos extremos são iguais.
Teorema das linhas: 
Exemplo: Qual é o valor da soma S = 
 ?
Teorema das colunas: 
A soma dos elementos de uma coluna do triângulo (começando no primeiro elemento da coluna) é igual ao elemento que está avançado uma linha e uma coluna sobre a última parcela da soma.
Exemplo: Achar uma fórmula para a soma dos n primeiros inteiros positivos.
Exemplo: Qual é o valor da soma 
S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + 50.51.52 ?
Teorema das Diagonais
Teorema: 
Mostrar que:
EXERCÍCIOS
Prove, fazendo as contas, a relação de Stifel: 
.
Se A possui 512 subconjuntos, qual é o número de elementos de A?
Determine um conjunto que possua exatamente 48 subconjuntos.
X é um subconjunto próprio de A se X(A e X ≠A; X é um subconjunto não trivial de A se X (A e X≠A e X≠(. Se A possui 5 elementos, quantos são os subconjuntos próprios de A? Quantos são os elementos não triviais de A?
Tem-se n comprimidos de substâncias distintas, solúveis em água e incapazes de reagir entre si. Quantas soluções distintas podem ser obtidas dissolvendo-se um ou mais desses comprimidos em um copo com água?
Quantos coquetéis (misturas de duas ou mais bebidas) podem ser feitos a partir de 7 ingredientes distintos?
Tomando 10 pontos distintos pertencentes a uma circunferência, quantos polígonos convexos inscritos podem ser construídos com vértices nesses pontos?
Calcule 
.
Calcule o valor da soma S = 50 . 51 + 51 . 52 + ...+ 100. 101.
Calcule m, sabendo que 
=1023.
Calcule p na equação 
.
Sabendo que
 e 
, calcule 
.
Expressar em função de n a soma 
.
Mostrar que 
Prove, usando argumento combinatório, a Fórmula de Euler.
.
A partir da fórmula de Euler, obter a fórmula de Lagrange
Calcule o valor da soma 
S = 
Calcule o valor máximo de C(18, p).
A
B
n n−1 n−2 n−(r −1)
�
�
�
�
�
�
�
�
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�
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�
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�
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B
A
(C
(
(
 P
 Q
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