Solicitacoes_normais

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Universidade Estadual de Campinas 
Faculdade de Engenharia Civil 
Departamento de Estruturas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solicitações normais 
Cálculo no estado limite último 
 
Notas de aula da disciplina 
AU414 - Estruturas IV– Concreto armado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Msc. Luiz Carlos de Almeida 
 
 
Setembro/2002 
 2 
 
 
 
 
 
Solicitações normais 
Cálculo no estado limite último 
 
 
 
 
 
1 Introdução .................................................3 
2 Diagrama tensão deformação dos aços ........................4 
2.1 Diagrama característico .................................4 
2.2 Diagramas de cálculo ....................................5 
2.3 Valores característicos .................................6 
3 Diagrama tensão deformação do concreto .....................7 
4 Hipótese de cálculo ........................................7 
5 Domínios de deformação ....................................11 
5.1 Reta a .................................................11 
5.2 Domínio 1 ..............................................12 
5.3 Domínio 2 ..............................................12 
5.4 Domínio 3 ..............................................12 
5.5 Domínio 4 ..............................................13 
5.6 Domínio 4a .............................................13 
5.7 Domínio 5 ..............................................14 
6 Equação de equilíbrio e de compatibilidade ................14 
7 Bibliografia ..............................................19 
 3 
Solicitações normais 
Cálculo no estado limite último 
 
 
1 Introdução 
 
O estudo das seções de concreto armado tem por finalidade 
verificar se sob a ação das solicitações majoradas (solicitações 
de cálculo) a peça não supera cada um dos estados limites, 
admitindo que os materiais (concreto e aço) tenham como 
resistência real à resistência minorada (resistência de 
cálculo). 
 
Neste item se estabelecem as bases de cálculo de seções de 
concreto armado submetidas a solicitações normais nos estados 
limites de deformação plástica excessiva e de ruptura. 
 
Denominam-se solicitações normais as que originam tensões 
normais nas seções transversais dos elementos estruturais. 
Compreendem, neste caso, força normal e momento fletor, ambos 
referidos ao centro de gravidade da seção transversal de 
concreto. 
 
Uma seção de concreto armado submetida a solicitações normais 
pode atingir o estado limite último das seguintes formas: 
 
a) Estado de deformação plástica excessiva: nas peças submetidas 
à tração ou flexão com quantidades pequenas de armadura, admite-
se que o estado limite último seja atingido em virtude de 
deformação plástica excessiva da armadura, cujo valor se fixa em 
1%. 
 
 4 
b) Estados de ruptura: em peças submetidas à flexão simples ou 
flexão composta com quantidades médias ou grandes de armadura, o 
estado limite último é atingido por esmagamento do concreto 
comprimido para deformações da ordem de 0,35% e em peças 
submetidas à compressão uniforme ou compressão não uniforme o 
estado limite último é atingido por esmagamento do concreto para 
deformações da ordem de 0,2%. 
 
2 Diagrama tensão deformação dos aços 
 
2.1 Diagrama característico 
 
Como diagramas característicos dos aços empregados em concreto 
armado, adotam-se os que são apresentados a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 01a Figura 01b 
 
Para os aços Classe A, adota-se um diagrama bi-retilíneo formado 
pela reta de Hooke e um seguimento reto paralelo ao eixo das 
deformações, cuja ordenada corresponde à resistência 
característica, fyk, como indica a Figura 0la. 
 
%1
sσ
sε
yckf
ykf
%35,0
sσ
sε
yckf
ykf
%1
%35,0
 5 
Para os aços Classe B, adota-se como diagrama característico 
obtido experimentalmente e que contém a resistência 
característica, fyk, como indica a Figura 0lb. 
 
Para os aços, tanto da Classe A quanto da Classe B, adota-se o 
módulo de elasticidade igual a: Es = 2.100.000 kgf/cm². 
 
Para esses aços admite-se um comportamento na compressão análogo 
ao na tração. Na parte correspondente à tração, o alongamento é 
limitado em 1%, ou seja, ao valor que caracteriza o estado 
limite de deformação plástica excessiva. Na parte correspondente 
à compressão, o encurtamento é limitado em 0,35% porque o 
concreto comprimido solidário às armaduras sofre ruptura com 
encurtamentos não superiores a 0,35%. 
 
2.2 Diagramas de cálculo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 02a Figura 02b 
 
Para os aços Classe A, admite-se um diagrama de cálculo como o 
apresentado na Figura 02a, ou seja, bi-retilíneo, formado pela 
reta de Hooke e um segmento reto paralelo ao eixo das 
sσ
sε
yckf
ykf
%1
%35,0
ydf
ycdf
ydε sε
yckf
ykf
%1
ydf
%2,0 ydε
ycdf
sσ
 6 
deformações e cuja ordenada corresponde à resistência de cálculo 
sykyd ff γ/= . 
 
Para os aços Classe B, o diagrama de cálculo é o que contém a 
resistência de cálculo sykyd ff γ/= , obtido por translação paralela 
à reta de Hooke do diagrama característico, como se indica na 
Figura 02b. 
 
No diagrama de cálculo da figura 02b e proposto pela NB-l/80, a 
tensão é definida pelas expressões: 
 
s
s
syds E
fpara σεσ =<< :7.00 
2
7.0
45
1:7.0 


 −+=<<
yd
s
s
s
sydsyd fE
ffpara σσεσ 
 
não se considerando para a tensão sσ valor superior a 
resistência de cálculo ydf . 
 
As tensões 0,7 ydf e O,7 ycdf são os limites de proporcionalidade 
à tração e à compressão, respectivamente. 
 
2.3 Valores característicos 
 
Os valores das resistências e deformações de cálculo para os 
aços da EB-3 são os que, se apresentam na tabela que se segue. 
Tais valores foram determinados para 15.1=sγ e sE = 2.100.000 
kgf/cm2. 
 
 
 7 
Aços 
)/( 2cmKgf
f yk 
)/( 2cmKgf
f yd 
)/(
7.0
2cmKgf
f yd ydε pdε 
CA-25 2500 2174 0.001035 
CA-50A 5000 4348 0.002070 
CA-50B 5000 4348 3044 0.004070 0.001449 
CA-60A 6000 5217 0.002484 
CA-60B 6000 5217 3652 0.004484 0.001739 
 
3 Diagrama tensão deformação do concreto 
 
Conforme a NB-l/80, o diagrama tensão-deformação do concreto à 
compressão de cálculo, é formado de uma parábola do 2º grau que 
passa pela origem e vértice no ponto de abscissa 0,2% e ordenada 
cdf85.0 e de um segmento reto entre as deformações de 0,2% e 
0,35% tangente à parábola e paralelo ao eixo das abscissas 
(Figura 03). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 03 
 
4 Hipótese de cálculo 
 
As hipóteses de cálculo no estado limite último de ruptura ou de 
deformação plástica excessiva, nos casos de flexão simples ou 
composta, normal ou oblíqua, e de compressão ou tração uniforme, 
cσ
cε
cdf85.0
%35,0%2,0



 

 −−=
2
002.0
1185.0 ccdc f
εσ
 8 
sA
eixodh
LN
x
..GC uN
uM
cuε
sε
LN
sDeformaçõe
excluídas as vigas paredes e os consolos curtos, são as 
seguintes: 
 
a) Sob a influência das solicitações normais, as seções 
transversais permanecem planas (hipótese de Bernouilli). 
 
Como resultado, as deformações ε das fibras de uma seção são 
proporcionais às suas distâncias à linha neutra, ou seja, o 
diagrama de deformações na seção transversal é retilíneo (Figura 
04). 
 
Figura 04 
 
b) A resistência à tração do concreto é desprezada. 
 
Em virtude da baixa resistência que o concreto apresenta quando 
tracionado, na região da seção em que a solicitação produz 
tensões de tração que o concreto esteja fissurado. Disso decorre 
que todas as forças internas de tração devem ser resistidas por 
armadura.c) Admite-se que haja aderência perfeita entre a armadura e o 
concreto adjacente não fissurado. 
 
 9 
Em vista disso, a deformação nas barras da armadura é a mesma do 
concreto que as envolve. 
 
d) O alongamento específico sε máximo permitido na armadura de 
tração é 1%. 
 
Este limite é adotado convencionalmente por considerar-se que a 
esse valor correspondem fissuração do concreto e deformação da 
peça excessivas, dando-se por esgotada sua capacidade 
resistente. 
 
e) O encurtamento de ruptura do concreto nas seçÕes não 
inteiramente comprimidas é de 0,35% e nas seções inteiramente 
comprimidas, o encurtamento da borda mais comprimida, na ocasião 
da ruptura, varia de 0,35% a 0,20%, mantendo-se constante e 
igual a 0,20% a deformação a 3/7 da altura total da seção a 
partir da borda mais comprimida (Figura 05). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 05 
 
f) A distribuição das tensões no concreto na seção transversal 
se faz de acordo com um diagrama parábola retângulo (Figura 6) 
baseado no diagrama tensão-deformação adotado para o concreto. 
 
dh
sA
eixo
uN
uM
%35,0=cuε
sε sε
%2,0
h
7
3
sDeformaçõe
 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6 
 
Permite-se a substituição do diagrama por um retângulo de altura 
y = 0,8x, com a seguinte tensão: 
 
0,85 cdf no caso em que a largura da seção medida paralelamente 
alinha neutra não diminui a partir desta para a borda 
comprimida; 
 
0,80 cdf no caso contrário. 
 
O coeficiente redutor (0,85) da resistência de cálculo do 
concreto considera a diminuição da resistência do mesmo por 
influência da deformação lenta (efeito Rusch) causada por ações 
de longa duração. 
 
g) A tensão na armadura é a correspondente à deformação 
determinada de acordo com as hipóteses anteriores e obtida do 
diagrama tensão-deformação do aço correspondente. 
 
 
dh
sA
eixo
uN
uM
%35,0=cuε
sε
%2,0x
cdf85,0
cdf85,0 cdf80,0
y
ou
..NL
xy 8,0=
sDeformaçõe concreto no Tensões
 11 
5 Domínios de deformação 
 
As configurações possíveis do diagrama de deformações 
correspondentes ao estado limite último para uma seção submetida 
a solicitações normais sugerem a delimitação de regiões, 
chamadas domínios de deformações, onde poderá estar contido o 
diagrama de deformações referente a um determinado caso de 
solicitação normal quando o estado limite último for atingido. 
 
Na Figura 07 estão representados os domínios de deformações e as 
retas que correspondem aos limites entre cada um deles. 
 
 
Figura 07 
 
5.1 Reta a 
 
A reta a corresponde à tração uniforme, caso em que toda a seção 
é tracionada de modo uniforme. A deformação na seção é 
representada por uma reta paralela a face da seção, que é a 
origem das deformações. A posição da linha neutra é dada por 
%1
%35.0%2.0
ydε
sε
h
7
3
alongamento encurtamento 
h d
A
B
C1
2
3
4
5a4
x 
= 
- 0
0 
 
 
 
 
 
re
ta
 a
 
x
=
+
00
re
ta
b
cε
0=x
dx 259.0=
yxx =
dx =
hx =
 12 
−∞=x . O estado limite último é atingido por deformação 
plástica excessiva da armadura sendo caracterizado por um 
alongamento de 1%. Desse modo, a reta a passa pelo ponto ª. A 
seção resistente é constituída somente pelas armaduras. 
 
5.2 Domínio 1 
 
O domínio 1 corresponde ao caso de tração não uniforme. Toda a 
seção é tracionada, mas de modo não uniforme. A linha neutra é 
externa a seção e a reta do diagrama de deformações na seção 
passa pelo ponto A. Cobre o campo de profundidade da linha 
neutra desde 0≤−∞> xatéx . 0 estado limite último e 
caracterizado por deformação plástica excessiva da armadura de 
1%. A seção resistente é composta apenas pelas armaduras. 
 
5.3 Domínio 2 
 
Abrange os casos de flexão simples e flexão composta com grande 
excentricidade. A linha neutra é interna à seção transversal e 
cobre o campo de profundidade desde dxatéx 259.00 ≤> . Este 
domínio corresponde às situações em que o estado limite último é 
atingido pelo alongamento da armadura em 1%. e o encurtamento da 
fibra mais comprimida de concreto é inferior a 0,35%. A reta do 
diagrama de deformações na seção passa pelo ponto A. 
 
5.4 Domínio 3 
 
O domínio 3 corresponde à flexão simples e flexão composta com 
grande excentricidade. A linha neutra é interna à seção e as 
retas do diagrama de deformações na seção passam pelo ponto B. 
Abrange os casos em que o estado limite último é alcançado na 
 13 
borda comprimida da seção com o encurtamento de 0,35% e o 
alongamento na armadura está compreendido entre 1% e ydε ,. Cobre 
o campo de profundidade da linha neutra desde yxxatéx ≤> 259.0 . 
Esta é a situação desejável para projeto, pois os materiais são 
aproveitados de forma econômica e a ruína poderá ser avisada 
pelo aparecimento de muitas fissuras motivadas pelo escoamento 
da armadura. As peças de concreto armado nestas condições são 
denominadas peças sub-armadas. 
 
5.5 Domínio 4 
 
O domínio 4 abrange os casos de flexão simples e flexão composta 
com grande excentricidade. A linha neutra é interna à seção e a 
reta do diagrama de deformações na seção passa pelo ponto B. 
Refere-se aos casos em que no estado limite último o 
encurtamento de 0,35% é alcançado na borda comprimida da seção e 
o alongamento na armadura está situado entre ydε e 0. 0 estado 
limite último é caracterizado pela ruptura do concreto 
comprimido sem que haja escoamento da armadura. Cobre o campo de 
profundidade da linha neutra desde dxatéxx y ≤> . As peças de 
concreto armado nestas condições são denominadas peças 
superarmadas e devem ser evitadas tanto quanto possíveis. 
 
5.6 Domínio 4a 
 
O domínio 4a corresponde à flexão composta com pequena 
excentricidade. As armaduras são comprimidas e existe somente 
uma pequena região de concreto tracionada próxima a uma das 
bordas da seção. A linha neutra é interna a seca, e cobre o 
campo de profundidade da linha neutra desde hxatédx ≤> . A 
reta do diagrama de deformações na seção passa pelo ponto B. O 
 14 
estado limite último é caracterizado pela ruptura do concreto 
com encurtamento de 0,35% na borda comprimida. 
 
5.7 Domínio 5 
 
0 domínio 5 refere.se à compressão não uniforme, com toda a 
seção de concreto comprimida. A linha neutra é externa à seção e 
cobre o campo de profundidade da linha neutra desde 
+∞≤> xatéhx .A reta do diagrama de deformações na seção passa 
pelo ponto C, afastado da borda mais comprimida de 3/7 da altura 
total da seção e correspondente a um encurtamento de 0,2%. 0 
estado limite último e atingido pela ruptura do concreto 
comprimido com encurtamento na borda mais comprimida situado 
entre 0,35% e 0,20%, dependendo da posição da linha neutra, mas 
constante e igual a 0,2% na fibra que passa pelo ponto C. 
Reta b 
 
A reta b corresponde à compressão uniforme, caso em que toda a 
seção é comprimida de modo uniforme. A deformação na seção é 
representada por uma reta paralela a face da seção, que é a 
origem das deformações. A posição da linha neutra é dada por 
+∞=x . 0 estado limite último é atingido por ruptura do 
concreto com um encurtamento de 0,2%. A seção resistente é 
constituída pelo concreto e pelas armaduras, sendo a deformação 
nestas igual à do concreto, ou seja,0,2%. 
 
6 Equação de equilíbrio e de compatibilidade 
 
Neste trabalho trata-se somente de seções com um eixo de 
simetria submetidas a solicitações normais que atuam segundo um 
plano que contem esse eixo e com armaduras principais 'ss AeA . 
 
 15 
Considere-se uma seção de forma qualquer, mas simétrica em 
relação ao plano, de flexão, submetida a uma força normal uN e 
um momento fletor uM , relativos ao centro de gravidade da seção 
transversal, e com armaduras'ss AeA (Figura 08). 
 
 
Figura 08 
 
A notação empregada, conforme a NB-l/80, é a seguinte: 
 
uN = valor último da força normal N; 
uM = valor último do momento fletor M; 
sA = área da seção transversal da armadura mais tracionada ou 
menos comprimida; 
'
sA = área da seção transversal da armadura mais comprimida ou 
menos tracionada; 
h = altura total da seção; 
d = altura útil da seção; 
d' = distância do centro de gravidade da armadura até a borda 
mais próxima da seção; 
x = distância da linha neutra até a borda mais comprimida ou 
menos tracionada da seção; 
dh
LN
x
sA
..GC
eixo uN
uM
cuε
sε
LN
sA
'
sA
'
sε
sR
cR
'
sR
cz
cuσ
y '
sA
concreto
no Tensões sDeformaçõe
 16 
y = ordenada contada a partir da borda mais comprimida ou menos 
tracionada da seção; 
yb = largura da seção na ordenada y; 
cσ = tensão de compressão no concreto; 
cyσ = tensão de compressão no concreto na ordenada y; 
sσ = tensão na armadura sA ; 
'
sσ = tensão na armadura 'sA ; 
cR = resultante das tensões de compressão no concreto; 
sR = resultante das tensões na armadura sA ; 
'
sR = resultante das tensões na armadura 'sA ; 
cz = distância do ponto de aplicação da resultante de compressão 
no concreto ao centro de gravidade da armadura sA . 
 
Como a flexo-compressão constitui-se na solicitação mais 
freqüente, considera-se a força normal com sinal positivo quando 
for de compressão e com sinal negativo quando for de tração. 
O momento fletor é considerado positivo quando provocar tração 
na borda inferior da seção. As tensões internas e suas 
resultantes são consideradas positivas quando de compressão e 
negativas quando de tração. 
 
O sistema de esforços constituído por uN e uM referidos ao eixo 
baricêntrico da seção transversal de concreto pode ser reduzido 
a um sistema equivalente formado pela força normal uN aplicada 
com excentricidade e em relação ao centro de gravidade da seção 
de concreto (Figura 11), onde: 
 
u
u
N
Me = 
 
 17 
A excentricidade se de uN em relação ao centro de gravidade da 
armadura sA (Figura 09) vale: 
 
2
'ddees
−+= 
 
 
Figura 09 
 
A excentricidade e é considerada positiva a partir do centro de 
gravidade da seção transversal até a sua borda mais comprimida e 
a excentricidade se é tomada como positiva a partir do centro de 
gravidade da armadura sA até a borda mais comprimida da seção 
transversal. 
 
Considerando-se as resultantes internas como indica a Figura 10 
e referindo-se os momentos dessas resultantes ao centro de 
gravidade da armadura sA , as equações de equilíbrio no estado 
limite último são escritas na forma seguinte: 
 
)(* ''
'
ddRzReN
RRRN
sccsu
sscu
−+=
++=
 
dh
LN
sA
eixo 0>uN
0>uM
sA
'
sA
y
eixo
uN
0>e
0>se
e
se
x
..GC
 18 
)()(* '''
0
''
0
ddAdyydbeN
AAdybN
sscy
h
ysu
sssscy
h
yu
−+−=
++=
∫
∫
σσ
σσσ
 
 
onde os sinais dos esforços são considerados conforme a 
convenção adotada. 
 
Considerando-se positivos os encurtamentos e negativos os 
alongamentos a equação de compatibilidade das deformaçÕes tem a 
seguinte forma: 
 
dxdxx
ssc
−=−=
εεε
'
'
 
 
Nesta equação: 
 
cε = deformação especifica do concreto na borda mais comprimida 
(ou menos tracionada); 
sε = deformação específica na armadura sA ; 
 
'
sε = deformação especifica na armadura 'sA . 
 
Com a convenção apresentada, as equações de equilíbrio e de 
compatibilidade de deformações são válidas para qualquer domínio 
de deformações e para qualquer caso de solicitação normal, desde 
a tração uniforme até a compressão uniforme, passando pelos 
casos intermediários de flexão simples e solicitações 
combinadas. 
 
Neste trabalho as tensões e deformações serão consideradas em 
valor absoluto. As resultantes internas de compressão e de 
tração já serão orientadas no sentido do esforço aplicado e os 
sinais correspondentes serão incluídos nas expressões de 
 19 
cálculo. O momento uM será considerado sempre positivo e a força 
normal uN será positiva quando de compressão e negativa quando 
de tração. 
 
7 Bibliografia 
 
1 - Fernandes,G. B., Notas de aula, FEC-Unicamp, Campinas, 1980. 
 
2 - Pfeil ,W., Concreto Armado, vol 1, Livros Técnicos e 
Científicos Editora Ltda., Rio, 1985. 
 
3 - Macgregor, J. G., Reinforced Concrete Mechanics and Disign, 
Prentice_hal, Inc. Upper Saddle River, New Jersey, 1997. 
 
4 - Rusch., H., Concreto armado e protendido, Editora Campus, 
Rio, 1981.