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59
A U L A
59
A U L A
Escreva os nœmeros que sªo pedidos:
l os nœmeros naturais menores que 5;
l os nœmeros inteiros maiores que - 2 e menores que 1;
l os nœmeros naturais que sªo soluçıes da equaçªo x + 3 = 2;
l os nœmeros inteiros que sªo soluçıes da equaçªo 5x + 4 = 1;
l um nœmero racional que seja maior que zero e menor que 1.
VÆrios tipos de nœmero jÆ foram estudados neste curso, mas seus nomes
nªo sªo conhecidos ainda. Vamos, entªo, organizar os diferentes tipos de
nœmero que jÆ conhecemos com seus respectivos nomes.
O primeiro contato que temos com os nœmeros Ø pela contagem, quando
surgem, de maneira natural, os nœmeros 1, 2, 3, 4 etc. Mais tarde, quando
estudamos nosso sistema de numeraçªo, aparece o 0 (zero). Ele Ø usado para indicar
a ausŒncia de unidades numa determinada ordem de um nœmero.
Chamamos de nœmeros naturaisnœmeros naturaisnœmeros naturaisnœmeros naturaisnœmeros naturais os nœmeros 0, 1, 2, 3, 4 ...
Considere as chamadas operaçıes elementaresoperaçıes elementaresoperaçıes elementaresoperaçıes elementaresoperaçıes elementares (adiçªo, subtraçªo, multi-
plicaçªo e divisªo) com nœmeros naturais. Quais dessas operaçıes tŒm sempre
como resultado um nœmero natural? Isso Ø o mesmo que perguntar:
l A soma de dois nœmeros naturais Ø sempre um nœmero natural?
l A diferença de dois nœmeros naturais Ø sempre um nœmero natural?
l O produto de dois nœmeros naturais Ø sempre um nœmero natural?
l O quociente de dois nœmeros naturais Ø sempre um nœmero natural?
Nas aulas anteriores verificamos que:
A soma e o produto dA soma e o produto dA soma e o produto dA soma e o produto dA soma e o produto de dois nœmeros naturais sªo sempree dois nœmeros naturais sªo sempree dois nœmeros naturais sªo sempree dois nœmeros naturais sªo sempree dois nœmeros naturais sªo sempre
nœmeros naturais.nœmeros naturais.nœmeros naturais.nœmeros naturais.nœmeros naturais.
A diferença de dois A diferença de dois A diferença de dois A diferença de dois A diferença de dois nœmeros naturais só Ø um nœmero naturalnœmeros naturais só Ø um nœmero naturalnœmeros naturais só Ø um nœmero naturalnœmeros naturais só Ø um nœmero naturalnœmeros naturais só Ø um nœmero natural
quando o primeiro Ø maior ou igualquando o primeiro Ø maior ou igualquando o primeiro Ø maior ou igualquando o primeiro Ø maior ou igualquando o primeiro Ø maior ou igual ao segundo. ao segundo. ao segundo. ao segundo. ao segundo.
Por exemplo: Por exemplo: Por exemplo: Por exemplo: Por exemplo: 7 7 7 7 7 - 3 = 4 3 = 4 3 = 4 3 = 4 3 = 4 Ø um nœmero natural. Ø um nœmero natural. Ø um nœmero natural. Ø um nœmero natural. Ø um nœmero natural.
Organizando os
nœmeros
Vamos pensar
Nossa aula
59
A U L AQuando queremos fazer uma subtraçªo em que o primeiro nœmero Ø
menor que o segundo, precisamos usar os nœmeros negativosnœmeros negativosnœmeros negativosnœmeros negativosnœmeros negativos, que nªo sªo
nœmeros naturais:
4 4 4 4 4 - 7 = 7 = 7 = 7 = 7 = - 3 nªo Ø um nœmero natural 3 nªo Ø um nœmero natural 3 nªo Ø um nœmero natural 3 nªo Ø um nœmero natural 3 nªo Ø um nœmero natural
Vemos, assim, surgir um novo conjunto de nœmeros, formado pelos nœme-
ros naturais mais os nœmeros negativos: os nœmeros inteirosnœmeros inteirosnœmeros inteirosnœmeros inteirosnœmeros inteiros.
Sªo, portanto, nœmeros inteiros os nœmeros ... - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3 ... e podem
ser representados numa reta numØrica da seguinte maneira:
Observamos que:
l os nœmeros negativos estªo à esquerda do zero, portanto todo nœmero
negativo Ø menor que zero;
l os nœmeros positivos estªo à direita do zero, portanto todo nœmero positivo
Ø maior que zero;
l os nœmeros negativos estªo à esquerda dos nœmeros positivos, logo todo
nœmero negativo Ø menor que qualquer nœmero positivo;
l um nœmero Ø sempre menor que o nœmero que estÆ à sua direita.
Exemplos: - 3 < 0 (- 3 Ø menor que zero)
- 1 < 1 (- 1 Ø menor que 1)
- 3 < - 1 (- 3 Ø menor que - 1)
2 > - 1 ( 2 Ø maior que - 1)
0 > - 7 ( zero Ø maior que - 7)
Voltando às operaçıes, tambØm jÆ sabemos que:
Na divisªo de dois nœmeros naturais, o quociente só serÆ umNa divisªo de dois nœmeros naturais, o quociente só serÆ umNa divisªo de dois nœmeros naturais, o quociente só serÆ umNa divisªo de dois nœmeros naturais, o quociente só serÆ umNa divisªo de dois nœmeros naturais, o quociente só serÆ um
nœmero natural quando o primeiro nœmero (o dividendo) fornœmero natural quando o primeiro nœmero (o dividendo) fornœmero natural quando o primeiro nœmero (o dividendo) fornœmero natural quando o primeiro nœmero (o dividendo) fornœmero natural quando o primeiro nœmero (o dividendo) for
mœltiplo do segundo (o divisor).mœltiplo do segundo (o divisor).mœltiplo do segundo (o divisor).mœltiplo do segundo (o divisor).mœltiplo do segundo (o divisor).
Assim: Assim: Assim: Assim: Assim: 16 16 16 16 16 ¸ 4 = 4 4 = 4 4 = 4 4 = 4 4 = 4 Ø um nœmero natural. Ø um nœmero natural. Ø um nœmero natural. Ø um nœmero natural. Ø um nœmero natural.
Quando isso nªo acontece, usamos outros nœmeros para indicar o
quociente.
Exemplos: 5 ¸ 2 = 2,5 ou
5
2
1 ¸ 3 = 0,333 ou
1
3
-1 0 1 2 3 4 5-2-3-4
59
A U L A Todos esses nœmeros - fraçıes, decimais exatos, dízimas periódicas e os
inteiros - formam um conjunto chamado conjunto dos nœmeros racionaisconjunto dos nœmeros racionaisconjunto dos nœmeros racionaisconjunto dos nœmeros racionaisconjunto dos nœmeros racionais.
Portanto, este conjunto Ø uma ampliaçªo do conjunto dos nœmeros inteiros.
Qualquer nœmero racional pode ser representado por um ponto na reta
numØrica.
Exemplo: assinale na reta numØrica um nœmero racional entre 0 e 1:
SerÆ possível marcar na reta outro nœmero racional entre 0 e 1 diferente de 0,5?
Entre 0 e 0,5, dividindo ao meio o segmento, podemos marcar o nœmero 0,25.
E agora, serÆ que ainda podemos marcar outro nœmero racional entre 0 e 0,25?
O mesmo processo pode ser repetido: dividindo o novo segmento ao meio,
marcaremos o nœmero 0,125.
Continuando sempre o mesmo raciocínio, podemos imaginar que entre dois
nœmeros racionais existem infinitos outros nœmeros racionais. Daí a impossibi-
lidade de escrever todos todos todos todos todos eles.
Para ter uma idØia mais clara dos conjuntos numØricos, Ø interessante
representÆ-los por diagramas, que sªo representaçıes grÆficas de conjuntos por
meio de uma curva fechada. Podemos escrever os elementos do conjunto dentro
do diagrama ou apenas o nome do conjunto junto à curva.
Veja quais sªo as letras usadas para dar nomes aos conjuntos numØricos:
: conjunto dos nœmeros naturais;
: conjunto dos nœmeros inteiros;
: conjunto dos nœmeros racionais.
E o diagrama fica assim:
-1 0 1 2 3 4 5-2-3-4
0,5
Z
Z
59
A U L AExercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1
Escreva os nœmeros naturais mœltiplos de 3 e maiores que 5.
Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2
Escreva os nœmeros inteiros menores que 1.
Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3
Escreva os nœmeros racionais que sªo a soluçªo da equaçªo: 5x + 1 = 10.
Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4
Escreva um nœmero racional maior que 2.
Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5
Escreva ao lado de cada sentença V se ela for verdadeira ou F se ela for falsa:
a)a)a)a)a) ( ) - 6 Ø um nœmero inteiro, logo Ø racional.
b)b)b)b)b) ( ) 2,516 Ø um nœmero decimal exato, logo Ø racional.
c)c)c)c)c) ( ) 0,494949... Ø um nœmero racional.
d)d)d)d)d) ( ) - 5 Ø um nœmero natural.
Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6
Escreva estes nœmeros racionais na forma de fraçªo:
a)a)a)a)a) 3
b)b)b)b)b) 2,5
c)c)c)c)c) 0,555...
d)d)d)d)d) 0
Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7
DŒ exemplos de dois nœmeros racionais maiores que - 1,4.
Exercício 8Exercício 8Exercício 8Exercício 8Exercício8
Assinale na reta numØrica os nœmeros: 1
3
 ; - 2 ; 1,5 ; - 
1
4
.
Exercícios

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