Lista para A1 CVGA

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Lista de Exercícios (A1) 
CURSO: DISCIPLINA: 
Ciclo Básico das Engenharias Cálculo Vetorial e Geometria 
Analítica 
 
1) Utilizando o hexágono regular abaixo e as letras indicadas, determine um vetor com origem no 
ponto A que seja equipolente à: 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
2) Observe a figura e determine: 
 
a) o ângulo entre os vetores 2
v
 e 
w
 . 
 105o 
b) o ângulo entre os vetores -
u
 e 3
w
 . 
 110o 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Dados os vetores = (3, -2, 4) = (-3, 1, 2) e = 3 - + 5 , determine: 
 
a) O versor do vetor 
 
 
Versor de : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) (2 -3 ).(2 ) 
 
 
 
 
 
 
c) O valor de 
 
 
 
d) O ângulo entre e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
w 
v 
u 
35º 
70º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Dados os vetores = (1, -1, 1) = (3, 1, -1) e = (3, -2, 7) encontre escalares a e b tais que: 
 
 = a - b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Usando as duas primeiras equações, temos que 
 
 
 e 
 
 
. Porém, esses valores não são soluções 
da terceira equação. Dessa forma, não existem valores para e que satisfazem as três equações 
simultaneamente. 
 
5) Construa os vetores = (2, 0, 0) = (0, 3, 0) e = (0, 0, 7) e determine o ângulo entre os vetores 
 + e 2 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Verificar se os pontos A (2, 2, -3) B (3, 4, -2) C (-2, 5, 2) são colineares. 
 
 
 
Verificando se e são paralelos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como a igualdade é falsa, temos que os pontos não estão alinhados. 
 
7) Determinar os valores de m e n para que sejam paralelos os vetores (m+1,3,1) e (4,2,2n-1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Determinar o valor de “m” para que seja equilátero o triângulo de vértices A, B e C; sendo: 
A= (4, m, 4) 
B= (10, m, -2) 
C= (2, 0, -4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como ABC é um triângulo equilátero, . Assim: 
 
 
 
 ou 
 
9) Dados os pontos , determinar de modo que o triângulo 
 seja retângulo em . 
Se ABC é retângulo em A, os vetores e são ortogonais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) Dados os pontos A( 3, − 3, 3 ) , B( −2,0,2 ) e C( −1,2,0 ) , formam um triângulo. Determine: 
a) Os comprimentos dos lados do triângulo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) As coordenadas dos pontos médios dos três lados desse triângulo. 
 
Sejam M, N e P os pontos médios dos lados AB, AC e BC, respectivamente.