Apostila Matrizes/Matriz Inversa/Equações Lineares/ Espaço Vetorial

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Capítulo 1
Matrizes
Notas de aula da disciplina de Geometria Analítica e Álgebra Linear, baseadas prin-
cipalmente nos livros de David Poole, Álgebra Linear e Paulo Winterle, Vetores e
Geometria Analítica. Este texto está em construção, então pode conter erros de
digitação.
O nosso objetivo não será apenas considerar uma matriz como uma tabela, para
gravar dados e informações, mas também, observar que ela associa certas matri-
zes a outras matrizes, ou seja, as matrizes podem ser pensadas como funções. Por
exemplo, considere a matriz A =
(
0 1
1 0
)
e note que ela pode ser multiplicada
pela matriz
(
1
2
)
que resulta na matriz
(
2
1
)
. Observe ainda que, em geral,(
0 1
1 0
)(
x
y
)
=
(
y
x
)
. Desta forma, podemos considerar a matriz A, como
uma função que associa a cada matriz
(
x
y
)
a matriz
(
y
x
)
, originando uma fun-
ção do conjunto de todas as matrizes 2× 1 neste mesmo conjunto.
1
1.1 Tipos de Matrizes
De�nição 1.1.1: Uma matriz é uma tabela retangular de números, chamados de
elementos, termos ou ainda, entradas da matriz.
Observação 1.1.2: As entradas das matrizes abordadas nestas notas serão números
reais, mas convém ressaltar, que ela poderão ser tomadas de outras estruturas algé-
bricas, tais como corpos (como C o conjunto dos números complexos, Zp os inteiros
módulo p, p primo), ou ainda, anéis.
Exemplo 1.1.3: A =
(
1 0
0 1
)
, B =
( √
2
−3
7
)
, C =
(
−2 sen(pi
7
) 0√
3 −1 4
9
)
.
Observe que quando escrevemos uma matriz, dispomos seus elementos em linhas
e colunas.
De�nição 1.1.4: A ordem de uma matriz, descreve a número de linhas e colunas
que ela tem. Uma matriz é chamada m× n quando tem m linhas e n colunas. Caso
m = n, diremos que a matriz é de ordem n.
Assim, observe que no exemplo anterior, A é uma matriz 2× 2 (pois possui duas
linhas e duas colunas), a matriz B possui ordem 2× 1 (pois tem 2 linhas e 1 coluna)
e C é uma matriz 2× 3 (com 2 linhas e 3 colunas).
Uma vez que as entradas de uma matriz são dispostas em linhas e colunas, quando
quisermos nos referir aos elementos de uma matriz, de forma geral, usaremos letras
minúsculas, com índices duplos. Ou seja, considere uma matriz A de ordem m × n.
Assim denotaremos
A = (aij)m×n =

a11 a12 a13 · · · a1n
a21 a22 a23 · · · a2n
.
.
.
.
.
.
.
.
. · · · ...
am1 am2 am3 · · · amn
 .
Assim, a11 denota o primeiro elemento da primeira linha e da primeira coluna, a12
denota o segundo elemento da primeira linha e o primeiro da segunda coluna e, em
2
geral, aij denota o elemento da i-ésima linha e j-ésimo coluna.
Exemplo 1.1.5: Considere a matriz A =
(
−
√
41
5
cos(37) −7
2 3
√
5 1
3
)
. Temos que
a11 = −
√
41
5
, a12 = cos(37), a13 = −7, a21 = 2, a22 = 3
√
5, a23 =
1
3
.
As vezes desconsideramos os índices, para não carregar a notação, e escreveremos
simplesmente, A =
(
a b
c d
)
para uma matriz genérica 2× 2.
Atenção! Uma matriz será denotada por letras maiúsculas A, B, C, X, enquanto
que seus elementos serão denotados por letras minúsculas a11, a12, a, b. Além disso,
poderemos escrever A = (aij) = [aij].
Usando a notação dos elementos conseguimos descrever matrizes conhecendo uma
expressão que determina seus elementos.
Exemplo 1.1.6: Encontre uma matriz A = (aij)3×2, com aij = i+ j. Desta forma,
A =
 a11 a12a21 a22
a31 a32
, onde a11 = 1 + 1 = 2 (pois neste caso i = 1 e j = 1), a12 =
1+ 2 = 3, a21 = 2+ 1 = 3, a22 = 2+ 2 = 4, a31 = 3+ 1 = 4 e a32 = 3+ 2 = 5. Desta
forma A =
 2 33 4
4 5
.
Exercício 1.1.7: Encontre as seguintes matrizes:
a) A = (aij)2×2 com aij = ij. R : A =
(
1 2
2 4
)
b) A = (aij)3×3 com aij = ij. R : A =
 1 1 12 4 8
3 9 27

c) A = (aij)3×2 com aij =
j
i
. R : A =
 1 22 1
3 3
2

Notação 1.1.8: Denotaremos por Mm×n(R) o conjunto de todas as matrizes m×n
3
com entradas em R, ou seja,
Mm×n(R) =
{
A = (aij)m×n : aij ∈ R, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n
}
.
Se m = n, então denotaremos Mn×n(R) = Mn(R).
Exemplo 1.1.9: M2(R) =
{
A =
(
a11 a12
a21 a22
)
: a11, a12, a21, a22 ∈ R
}
é o conjunto
das matrizes de ordem 2, com entradas reais.
Agora falaremos de tipos de matrizes. São matrizes que aparecerão frequentemente
em nosso curso.
De�nição 1.1.10: Umamatriz linha é uma matriz de ordem 1×n. E umamatriz
coluna é uma matriz de ordem m× 1.
Ou seja, uma matriz linha é uma matriz com apenas 1 linha, enquanto que uma
matriz coluna é uma matriz com apenas 1 coluna.
Exemplo 1.1.11: A =
(
1 −3 1
5
)
1×3
é uma matriz linha (pois possui apenas
uma linha), mas não é uma matriz coluna (pois tem mais de 1 coluna). Já a matriz
B =
(
7
−√2
)
é uma matriz coluna, pois tem 1 coluna, e não é uma matriz linha.
Note que a matriz de ordem 1, C =
(
0
)
é uma matriz linha (possui 1 linha) e
também uma matriz coluna (possui 1 coluna).
De�nição 1.1.12: Uma matriz quadrada é uma matriz de ordem m × n, com
m = n.
Exemplo 1.1.13: A =
(
1
)
1×1
, B =
(
1 0
0 1
)
2×2
, C =
 1 2 30 −1 4
0 0 2

3×3
. São
exemplos de matrizes quadradas, onde o número de linhas coincide com o número de
colunas. Note que D =
(
1 5
)
1×2
não é quadrada, pois o número de linhas (1) é
diferente do número de colunas (2).
4
De�nição 1.1.14: Os elementos da diagonal de uma matriz A = (aij)m×n, são
os elementos aij, com i = j.
Exemplo 1.1.15: Considere a matriz A =
( √
5 −1 0
0 2
3
cos(53)
)
. Temos que
a11 =
√
5 e a22 =
2
3
são os elementos da diagonal. Já b11 = 4 é o elemento da
diagonal da matriz B =

4√
11
5
13
−4
.
Note que, conforme os exemplos anteriores, a matriz não precisa ser diagonal,
para ter elementos da diagonal. A coleção dos elementos da diagonal é a diagonal
da matriz.
De�nição 1.1.16: Seja A = (aij) ∈ Mn(R). Dizemos que a matriz A é diagonal
se aij = 0, para todo i 6= j.
Assim uma matriz é diagonal se for quadrada e os elementos fora da diagonal são
todos nulos. Por exemplo, a matriz A =
(
1
)
é diagonal, pois satisfaz a de�nição,
já que não existe elemento fora da diagonal. A matriz B =
(
−1 0
0 2
)
é diagonal,
pois os elementos b12 = 0 = b21. Enquanto que a matriz C =
 −1 0 50 2 0
0 0
√
8
 não é
diagonal, pois o elemento c13 = 5 6= 0, com 1 6= 3 (ou seja, existe um elemento fora
da diagonal que é diferente de 0) e a matriz D =
(
5 0 0 0
)
não é diagonal, pois
não é quadrada.
De�nição 1.1.17: Uma matriz A é uma matriz escalar se A for diagonal e todos
os elementos da diagonal são iguais.
Exemplo 1.1.18: A matriz A =
(
5 0
0 5
)
é escalar, pois a11 = a22 = 5. A matriz
5
B =
(
2
)
é escalar, com b11 = 2. A matriz B =

1
2
0 0
0 −1
2
0
0 0 1
2
 não é escalar, pois
a11 =
1
2
6= 1
2
= a22.
De�nição 1.1.19: Diremos que A é uma matriz identidade se A for uma matriz
escalar e o escalar na diagonal for 1.
Notação 1.1.20: Denotaremos a matriz identidade de ordem n por In.
Assim I1 =
(
1
)
, I2 =
(
1 0
0 1
)
, I3 =
 1 0 00 1 0
0 0 1
 são as matrizes identidade,
de ordens 1, 2 e 3, respectivamente.
De�nição 1.1.21: Considere uma matriz A = (aij) ∈ Mm×n(R). Diremos que a
matriz A é a matriz nula se aij = 0, para todo i, 1 ≤ i ≤ m, e para todo j,
1 ≤ j ≤ n.
Notação 1.1.22: Denotaremos a matriz nula por 0.
Exemplo 1.1.23: As matrizes 0 =
(
0
)
, 0 =
(
0 0
0 0
)
, 0 =
(
0 0 0 0
)
,
0 =
 00
0
, 0 = ( 0 0 0
0 0 0
)
são matrizes nulas, pois todas as suas entradas são
nulas.
1.2 Igualdade de MatrizesFalaremos agora de um conceito que, embora seja muito simples, será empregado
inúmeras vezes até o término do curso.
De�nição 1.2.1: Sejam A = (aij) ∈ Mm×n(R) e B = (bij) ∈ Mr×s(R). Diremos
que A = B se m = r, n = s e aij = bij, para todo i, 1 ≤ i ≤ m, e para todo j,
6
1 ≤ j ≤ n.
Em palavras, duas matrizes são iguais se têm a mesma ordem e as entradas
correspondentes são iguais. Assim, as matrizes A =
(
9
2
y − 6
x+ y 2
3
)
e B =(
a+ b −3
0 a− b
)
são iguais, se a11 =
9
2
= a + b = b11, a12 = y − 6 = −3 = b12,
a21 = x + y = 0 = b21 e a22 =
2
3
= a − b = b22. Note que temos um sistema de
equações lineares

a+ b = 9
2
y − 6 = −3
x+ y = 0
a− b = 2
3
. Da segunda equação segue que y = −3 + 6 = 3 e
daí da terceira equação resulta que x = −y = −3. Por outro lado, somando as duas
equações
{
a+ b = 9
2
a− b = 2
3
, temos 2a = 9
2
+ 2
3
= 27
6
+ 4
6
= 31
6
, de onde a = 31
12
. Logo
b = 9
2
− 31
12
= 54
12
− 31
12
= 23
12
.
Exercício 1.2.2: Encontre os valores de a e x para que as matrizesA =
(
x2 + x 2
2 1
)
e B =
(
6 2
a2 − a 1
)
sejam iguais. R : a = 2, x = 2 ou x = −3
1.3 Operações com Matrizes
1.3.1 Adição de Matrizes
De�niremos agora a soma de duas matrizes, que não é apenas uma fórmula para somar
duas tabelas de números, mas sim introduzir uma operação no conjunto Mm×n(R).
Veremos na sequência que esta operação é muito boa, no sentido de gozar de várias
propriedades que nos permitirão, por exemplo, operar matrizes e formar equações
matriciais.
Sejam A = (aij), B = (bij) ∈ Mm×n(R). A soma A + B ∈ Mm×n(R) é de�nida
por
A+B = (aij) + (bij) = (aij + bij).
Assim, a soma das matrizes A e B será obtida somando-se os elementos correspon-
7
dentes das matrizes A e B. Antes de introduzir exemplos, é interessante observer que
temos notações "+"iguais, para ações diferentes na expressão anterior. Observe que
no lado esquerdo de A + B = (aij + bij), a notação "+"é apenas um símbolo, para
expressar como "adicionaremos"duas matrizes (vale a pena ressaltar que não é um +
como estamos acostumados). Já o lado direito, é uma matriz, onde cada entrada ij
desta matriz é dada por aij + bij, que é a soma dos números reais aij e bij.
Exemplo 1.3.1: Sejam A =
(
67 −6
cos(pi
2
) 1
)
e B =
(
−65 −4
3
√
8 sen(pi)
)
matrizes de
ordem 2. EntãoA+B =
(
a11 + b11 a12 + b12
a21 + b21 a22 + b22
)
=
(
67− 65 −6− 4
cos(pi
2
) + 3
√
8 1 + sen(pi)
)
=(
2 −10
0 + 2 1 + 0
)
=
(
2 −10
2 1
)
∈M2(R).
O que você pode dizer sobre B + A? Note que A + B = B + A! Diremos então
que as matrizes A e B comutam, em relação à soma. Será que a comutativa em
relação à operação soma é válida para quaisquer duas matrizes? A resposta é sim e
você consegue demonstrar o porquê?
Exercício 1.3.2: Encontre os números reais a, b, c e d, sendo que(
2
3
2
√
6 cos(pi)
sen(pi
2
) a tg(pi)
)
+
(
b − 6√
6
1
2
−cossec(pi
2
) 4
3
sec(pi)
)
=
(
3
2
c d
0 5
2
c+ 1
)
.
Exercício 1.3.3: Calcule
(
2 3
5 6
)
+
(
1
2
3
4
5
6
6
7
)
. R :
(
5
2
15
4
35
6
48
7
)
1.3.2 Multiplicação de Matriz por Escalar
Sejam A = (aij) ∈ Mm×n(R) e c ∈ R um escalar. De�nimos a multiplicação do
escalar c pela matriz A como sendo a matriz cA ∈Mm×n(R) dada por
cA = c(aij) = (caij).
Ou seja, multiplicamos cada entrada da matriz A pelo escalar c.
8
Exemplo 1.3.4: Considere a matriz A =

1
2
e0 sen(pi
4
)
ln(1) 2
5
2−3
arctg(0) −1 (4
3
)−1
.
Para c = 0 ∈ R, temos que
0A = 0

1
2
e0 sen(pi
4
)
ln(1) 2
5
2−3
arctg(0) −1 (4
3
)−1
 =
 0
1
2
0e0 0sen(pi
4
)
0ln(1) 02
5
0(2−3)
0arctg(0) 0(−1) 0(4
3
)−1
 =
 0 0 00 0 0
0 0 0
 = 0.
Para c = 1 ∈ R, temos que
1A =
 1
1
2
1e0 1sen(pi
4
)
1ln(1) 12
5
1(2−3)
1arctg(0) 1(−1) 1(4
3
)−1
 =

1
2
e0 sen(pi
4
)
ln(1) 2
5
2−3
arctg(0) −1 (4
3
)−1
 = A.
Para c = 2 ∈ R, temos que
1A =
 2
1
2
2e0 2sen(pi
4
)
2ln(1) 22
5
2(2−3)
2arctg(0) 2(−1) 2(4
3
)−1
 =
 1 2
√
2
0 4
5
2−2
0 −2 (2
3
)−1
 ,
pois 2× 1
2
= 1, 2e0 = 2× 1 = 2, 2sen(pi
4
) = 2×
√
2
2
=
√
2, 2ln(1) = 2× 0, 2× 2
5
= 4
5
,
2(2−3) = 2 × 1
23
= 2 × 1
2×2×2 = 2 × 18 = 14 = 122 = 2−2, 2arctg(0) = 2 × 0 = 0
(arctg(y) = x se, e somente se, tg(x) = y, ou seja, a função arctg é a função inversa
da tg), 2× (−1) = −2, 2(4
3
)−1 = 2× 3
4
= 3
2
= (2
3
)−1.
Para c = 1
2
= 2−1 ∈ R, temos que
1
2
A =

1
2
1
2
1
2
e0 1
2
sen(pi
4
)
1
2
ln(1) 1
2
2
5
1
2
(2−3)
1
2
arctg(0) 1
2
(−1) 1
2
(4
3
)−1
 =

1
4
1
2
√
2
4
0 1
5
2−4
0 −1
2
(8
3
)−1
 .
Note que, no exemplo anterior 0A = 0, ou seja, multiplicando o escalar (número)
0 pela matriz A obtivemos a matriz nula 0. Será que isto é verdadeiro para qualquer
matriz A que você considere? Da mesma forma, 1A = A. Será que isto continua
válido se considerarmos outra matriz A? A resposta para as duas perguntas é sim!
Você consegue explicar o porquê?
Exercício 1.3.5: Sejam A =
(
−1 1
5
2
3
1
2
)
e B =
(
3
2
2
1 1
3
)
∈ M2(R). Calcule
1
2
A+ 1
3
B. R :
(
0 23
30
4
3
13
36
)
9
Com a operação multiplicação por escalar, conseguimos de�nir o conceito de ma-
triz oposta.
De�nição 1.3.6: Seja A = (aij) ∈ Mm×n(R). A matriz oposta de A, denotada
por −A, é de�nida por
−A = (−1)A.
Observe que a matriz oposta de A é a multiplicação do escalar −1 ∈ R pela matriz
A, isto é, −A = (−1)A = (−1)(aij) = (−aij).
Exemplo 1.3.7: Considere a matriz nula de ordem 2, a saber, 0 =
(
0 0
0 0
)
. A
matriz oposta de 0 é a própria matriz 0, pois −0 = (−1)0 =
(
(−1)0 (−1)0
(−1)0 (−1)0
)
=(
0 0
0 0
)
= 0.
Exemplo 1.3.8: Seja A =

−ln(2)
e
1
2
sen(3pi
2
)
cos(3pi
2
)
 ∈ M4×1(R). Então −A = (−1)A =

(−1)(−ln(2))
(−1)e 12
(−1)sen(3pi
2
)
(−1)cos(3pi
2
)
 =

ln(2)
−e 12
1
0
, pois (−1)sen(3pi2 ) = (−1)(−1) = 1 e (−1)cos(3pi2 ) =
(−1)0 = 0.
Com o conceito de matriz oposta (de�nida a partir da multiplicação da matriz por
escalar) e a operação de soma de matrizes, conseguimos de�nir mais uma operação
no conjunto das matrizes, a saber a diferença de duas matrizes.
Sejam A = (aij), B = (bij) ∈ Mm×n(R). A diferença A − B ∈ Mm×n(R) é
de�nida por
A−B = A+ (−B).
10
Assim A − B é a soma da matriz A com a matriz oposta da matriz B, ou seja,
A−B = A+ (−B) = (aij) + (−bij) = (aij − bij).
Exemplo 1.3.9: Sejam A =
(
1
2
−2
3
)
e B =
(
2
3
)
∈ M2×1(R). Então A − B =(
1
2
−2
3
)
+(−1)
(
2
3
)
=
(
1
2
− 2
−2
3
− 3
)
=
(
1
2
− 4
2
−2
3
− 9
3
)
=
(
−3
2
−11
3
)
. Por outro lado,
B − A =
(
2
3
)
+ (−1)
(
1
2
−2
3
)
=
(
2− 1
2
3− (−2
3
)
)
=
(
4
2
− 1
2
9
3
+ 2
3
)
=
(
3
2
11
3
)
Podemos observar que A−B 6= B−A desta forma temos que a operação diferença
não é comutativa. Mas o que você consegue dizer em relação a A−B e B−A? Note
que A − B = −(B − A), ou seja, elas são matrizes opostas! Será que isto é válido
para quaisquer matrizes? A resposta é sim e você consegue demonstrar o porquê?
Agora A− A =
(
1
2
−2
3
)
+ (−1)
(
1
2
−2
3
)
=
(
1
2
+ (−1)1
2
−2
3
+ (−1)(−2
3
)
)
=
(
0
0
)
= 0,
ou seja, somando a matriz A com sua matriz opostaobtivemos a matriz nula. O que
você pode dizer sobre −A+A? Será que, para qualquer matriz A, teremos A−A = 0?
A resposta é sim, você consegue demonstrar o porquê?
Exercício 1.3.10: Calcule
(
1
2
1
3
1
4
1
5
)
−
(
1
6
1
7
1
8
1
9
)
. R :
(
1
3
4
21
1
8
4
45
)
Exercício 1.3.11: Calcule
(
1
2
1
3
2 3
)
−
(
(−1
2
)3 (−1
3
)3
(−2)5 (−3)3
)
. R :
(
5
8
10
27
34 30
)
1.3.3 Multiplicação de Matrizes
Sejam A = (aij) ∈ Mm×n e B = (bij) ∈ Mn×r. Então o produto C = AB = (cij) ∈
Mm×r(R) onde cij = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ ainbnj.
Note que o elemento cij é obtido pelo produto da i-ésima linha da matriz A pela
j-ésima coluna da matriz B.
Exemplo 1.3.12: ConsideremosA =
(
1
2
√
3 −1
0 4
3
2
)
∈M2×3(R) eB =

1
5
3
4
−3
 ∈
11
M3×1(R). Note que é possível calcular AB, pois o número de colunas de A, coincide
com o número de linhas de B, a saber 3. Além disso, AB será uma matriz 2× 1 (ou
seja, o número de linhas da matriz A, pelo número de colunas da matriz B). Assim
AB = C =
(
c11
c21
)
, onde c11 é determinado fazendo o produto da primeira linha
de A pela primeira coluna da matriz B (observe os índices do elemento 11 ), ou seja,
c11 =
1
2
· 1
5
+
√
3 · 3
4
+ (−1) · (−3) = 1
10
+ 3+ 3
√
3
4
= 1
10
+ 30
10
+ 3
√
3
4
= 31
10
+ 3
√
3
4
. Já c21 é
determinado fazendo o produto escalar da segunda linha de A pela primeira coluna da
matriz B (observe os índices do elemento 21 ), ou seja, c21 = 0 · 15 + 43 · 34 +(2) · (−3) =
0 + 1− 6 = −5. Assim AB =
(
31
10
+ 3
√
3
4
−5
)
=
(
62+15
√
3
20
−5
)
.
Note que não é possível calcular BA, pois o número de colunas da matriz B, 3, é
diferente do número de linhas da matriz A, 2. Observe que disto também podemos
concluir que AB 6= BA, ou seja, segue que o produto de matrizes não é comutativo,
em geral.
Exercício 1.3.13: Calcule
(
1
2
2 3
1
3
4 5
) 1
1
2
2 1
3
3 1
4
. R : ( 272 5370
3
25
12
)
Exercício 1.3.14: Encontre todas as matrizes que comutam com as matrizes
a) A =
(
1
2
0
0 0
)
b) A =
(
1 0
0 1
)
R : todas as matrizes 2×2
c) A =
(
0 1
0 0
)
d) A =
(
1 −1
−1 1
)
e) A =
(
1 0
0 0
)
e B =
(
0 0
0 1
)
f) A =
(
0 1
0 0
)
e B =
(
0 0
1 0
)
Exercício 1.3.15: a) Encontre uma matriz quadrada A de ordem 2, não nula, tal
que A2 = 0.
b) Encontre uma matriz quadrada A de ordem 2, A 6= I2, tal que A2 = I2.
c) Encontre matrizes A, B e C ∈M2(R) tais que AB = AC, mas B 6= C.
12
1.3.4 Potências de uma Matriz
Seja A ∈ Mn(R). De�nimos a n-ésima potência da matriz A por An = An−1A,
para qualquer n natural maior que 0.
Convencionamos que A0 = In. E A
1 = A1−1A = A0A = InA = A, A2 = AA (a
multiplicação da matriz A por ela mesma), A3 = A2A (a multiplicação da matriz A2
pela matriz A), e assim por diante.
Exemplo 1.3.16: Seja A =
 0 1
1
2
0 0 −2
0 0 0
 ∈M3(R). Então
A2 = AA =
 0 · 0 + 1 · 0 +
1
2
· 0 0 · 1 + 1 · 0 + 1
2
· 0 0 · 1
2
+ (1) · (−2) + 1
2
· 0
0 · 0 + 0 · 0 + (−2) · 0 0 · 1 + 0 · 0 + (−2) · 0 0 · (1
2
) + 0 · (−2) + (−2) · 0
0 · 0 + 0 · 0 + 0 · 0 0 · 1 + 0 · 0 + 0 · 0 0 · (1
2
) + 0 · (−2) + 0 · 0
 ,
ou seja, A2 =
 0 0 −20 0 0
0 0 0
 .
Agora
A3 = A2A =
 0 0 −20 0 0
0 0 0

 0 1
1
2
0 0 −2
0 0 0
 =
 0 0 00 0 0
0 0 0
 .
Exercício 1.3.17: Seja A =
(
cosθ −senθ
senθ cosθ
)
. Determine A2 e A3. R : A2 =(
cos2θ −sen2θ
sen2θ cos2θ
)
, A3 =
(
cos3θ −sen3θ
sen3θ cos3θ
)
Exercício 1.3.18: Seja A =
(
0 1
−1 1
)
.
a) Calcule A2, A3, A4, A5, A6, A7.
b) Determine A1000.
c) Determine A10000.
Exercício 1.3.19: Sejam E =
 1 0 00 1 0
r 0 1
 , D =
 1 0 00 r 0
0 0 1
 e P =
 0 1 01 0 0
0 0 1
.
13
Encontre E100, D100 e P 100.
Exercício 1.3.20: Seja
 2 1 00 −1 2
1 3 −1
 .
a) Calcule A3 e mostre que A3 = 9A− 8I3.
b) Ache a, b e c tais que A6 = aA2 + bA+ cI3.
1.4 Matriz Transposta
De�nição 1.4.1: Consideremos uma matriz A = (aij) ∈ Mm×n(R). A matriz
transposta da matriz A, denotada por AT , é uma matriz de ordem n × m dada
por AT = (bij), onde bij = aji.
Em outras palavras, as linhas da matriz transposta de A, são as colunas da matriz
A e as colunas da matriz transposta de A, são as linhas da matriz A.
Exemplo 1.4.2: Seja A =
( √
7 sec(pi
3
) −4
5
2
)
∈ M1×4(R). Então AT =
√
7
sec(pi
3
)
−4
5
2
 ∈M4×1(R).
Exemplo 1.4.3: Seja B =
 −10 ln(2)4−5 23
−3 cossec(pi
4
)
 ∈M3×2(R). Então
BT =
(
−10 4−5 −3
ln(2) 2
3
cossec(pi
4
)
)
∈M2×3(R).
Exercício 1.4.4: Sejam A =
 1 3 11 0 0
2 4 5
 e B =
 1 −12 0
−1 1
. Veri�que que
(AB)T = BTAT .
De�nição 1.4.5: Uma matriz quadrada A = (aij) ∈Mn×n(R) é simétrica quando
14
A = AT .
Ou seja, uma matriz é simétrica quando a matriz é igual a sua transposta. Disso
segue que aij = aji, para todos i e j. De fato, pois se A = (aij) for igual a sua
transposta AT = (aji), então A = (aij) = (aji) = A
T
, de onde segue que (pela
igualdade de matrizes) aij = aji, para todos i e j.
Exemplo 1.4.6: A =

cos(pi
7
) −√5 3
tg(pi
5
)
−√5 2−2 3
2
3
tg(pi
5
)
(2
3
)−1 pi
 é uma matriz simétrica, pois a12 =
−√5 = a21, a13 = 3tg(pi
5
)
= a31 e a23 =
3
2
= (2
3
)−1 = a32. Já a matriz B =( √
8 −1
2
1
2
−23
)
não é simétrica, pois a12 = −12 6= 12 = a21.
Note que não temos nenhuma restrição para os elementos da diagonal. Que não é
o caso das matrizes antissimétricas, que veremos na sequência.
Exercício 1.4.7: Decida se as seguintes matrizes são simétricas.
a) A =
(
0 1√
2√
2√
2
ln(2 +
√
2)
)
b) A =
 0
2
9
0
(9
2
)−1 5−3 4
sen(pi) −4 0

Exercício 1.4.8: Decida quais das seguintes a�rmações são verdadeiras e quais são
falsas. No primeiro caso, demonstre a a�rmação, e se ocorrer a segunda situação,
construa um contra-exemplo.
a) A soma de duas matrizes simétricas sempre é uma matriz simétrica.
b) A diferença de duas matrizes simétricas sempre é uma matriz simétrica.
c) A multiplicação de um escalar por uma matriz simétrica é uma matriz simétrica.
d) O produto de duas matrizes simétricas é uma matriz simétrica.
e) A transposta de uma matriz simétrica é uma matriz simétrica.
De�nição 1.4.9: Uma matriz quadrada A = (aij) ∈ Mn×n(R) é antissimétrica
quando AT = −A.
Se −A = (−aij) for igual a sua transposta AT = (aji), então −A = (−aij) =
15
(aji) = A
T
, de onde segue que (pela igualdade de matrizes) −aij = aji, para todos i e
j. Note que esta condição implica que os elementos da diagonal são todos nulos, pois
se i = j, então
−aii = aii ⇒ aii + aii = 0⇒ 2aii = 0⇒ aii = 0.
Exemplo 1.4.10: A =
 0 −2
√
2 −3
5
2
√
2 0 7
2
(5
3
)−1 −(2
7
)−1 0
 é uma matriz antissimétrica, pois
a11 = a22 = a33 = 0 e a12 = −2
√
2 = −[2√2] = −a21, a13 = −35 = −[(53)−1] = −a31 e
a23 =
7
2
= −[−(2
7
)−1] = −a32.
Por outro lado, a matriz B =
(
0 −1
5
5−1 1
)
não é antissimétrica, pois a22 = 1 6=
−1 = −a22.
Exercício 1.4.11: Decida se as matrizes são antissimétricas.
a) A =
 1 −
1
2
0
1
2
0 36
9
0 −4 0
 b) A = ( 0 0
0 0
)
c) A =
 0 1−1 0
0 0

1.5 A Álgebra de Matrizes
Agora vamos apresentar uma lista de propriedades algébricas das operações adição
de matrizes e multiplicação de escalar por matriz. Estas propriedades são muito im-
portantes, pois são elas que nos permitem fazer"contas"com matrizes. Por exemplo,
conseguiremos resolver uma equação cuja variável seja uma matriz.
Teorema 1.5.1: Propridades Algébricas da Adição de Matrizes e da Multiplicação
por Escalar
Sejam A, B, C ∈Mm×n(R) e sejam c, d ∈ R. Então
a) A+B = B + A; (comutatividade da soma)
b) A+ (B + C) = (A+B) + C; (associatividade da soma)
c) A+ 0 = A; (existe elemento neutro da soma)
d) A+ (−A) = 0; (existe elemento oposto da soma)
e) c(A+B) = cA+ cB; (distributiva)
16
f) (c+ d)A = cA+ dA; (distributiva)
g) c(dA) = (cd)A;
h) 1A = A.
Demonstração: a) Sejam A = (aij), B = (bij) ∈Mm×n(R). Então
A+B = (aij) + (bij) = (aij + bij).
Enquanto que
B + A = (bij) + (aij) = (bij + aij).
Agora note que aij + bij = bij + aij, pois aij e bij são números reais, para todos i e j,
e a soma de números reais é comutativa. Assim
A+B = B + A.
Por exemplo, A =
(
2 −2
3
2−1 −2
)
, B =
(
3−1 −1
2 1
3
)
∈M2×2(R). Então A+B =(
2 −2
3
2−1 −2
)
+
(
3−1 −1
2 1
3
)
=
(
2 + 3−1 −2
3
− 1
2−1 + 2 −2 + 1
3
)
=
(
3−1 + 2 −1− 2
3
2 + 2−1 1
3
− 2
)
=(
3−1 −1
2 1
3
)
+
(
2 −2
3
2−1 −2
)
= B + A.
Note que as entradas são números reais que comutam com a soma.
As demais propriedades são deixadas para você fazer! Bom trabalho!
Veremos no decorrer do curso que Mm×n(R) com a soma de matrizes e multipli-
cação de escalar por matriz, satisfazendo estas oito propriedades constitui um espaço
vetorial.
De�nição 1.5.2: Consideremos agora n matrizes A1, A2, ..., Ak ∈ Mm×n(R) e n
números reais c1, c2, ..., ck. A expressão
c1A1 + c2A2 + · · ·+ ckAk
é uma combinação linear das matrizes A1, A2, ..., An. Os escalares c1, c2, ..., ck são
chamados os coe�cientes da combinação linear.
17
Seja A ∈Mm×n(R). Se
A = c1A1 + c2A2 + · · ·+ ckAk,
então dizemos que a matriz A é uma combinação linear das matrizes A1, A2, ..., Ak.
Exemplo 1.5.3: Considere A1 =
(
2 0
−3−1 0
)
, A2 =
(
−3
4
3−1
4−1 −2
)
e A3 =(
0 4−1
0 0
)
. A matriz B =
(
0 1
12
4−1 −2
)
é uma combinação linear de A1, A2 e
A3?
Para isto precisamos veri�car se existem escalares c1, c2, c3 tal que
(
0 1
12
4−1 −2
)
=
c1
(
2 0
−3−1 0
)
+ c2
(
−3
4
3−1
4−1 −2
)
+ c3
(
0 4−1
0 0
)
.
O que resulta no seguinte sistema

2c1 − 34c2 = 0
1
3
c2 +
1
4
c3 =
1
12
−1
3
c1 +
1
4
c2 =
1
4
−2c2 = −2
Note que da equação 4
temos que c2 = 1. Substituindo este valor na equação 2, temos
1
3
+ 1
4
c3 =
1
12
. Mul-
tiplicando esta equação por 12, temos 4 + 3c3 = 1, que implica que 3c3 = 1 − 4,
ou seja, c3 = −1. Substituindo c2 = 1 na primeira equação, temos 2c1 − 34 = 0, de
onde segue que 2c1 =
3
4
, ou c1 =
3
8
. Note que encontramos valores numéricos para
c1, c2 e c3. Mas atenção! Não veri�camos a equação número 3. E a solução de um
sistema precisa satisfazer todas as equações. Então vamos veri�car a equação 3 para
os valores encontrados para c1, c2 e c3.
−1
3
· 3
8
+ 1
4
· 1 = 1
4
? Note que −1
3
· 3
8
+ 1
4
· 1 = −1
8
+ 1
4
= 1
8
6= 1
4
. Portanto a equação
3 não se veri�ca. Assim o sistema não possui solução, ou seja, não existem c1, c2 e
c3 de modo que B = c1A1 + c2A2 + c3A3. Então a matriz B não é uma combinação
linear das matrizes A1, A2 e A3.
E a matriz C =
(
0 1
12
8−1 −2
)
é uma combinação linear de A1, A2 e A3?
Observe que quando perguntamos se uma matriz é uma combinação linear de
outras matrizes, acabamos sempre resolvendo um sistema de equações lineares. Se
18
tratando de um sistema de equações lineares, este pode ou não ter solução. Assim,
se o sistema de equações lineares obtido tem solução (não importando se tem apenas
uma ou in�nitas), então a matriz é combinação linear das demais. Por outro lado, se
o sistema de equações lineares não possui solução, a matriz não é uma combinação
linear das demais.
Exercício 1.5.4: Veri�que se é possível escrever a matriz B como combinação linear
das outras matrizes.
a) B =
(
4
3
13
2
23
2
7
6
)
, A1 =
(
2 4
0 1
)
, A2 =
(
1
2
−3
9 1
4
)
, A3 =
(
1 1
2
−1
2
2
)
. R : sim
b) B =
(
2
3
−2
5 1
7
)
, A1 =
(
1 0
0 0
)
, A2 =
(
0 1
0 0
)
, A3 =
(
0 0
1 0
)
, A4 =(
0 0
0 1
)
. R : sim
c)B =

5
4
5 −1
5 0 1
3
4 1
2
1
, A1 =
 1 0 10 0 12
0 0 0
, A2 =
 1 0 10 −1 0
−1
2
0 0
, A3 =
 0 1 12 0 0
0 −1 0
.
De�nição 1.5.5: O conjunto gerado por um conjunto de matrizes S é o conjunto
de todas as combinações lineares dessas matrizes.
Notação 1.5.6: O conjunto gerado por S, onde S ⊆ Mm×n(R), será denotado por
ger(S) ou [S].
Exemplo 1.5.7: Determine o conjunto gerado pela matriz
(
1 0
0 0
)
. Observe que,
pela de�nição de conjunto gerado,
ger(S) =
{
c
(
1 0
0 0
)
: c ∈ R
}
=
{(
c 0
0 0
)
: c ∈ R
}
.
Observe que o conjunto gerado pela matriz
(
1 0
0 0
)
é o conjunto de todas as ma-
trizes 2× 2 cujas entradas a12 = a21 = a22 = 0.
E qual o conjunto gerado pela matriz
{
c
(
1
2
0
0 0
)}
?
19
Exercício 1.5.8: Determine a expressão geral do conjunto gerado pelas matrizes
a) A =
(
5
3
0
0 1
4
)
. R : conjunto das matrizes diagonais 2× 2
b) A =
(
2 0
0 3
)
. R : conjunto das matrizes diagonais 2× 2
c) A =
(
2 0
0 2
)
. R : conjunto das matrizes escalares 2× 2
d) A =
(
7
11
1
0 5
23
)
. R : conjunto das matrizes triangulares superiores 2× 2
De�nição 1.5.9: Consideremos n matrizes A1, A2,...,An ∈ Mm×n(R). As matrizes
A1, A2,..., An são linearmente independentes se
c1A1 + c2A2 + · · ·+ An = 0 (1.1)
implica que c1 = c2 = · · · = cn = 0. Se existir pelo menos um coe�ciente não nulo,
satisfazendo
c1A1 + c2A2 + · · ·+ An = 0,
então A1, A2,..., An são linearmente dependentes.
Observação 1.5.10: 1) Observe que o 0 que aparece na equação (1.1) é a matriz
nula de mesma ordem das matrizes A1, A2,..., An.
2) Observe que os escalares c1, c2,..., cn que aparecem na combinação linear (1.1) são
números reais.
3) Por conveniência costumanos abreviar o termo linearmente independente por li e,
analogamente, costumamos abreviar o termo linearmente dependente por ld.
4) A expressão (1.1) é chamada uma combinação linear nula.
5) Já observamos anteriormente que resolvendo uma conbinação linear, obtemos um
sistema de equações lineares. Agora você pode observar nos exemplos a seguir, que
resolvendo uma combinação linear nula, obtemos um sistema de equações lineares ho-
mogêneo! Note que um sistema de equações lineares homogêneo tem sempre solução.
Pode ter uma única solução, a saber a solução trivial, ou seja, c1 = c2 = · · · = cn = 0,
20
e neste caso o conjunto de matrizes é li. Por outro lado, o sistema de equações homo-
gêneo pode ter in�nitas soluções (a trivial c1 = c2 = · · · = cn = 0 e outras soluções
não triviais, ou seja, valores não nulos para c1, c2,..., cn), neste caso o conjunto de
matrizes é ld.
Exemplo 1.5.11: Decida se o conjunto de matrizes
{
A1 =
(
1 0
0 0
)
, A2 =
(
0 1
0 0
)
, A3 =
(
0 0
1 1
)}
é li ou ld?
Para responder a pergunta, devemos escrever a combinação linear nula das matri-
zes, ou seja,
c1A1 + c2A2 + c3A3 = 0.
Que pode ser reescrito como
c1
(
1 0
0 0
)
+ c2
(
0 1
0 0
)
+ c3
(
0 0
1 1
)
=
(
0 0
0 0
)
.
Multiplicando os escalares pelas matrizes, temos(
c1 0
0 0
)
+
(
0 c2
0 0
)
+
(
0 0
c3 c3
)
=
(
0 0
0 0
)
agora somando asmatrizes, obtemos(
c1 c2
c3 c3
)
=
(
0 0
0 0
)
de onde segue (da igualdade de matrizes)
c1 = 0
c2 = 0
c3 = 0
,
que é um sistema de equações lineares homogêneo (veja que no lado direito do sistema
os termos independentes são todos nulos). Note que a única solução deste sistema é
a solução trivial, ou seja, c1 = c2 = c3 = 0. Portanto o conjunto de matrizes é li.
21
Exemplo 1.5.12: Decida se o conjunto de matrizes{
A1 =
(
1 1
0 0
)
, A2 =
(
1 0
0 0
)
, A3 =
(
0 1
0 0
)}
é li ou ld?
Novamente precisamos escrever a combinação linear nula das matrizes, ou seja,
c1A1 + c2A2 + c3A3 = 0.
Que pode ser reescrito como
c1
(
1 1
0 0
)
+ c2
(
1 0
0 0
)
+ c3
(
0 1
0 0
)
=
(
0 0
0 0
)
.
Multiplicando os escalares pelas matrizes, temos(
c1 c1
0 0
)
+
(
c2 0
0 0
)
+
(
0 c3
0 0
)
=
(
0 0
0 0
)
agora somando as matrizes, obtemos(
c1 + c2 c1 + c3
0 0
)
=
(
0 0
0 0
)
de onde segue (da igualdade de matrizes){
c1 + c2 = 0
c1 + c3 = 0
,
que é um sistema de equações lineares homogêneo. Observe que c1 = c2 = c3 = 0 é
solução! Mas observe que da equação 1, c1 = −c2 e da equação 2, c1 = −c3. Assim
veja que se c1 = 1, então c2 = c3 = −1. Então existem escalares não nulos. Logo o
conjunto é ld. E note que
1A1 + (−1)A2 + (−1)A3 = 0.
Que pode ser reescrito como
1
(
1 1
0 0
)
+ (−1)
(
1 0
0 0
)
+ (−1)
(
0 1
0 0
)
=
(
0 0
0 0
)
.
22
Exercício 1.5.13: Determine se as matrizes dadas são linearmente independentes
ou linearmente dependentes.
a) A1 =
(
1 0
0 0
)
, A2 =
(
0 1
0 0
)
, A3 =
(
0 0
1 0
)
, A4 =
(
0 0
0 1
)
. R : sim
b) A1 =
(
1 0
0 0
)
, A2 =
(
0 1
0 0
)
, A3 =
(
0 0
1 0
)
, A4 =
(
0 0
0 1
)
, A5 =(
0 0
0 0
)
. R : não
c) A =
 0 00 0
0 0
. R : não
d) A =
(
2
√
2
5
0 0
0 0 0
)
. R : sim
e) A1 =
 1 0 30 −53 0
2 1
2
0
, A2 =
 1 5 0−3 0 −2
2 0 4
, A3 =
 0 2 3−1 0 3
2 0 −1
.
1.6 Determinantes
Nesta seção nosso objetivo é que o aluno relembre como calcular o determinante de
matrizes de ordens pequenas (1, 2, 3, 4 e 5). Não demonstraremos os teoremas enunci-
ados. Apenas ilustraremos os teoremas com exemplos, principalmente as propriedades
dos determinantes, para ressaltar a importância destas.
Seja A uma matriz quadrada, com entradas em R. O determinante de A será
denotado por det(A) ou por |A|. O determinante de uma matriz quadrada com
entradas reais será um número real, de�nido como segue.
Se A = (a) ∈M1(R), então det(A) = |A| = a.
Por exemplo, considere a matriz A = (−3
7
) ∈M1(R). Então det(A) = −37 .
Se A =
(
a11 a12
a21 a22
)
∈M2(R), então
det(A) = |A| =
∣∣∣∣∣ a11 a12a21 a22
∣∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21.
23
Exemplo 1.6.1: Considere A =
(
7
52
sec(5pi
6
)
cos(5pi
6
) ( 7
52
)−1
)
. Então
∣∣∣∣∣ 752 sec(5pi6 )cos(5pi
6
) ( 7
52
)−1
∣∣∣∣∣ = ( 752)( 752)−1−sec(5pi6 )cos(5pi6 ) = 1− 1cos(5pi
6
)
cos(
5pi
6
) = 1−1 = 0.
Se A =
 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
 ∈ M3(R), então det(A) pode ser determinado pela
regra de Sarrus. Que consiste em copiar as duas primeiras colunas da matriz, à
direita da matriz. A seguir, efetue os produtos dos elementos que estão nas diagonais.
Depois somamos os produtos dos elementos das diagonais da esquerda para a direita
e subtraimos os produtos dos elementos das diagonais da direita para a equerda.
Veja na ilustração
−
z
z
z
z
z
−
z
z
z
z
z
−
{
{
{
{
a11
E
E
E
E a12
E
E
E
E a13
E
E
E
E
y
y
y
y
a11
y
y
y
y
a12
y
y
y
y
a21 a22
E
E
E
E
y
y
y
y
a23
E
E
E
E
y
y
y
y
a21
E
E
E
E
y
y
y
y
a22
a31 a32 a33
E
E
E
E a31
E
E
E
E a32
C
C
C
C
+ + +
Então
det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33.
Mas atenção! A regra de Sarrus só pode ser usada para matrizes de ordem 3.
Exemplo 1.6.2: Considere A =
 2 −1
3
4
−1
3
4 0
1 1
2
5
 ∈M3(R).
Copiando as duas primeiras colunas da matriz, à direita, temos
24
−




−
|
|
|
|
|
−
~
~
~
~
2
@
@
@
@
@ −1
=
=
=
=
=
3
4
=
=
=
=
�
�
�
�
�
2
�
�
�
�
�
−1
~
~
~
~
−1
3
4
=
=
=
=
=
~
~
~
~
~
0
=
=
=
=
=
�
�
�
�
�
−1
3
@
@
@
@
@
�
�
�
�
4
1 1
2
5
?
?
?
?
? 1
B
B
B
B
B
1
2
@
@
@
@
@
+ + +
Assim |A| = (2)(4)(5)+(−1)(0)(1)+(3
4
)(−1
3
)(1
2
)−(3
4
)(4)(1)−(2)(0)(1
2
)−(−1)(−1
3
)(5) =
40− 1
8
− 3− 5
3
= 960−3−72−40
24
= 845
24
Outra forma de de�nir o determinante de matrizes de ordem 3 (ou mais) é pelo
Método de Expansão de Laplace, no qual você escolhe uma linha ou uma coluna
da matriz para fazer a expansão.
Dada A =
 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
 ∈ M3(R). A expansão de Laplace pela primeira
linha da matriz será
det(A) = a11(−1)1+1
∣∣∣∣∣ a22 a23a32 a33
∣∣∣∣∣+ a12(−1)1+2
∣∣∣∣∣ a21 a23a31 a33
∣∣∣∣∣+ a13(−1)1+3
∣∣∣∣∣ a21 a22a31 a32
∣∣∣∣∣ ,
ou simplesmente,
det(A) = a11
∣∣∣∣∣ a22 a23a32 a33
∣∣∣∣∣− a12
∣∣∣∣∣ a21 a23a31 a33
∣∣∣∣∣+ a13
∣∣∣∣∣ a21 a22a31 a32
∣∣∣∣∣ .
Veja que consideramos o entrada aij da linha ou coluna escolhida, multiplicamos
esta entrada por (−1)i+j e multiplicamos ainda pelo determinante da matriz que
resulta excluindo a linha e a coluna que contém o elemento aij. Fazemos isto para
cada entrada da linha ou coluna escolhida e somamos o resultado.
Por exemplo a11
∣∣∣∣∣ a22 a23a32 a33
∣∣∣∣∣ é obtido fazendo a11(−1)1+1 multiplicado pelo deter-
minante da matriz de ordem 2 obtida pela exclusão da linha 1 (note que a11 está na
25
linha 1) e coluna 1 (observe que a11 está na coluna 1).
a11
�
�
�
___ a12 ___ a13
a21
�
�
� a22 a23
a31 a32 a33
Repetimos o mesmo processo para a12 e a13.
Este processo pode ser usado para determinar determinantes de matrizes de qual-
quer ordem. Observe que sempre recaímos no cálculo de determinantes de ordem
menor. É sempre recomendado escolher uma linha ou coluna, com várias entradas
nulas, para facilitar os cálculos.
Exemplo 1.6.3: Seja A =

1 −2 0 1
2
0 4 −1 3
0 2 5 0
7 −3 1
2
1
 ∈ M4(R). O determinante de A,
fazendo a expansão de Laplace pela primeira coluna é
det(A) = 1(−1)1+1
∣∣∣∣∣∣∣
4 −1 3
2 5 0
−3 1
2
1
∣∣∣∣∣∣∣+0(−1)2+1
∣∣∣∣∣∣∣
−2 0 1
2
2 5 0
−3 1
2
1
∣∣∣∣∣∣∣+0(−1)3+1
∣∣∣∣∣∣∣
−2 0 1
2
4 −1 3
−3 1
2
1
∣∣∣∣∣∣∣+
7(−1)4+1
∣∣∣∣∣∣∣
−2 0 1
2
4 −1 3
2 5 0
∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣
4 −1 3
2 5 0
−3 1
2
1
∣∣∣∣∣∣∣ − 7
∣∣∣∣∣∣∣
−2 0 1
2
4 −1 3
2 5 0
∣∣∣∣∣∣∣ = 70 − 7(41) = 70 −
287 = −217.
Exercício 1.6.4: Calcule o determinante das seguintes matrizes usando a expansão
de Laplace.
a)A =

1 1
2
0 −4
2 4 −1 5
0 2 1
3
0
3 1 0 7
 b)A =
 −3 −2 85 0 −1
0 1 4
 c)A =

5 3
4
0 −1
1
2
0 0 0
0 4 −2 1
3 1 0 −2

d) A =
 cosθ senθ tgθ0 cosθ −senθ
0 senθ cosθ
 e) A =

cosθ senθ cotgθ secθ
0 cosθ senθ tgθ
0 0 cosθ −senθ
0 0 senθ cosθ

26
Teorema 1.6.5: Propriedades dos determinantes
Sejam A,B ∈Mn(R) e c ∈ R.
a) Se A tem uma linha (coluna) toda nula, então det(A) = 0.
b) Se B é obtida de A pela troca de duas linhas (colunas), então det(B) = −det(A).
c) Se A tem duas linhas (colunas) idênticas, então det(A) = 0.
d) SeB é obtida pela multiplicação de uma linha (coluna) de A por c, então det(B) =
cdet(A).
e) Se A, B e C são idênticas, a menos pelo fato de que a i-ésima linha (coluna) de C
é a soma das i-ésimas linhas (colunas) de A e B, então det(C) = det(A) + det(B).
f) Se B difere de A por ter uma linha (coluna) que é a soma de um múltiplo de uma
linha (coluna) de A com outra coluna de A, então det(B) = det(A).
g) det(cA) = cnA.
h) det(AB) = det(A)det(B).
i) det(A) = det(AT ).
Observação 1.6.6: Em geral det(A + B) 6= det(A) + det(B). De fato, considere
A =
(
1 2
1 2
)
e B =
(
3 1
2
0 0
)
. Temos que det(A) = 0 e det(B) = 0. Por outro
lado, A+B =
(
1 + 3 2 + 1
2
1 + 0 2 + 0
)
=
(
4 5
2
1 2
)
e
det(A+B) =
∣∣∣∣∣ 4 521 2
∣∣∣∣∣ = 8− 52 = 16− 52 = 112 6= 0 = det(A) + det(B).
Vamos agora apresentar vários exemplos para ilustrar as propriedades de deter-
minantes. É importante ressaltar que não demonstraremos estas propriedades aqui e
os exemplos que faremos não demonstram as propriedades, apenas ilustram.
Exemplo 1.6.7: Para ilustrar o item (a).
27
Seja A =

−523
71
15
46
0
√
91√
2√
703 57
2
0 3
ln(7) e7 0 77
7
tg(350) sen(350) 0 cos(350)
 ∈M4(R). Então
det(A) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−523
71
15
46
0
√
91√
2√
703 57
2
0 3
ln(7) e7 0 77
7
tg(350) sen(350) 0 cos(350)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0,
pois todas as entradas da terceira coluna de A são 0. Fazendo expansão por La-
place na terceira coluna, temos det(A) = 0(−1)1+3
∣∣∣∣∣∣∣
√
703 57
2
3
ln(7) e7 77
7
tg(350) sen(350) cos(350)
∣∣∣∣∣∣∣ +
0(−1)2+3
∣∣∣∣∣∣∣
−523
71
15
46
√
91√
2
ln(7) e7 77
7
tg(350) sen(350) cos(350)
∣∣∣∣∣∣∣+0(−1)3+3
∣∣∣∣∣∣∣
−523
71
15
46
√
91√
2√
703 57
2
3
tg(350) sen(350) cos(350)
∣∣∣∣∣∣∣+
0(−1)4+3
∣∣∣∣∣∣∣
−523
71
15
46
√
91√
2√
703 57
2
3
ln(7) e7 77
7
∣∣∣∣∣∣∣ = 0.
Exemplo 1.6.8: Para ilustrar o item (b).
Sejam A =
 1
1
2
5
−1
3
4 0
2 −1 3
4
 ∈ M3(R) e B =
 2 −1
3
4
−1
3
4 0
1 1
2
5
 ∈ M3(R). Observe
que a terceira linha da matriz B é a primeira linha da matriz A e a primeira linha da
matriz B é a terceira linha da matriz A.
Temos que det(A) = 3 + 0 + 5
3
− 40 + 0 + 1
8
= 72+40−960+3
24
= −845
24
. Enquanto que
det(B) = 40− 1
8
− 3− 5
3
= 960−3−72−40
24
= 845
24
.
Portanto det(B) = 845
24
= −(−845
24
) = −det(A).
Exemplo 1.6.9: Para ilustrar o item (c).
Seja A =

1
2
−√2 1
2
ln(10) e2 ln(10)
tg(71◦) −3
5
tg(71◦)
 ∈ M3(R). Observe que a terceira coluna da
matriz A é igual a sua primeira linha.
28
Temos que det(A) = (1
2
)(e2)tg(71◦)+(−√2)ln(10)tg(71◦)+(1
2
)(3
5
)ln(10)−(1
2
)(e2)tg(71◦)−
(1
2
)(3
5
)ln(7) + (
√
2)ln(10)tg(71◦) = 0.
Exemplo 1.6.10: Para ilustrar o item (d).
Sejam A =
(
1
2
1
1
4
1
)
∈ M2(R) e B =
(
2 1
1 1
)
∈ M2(R). Observe que B =(
2 1
1 1
)
=
(
41
2
1
41
4
1
)
, ou seja, a primeira coluna da matriz B é a primeira coluna
da matriz A multiplicada por c=4.
Agora, observe que det(A) = 1
2
− 1
4
= 1
4
. Por outro lado det(B) = 2− 1 = 1.
Portanto det(B) = 1 = 4(1
4
) = 4det(A).
Exemplo 1.6.11: Para ilustrar o item (e).
Sejam A =
 1 1 00 2 54
1
2
1 −1
, B =
 1 1 00 −1 54
1
2
−1
3
−1
 e C =
 1 1 + 1 00 2− 1 54
1
2
1− 1
3
−1
 ∈
M3(R).
Observe que a segunda coluna da matriz C é a soma das segundas colunas das
matrizes A e B.
Vamos calcular os determinantes das matrizes A, B e C. Temos que det(A) =
−2 + 5
8
− 5
4
= −16+5−10
8
= −21
8
, det(B) = 1 + 5
8
+ 5
12
= 24+15+10
24
= 49
24
e det(C) =
−1 + 5
4
− 10
12
= −12+15−10
12
= − 7
12
.
Observamos que det(A) + det(B) = −21
8
+ 49
24
= −63+49
24
= −14
24
= − 7
12
= det(C).
Exemplo 1.6.12: Para ilustrar o item (f).
Sejam A =
(
1 2
3 4
)
e B =
(
1 + 2 · 3 2 + 2 · 4
3 4
)
.
Ou seja, a primeira linha da matriz B é a primeira linha da matriz A somada com
a segunda linha da matriz A multiplicada por 2.
Então, det(A) = 4−6 = −2 e det(B) = 28−30 = −2. Portanto det(A) = det(B).
Exemplo 1.6.13: Para ilustrar o item (g).
Seja A =
(
1
2
1
4
1
8
1
)
∈M2(R).
Temos que det(A) = 1
2
− 1
32
= 16−1
32
= 15
32
.
29
Agora observamos que se multiplicarmos a matriz A por um escalar c, por exemplo
c = 8, então cA = 8A =
(
4 2
1 8
)
e det(8A) = 32− 2 = 30.
Além disso, 82det(A) = 64(15
32
) = 30. Portanto det(8A) = 30 = 82det(A).
Exercício 1.6.14: Sejam L1, L2, L3 e L4 as linhas da matriz A e suponha que
det(A) = −3, ou seja, det

L1
L2
L3
L4
 = −3. Determine:
a) det

L1 − L2
L2
L1 + L2 − 3L4
L1 + L3
 R : −9 b) det

L1 − L2
L1 − 2L2 − L4
L1 + 2L2 − 4L3 − 2L4
L1 − L2 + L3 − L4
 R : −3
c) det

L2
L3
L4
L1
 d) det

L1 − L2
L2 − L1
L3 + L4
L3 − L4

1.7 Matriz Inversa
Consideremos as matrizes A =
(
1 2
3 4
)
∈ M2(R) e B =
(
1
2
)
∈ M2×1(R). Pode-
mos nos perguntar se existe uma matriz X =
(
x
y
)
satisfazendo(
1 2
3 4
)(
x
y
)
=
(
1
2
)
.
Observe que gostaríamos de resolver uma equação matricial (ou seja, envolvendo
matrizes). Podemos fazer um paralelo com uma equação com coe�cientes reais, por
exemplo,
2x = 3.
Para resolver esta equação, podemos simplesmente, multiplicar ambos os lados da
equação, por 2−1 = 1
2
. Assim,
2−1(2x) = 2−13 ⇒ (2−12)x = 2−13 ⇒ 1x = 3
2
⇒ x = 3
2
.
30
Observe que na primeira passagem, usamos a associatividade da multiplicação de
números reais, e na segunda passagem, temos que 2−1 é o inverso multiplicativo de
2, ou seja, 2−12 = 1. Veja que multiplicando o coe�ciente de x (no caso 2) pelo seu
inverso multiplicativo (no caso 2−1 = 1
2
) conseguimos "isolar" x (seu coe�ciente agora
é 1).
Então, no caso da equação matricial que estamos tentando resolver, será que existe
uma matriz A−1 =
(
a b
c d
)
tal que
(
a b
c d
)(
1 2
3 4
)
=
(
1 0
0 1
)
? Notemos
que neste caso, a matriz identidade de ordem 2, está fazendo o papel de 1 ∈ R.
Veja que no caso a�rmativo, teremos(
a b
c d
)[(
1 2
3 4
)(
x
y
)]
=
(
a b
c d
)(
1
2
)
⇒
[(
a b
c d
)(
1 2
3 4
)](
x
y
)
=
(
a b
c d
)(
1
2
)
⇒
(
1 0
0 0
)(
x
y
)
=
(
a b
c d
)(
1
2
)
⇒
(
x
y
)
=
(
a b
c d
)(
1
2
)
que é a solução procurada.
Vamos agora de�nir esta matriz e ver quando que ela existe.
De�nição 1.7.1: Considere a matriz A ∈ Mn(R). A matriz inversa de A é uma
matriz de ordem n, denotada por A−1, tal que
AA−1 = In e A−1A = In.
Se existe A−1, a matriz A será chamada inversível.
Teorema 1.7.2: Considere a matriz A ∈ Mn(R). A matriz A é inversível se, e
somente se, det(A) 6= 0.
Não faremos a demonstração deste teorema. Observe que o Teorema nos fornece
uma forma rápida de determinar se uma matriz é ou não é inversível, basta calcular
o seu determinante. Se det(A) = 0, então a matriz é inversível e de det(A) 6= 0, então
a matriz não é inversível.
31
Exemplo 1.7.3: Amatriz A =
(
1 2
3 4
)
é inversível, pois det(A) = 4−6 = −2 6= 0.
Mas, se sabemos que uma matriz A é inversível (sabendo que seu determinante
é não nulo), então é possível determinar A−1? A resposta é sim, e existem vários
métodos para encontrar A−1. Veremos neste texto o Método de Gauss-Jordan.
Não descreveremos o Método em geral,apenas o ilustraremos com exemplos.
Antes de começarmos com o exemplo, vamos de�nir as operações elementares com
as linhas, que usaremos no Método.
De�nição 1.7.4: As seguintes operações elementares com as linhas podem ser
realizadas em uma matriz:
1) Trocar duas linhas.
2) Multiplicar uma linha por uma constante não nula.
3) Somar um múltiplo de uma linha com outra linha.
Exemplo 1.7.5: Considere a matriz A =

1
2
1
4
1
8√
2 3 15
4 0 −1
 ∈ M3(R). Podemos
permutar duas linhas da matriz A, por exemplo linha 1 e linha 2. Assim obteremos
A
′
=

√
2 3 15
1
2
1
4
1
8
4 0 −1
.
Podemos multiplicar uma linha por um número não nulo, por exemplo podemos
multiplicar a linha 1 por 8. Então A
′′
=
 8 ·
1
2
8 · 1
4
8 · 1
8√
2 3 15
4 0 −1
 =
 4 2 1√2 3 15
4 0 −1
.
Podemos também, por exemplo, multiplicar a linha 1 por -8 e somar com a linha
3, obtendo assim A
′′′
=
 −4 −2 −1√2 3 15
4− 4 0− 2 −1− 1
 =
 −4 −2 −1√2 3 15
0 −2 −2
.
Exemplo 1.7.6: Considere a matriz A =
 1 2 00 −1 3
−1 −2 1
 ∈M3(R).
O Método de Gauss-Jordan consiste em escrever a matriz identidade ao lado da
32
matriz A.  1 2 0 | 1 0 00 −1 3 | 0 1 0
−1 −2 1 | 0 0 1

Agora realizamos operações elementares nas linhas desta matriz, até que na es-
querda (da matriz com traços) apareça a matriz identidade de ordem 3, e a matriz
que surgirá na direita será a matriz inversa A−1. 1 2 0 | 1 0 00 −1 3 | 0 1 0
−1 −2 1 | 0 0 1

Nosso objetivo será zerar os termos abaixo da diagonal, e depois acima da diagonal.
Vamos zerar os termos nesta ordem: a21, a31, a32, a23, a13 e por último a12. Como
a21 já é 0, vamos zerar a31. Para isto, vamos substituir a linha 3, por linha 1 somada
com a linha 3.  1 2 0 | 1 0 00 −1 3 | 0 1 0
1− 1 2− 2 0 + 1 | 1 + 0 0 + 0 0 + 1

ou seja  1 2 0 | 1 0 00 −1 3 | 0 1 0
0 0 1 | 1 0 1

Observe que o elemento a32 também já foi zerado, então vamos zerar os elementos
acima da diagonal, a saber a23. Para isto, vamos substituir a linha 2, pela linha 2
somada com a linha 3 multiplicada por (-3) (isto é, L2+ (−3)L3, se L2 for a segunda
linha da matriz e L3 for a terceira linha da matriz) 1 2 0 | 1 0 0(−3)0 + 0 (−3)0 + (−1) (−3)1 + 3 | (−3)1 + 0 (−3)0 + 1 (−3)1 + 0
0 0 1 | 1 0 1

de onde  1 2 0 | 1 0 00 −1 0 | −3 1 −3
0 0 1 | 1 0 1

33
Agora vamos multiplicar a linha 2 por −1. 1 2 0 | 1 0 0(−1)0 (−1)(−1) (−1)0 | (−1)(−3) (−1)1 (−1)(−3)
0 0 1 | 1 0 1

de onde segue que  1 2 0 | 1 0 00 1 0 | 3 −1 3
0 0 1 | 1 0 1

Observe que resta apenas o elemento a12 para zerar. Vamos substituir a linha 1,
por linha 1 somada com a linha 2 multiplicada por (-2) (ou seja, L1 + (−2)L2) (−2)0 + 1 (−2)1 + 2 (−2)0 + 0 | (−2)3 + 1 (−2)(−1) + 0 (−2)3 + 00 1 0 | 3 −1 3
0 0 1 | 1 0 1

de onde temos  1 0 0 | −5 2 −60 1 0 | 3 −1 3
0 0 1 | 1 0 1

Note que a matriz de ordem 3 que obtemos do lado esquerdo é a matriz identidade,
portanto a matriz de ordem 3 do lado direito é a matriz inversa da matriz A. Assim
A−1 =
 −5 2 −63 −1 3
1 0 1
 .
Para veri�car se o resultado é verdadeiro, podemos calcular AA−1 e A−1A e veri-
�car se obteremos a matriz identidade de ordem 3.
Exercício 1.7.7: Decida se as seguintes matrizes são inversíveis. Encontre as inver-
sas quando existirem.
a) A1 =
 1 2 34 5 6
7 8 9
 b) A2 =

1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
9
1
10

c) A3 =
 1 2 41 3 9
1 4 16
 d) A4 =
 1
1
2
1
4
1 1
3
1
9
1 1
4
1
16

34
e) A5 =
 1 0 00 2 0
0 0 3
 f) A6 =
 1 2 30 4 5
0 0 6

g) A7 =

1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
 h) A8 =
 2
3
2
4
3
5
4
6
5
7
6
8
7
9
8
10
9

35
Capítulo 2
Sistemas de Equações Lineares
De�nição 2.0.1: Uma equação linear com n variáveis x1, x2,..., xn é uma equação
que pode ser escrita na forma
a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = b (2.1)
onde os coe�cientes a1, a2,..., an e o termo independente b são constantes (nú-
meros reais).
Observação 2.0.2: Convém observar que se tivermos duas ou três variáveis, escre-
veremos simplesmente x e y, ao invés de x1 e x2, e x, y e z, ao invés de x1, x2 e
x3.
Exemplo 2.0.3: 1) x + y = 1 é uma equação linear (observe que x + y = 1 é a
equação de uma reta em R2);
2) 2x+3y+ z = 2 é uma equação linear (observe que 2x+3y+ z = 2 é a equação de
um plano em R3);
3) x1 + x3 = x5 − 7x6 + 1 é uma equação linear;
4) x+ (sen(59◦))y = 1 é uma equação linear;
5) x2 = y não é uma equação linear, pois a variável x possui uma potência diferente
de 1;
6) xy + y = 1 não é uma equação linear, pois temos um produto das variáveis x e y;
7) x1 + 2
x2 +
√
x3 = x4 não é uma equação linear;
36
8) x+ sen(y) = 1 não é uma equação linear;
Uma solução de uma equação linear como (2.1) é uma n-upla (s1, s2, ..., sn) cujas
coordenadas satisfazem a equação (2.1) quando substituimos
x1 = s1, x2 = s2, ..., xn = sn.
Por exemplo, uma solução da equação linear x+ y = 1 é um par ordenado (1, 0),
de modo que, substituindo x por 1 e y por 0, a equação é satisfeita, ou seja, 1+0 = 1.
Observe que o par ordenado (−1, 2) também é solução, pois −1 + 2 = 1.
De�nição 2.0.4: Um sistema de equações lineares é um conjunto �nito de
equações lineares, cada uma com as mesmas variáveis.
Por exemplo um sistema com m equações lineares e n variáveis, pode ser escrito
da seguinte forma 
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2
· · ·
am1x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = bm
. (2.2)
Exemplo 2.0.5:
{
x+ y = 0
y = 1
é um sistema de equações lineares.
De�nição 2.0.6: Uma solução com n variáveis é uma n-upla que é simultanea-
mente solução de cada uma das equações do sistema.
Exemplo 2.0.7: (−1, 1) é uma solução do sistema de equações lineares
{
x+ y = 0
y = 1
,
pois (−1) + 1 = 0 (ou seja, (−1, 1) é solução da primeira equação) e 1 = 1 (isto é,
(−1, 1) é solução da segunda equação).
De�nição 2.0.8: O conjunto solução de um sistema de equações lineares é o
conjunto de todas as soluções do sistema
Ao processo de encontrar o conjunto solução de uma sistema de equações lineares,
37
chamaremos de resolver o sistema de equações lineares.
De�nição 2.0.9: Um sistema de equações lineares homogêneo é um sistema
de equações lineares onde o termo constante de cada equação é 0.
Ou seja, um sistema de equações lineares da seguinte forma
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = 0
· · ·
am1x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0
.
Exemplo 2.0.10: A equação linear x+ y = 1 tem in�nitas soluções (a saber todos
os pontos sobre a reta dada pela equação). Você consegue esboçar esta reta? Vamos
tentar?!
Podemos escrever o conjunto solução S = {(x, y) : y = 1− x} = {(x, 1− x) : x ∈
R}.
Exercício 2.0.11: Encontre uma solução e o conjunto solução das equações (esboce
geometricamente)
a) x+ 2y = 1 b) x− y − 3 = 0 c) 2x− y = 2
Exemplo 2.0.12: Considere a equação linear x + 2y + 3z = 6. Podemos escrever
x = 6−2y−3z, então para cada valor atribuido para y e z, obtemos um valor para x.
Por exemplo, se y = 0 e z = 1, então x = 6− 2(0)− 3(1) = 3, e assim (3, 0, 1) é uma
solução da equação linear. Desta forma, a equação linear possui in�nitas soluções. O
conjunto solução da equação é
S = {(x, y, z) : x = 6− 2y − 3z} = {(6− 2y − 3z, y, z) : y, z ∈ R}.
Vale a pena observar, que conjunto solução desta equação linear é formado por todos
os pontos do plano dado por esta equação.
Exercício 2.0.13: Encontre uma solução e o conjunto solução das equações
a) x+ 2y + z = 1 b)2x+ 2y + 2z = 8 c) x− y − z − 1 = 0
38
Exemplo 2.0.14: Resolva o sistema de equações lineares{
x+ y = 3
x− y = 1 .
Pelos exemplos anteriores, a solução da primeira equação é dada por todos os
pontos da reta de equação x + y = 3. Enquanto que o conjunto solução da segunda
equação é o conjunto de pontos da reta de equação x − y = 1. Como a solução do
sistema deve ser tanto uma solução da primeira equação, quanto da segunda equação,
a solução do sistema será um ponto na primeira reta e na segunda reta, logo na
interseção das retas.
Você pode esboçar as retas e encontrar sua interseção?
Outra form de encontrar a solução é resolvendo o sistema, por exemplo por substi-
tuição. Da primeira equação temos que x = 3− y. Substituindo na segunda equação,
obtemos (3− y)− y = 1⇒ 3− 2y = 1⇒ −2y = −2⇒ y = 1. Então x = 3− 1 = 2.
Portanto a solução do sistema de equações lineares é (2, 1). Observe que esta é a
única solução do sistema. Logo o conjunto solução do sistema é S = {(2, 1)}.
Pela posição relativa de retas no plano, sabemos que dadas duas retas, elas podem
ter um único ponto de interseção (como aconteceu no exemplo acima), podem ter
in�nitos pontos de interseção (o que acontece por exemplo com as seguintes retas
x+ y = 1 e 2x+ 2y = 2) ou nenhum ponto de interseção (o que ocorre com as retas
x+ y = 1 e x+ y = 2, que levaria a um absurdo da forma 1 = x+ y = 2).
Assim podemos ter as seguintes situações: um sistema com uma única solução,
com in�nitas soluções ou com nenhuma solução. Além disso, dado qualquer sistema
de equações lineares teremos uma, e somente uma, das situações acima.
De�nição 2.0.15: Um sistema impossível é um sistema de equações lineares que
não tem nenhuma solução. Um sistema possível determinado é um sistema de
equações lineares que tem uma única solução. E um sistema possível indetermi-
nado é um sistema de equações lineares que tem in�nitas soluções.
Exercício 2.0.16: Encontre uma solução e o conjunto solução dos sistemas de equa-
ções lineares (esboce geometricamente)
39
a)
{
x+ y = 2
x− y = 4 b)
{
x+ y = 2
x+ y = 4
c)
{
x+ y = 3
3x+ 3y = 9
d)
{
2x+ 3y = 1
3x− 2y = 2 e)
{
2x+ y = 5
3x− 5y = −7
De�nição 2.0.17: Dois sistemas lineares são equivalentes quando têm os mesmos
conjuntos solução.
Nosso objetivo será transformar o sistema dado em um sistema equivalente que
seja mais fácil de resolver.
No nosso texto, um sistema fácil de resolver, seria um sistema da forma
x− y + z = 1
y − 3z = 5
7z = 14
.
Este será um sistema fácil de resolver, pois podemos encontrar a solução, obtendo
o valor de z = 2 prontamente, na terceira equação, e então substituindo este valor na
segunda equação e obtendo o valor de y = 5 + 3(2) = 11. E substituindo os valores
de y e z já encontrados, na primeira equação, obtemos o valor de x = 1 + y − z =
1 + 11− 2 = 10. Assim a solução deste sistema é (10, 11, 2).
Antes de introduzirmos um método que consiga transformar o sistema que deseja-
mos resolver, em um sistema equivalente mais fácil de resolver, vamos falar do conceito
de matriz completa ou matriz ampliada do sistema, um conceito muito usado.
Para de�nir este conceito, faremos uso de um exemplo para ilustrar a situação:
Considere o sistema 
x− y + 2z = 5
3x− 2y = 7
2x− y + z = 1
.
Podemos reescrever este sistema em uma formato de matrizes da seguinte forma: 1 −1 23 −2 0
2 −1 1

 xy
z
 =
 57
1
 ,
chamado um sistema matricial.
40
Amatriz
 1 −1 23 −2 0
2 −1 1
 é chamada amatriz dos coe�cientes. A matriz
 xy
z

é chamada a matriz das variáveis e a matriz
 57
1
 é chamada a matriz dos
termos independentes.
E a matriz
 1 −1 2 | 53 −2 0 | 7
2 −1 1 | 1
 formada pelos coe�cientes e termos independentes
é chamada matriz ampliada ou matriz completa do sistema.
2.1 Métodos de Resolução de Sistemas
Existem vários métodos e formas de resolver um sistema. Vamos usar neste texto o
Método de Eliminação de Gauss, que consiste em:
1) Escrever a matriz completa do sistema de equações lineares.
2) Usar operações elementares com as linhas para reduzir a matriz completa a uma
matriz mais simples (esta matriz mais simples será chamada matriz na forma escalo-
nada ou matriz na forma escada).
3) Resolve o sistema equivalente.
Convém ressaltar que usando as operações elementares com as linhas na matriz
ampliada, obtemos outra matriz (na forma escada) e escrevendo este sistema, ele é
equivalente ao sistema original.
As operações elementares, que aparecem no item (2) são as operações elencadas
em (1.7.4).
O processo de aplicar operações elementares com linhas para transformar uma
matriz em uma outra matriz (matriz escalonada) é chamado escalonamento.
Vamos agora ilustrar o Método de eliminação de Gauss com os seguintes
41
Exemplo 2.1.1: Encontre o conjunto solução do sistema
x− y + z = 0
−x+ 3y + z = 5
3x+ y + 7z = 2
.
Vamos encontrar a solução do sistema de equações lineares usando o Método de
Eliminação de Gauss.
Passo 1) Escrever a matriz completa do sistema de equações lineares. 1 −1 1 | 0−1 3 1 | 5
3 1 7 | 2

Passo 2) Usar as operações elementares com as linhas na matriz ampliada.
Nosso objetivo será zerar as entradas a21, a31 e a32 da matriz ampliada, nesta ordem.
(Ou seja, pretendemos zerar os termos abaixo da diagonal). Começamos zerando a21.
Para isto, vamos substitiur a linha 2 (linha que contém o elemento a21) por: linha 1
somada com linha 2 (resumindo: L1 +L2, sendo L1 a linha 1 e L2 a linha 2). Assim
obteremos  1 −1 1 | 01− 1 −1 + 3 1 + 1 | 0 + 5
3 1 7 | 2

ou seja  1 −1 1 | 00 2 2 | 5
3 1 7 | 2

Agora, vamos zerar a entrada a31. A �m de conseguir isto, vamos substituir a linha
3 (linha que contém o elemento a31) por: multiplicamos (-3) pela linha 1 e somamos
este resultado com a linha 3, ou sinteticamente, (−3)L1 + L3. Então 1 −1 1 | 00 2 2 | 5
(−3)1 + 3 (−3)(−1) + 1 (−3)1 + 7 | (−3)0 + 2

de onde temos que  1 −1 1 | 00 2 2 | 5
0 4 4 | 2

42
Observe que para zerar os termos que estão abaixo da posição a11, sempre multi-
plicamos a linha 1 por um número conveniente e somamos com a linha que contém o
elemento que desejamos zerar.
Resta agora zerar o termo a32. Para fazer isso vamos multiplicar (-2) pela linha 2
e somar este resultado com a linha 3, isto é, (−2)L2 + L3. Portanto 1 −1 1 | 00 2 2 | 5
0 (−2)2 + 4 (−2)2 + 4 | (−2)5 + 2

que implica  1 −1 1 | 00 2 2 | 5
0 0 0 | −8

Note que para zerar os termos que estão abaixo da posição a22, sempre multipli-
camos a linha 2 por um número conveniente e somamos com a linha que contém o
elemento que desejamos zerar.
Veja que a matriz resultante tem um formato que lembra uma "escada". Esta
matriz é chamada matriz na forma escada ou escalonada.
Agora escrevemos o sistema de equações lineares
x− y + z = 0
0x+ 2y + 2z = 5
0x+ 0y + 0z = −8
,
ou simplesmente 
x− y + z = 0
2y + 2z = 5
0 = −8
.
Passo 3) Resolver o sistema equivalente.
Começamos a resolução de baixo para cima, ou pela última equação, 0 = 8. Mas
observe que não existem x, y e z de modo que 0 = 8 (é um absurdo). Portanto o
sistema não tem solução.
43
Exemplo 2.1.2: Encontre o conjunto solução do sistema
x− y + z = 0
−x+ 3y + z = 5
3x+ y + 7z = 10
.
Vamos encontrar a solução do sistema de equações lineares usando o Método de
Eliminação de Gauss.
Passo 1) Escrever a matriz completa do sistema de equações lineares. 1 −1 1 | 0−1 3 1 | 5
3 1 7 | 10

Passo 2) Usar as operações elementares com as linhas na matriz ampliada.
Nosso objetivo será zerar as entradas a21, a31 e a32 da matriz ampliada, nesta ordem.
(Ou seja, pretendemos zeraros termos abaixo da diagonal). Começamos zerando a21.
Para isto, vamos substitiur a linha 2 (linha que contém o elemento a21) pela seguinte
combinação: linha 1 somada com linha 2 (resumindo: L1 + L2, sendo L1 a linha 1 e
L2 a linha 2). Assim obteremos 1 −1 1 | 01− 1 −1 + 3 1 + 1 | 0 + 5
3 1 7 | 10

ou seja  1 −1 1 | 00 2 2 | 5
3 1 7 | 10

Agora, vamos zerar a entrada a31. A �m de conseguir isto, vamos substituir a
linha 3 (linha que contém o elemento a31) da seguinte forma: multiplicamos (-3) pela
linha 1 e somamos este resultado com a linha 3, ou sinteticamente, (−3)L1 + L3.
Então  1 −1 1 | 00 2 2 | 5
(−3)1 + 3 (−3)(−1) + 1 (−3)1 + 7 | (−3)0 + 10

44
de onde temos que  1 −1 1 | 00 2 2 | 5
0 4 4 | 10

Observe que para zerar os termos que estão abaixo da posição a11, sempre multi-
plicamos a linha 1 por um número conveniente e somamos com a linha que contém o
elemento que desejamos zerar.
Resta agora zerar o termo a32. Para fazer isso vamos multiplicar (-2) pela linha 2
e somar este resultado com a linha 3, isto é, (−2)L2 + L3. Portanto 1 −1 1 | 00 2 2 | 5
0 (−2)2 + 4 (−2)2 + 4 | (−2)5 + 10

que implica  1 −1 1 | 00 2 2 | 5
0 0 0 | 0

Note que para zerar os termos que estão abaixo da posição a22, sempre multipli-
camos a linha 2 por um número conveniente e somamos com a linha que contém o
elemento que desejamos zerar.
Veja que a matriz resultante tem um formato que lembra uma "escada". Esta
matriz é chamada matriz na forma escada ou escalonada.
Agora escrevemos o sistema de equações lineares
x− y + z = 0
0x+ 2y + 2z = 5
0x+ 0y + 0z = 0
,
ou simplesmente 
x− y + z = 0
2y + 2z = 5
0 = 0
.
Passo 3) Resolver o sistema equivalente.
Começamos a resolução de baixo para cima, ou pela última equação, 0 = 0, que
45
sempre é verdadeira. Da equação 2 temos z = 5−2y
2
. Substituindo este valor na
equação 1, obtemos x = y − z = y − 5−2y
2
= 2y−5+2y
2
= 4y−5
2
.
Então observe que para cada valor de y em R, teremos valores para x e z. Ou
seja, o sistema tem in�nitas soluções.
S =
{
(x, y, z) : x =
4y − 5
2
e z =
5− 2y
2
}
=
{(4y − 5
2
, y,
5− 2y
2
)
: y ∈ R
}
.
Exemplo 2.1.3: Para que valor(es) de k, se houver, o sistema{
x+ ky = 1
kx+ y = 1
terá
a) nenhuma solução
b) uma única solução
c) in�nitas soluções.
Vamos usar o Método de Eliminação de Gauss.
Passo 1) Escrever a matriz ampliada do sistema de equações lineares(
1 k | 1
k 1 | 1
)
Passo 2) Usar operações elementares com as linhas.
Nosso objetivo será zerar o elemento a22. Para isto vamos fazer (−k)L1 + L2. Como
vamos multiplicar a linha 1 por k e k pode ser 0, para efetuarmos a operação nas
linhas precisamos supor que k 6= 0.(
1 k | 1
(−k)1 + k (−k)k + 1 | (−k)1 + 1
)
,
ou seja, (
1 k | 1
0 1− k2 | 1− k
)
Agora escrevendo o sistema equivalente{
x+ ky = 1
(1− k2)y = 1− k
46
Passo 3) Resolver o sistema equivalente. Começamos com a segunda equação
(1− k2)y = 1− k.
◦ Se 1− k2 6= 0⇔ (1− k)(1 + k) 6= 0⇔ k 6= 1 e k 6= −1
Então y = 1−k
1−k2 =
1−k
(1−k)(1+k) =
1
1+k
. Daí segue da primeira equação que x = 1− ky =
1 − k( 1
1+k
) = 1+k−k
1+k
= 1
1+k
. Assim S = {(x, y) : x = y = 1
1+k
} = {( 1
1+k
, 1
1+k
)} é a
única solução do sistema.
◦ Se 1− k2 = 0⇔ (1− k)(1 + k) = 0⇔ k = 1 ou k = −1
a) k = −1
Então (1− (−1)2)y = 1− (−1)⇒ (1− 1)y = 2⇒ 0y = 2⇒ 0 = 2 que é um absurdo,
ou seja, não existe x e y satisfazendo 0 = 2. Portanto não existe solução.
b) k = 1
Então (1 − (1)2)y = 1 − (1) ⇒ (1 − 1)y = 0 ⇒ 0y = 0 ⇒ 0 = 0 que sempre é
verdadeiro. Daí da equação 1, temos x + y = 1 ⇒ y = 1 − x. Assim o sistema tem
in�nitas soluções, a saber,
S = {(x, y) : y = 1− x} = {(x, 1− x) : x ∈ R}.
Resta agora analisar o sistema se k = 0.
Neste caso o sistema de equações lineares se reduz a{
x = 1
y = 1
.
Ou seja possui uma única solução S = {(1, 1)}.
Exercício 2.1.4: Encontre o conjunto solução dos seguintes sistemas.
a)

x+ 2y − 3z = 9
2x− y + z = 0
4x− y + z = 4
R : S = {(2, 5, 1)}
b)

x− 3y − 2z = 0
−x+ 2y + z = 0
2x+ 4y + 6z = 0
R : S = {(x, x,−x) : x ∈ R}
c)

w + x+ 2y + z = 1
w − x− y + z = 0
x+ y = −1
w + x+ z = 2
R : S = ∅
47
d)

x+ y + z = 1
x− y + 2z = 2
x+ 6y + 3z = 3
e)
{
x+ y + z + w − t = 0
x− y − z + 2w − t = 0 R : in�nitas soluções
f)
{
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 + 6x6 = 2 R : in�nitas soluções
g)

2x+ y = 2
x− 2y = 3
3x+ 3y = 1
R : S = ∅
h)

w + x+ 2y + z = 1
w − x− y + z = 0
w + x+ z = 2
R : in�nitas soluções
Exercício 2.1.5: Para que valor(es) de k, se houver, o sistema terá
a) nenhuma solução
b) uma única solução
c) in�nitas soluções.
1)
{
kx+ 2y = 3
2x− 4y = −6 2)

x+ y + kz = 1
x+ ky + z = 1
kx+ y + z = −2
3)

x+ 2y − 2z − t = 1
2x− 2y − 2z − 3t = −1
2x− 2y − z − 5t = 9
3x− y + z − kt = 0
4)

x+ y + kz = 0
kx+ y − z = 2− k
x+ ky − z = −k
48
Capítulo 3
Espaços Vetoriais
Os espaços vetoriais são os domínios e contradomínios das funções na Álgebra Linear
(estas funções chamaremos de transformações lineares).
Já conhecemos espaços vetoriais. O conjunto Mm×n(R) com soma de matrizes
e multiplicação de escalar por matriz é um exemplo muito importante de espaço
vetorial. Da mesma forma, os vetores com soma de vetores e multiplicação de escalar
por vetor é um espaço vetorial, tão importante quanto o anterior. Nosso objetivo será
generalizar as propriedades das operações nos conjuntos citados anteriormente. E
veremos que mais conjuntos que nos são familiares são exemplos de espaços vetoriais.
Assim, vale a pena observar que, embora introduziremos um conceito completamente
novo aqui, seus exemplos são os conjuntos que já estamos acostumados a manipular.
De�nição 3.0.1: Considere um conjunto não vazio V com duas operações, chama-
das adição e multiplicação por escalar. Assim, dados u, v ∈ V , a soma de u e v,
denotada por u+ v, é tal que u+ v ∈ V , e se c ∈ R e v ∈ V , o múltiplo escalar de v
por c é cv ∈ V . Se são verdadeiros (os seguintes axiomas)
1) u+ v = v + u (comutativa);
2) (u+ v) + w = u+ (v + w) (associativa);
3) Existe um elemento 0 em V , chamado vetor nulo, tal que u + 0 = u (existência
de vetor nulo);
4) Para cada u ∈ V , existe um elemento −u ∈ V (chamado vetor oposto ) tal que
u+ (−u) = 0 (existência de vetor oposto ou inverso aditivo);
49
5) c(v + w) = cv + cw (distributiva);
6) (c+ d)v = cv + dv (distributiva);
7) c(dv) = (cd)v;
8) 1v = v
para todos u, v e w em V e c, d ∈ R, então V é chamado espaço vetorial e seus
elementos são chamados vetores.
Observação 3.0.2: 1) Observe que tanto a soma de dois elementos de V tem que
pertencer a V e a multiplicação de escalar por elemento de V também deve pertencer
a V .
2) Os escalares em nossos exemplos em geral serão números reais, daí diremos também
que V é um espaço vetorial real. Mas os escalares podem ser tomados em C e daí
diremos que V é um espaço vetorial complexo. Ou ainda os escalares podem ser
tomados em conjuntos mais gerais chamados corpos (Zp, p primo, Q,...) ou anéis de
divisão.
3) Os vetores nulo e oposto são únicos.
Exemplo 3.0.3: V = Rn, para n ≥ 1. Já vimos que em V = Rn podemos de�nir a
operação soma da seguinte forma, dados u = [u1, u2, ..., un], v = [v1, v2, ..., vn] ∈ Rn,
temos
u+ v = [u1 + v1, u2 + v2, ..., un + vn] ∈ Rn.
Além disso, também podemos de�nir a multiplicação de escalar por vetor, dado
c ∈ R e v = [v1, v2, ..., vn] ∈ Rn, temos
cv = [cv1, cv2, ..., cvn] ∈ Rn.
Todas as oito propriedades da de�nição de espaço vetorial podem ser veri�ca-
das. De fato, sejam u = [u1, u2, ..., un], v = [v1,v2, ..., vn], w = [w1, w2, ..., wn] ∈ Rn e
c, d ∈ R. Então
1) Desejamos veri�car que u+ v = v + u. Agora
u+ v = [u1, u2, ..., un] + [v1, v2, ..., vn] = [u1 + v1, u2 + v2, ..., un + vn]. (3.1)
50
Enquanto que
v + u = [v1, v2, ..., vn] + [u1, u2, ..., un] = [v1 + u1, v2 + u2, ..., vn + un]. (3.2)
Agora observe que (3.1) e (3.2) são iguais, pois em cada coordenada ui+ vi = vi+ui,
para todo i, 1 ≤ i ≤ n, pois vale a comutatividade da soma dos números reais.
Portanto u+ v = v + u.
2) Neste item, desejamos mostrar que (u+ v) + w = u+ (v + w). Mas
(u+ v) + w = [u1 + v1, u2 + v2, ..., un + vn] + [w1, w2, ..., wn]
= [(u1 + v1) + w1, (u2 + v2) + w2, ..., (un + vn) + wn].
Por outro lado
u+ (v + w) = [u1, u2, ..., un] + [v1 + w1, v2 + w2, ..., vn + wn]
= [u1 + (v1 + w1), u2 + (v2 + w2), ..., un + (vn + wn)].
Novamente vemos que as expressões são iguais, pois em cada coordenada (ui + vi) +
wi = ui + (vi + wi), para todo i, 1 ≤ i ≤ n, pois vale a associatividade da soma dos
números reais. Portanto (u+ v) + w = u+ (v + w).
3) Queremos mostrar que, existe um vetor nulo, denotado por 0 ∈ Rn tal que
0 + v = v, para todo v ∈ Rn.
Seja 0 = [a1, a2, ..., an] ∈ Rn tal que 0 + v = v, isto é,
[a1, a2, ..., an] + [v1, v2, ..., vn] = [v1, v2, ..., vn].
Então
[a1 + v1, a2 + v2, ..., an + vn] = [v1, v2, ..., vn].
De onde segue que

a1 + v1 = v1
a2 + v2 = v2
· · ·
an + vn = vn
que é um sistema de equações lineares nas variá-
veis a1, a2, ..., an, cuja solução é a1 = v1−v1 = 0, a2 = v2−v2 = 0, ..., an = vn−vn = 0.
Assim existe vetor nulo em Rn, a saber, o vetor 0 = [0, 0, ..., 0].
51
4) Seja v = [v1, v2, ..., vn] ∈ Rn. Queremos mostrar que existe vetor oposto,
denotado por −v ∈ Rn, de modo que
v + (−v) = 0.
Considere −v = [b1, b2, ..., bn] ∈ Rn tal que v + (−v) = 0, ou seja,
[b1, b2, ..., bn] + [v1, v2, ..., vn] = [0, 0, ..., 0].
Assim
[b1 + v1, b2 + v2, ..., bn + vn] = [v1, v2, ..., vn].
De onde obtemos o seguinte sistema de equações lineares

b1 + v1 = 0
b2 + v2 = 0
· · ·
bn + vn = 0
.
Obtemos então que b1 = −v1, b2 = −v2, ..., bn = −vn. Dessa forma podemos
concluir que −v = [−v1,−v2, ...,−vn] ∈ Rn.
5) Nosso objetivo neste item é demonstrar que c(v + w) = cv + cw. Note que
c(v + w) = c[v1 + w1, v2 + w2, ..., vn + wn] = [c(v1 + w1), c(v2 + w2), ..., c(vn + wn)].
Por outro lado temos
cv + cw = [cv1, cv2, ..., cvn] + [cw1, cw2, ..., cwn] = [cv1 + cw1, cv2 + cw2, ..., cvn + cwn].
Observe que as duas expressões são as mesmas pois em cada coordenada c(vi +
wi) = cvi + cwi, para todo i, 1 ≤ i ≤ n, pois vale a distributiva em R. Portanto
c(v + w) = cv + cw.
As propriedades 6, 7 e 8 são verdadeiras e são deixadas para você praticar!
Desta forma Rn com as operações soma e multiplicação de escalar por vetor é um
espaço vetorial real.
Exemplo 3.0.4: Considere V = Mm×n(R). Já de�nimos as operações soma e mul-
tiplicação de escalar por matriz no Capítulo 1 (Matrizes). A saber, dadas A =
(aij), B = (bij) ∈Mm×n(R),
A+B = (aij + bij) ∈Mm×n(R).
52
E, dados A = (aij) ∈Mm×n(R) e c ∈ R, temos
cA = c(aij) = (caij) ∈Mm×n(R).
Também no Capítulo 1, já vimos que as 8 itens da de�nição de espaço vetorial
são veri�cadas. Portanto Mm×n(R) é um espaço vetorial real.
Exemplo 3.0.5: Seja V = Pn(R) o conjunto de todos os polinômios de grau menor
do que ou igual a n. Consideremos dois polinômios p(x) = a0 + a1x + · · · + anxn,
q(x) = b0 + b1x+ · · ·+ bnxn ∈ Pn(R). De�nimos a soma de p(x) e q(x) por
p(x) + q(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x+ · · ·+ (an + bn)xn ∈ Pn(R).
Considerando c ∈ R e p(x) = a0 + a1x + · · · + anxn ∈ Pn(R), de�nimos a multi-
plicação do escalar c pelo polinômio p(x) como
cp(x) = (ca0) + (ca1)x+ · · ·+ (can)xn ∈ Pn(R).
Podemos demonstrar que as oito propriedades da de�nição de espaço vetorial são
veri�cadas. De fato, sejam p(x) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn, q(x) = b0 + b1x+ · · ·+ bnxn
e r(x) = c0 + c1x+ · · ·+ cnxn ∈ Pn(R) e sejam α e β ∈ R.
1) Vamos mostrar que p(x) + q(x) = q(x) + p(x). Por um lado
p(x) + q(x) = (a0 + a1x+ · · ·+ anxn) + (b0 + b1x+ · · ·+ bnxn)
= (a0 + b0) + (a1 + b1)x+ · · ·+ (an + bn)xn.
Por outro lado
q(x) + p(x) = (b0 + b1x+ · · ·+ bnxn) + (a0 + a1x+ · · ·+ anxn)
= (b0 + a0) + (b1 + a1)x+ · · ·+ (bn + an)xn.
Observe que os dois polinômios são iguais, pois os seus respectivos coe�cientes são
iguais, ou seja, ai + bi = bi + ai, para todo i, 1 ≤ i ≤ n, pois vale a comutatividade
da soma de números reais. Portanto p(x) + q(x) = q(x) + p(x).
53
2) Desejamos mostrar que (p(x) + q(x)) + r(x) = p(x) + (q(x) + r(x)). Temos que
(p(x) + q(x)) + r(x) =
= [(a0 + a1x+ · · ·+ anxn) + (b0 + b1x+ · · ·+ bnxn)] + (c0 + c1x+ · · ·+ cnxn)
= [(a0 + b0) + (a1 + b1)x+ · · ·+ (an + bn)xn] + (c0 + c1x+ · · ·+ cnxn)
= [(a0 + b0) + c0] + [(a1 + b1) + c1]x+ · · ·+ [(an + bn) + cn]xn.
Enquanto que
p(x) + (q(x) + r(x)) =
= (a0 + a1x+ · · ·+ anxn) + [(b0 + b1x+ · · ·+ bnxn) + (c0 + c1x+ · · ·+ cnxn)]
= (a0 + a1x+ · · ·+ anxn) + [(b0 + c0) + (b1 + c1)x+ · · ·+ (bn + cn)xn)]
= [a0 + (b0 + c0)] + [a1 + (b1 + c1)]x+ · · ·+ [an + (bn + cn)]xn.
Novamente, pela associatividade dos números reais, temos que (ai+ bi)+ ci = ai+
(bi+ci), para todo i, 1 ≤ i ≤ n. Desse modo os respectivos coe�cientes dos polinômios
acima são iguais e portanto os polinômios são iguais. Assim (p(x) + q(x)) + r(x) =
p(x) + (q(x) + r(x)).
3) Queremos mostrar que, existe um vetor nulo, denotado por 0 = 0(x) ∈ Pn(R)
tal que 0 + p(x) = p(x), para todo p(x) ∈ Pn(R).
Seja 0 = l0 + l1x+ · · ·+ lnxn ∈ Pn(R) tal que 0 + p(x) = p(x), isto é,
(l0 + l1x+ · · ·+ lnxn) + (a0 + a1x+ · · ·+ anxn) = a0 + a1x+ · · ·+ anxn.
Assim
(l0 + a0) + (l1 + a1)x+ · · ·+ (ln + an)xn = a0 + a1x+ · · ·+ anxn.
Da igualdade dos polinômios surge

l0 + a0 = a0
l1 + a1 = a1
· · ·
ln + an = an
que é um sistema de equações
lineares nas variáveis l0, l1, ..., ln, cuja solução é l0 = a0− a0 = 0, l1 = a1− a1 = 0, ...,
ln = an − an = 0.
54
Assim existe vetor nulo em Pn(R), a saber, o polinômio nulo 0(x) = 0+0x+ · · ·+
0xn.
4) Seja p(x) = a0+a1x+ · · ·+anxn ∈ Pn(R). Desejamos mostrar que existe vetor
oposto, denotado por −p(x) ∈ Pn(R), de modo que
p(x) + (−p(x)) = 0.
Considere −p(x) = l0 + l1x + · · · + lnxn ∈ Pn(R) tal que p(x) + (−p(x)) = 0, ou
seja,
(l0 + l1x+ · · ·+ lnxn) + (a0 + a1x+ · · ·+ anxn) = 0 + 0x+ · · ·+ 0xn.
Assim
(l0 + a0) + (l1 + a1)x+ · · ·+ (ln + an)xn = 0 + 0x+ · · ·+ 0xn.
Igualando os polinômios, obtemos o seguinte sistema de equações lineares

l0 + a0 = 0
l1 + a1 = 0
· · ·
ln + an = 0
.
Obtemos então que l0 = −a0, l1 = −a1, ..., ln = −an. Dessa forma podemos
concluir que −p(x) = l0 + l1x+ · · ·+ lnxn = −a0 − a1x− · · · − anxn ∈ Pn(R).
As demais propriedades são deixadas como exercício. Pratique!
Portanto Pn(R) com as operações soma de polinômios e multiplicação de escalar
por polinômio é um espaço vetorial real.
Vale a pena observar que embora os exemplos anteriores Rn, Mm×n(R) e Pn(R)
têm estruturas distintas, as demonstrações das propriedades são muito similares, veja
que sempre recaímos no uso das propriedades de somas de números reais.
Exemplo 3.0.6: Considere F = {f : R→ R : f é função}. Desejamos de�nir uma
operação soma e uma operação multiplicação de escalar por função a �m de tornar F
com estas operações em um espaço vetorial real. Consideremos f, g ∈ F , de�nimos
f + g ∈ F por
(f + g)(x) = f(x) + g(x), para todo x ∈ R.
55
Além disso, dado c ∈ R, de�nimos cf ∈ F da seguinte forma
(cf)(x) = cf(x), para todo x ∈ R.
Observe que estamos dizendo qual é a imagem das funções f + g e cg. Assim, a
imagem da função f + g é a soma das imagens das funções f e g. E a imagem da
multiplicação de um escalar pela função f é a multiplicação do escalar pela imagem
da f . Lembre que toda função