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UFMS - Universidade Federal de Mato Grosso do Sul
Me´todos Nume´ricos
1a¯ Lista de Exerc´ıcios
1. Converta os seguintes nu´meros decimais para sua forma bina´ria:
a) x = 37 b) y = 2345 c) z = 0.1217
2. Converta os seguintes nu´meros bina´rios para sua forma decimal:
a) x = (101101)2 b) z = (0.1101)2 c) y = (110101011)2 d) w = (0.111111101)2
3. Considere uma ma´quina com um sistema de representac¸a˜o de nu´meros definido por: base 10 (β = 10), 4 d´ıgitos
na mantissa (t = 4) e expoente no intervalo [−5; 5]. Pede-se:
(a) Qual o menor e o maior nu´mero em mo´dulo representados nesta ma´quina?
(b) Como sera´ representado o nu´mero 73758 nesta ma´quina, se for usado o arredondamento? E se for usado o
truncamento?
4. Use a aritme´tica com nu´meros de treˆs d´ıgitos para executar os ca´lculos a seguir. Calcule os erros absolutos e
relativos comparando-os com o valor exato determinado com pelo menos cinco d´ıgitos.
(a) (121− 0, 327) − 119
(b) (121− 119) − 0, 327
(c) −10pi+ 6e− 3
62
(d)
pi− 22
7
1
17
5. Seja f(x) = xcosx−senx
x−senx
(a) Utilize aritme´tica com arredondamento para valores de quatro d´ıgitos para calcular f(0, 1).
(b) O valor real e´ f(0, 1) = −1, 99899998. Encontre o erro absoluto e relativo para o valor encontrado no item
anterior.
Zeros reais de func¸o˜es reais
6. Mostre que as seguintes equac¸o˜es possuem exatamente uma raiz no intervalo [0.5, 1]. Determine essas ra´ızes, com
duas casas decimais corretas, usando o me´todo da bissecc¸a˜o.
(a) x2 + ln(x) = 0; (b) xex − 1 = 0.
7. A velocidade v do paraquedista em queda livre e´ dada por:
v =
gm
c
(1− e−(c/m)t)
em que g = 9, 81m/s2. Para um paraquedista com um coeficiente de arrasto c = 15kg/s calcule a massa m para
que a velocidade seja v = 36m/s em t = 10s. Sabendo que o valor de m esta´ entre 57, 5 e 60kg, use o me´todo
da bissec¸a˜o para determinar o valor de m com precisa˜o de 0,5.
8. Utilize o me´todo de Newton para obter a menor raiz positiva das equac¸o˜es a seguir com precisa˜o 10−2. Use o
erro relativo ou |f(xk+1)| < �.
(a) 4cos(x) − e2x = 0 (b) x
2
− tan(x) = 0 (c)1− xln(x) = 0
9. Qual o nu´mero mı´nimo de iterac¸o˜es k que sera´ realizado pelo algoritmo do me´todo da bissecc¸a˜o para satisfazer
o crite´rio de para da b− a < � supondo � = 10−4 e o intervalo inicial tem amplitude 1?
10. Considere a func¸a˜o f(x) = ex − 4x2.
(a) Localize graficamente os zeros de f.
(b) Considere o intervalo I = [−1, 5]. Realize duas iterac¸o˜es do me´todo da bissecc¸a˜o e escolha o ponto me´dio do
u´ltimo intervalo obtido como aproximac¸a˜o inicial para o me´todo de Newton. Aplique o me´todo de Newton
ate´ atingir precisa˜o 10−2. Comparando com a localizac¸a˜o dos zeros realizada no item (a), identifique qual
o zero obtido neste processo e justifique por que a convergeˆncia foi para esta raiz.
11. O me´todo de Newton Modificado consiste em gerar a sequeˆncia xk atrave´s de:
xk+1 = xk −
f(xk)
f ′(x0)
em que x0 e´ uma aproximac¸a˜o inicial.
(a) escreva a interpretac¸a˜o geome´trica deste me´todo;
(b) quando e´ conveniente utilizar este me´todo em vez do me´todo de Newton?
12. Encontrar a raiz de f(x) = 2x3+ln(x)−5 = 0, utilizando o me´todo das Secantes, com � = 10−3, x0 = 1, 5, x1 = 2
e como crite´rio de parada, utilize |f(xk+1)| < �
13. Determinar, atrave´s do me´todo das secantes, a raiz da equac¸a˜o
√
x−5e−x = 0, com � = 10−2, x0 = 1, 4, x1 = 1, 5
e utilize o erro relativo como crite´rio de parada.
14. Considere um peˆndulo suspenso no teto de uma sala. O peˆndulo balac¸a de acordo com a seguinte expressa˜o:
d = 80+ 90cos(
pi
3
t),
em que d(cm) representa a distaˆncia ate´ a` parede de refereˆncia e depende do nu´mero de segundos t do momento
quando o peˆndulo foi posto em movimento. Calcule o instante de tempo t para o qual o peˆndulo toca na parede
da sala. Utilize o me´todo de Newton, use para aproximac¸a˜o inicial t0 = 4 e crite´rio de para o erro relativo,
� = 10−3.
15. Um certo equipamento de 20000 reais vai ser pago durante 6 anos. O pagamento anual e´ de 4000 reais. A relac¸a˜o
entre o custo do equipamento P , o pagamento anual A, o nu´mero de anos n e a taxa de juro i e´ dado por:
A = P
i(1+ i)n
(1+ i)n − 1
.
Utilize o me´todo das secantes para determinar a taxa de juros utilizada nos ca´lculos. O valor da taxa de juros
pertence ao intervalo [0.05, 0.15]. Para o crite´rio de parada utilize o erro relativo e � = 0.05
16. A concrentac¸a˜o de bacte´ria poluente c em um lago diminui de acordo com C = 70e−1,5t+25e−0,075t. Determine
o tempo necessa´rio para que a concentrac¸a˜o de bacte´ria seja reduzida a 9 usando o me´todo de Newton com
aproximac¸a˜o inicial t = 10 e crite´rio de parada erro relativo menor que 0,05.
17. O deslocamento de uma estrutura e´ definido pela seguinte equac¸a˜o para uma oscilac¸a˜o amortecida:
y = 8e−ktcos(ωt)
onde k = 0, 5 e ω = 3. Determine o tempo necessa´rio para o deslocamento diminua para 4.
(a) Calcule 3 iterac¸o˜es do me´todo de Newton utilizando como aproximac¸a˜o inicial t0 = 0, 3s. Determine o erro
relativo em cada iterac¸a˜o.
(b) Calcule 3 iterac¸o˜es do me´todo de Secante utilizando como aproximac¸o˜es iniciais t0 = 0, 2 e t1 = 0, 4.
Determine o erro relativo em cada iterac¸a˜o.
Sistemas Lineares
18. Resolver o seguinte sistema pelo me´todo da Eliminac¸a˜o de Gauss com pivoteamento parcial:
(a)

x1 +2x2 +x3 = 3
2x1 +x2 −x3 = 0
3x1 −2x2 −x3 = −2
(b)

2x1 +2x2 +x3 +x4 = 7
x1 −x2 +2x3 −x4 = 1
3x1 +2x2 −3x3 −2x4 = 4
4x1 +3x2 +2x3 +x4 = 12
19. Resolva o seguinte sistema linear utilizando a fatorac¸a˜o LU.
x1 +2x2 +3x3 = 17
−5x1 −x2 +4x3 = −2
2x1 +4x2 +x3 = 25
20. Seja AX = B em que A : n× n, X : n×m e B : n×m.
(a) Mostre que resolver AX = B e´ o mesmo que resolver m sistemas lineares do tipo Ax = b em que A e´ sempre
a mesma matriz e b se modifica em cada sistema linear.
(b) Qual me´todo e´ mais indicado para resolver AX = B: Eliminac¸a˜o de Gauss ou Fatorac¸a˜o LU? (os dois
processos considerando a estrate´gia de pivoteamento parcial). Justifique sua resposta.
(c) Resolva AX = B sendo que:
A =
 1 2 3−5 −1 4
2 4 1
 e B =
 11 155 6
12 13
 .
(d) Usando o item (a) verifique que A−1 pode ser obtida atrave´s da resoluc¸a˜o de n sistemas lineares. Aplique
este processo para obter a inversa da matriz A do item (c).
21. Considere o seguinte sistema de equac¸o˜es lineares: −9 5 62 3 1
−1 1 −3

 x1x2
x3
 =
 114
−2

(a) Resolva o sistema dado usando a fatorac¸a˜o LU.
(b) Caso poss´ıvel, determine a matriz inversa da matriz A do sistema dado, usando o Me´todo de Elimi-nac¸a˜o
de Gauss com Pivotamento Parcial.
(c) Caso haja convergeˆncia garantida, resolva o sistema dado pelo Me´todo Iterativo de Gauss-Seidel com
x0 = (x01, x
0
2, x
0
3) = (0.1, 0.2, 0.5) e � = 0.01.
(d) Caso haja convergeˆncia garantida, resolva o sistema dado pelo Me´todo Iterativo de Jacobi com x0 =
(x01, x
0
2, x
0
3) = (0.1, 0.2, 0.5) e � = 0.01.
22. Resolva o seguinte sistema linear utilizando a fatorac¸a˜o LU com estrate´gia de pivoteamento parcial:
3x1 +2x2 +4x3 = 1
x1 +x2 +2x3 = 2
4x1 +3x2 +2x3 = 3
23. Considere o sistema linear Ax = b em que:
A =
 10 1 −12 10 8
7 1 10
 e b =
 1020
30
 .
(a) E´ poss´ıvel dizer que o Me´todo de Gauss-Jacobi e´ convergente para este sistema?
(b) E´ poss´ıvel dizer que o Me´todo de Gauss-Seidel e´ convergente para este sistema?
(c) Resolva o sistema utilizando o Me´todo de Gauss-Seidel com x(0) = [0.7 − 1.6 0.6]T , usando como crite´rio
erro relativo menor que 0,01.
24. Considere o sistema linear Ax = b em que:
A =

1 1 4 1
0 1 2 4
2 4 −1 0
5 1 1 1
 e b =

2
9
2
0
 .
(a) Monte o esquemaiterativo para o me´todo de Gauss-Jacobi de modo que a convergeˆncia do processo seja
garantida. Justifique.
(b) Realize duas iterac¸o˜es do me´todo de Gauss-Jacobi a partir de x(0) = [0 0 0]T .
(c) Repita os itens (a) e (b) utilizando o Me´todo de Gauss-Seidel.
25. Um engenheiro supervisiona a produc¸a˜o de treˆs tipos de componentes ele´tricos. Treˆs tipos de material - metal,
pla´stico e borracha - sa˜o necessa´rios para a produc¸a˜o. As quantidades necessa´rias para a produc¸a˜o de cada
componente sa˜o:
Componente Metal (g) Pla´stico (g) Borracha(g)
1 15 0,30 1,0
2 17 0,40 1,2
3 19 0,55 1,5
Se um total de 3, 89; 0, 095 e 0, 282kg de metal, pla´stico e borracha, respectivamente, estiver dispon´ıvel a cada
dia, quantos componentes podera˜o ser produzidos por dia?
Sistemas na˜o-lineares
26. Aplique o me´todo de Newton para resolver o sistema F(x) = 0, em que:{
f1(x) = x
2
1 + x
2
2 − 1
f2(x) = x1 + x2
,
com x(0) = [1 − 1]T . Utilize o erro relativo com precisa˜o � = 10−2. Fac¸a o gra´fico das func¸o˜es e marque os
pontos x(k) obtidos.
27. Resolva os sistemas na˜o lineares abaixo utilizando o me´todo de Newton com crite´rio de parada
‖x(k+1) − x(k)‖ < 10−2.
(a)
{
x21 + x
2
2 − 2 = 0
ex1−1 + x32 − 2 = 0
x(0) =
[
1, 5
2, 0
]
(b)
{
4x1 − x
3
1 + x2 = 0
−x21
9
+
4x2−x
2
2
4
= −1
x(0) =
[
−1, 0
−2, 0
]
28. Considere o sistema na˜o linear abaixo:{
ex1 − 1 = 0
ex2 − 1 = 0
A soluc¸a˜o deste sistema e´: x∗ = [0 0]T .
(a) Verifique que a matriz Jacobiana e´ na˜o singular em x∗.
(b) Realize uma iterac¸a˜o do Me´todo de Newton aplicado a este sistema, usando x(0) = [−10 − 10]T . Analise o
resultado obtido e justifique o que acontece. Sugesta˜o: analise a matriz Jacobiana.
29. Se aplicarmos o me´todo de Newton para sistemas na˜o lineares, para resolver um sistema linear,
Ax = b, A : n× n, x, b ∈ Rn, quantas iterac¸o˜es o me´todo ira´ realizar? Justifique.
30. Para combater um v´ırus que infectou um grupo de indiv´ıduos vai ser administrado um composto qu´ımico sinte-
tizado com base em duas substaˆncias elementares x1 e x2. Sabe-se que se forem administrados a α miligramas
de composto a cada indiv´ıduo, a concentrac¸a˜o (mg/litro) de cada uma das substaˆncias elementares na circulac¸a˜o
sangu´ınea e´ dada implicitamente (para α ∈ [0, 5]) pelo sistema de equac¸o˜es:
{
16x1 − cos(α(x2 − 2x1)) = 0
16x2 + 0, 75sen(α(−x2 − 3x1)) = 0
Para α = 1, determine x1 e x2 usando um me´todo iterativo mais adequado. Use a aproximac¸a˜o inicial x
(0) =
[0, 1 0, 01]T e termine o processo iterativo considerando o erro relativo menor que � = 0, 05.