apostila de trigonometria

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Funções, Equações e 
Inequações 
Trigonométricas. 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Saldan 
 
 
 
 
 
 
Funções, Equações e Inequações Trigonométricas Prof. Saldan 
 
 
– FORMULÁRIO – 
 
TRIÂNGULOS: 
 
RETÂNGULO 
 
E 
 
QUALQUER 
CO CA CO
sen(x) cos(x) tg(x)
H H CA
CO : Cateto Oposto CA:Cateto Adjacente H:Hipotenusa
 (z ou y) (z ou y) (x)
= = == = == = == = =
 
sen cos
e
sen cos
α = βα = βα = βα = β
β = αβ = αβ = αβ = α
 
 
2 2 2 ˆa b c 2 b c cos(A)
a b c
ˆ ˆ ˆsen(B)sen(A) sen(C)
= + − ⋅ ⋅ ⋅= + − ⋅ ⋅ ⋅= + − ⋅ ⋅ ⋅= + − ⋅ ⋅ ⋅
= == == == =
 
RELAÇÃO 
FUNDAMENTAL 
 
E 
 
DEFINIÇÕES 
2 2cos (x) s en (x) 1 k
sen(x) 1
tg(x) ;x k . sec(x) ;x k
cos(x) 2 cos(x) 2
cos(x)1 1
cotg(x) ;x k cos sec(x) ; x k
tg(x) s en(x) s en(x)
+ = ∈+ = ∈+ = ∈+ = ∈
π ππ ππ ππ π
= ≠ + π = ≠ + π= ≠ + π = ≠ + π= ≠ + π = ≠ + π= ≠ + π = ≠ + π
= = ≠ π = ≠ π= = ≠ π = ≠ π= = ≠ π = ≠ π= = ≠ π = ≠ π
����
 
RELAÇÕES 
DECORRENTES 
DA 
RELAÇÃO 
FUNDAMENTAL 
2 2 2 2
2 2 2 2
cos (x) 1 se n (x) s en (x) 1 cos (x) k
tg (x) 1 sec (x);x k . cotg (x) 1 cos sec (x);x k .
2
= − = − ∈= − = − ∈= − = − ∈= − = − ∈
ππππ
+ = ≠ + π + = ≠ π+ = ≠ + π + = ≠ π+ = ≠ + π + = ≠ π+ = ≠ + π + = ≠ π
����
 
ARCOS: 
 
ADIÇÃO / 
SUBTRAÇÃO 
 
DUPLO 
 
METADE 
 
2 2
2
2
sen(x y) sen(x)cos(y) sen(y)cos(x) sen(2x) 2 sen(x) cos(x)
cos(x y) cos(x) cos(y) sen(x)sen(y) cos(2x) cos (x) s en (x)
tg(x) tg(y) tg(2x)
tg(x y) ; x, y k . tg(2x) ; x k .
1 tg(x)tg(y) 2 21 tg (x)
cos(2x) 2 cos (x
± = ± = ⋅± = ± = ⋅± = ± = ⋅± = ± = ⋅
± = = −± = = −± = = −± = = −
±±±± π ππ ππ ππ π
± = ≠ + π = ≠ + π± = ≠ + π = ≠ + π± = ≠ + π = ≠ + π± = ≠ + π = ≠ + π
−−−−
====
mmmm
mmmm
2) 1 cos(2x) 1 2sen (x)
1 cos(x) 1 cos(x) 1 cos(x)x x x
cos sen tg ;x 2k
2 2 2 2 2 1 cos(x)
− = −− = −− = −− = −
+ − −+ − −+ − −+ − −                    = ± = ± = ± ≠ π + π= ± = ± = ± ≠ π + π= ± = ± = ± ≠ π + π= ± = ± = ± ≠ π + π                     ++++                    
 
PRODUTO 
x y x y
cos(x) cos(y) 2 cos cos
2 2
x y x y
cos(x) cos(y) 2 s en sen
2 2
x y x y
sen(x) sen(y) 2 sen cos
2 2
+ −+ −+ −+ −            
+ = ⋅ ⋅+ = ⋅ ⋅+ = ⋅ ⋅+ = ⋅ ⋅            
            
+ −+ −+ −+ −            
− = − ⋅ ⋅− = − ⋅ ⋅− = − ⋅ ⋅− = − ⋅ ⋅            
            
±±±±            
± = ⋅ ⋅± = ⋅ ⋅± = ⋅ ⋅± = ⋅ ⋅            
            
mmmm
 
 
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CICLO TRIGONOMÉTRICO 
 
 
 
 
 
LINHAS TRIGONOMÉTRICAS 
 
 
cos OA
sen OB
tg TC
cot g QD
se c OF
cos sec OE
α =α =α =α =
α =α =α =α =
α =α =α =α =
α =α =α =α =
α =α =α =α =
α =α =α =α =
 
 
Obs.: as linhas não tracejadas são fixas. 
 
 
 
 
MACETES 
 
QUANTO A REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE QUANTO AO SINAL NOS QUADRANTES 
F : falta; 
P: passa. + 
SE 1 2 
TA 1 3 
CO 1 4 
 
 
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1
INTRODUÇÃO 
 
CICLO TRIGONOMÉTRICO 
O ciclo ou circunferência trigonométrica é 
um conjunto de pontos que estão a uma distância 
fixa (1 unidade de comprimento) do centro do 
sistema de coordenadas perpendiculares xOy 
também chamado de Plano Cartesiano. É uma 
circunferência 
orientada, isto é, 
atribui-se a um 
dos sentidos que 
se pode percorrer-
la um sinal, 
positivo ou 
negativo. No ciclo 
trigonométrico o 
sentido anti-
horário é tomado 
como positivo. 
 Finalmente, toma-se como origem dos arcos o 
ponto representado pelo par ordenado (1, 0). 
Na circunferência de raio 1, orientada e com 
origem definida (ciclo trigonométrico), um ponto 
sobre a circunferência representa: um arco de 
medida α; e um par ordenado (x, y) tal que 
x = cos(α) e y = sen(α). 
 
ARCOS CÔNGRUOS 
Dois ou mais arcos são chamados côngruos 
quando têm a mesma extremidade, contudo são 
diferentes pelo número de voltas na circunferência. 
Assim, arcos de medidas distintas têm o mesmo 
valor para o seno, cosseno, tangente, secante e 
cossecante, se forem côngruos, pois representam 
um ponto comum no ciclo trigonométrico. Por 
exemplo: 
sen (15º) = sen (375º) = sen (-345º) = B 
As reticências indicam que existem infinitas 
igualdades. 
 
– 705º = 15º – 2.360º 
 
– 345º = 15º – 1.360º 
 
15º = 15º + 0.360º 
 
375º = 15º + 1.360º 
 
735º = 15º + 2.360º 
 
Generalizando: ���� o oAB 15 k 360= + ⋅= + ⋅= + ⋅= + ⋅ . 
k ∈ Z 
Usualmente o arco é medido em radianos, isto é, 
 
����AB k 2
12
ππππ
= + ⋅ π= + ⋅ π= + ⋅ π= + ⋅ π ou ����AB 2k
12
ππππ
= + π= + π= + π= + π 
PRATICANDO 
01 – Generalize os arcos indicados nas figuras. 
Dê as soluções em graus e em radianos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02 – (Cefet) Sabendo-se que 3x – 45 e 2x + 135 
exprimem as medidas de dois arcos côngruos, 
pode-se afirmar que x é dado por: 
a) 120º.(2k + 1), sendo k ∈ Z 
b) 160º.(3k + 1), sendo k ∈ Z 
c) 120º.(3k + 1), sendo k ∈ Z 
d) 180º.(2k + 2), sendo k ∈ Z 
e) 180º.(2k + 1), sendo k ∈ Z 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2
EQUAÇÕES 
TRIGONOMÉTRICAS 
Equações são expressões que possuem 
necessariamente uma igualdade e (pelo menos) 
uma incógnita. 
Na expressão: cos(x) – 1 = 0, a incógnita x 
representa um arco (ângulo) associado ao cosseno. 
Chamaremos de equações trigonométricas as 
equações em que as incógnitas estiverem 
associadas ao seno, cosseno, tangente, 
cotangente, secante ou cossecante. 
A resolução de uma equação consiste 
basicamente em “encontrar” valor(es) para a(s) 
incógnita(s) para que a expressão torne-se 
verdadeira, soluções ou raízes da equação. 
É importante ressaltar que para resolver as 
equações trigonométricas podemos e devemos 
utilizar as técnicas de resolução de equações: do 
1º grau; do 2º grau; polinomiais. Assim como os 
produtos notáveis e as relações trigonométricas. 
 
EQUAÇÕES ELEMENTARES 
Dada uma equação trigonométrica 
procuraremos escreve-la em uma das formas 
elementares: 
 
sen(x)=n cos(x)=n tg(x)=n 
onde n é um valor numérico. 
 
Exemplo: 
 cos(x) – 1 = 0. 
Reescrevendo: cos(x) = 1. 
 
Para encontrar o(s) valor(es) de x que 
satisfazem a 
expressão, observe 
no ciclo os arcos 
(ângulos) em que o 
cosseno vale 1. 
São eles 0 e 2π rad, 
isto, se nos 
limitarmos a apenas 
uma volta no ciclo. 
Contudo existem 
infinitos valores 
para os quais 
cosseno é igual a 1. 
 Assim, a melhor solução para a equação é: 
S = {x ∈ R€/ x = 2kπ, k ∈ Z} 
Observe a necessidade de estarmos bem 
familiarizados com os conceitos de congruência e 
das linhas trigonométricas no ciclo trigonométrico. 
É importante memorizar os valores do seno, 
cosseno e tangente, ao menos para os principais 
arcos, por exemplo: 
3
0; ; ; ; ; ; ;2
6 4 3 2 2
π π π π ππ π π π ππ π π π ππ π π π π
π ππ ππ ππ π , e 
seus simétricos. 
PRATICANDO 
01 – Encontre todas as soluções para: 
a) sen(x) = 1 
 
 
 
 
b) 2.cos(x) = 1 
 
 
 
 
c) tg 3x 3
12
ππππ    + =+ =+ =+ =    
    
 
 
 
 
 
 
 
02 – Resolva as equações em x no conjunto dos 
reais: 
a) 2.cos(x) – 3.sec(x) = 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 3 sen(x) 3 cos(x) 0⋅ − ⋅ =⋅ − ⋅ =⋅ − ⋅ =⋅ − ⋅ = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
03 – Para x∈[0, 2π], quantas são as raízes da 
equação, 
sen(2x) 0 0
cos(3x) cos(x) sen(x) 0
sen(4x)sen(x) cos(x)
==== . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3
FUNÇÕES 
TRIGONOMÉTRICAS 
Funções são relações tais que, para todo 
elemento de um conjunto (Domínio) existe um e 
apenas um correspondente num outro conjunto 
(Contra-domínio). 
Para o estudo de funções trigonométricas 
tomaremos o ciclo trigonométrico como sendo: 
C = {(x, y) ∈ RXR ; x2 + y2 = 1}, com x=cos(θ) e 
y=sen(θ). 
Assim, na função 
f: R→R, definida por 
f(x) = sen(x), x ∈ R, por 
exemplo, os elementos 
do domínio são pontos 
sobre a circunferência e 
as respectivas imagens 
serão as ordenadas 
deste ponto. 
 
DOMÍNIO E IMAGEM 
Nas funções trigonométricas o domínio será 
obtido observando-se as representações das seis 
linhas trigonométricas (seno, cosseno, tangente, 
cotangente, secante e cossecante) no ciclo 
trigonométrico, ou ainda, nos casos da tangente, 
cotangente, secante e cossecante por suas 
definições em função do seno e do cosseno. 
Quanto à imagem esta nos fornecerá entre 
outros, os extremos (valores de máximo e de 
mínimo, se existirem), crescimento e 
decrescimento, e ainda, o sinal da função (se 
positivo ou negativo). 
 
PERIODICIDADE 
As funções trigonométricas são periódicas, 
isto é, existe um número k ≠ 0 tal que f(x + k) = f(x), 
para todo x ∈ R. O menor número k > 0 que 
satisfaça a relação anterior é dito período da 
função. Geometricamente isto significa que o 
gráfico da função se repete em intervalos de 
tamanho k no eixo das abscissas. 
 
SIMETRIAS - PARIDADE 
Para testar a paridade de uma função faremos 
a substituição de (x) por (–x). Se caso não houver 
alteração na sua imagem, isto é, f(–x) = f(x) então 
a função é dita par, e observa-se uma simetria do 
gráfico em relação ao eixo das ordenadas. Se a 
imagem for oposta, isto é, f(–x) = –f(x), a função é 
chamada ímpar, e observa-se uma simetria em 
relação ao centro do plano cartesiano. A função 
será classificada como nem pare nem ímpar, caso 
não aconteça nenhum dos casos anteriores. 
PRATICANDO 
01 – Dê o domínio, faça um esboço do gráfico e 
indique o período e a imagem das funções: 
 
a) f(x) = cos(x) 
 
Dom(f) = 
 
Gráfico: 
x y 
0 
π/2 
π 
3π/2 
2π 
 
 
 
P(f) = 
 
Im(f) = 
 
 
b) f(x) = 1 + cos(x) 
 
Dom(f) = 
 
Gráfico: 
x y 
0 
π/2 
π 
3π/2 
2π 
 
 
 
P(f) = 
 
Im(f) = 
 
02 – Qual a paridade das funções do exercício 
anterior? 
 
 
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03 – Dê o domínio, faça um esboço do gráfico e 
indique o período e a imagem das funções: 
 
a) f(x) = 2.cos(x) 
 
Dom(f) = 
Gráfico: 
x y 
0 
π/2 
π 
3π/2 
2π 
 
 
P(f) = 
Im(f) = 
 
 
b) f(x) = –2.cos(x) 
 
Dom(f) = 
Gráfico: 
x y 
0 
π/2 
π 
3π/2 
2π 
 
 
P(f) = 
Im(f) = 
 
 
c) f(x) =1 –2.cos(x) 
 
Dom(f) = 
Gráfico: 
x Y 
0 
π/2 
π 
3π/2 
2π 
 
P(f) = 
Im(f) = 
 
 
d) f(x) = 1 + cos(x+π/3) 
 
Dom(f) = 
Gráfico: 
x+π/3 x y 
0 
π/2 
π 
3π/2 
2π 
 
P(f) = 
Im(f) = 
 
 
OBSERVE E REFLITA 
Nos exercícios deste assunto, até aqui, as 
funções podem ser escritas, generalizando, como: 
 
f(x)=A+B.cos(Cx+D). 
 
Existem relações diretas estabelecidas entre os 
valores de A, B, C, D e o gráfico da função. Estas 
relações podem resultar numa maior agilidade na 
resolução de alguns exercícios. 
 
ABSTRAINDO 
01 – Dos exercícios resolvidos até aqui, pode-se 
observar alterações nos gráficos, nos períodos, 
nos zeros e nas imagens das funções, decorrentes 
das alterações nos valores de A, B, C, D. 
Estabeleça daí as relações mencionadas. Estas 
relações podem ser estendidas para a função seno. 
 
 
 
 
 
 
 
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FUNÇÕES 
TRIGONOMÉTRICAS 
(continuação) 
Excluindo-se as funções seno e cosseno, todas 
as demais funções trigonométricas apresentam 
problemas no conjunto domínio. 
 
 
f(x)=A+B.tg(Cx+D) 
 
e 
 
f(x)=A+B.sec(Cx+D) 
 
 
Das suas definições temos que: 
 
sen(Cx D)
tg(Cx D)
cos(Cx D)
++++
+ =+ =+ =+ =
++++
 
e 
1
sec(Cx D)
cos(Cx D)
+ =+ =+ =+ =
++++
 
Satisfeita a condição de: 
 
cos (Cx + D) ≠ 0 
 
Logo, o conjunto domínio, das funções tangente e 
secante, pode ser encontrado fazendo: 
 
Dom(f ) x ;Cx D k ,k .
2
ππππ    = ∈ + ≠ + π ∈= ∈ + ≠ + π ∈= ∈ + ≠ + π ∈= ∈ + ≠ + π ∈    
    
� �� �� �� � 
 
 
f(x)=A+B.cotg(Cx+D) 
 
e 
 
f(x)=A+B.cossec(Cx+D) 
 
 
Das suas definições temos que: 
 
cos(Cx D)
cotg(Cx D)
sen(Cx D)
++++
+ =+ =+ =+ =
++++
 
e 
1
sec(Cx D)
sen(Cx D)
+ =+ =+ =+ =
++++
 
Satisfeita a condição de: 
 
sen (Cx + D) ≠ 0 
 
Logo, o conjunto domínio, das funções cotangente 
e cossecante, pode ser encontrado fazendo: 
 
{{{{ }}}}Dom(f ) x ;Cx D k ,k .= ∈ + ≠ π ∈= ∈ + ≠ π ∈= ∈ + ≠ π ∈= ∈ + ≠ π ∈� �� �� �� � 
 
 
PRATICANDO 
01 – Dê o domínio, faça um esboço do gráfico e 
indique o período e a imagem das funções: 
a) f(x) =tg(x) 
 
Dom(f) = 
Gráfico: 
x y 
 
 
 
 
 
 
P(f) = 
Im(f) = 
 
 
b) f(x) =cossec(x) 
 
Dom(f) = 
Gráfico: 
x y 
 
 
 
 
 
 
P(f) = 
Im(f) = 
 
 
OBSERVE E REFLITA 
Novamente dada à função escrita na forma 
generalizada como: 
 
f(x)=A+B.função(Cx+D). 
 
Existem relações diretas estabelecidas entre os 
valores de A, B, C, D e o gráfico da função. Estas 
relações podem resultar numa maior agilidade na 
resolução de alguns exercícios. 
Vale ressaltar que devemos tentar escrever 
uma função trigonométrica nas formas anteriores. 
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6
INEQUAÇÕES 
TRIGONOMÉTRICAS 
Inequações são expressões que possuem 
necessariamente uma desigualdade (>, ≥, <, ≤ ou ≠) 
e (pelo menos) uma incógnita. 
Na expressão: tg(x) – 1 ≥ 0, a incógnita x 
representa um arco (ângulo) associado a tangente. 
Chamaremos de inequações trigonométricas 
as inequações em que as incógnitas estiverem 
associadas ao seno, cosseno, tangente, 
cotangente, secante ou cossecante. 
 
RESOLUÇÃO 
As soluções de uma inequação são intervalos 
numéricos. Para encontrar tais intervalos usamos 
os mesmos artifícios usados na resolução de 
inequações não trigonométricas, quando 
necessário, associado ao método gráfico utilizada 
nas equações trigonométricas. 
Na inequação acima podemos resolvê-la 
apenas reescrevendo: 
 
tg(x) ≥ 1 
 
Recorremos ao ciclo para encontrar as soluções: 
 
Assim, a solução para x ∈ [0, 2π], fica: 
 
5 3
S x ; x ou x .
4 2 4 2
π π π ππ π π ππ π π ππ π π π    = ∈ ≤ < ≤ <= ∈ ≤ < ≤ <= ∈ ≤ < ≤ <= ∈ ≤ < ≤ <    
    
���� 
 
 
 
 
 
 
PRATICANDO 
01 – Resolva as seguintes inequações, para 
0 ≤ x < 2π. 
 
a) 
1
sen(x)
2
<<<< 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
3
cos(x)
2
≤≤≤≤ 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) sec(x) 2≥≥≥≥ 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
1
sen x
3 2
ππππ    + < −+ < −+ < −+ < −    
    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02 – Resolva a inequação 2.cos2(x)+cos(x)–1<0, 
para x∈[0, 2π]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7
EXERCÍCIOS 
DE VESTIBULARES 
 
ARCOS E CICLO 
01 – (UFRS) Considere as seguintes afirmações 
para arcos medidos em radianos: 
I) sen 1 < sen 3 
II) cos 1 < cos 3 
III) cos 1 < sen 1 
Quais são verdadeiras? 
a) Apenas I é verdadeira. 
b) Apenas II é verdadeira. 
c) Apenas III é verdadeira. 
d) São verdadeiras apenas I e II. 
e) São verdadeirasI, II e III. 
 
02 – (UFLAVRAS) A figura MNPQ é um retângulo 
inscrito em um círculo. Se a medida do arco AM é 
π/4 rad, as medidas 
dos arcos AN e AP, 
em radianos, 
respectivamente, são: 
a) 3π/4 e 5π/4 
b) π e 3π/2 
c) 3π/4 e 2π 
d) π/2 e 5π/4 
e) 3π/4 e 5π/8 
 
03 – (FEI) Se 0 < x < π/4, é válido afirmar-se que: 
a) sen (π/2 - x) = sen x 
b) cos (π - x) = cos x 
c) sen (π + x) = sen x 
d) sen (π/2 - x) = cos x 
e) cos (π + x) = sen x 
 
04 – (UEL) Se senx=1/2 e x é um arco do 2º 
quadrante, então cos2x é igual a 
a) 1 
b) 3/4 
c) 1/2 
d) -1/2 
e) - 3/4 
 
05 – (UEL) Para qualquer número real x, 
sen x-(π/2) é igual a: 
a) -sen x 
b) 2 sen x 
c) (sen x)(cos x) 
d) 2 cos x 
e) -cos x 
 
06 – (UFAL) Analise as afirmativas abaixo, nas 
quais x é um número real. 
01) sen 495° = sen π/4 
02) tg 8π/7 < 0 
04) sen π/5 + sen π/5 = sen 2π/5 
08) A equação tgx = 1000 não tem solução 
16) Para 0 ≤ x < π/4 tem-se cos x > sen x 
 
07 – (PUC) Se sen(x)=1/5 e sen(y)=1/5, então 
podemos afirmar que: 
a) x = y; 
b) os arcos de medidas x e y têm extremidades 
simétricas em relação ao eixo das abscissas; 
c) os arcos de medidas x e y têm extremidades 
simétricas em relação ao eixo das ordenadas ou 
têm a mesma medida; 
d) os arcos de medidas x e y têm extremidades 
simétricas em relação à origem do sistema 
cartesiano; 
e) os arcos de medidas x e y têm extremidades 
simétricas em relação ao eixo das ordenadas. 
 
EQUAÇÕES 
08 – (UFSCAR) O valor de x, 0≤x≤π/2, tal que 
4.(1–sen2x).(sec2x–1)=3 é 
a) π/2. 
b) π/3. 
c) π/4. 
d) π/6. 
e) 0. 
 
09 – (UEL) Se x∈[0, 2π], o número de soluções 
da equação cos2x=sen[(π/2)-x] é 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
10 – (CESGRANRIO) O número de soluções da 
equação sen2(x)=2sen(x), no intervalo [0,2π], é: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
11 – (FUVEST) Determine o número de soluções 
da equação (2cos2x + 3senx).(cos2x – sen2x) = 0, 
que estão no intervalo [0,2π]. 
 
12 – (FUVEST) A soma das raízes da equação 
sen2x – 2cos4x=0, que estão no intervalo [0, 2π], é: 
a) 2π 
b) 3π 
c) 4π 
d) 6π 
e) 7π 
 
13 – (UEL) Em relação à equação cos x=cos 2x, 
com x∈[0, 2π], é correto afirmar: 
a) Possui uma solução no 3º quadrante. 
b) Possui duas soluções no 2º quadrante. 
c) Possui somente a solução nula. 
d) Uma das suas soluções é π. 
e) A única solução não nula é 2π/3. 
 
14 – (UFMG) Determinando todos os valores de x 
Funções, Equações e Inequações Trigonométricas Prof. Saldan 
 
8
pertencentes ao intervalo (0, π) que satisfazem a 
equação: 3.tg(x)+2.cos(x)=3.sec(x), temos: 
a) S={π/3, 5π/3, 7π/3} 
b) S={π/4, 5π/4, 7π/4} 
c) S={π/6, 5π/6} 
d) S={π/3, 5π/3} 
 
INEQUAÇÕES 
15 – (UNESP) O conjunto solução de |cos x|<1/2, 
para 0<x<2π, é definido por: 
a) (π/3)<x<(2π/3) ou (4π/3)<x<(5π3) 
b) (π/6)<x<(5π6) ou (7π/6)<x<(11π/6) 
c) (π/3)<x<(2π/3) e (4π3)<x<(5π/3) 
d) (π/6)<x<(5π/6) e (7π/6)<x<(11π/6) 
e) (π/6)<x<(2π/3) ou (4π/3)<x<(11π/6) 
 
16 – (UFRS) No intervalo real [0, π/2], o conjunto 
solução da desigualdade sen x cos x ≤ 1/4 é 
a) [0, π/15] 
b) [0, π/12] 
c) [0, π/10] 
d) [0, π/8] 
e) [0, π/6] 
 
17 – (ITA) Para x no intervalo [0, π/2], o conjunto 
de todas as soluções da inequação 
sen (2x) - sen (3x +π/2) > 0 
é o intervalo definido por 
a) π/10 < x < π/2. 
b) π/12 < x < π/4. 
c) π/6 < x < π/3. 
d) π/4 < x < π/2. 
e) π/4 < x < π/3. 
 
18 – (UFSC) Determine a soma dos números 
associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S): 
01) Se tg x=3/4 e π<x<3π/2, então o valor de 
senx-cosx é igual a 1/5. 
02) A menor determinação positiva de um arco de 
1000° é 280°. 
04) Os valores de m, de modo que a expressão 
senx=2m-5 exista, estão no intervalo [2,3]. 
08. sen x > cos x para -π/4 ≤ x ≤ π/4. 
16) A medida em radianos de um arco de 225° é 
(11π/6)rad. 
32) Se sen x > 0, então cosec x < 0. 
64) A solução da equação 2sen2x + 3sen x = 2 
para 0 ≤ x ≤ 2π é x=π/6 ou x=5π/6. 
 
19 – (FEI) Se 0 < x < 2π e sen x > cos x então: 
a) π/4 < x < 5π/4 
b) π/4 < x < 7π/4 
c) π/8 < x < 7π/8 
d) π/2 < x < 3π/2 
e) π/4 < x < 3π/2 
 
20 – (UNIRIO) Resolva a sentença 
2 cos2 x – 3 cos x + 1 ≤ 0, sendo 0≤x<2π. 
a) 0 ≤ x ≤ π/3 ou 5 π/3 ≤ x < 2π 
b) 0 < x ≤ π/3 ou 5 π/3 < x ≤ 2π 
c) 0 < x ≤ π/3 
d) 5 π/3 < x ≤ 2π 
e) 0< x < 2π 
 
21 – (MACK) Quando resolvida no intervalo 
[0; 2π], o número de quadrantes nos quais a 
desigualdade 2cos(x) 3<<<< apresenta soluções 
é: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
 
 
FUNÇÕES 
 
22 – (FATEC) No intervalo ]0, π[, os gráficos das 
funções definidas por y = sen x e y = sen 2x 
interceptam-se em um único ponto. 
A abscissa x desse ponto é tal que 
a) 0 < x < π/4 
b) π/4 < x < π/2 
c) x = π/4 
d) π/2 < x < 3π/4 
e) 3π/4 < x < 2π 
 
23 – (PUC) Seja f a função de IR em IR definida 
por f(x) = sen x. O conjunto solução da inequação 
f(x)≥0, no universo U=[0,2π] é 
a) [0, π] 
b) [π/2, 3π/2] 
c) [π, 2π] 
d) [π/2, π] ∪ [3π/2, 2π] 
e) [0, π/2] ∪ [3π2, 2π] 
 
24 – (UFES) Uma pequena massa, presa à 
extremidade de uma mola, oscila segundo a 
equação: f(t) = 8sen (3πt), que representa a 
posição da massa no instante t segundos, medida 
em centímetros a partir da posição de equilíbrio. 
Contando a partir de t=0, em que instante a massa 
passará pela sétima vez a uma distância |f(t)| de 
4cm da posição de equilíbrio? 
a) 11/18 
b) 13/18 
c) 17/18 
d) 19/18 
e) 23/18 
 
25 – (FUVEST) Na figura a seguir, a reta r passa 
pelo ponto T=(0,1) e é paralela ao eixo Ox. 
Funções, Equações e Inequações Trigonométricas Prof. Saldan 
 
9
 
A semi-reta Ot forma um ângulo α com o semi-eixo 
Ox (0°<α<90°) e intercepta a circunferência 
trigonométrica e a reta r nos pontos A e B, 
respectivamente. A área do triângulo TAB, como 
função de α, é dada por: 
a) (1 - senα) . (cosα)/2. 
b) (1 - cosα) . (senα)/2. 
c) (1 - senα) . (tgα)/2. 
d) (1 - senα) . (cotgα)/2. 
e) (1 - senα) . (senα)/2. 
 
26 – (PUC) Observe o gráfico a seguir. 
 
A função real de variável real que MELHOR 
corresponde a esse gráfico é 
a) y = cos x 
b) y = sen x 
c) y = cos 2x 
d) y = sen 2x 
e) y = 2 sen x 
 
27 – (UEL) A função dada por f(x) = (tg x) . (cotg x) 
está definida se, e somente se, 
a) x é um número real qualquer. 
b) x ≠ 2kπ, onde k ∈ Z 
c) x ≠ kπ, onde k ∈ Z 
d) x ≠ kπ/2, onde k ∈ Z 
e) x ≠ kπ/4, onde k ∈ Z 
 
28 – (UNB) Supondo que, em determinada região, 
a temperatura média semanal T(em °C) e a 
quantidade de energia solar média semanal Q que 
atinge a região (em kcal/cm2) possam ser 
expressas em função do tempo t, em semanas, por 
meio das funções: 
t 15
T(t) 10 12sen 2
52
    −−−−    = + π= + π= + π= + π         
        
 e 
t 11
Q(t) 400 200sen 2
52
    −−−−    = + π= + π= + π= + π                
, julgue os itens a 
seguir. 
(1) A maior temperatura média semanal é de 22°C. 
(2) Na 50.ò semana, a quantidade de energia solar 
média semanal é mínima. 
(3) Quando a quantidade de energia solar média é 
máxima, a temperatura média semanal também é 
máxima. 
 
29 – (UFRS) Se f(x) = a + bsen x tem como 
gráfico 
 
 
então 
a) a = -2 e b = 1 
b) a = -1 e b = 2 
c) a = 1 e b = -1 
d) a = 1 e b = -2 
e) a = 2 e b = -1 
 
 
UEM - DE 98 A 04 
30 – (inv.-98) O número de raízes da equação 
sen22x – sen 2x = 0, para 0 ≤ x < 2π é ... 
 
31 – (ver.-98) Com relação à equação 
4.cos2x + 4.senx = 1, para 0 ≤ x ≤ 2π, é correto 
afirmar que 
(01) o módulo da diferença das raízes é maior do 
que π. 
(02) a equação possui duas raízes distintas. 
(04) a soma das raízes é um número natural. 
(08) a soma das raízes é 3π. 
(16) o produto das raízes é 
277
36
ππππ
. 
 
32 – (inv.-99) Nos itens abaixo, suponha que x 
seja um número reale que todos os ângulos 
estejam em radianos. Sobre isso, é correto afirmar 
que 
(01) a função tgx está definida para todo x. 
(02) se y = cos1.cos2.cos3.cos4, então y > 0. 
(04) se x é tal que 
2
x
2 3
π ππ ππ ππ π
< << << << < , então tg2x>0. 
(08) se 
3
cos x
5
==== , então 
3
sen x
2 5
ππππ    + =+ =+ =+ =    
    
. 
(16) se 
2
cos x
2
==== e x está no quarto quadrante, 
então 1 – tg2x = 0. 
(32) 2
1 cos
4
cos
8 2
ππππ    ++++     ππππ         ====    
    
. 
Funções, Equações e Inequações Trigonométricas Prof. Saldan 
 
10
(64) se cos x 3 senx= ⋅= ⋅= ⋅= ⋅ , então 
x k , k
3
ππππ
= + π ∈= + π ∈= + π ∈= + π ∈ ���� . 
 
33 – (ver.-99) Considere na circunferência 
trigonométrica, os pontos P1 e P2, como 
extremidades de dois arcos menores que π 
radianos e medidos no sentido anti-horário, a partir 
de A(1,0). 
Se ���� ���� o
1 2
AP e AP 180= α = β = − α= α = β = − α= α = β = − α= α = β = − α , então, é 
correto afirmar que 
(01) sen α = sen β. 
(02) sen α > 0. 
(04) cos α > 0. 
(08) os pontos P1 e P2 são simétricos em relação 
ao eixo das ordenadas. 
(16) cos α = cos β. 
(32) os pontos P1 e P2 estão no mesmo quadrante. 
(64) cos (α + β) = -1. 
 
34 – (esp.ver.-00) O número de raízes distintas 
da equação sen3x + sen7x = 0, no intervalo [0, 2π], 
é .... 
35 – (inv.-00) Se θ é um arco tal que 
2
ππππ
< θ < π< θ < π< θ < π< θ < π , 
pode-se afirmar que 
(01) cos (θ + α) = -1, onde α é o suplementar de θ. 
(02) cos 2θ é negativo. 
(04) tg 2θ é negativo. 
(08) cos θ é negativo. 
(16) 
2
cos
2 2
θθθθ
<<<< . 
(32) sen 2θ é negativo. 
(64) 
2
sen
2 2
θθθθ
<<<< 
 
36 – (ver.-00) Nos itens abaixo, considere todos 
os ângulos em radianos. Nessas condições, 
assinale o que for correto. 
(01) sen2x = 2senx, ∀x∈R. 
(02) cos4x – sen4x = cos2x, ∀x∈R. 
(04) 
senx cos x
1
cossec x sec x
+ =+ =+ =+ = , ∀x∈R. 
(08) Existem apenas dois valores de x no intervalo 
5
,
2 2
π ππ ππ ππ π    
        
, tais que sen2x = 1. 
(16) se senx cos x a+ =+ =+ =+ = , com a > 0 e 
b
senx cos x
2
⋅ =⋅ =⋅ =⋅ = , então a – b = 1. 
(32) Os valores de x no intervalo [0, π] que 
satisfazem 
1
sen2x 1
2
≤ <≤ <≤ <≤ < são tais que 
5
x , com x
12 12 4
π π ππ π ππ π ππ π π
≤ ≤ ≠≤ ≤ ≠≤ ≤ ≠≤ ≤ ≠ . 
 
37 – (inv.-01) Considerando que, nos itens abaixo, 
todos os ângulos são medidos em radianos, 
assinale o que for correto. 
(01) Se 0 ≤ x ≤ 2π e tgx . cosx < 0, então 
x
2
ππππ
≤ ≤ π≤ ≤ π≤ ≤ π≤ ≤ π . 
(02) sen2 – sen2x.cos2x = sen4x. 
(04) sen1 sen
4
ππππ
<<<< . 
(08) 
3
sen x cos x
2
ππππ    − = −− = −− = −− = −    
    
. 
(16) Se 
1
cos x
3
==== , então 
2
cos 2x
3
==== . 
(32) Se 0 ≤ x ≤ 2π, o conjunto-solução da 
inequação 
1
cos x
2
≥≥≥≥ é o conjunto dos 
números reais x tais que 0 x
3
ππππ
≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤ ou 
5
x 2
3
ππππ
≤ ≤ π≤ ≤ π≤ ≤ π≤ ≤ π . 
 
38 – (inv.-01) Um balão parado no céu é 
observado sob um ângulo de 60º. Afastando-se 3 
metros, o observador passa a vê-lo sob um ângulo 
α tal que 
1
tg
2
α =α =α =α = . Então, a altura do balão 
multiplicada por 11(6 3)−−−− é ... 
 
39 – (ver.-01) Assinale a(s) alternativa(s) 
correta(s). 
(01) (((( ))))4sen 4cos cos 0
2 3
π ππ ππ ππ π
+ − −π =+ − −π =+ − −π =+ − −π = . 
(02) Em um triângulo no qual dois de seus ângulos 
medem 
3
ππππ
rad e 40º, o terceiro ângulo mede 
4
9
ππππ
rad. 
(04) (1 + cos x) . (1 – cos x) = tg x . cos x , para 
x k
2
ππππ
≠ + π≠ + π≠ + π≠ + π , k∈Z. 
(08) 2
1
(senx cos x)
2
− =− =− =− = , para x = 15º. 
Funções, Equações e Inequações Trigonométricas Prof. Saldan 
 
11
(16) 
5
tg 0
4
ππππ
<<<< . 
(32) 
o o
o
2sen53 cos 37
1
cos 37
−−−−
==== . 
 
40 – (ver.-01) No problema a seguir, considere 
que qualquer trajetória do ciclista é feita em linha 
reta e com velocidade constante e igual a 10 m/s. 
Duas rodovias H e R cruzam-se em um ponto A, 
segundo um ângulo de 60º. Um ciclista parte do 
ponto A pela rodovia H e, após um terço de hora, 
atinge um ponto B, de onde é possível seguir para 
a rodovia R, percorrendo o menor caminho, 
atingindo-a no ponto C. Para retornar de C ao 
ponto A de origem, pela rodovia R, a distância que 
o ciclista deve percorrer, em quilômetros, é... 
 
41 – (ver.-02) Nos itens abaixo, considere todos 
os ângulos em radianos. Nessas condições, 
assinale o que for correto. 
(01) Os números reais x que satisfazem a equação 
cos 2x 0
3
ππππ    − =− =− =− =    
    
, são tais que 
k
x
2 6
π ππ ππ ππ π
= += += += + , 
para todo número inteiro k. 
(02) Se 
2
cos x
m 1
====
−−−−
, então, m ≤ - 1 ou m ≥ 3. 
(04) 
sen2x
cos x
2senx
==== , para todo número real x tal 
que x ≠ kπ, onde k é um número inteiro 
qualquer. 
(08) Se 0 x
2
ππππ
< << << << < , então cos2x ≤ 0. 
(16) Se 0 x
2
ππππ
≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤ , então sen x + cos x ≥ 1. 
(32) Se y = cos 4, então 0 < y < 1. 
(64) Se x
2
ππππ
< < π< < π< < π< < π e 
2
senx
3
==== , então 
2 5
tgx
5
= −= −= −= − . 
 
42 – (1º-03) Sobre trigonometria, assinale a(s) 
alternativa(s) correta(s). 
(01) 2cos2(x) = 1 + cos(2x), para todo x real. 
(02) 
2
2 2 1 cos (2x)sen (x) cos (x)
4
−−−−
⋅ =⋅ =⋅ =⋅ = , para todo 
x real. 
(04) 
2 2
1
1
cos (x) sen (x)
−−−−
= −= −= −= −
++++
, para todo x real. 
(08) 2
2
tg (x) 1
1 cos(2x)
= −= −= −= −
++++
, para todo x real. 
(16) 
(((( ))))2cos (x) 1
2 ln e 1 cos(2x)
−−−−    ⋅ = +⋅ = +⋅ = +⋅ = +    
    
, para todo x 
real. 
(32) sen(x+y)<sen(x)+sen(y), para todo x e y reais. 
 
43 – (2º-03) Sendo x um arco do primeiro 
quadrante, em graus, o valor de x que satisfaz a 
equação sen 31º + sen 29º = sen x é ... 
 
44 – (1º-04) Para obter a altura CD de uma torre, 
um matemático, utilizando um aparelho, 
estabeleceu a horizontal AB e determinou as 
medidas dos ângulos α = 30º e β = 60º e a medida 
do segmento BC = 5 m, conforme a figura. Nessa 
condições, a altura da torre, em metros, é ... 
 
 
45 – (1º-04) Considere um ponto P(x, y) sobre a 
circunferência trigonométrica e que não esteja 
sobre nenhum dos eixos coordenados. Seja α o 
ângulo determinado pelo eixo OX e pela semi-reta 
OP, onde O é a origem do sistema. Nessas 
condições, assinale o que for correto. 
(01) A abscissa de P é menor do que cos(α). 
(02) A ordenada de P é igual a sen( )
2
ππππ
α +α +α +α + . 
(04) A tangente de α é determinada pela ração 
entre a ordenada e a abscissa de P. 
(08) As coordenadas de P satisfazem à equação 
x2 + y2 = 1. 
(16) Se x = y, então cotg(α) = -1. 
(32) 
4
ππππ
α =α =α =α = é o menor arco positivo para o qual a 
equação 
2 2 2 2cos ( ) sen ( ) cos ( ) sen ( )
2 2
π ππ ππ ππ π
α + π + α + = α + + α + πα + π + α + = α + + α + πα + π + α + = α + + α + πα + π + α + = α + + α + π
 é satisfeita. 
(64) sen(2α) = 2y. 
 
46 – (2º-04) Sobre funções trigonométricas, 
assinale o que for correto. 
(01) A solução da inequação 
3
cos(x) 0
2
− ≤ ≤− ≤ ≤− ≤ ≤− ≤ ≤ , 
para x ∈ [0, 2π], é 
3
S x ; x
2 2
π ππ ππ ππ π    = ∈ ≤ ≤= ∈ ≤ ≤= ∈ ≤ ≤= ∈ ≤ ≤    
    
���� . 
Funções, Equações e Inequações Trigonométricas Prof. Saldan 
 
12
(02) A solução da inequação sen(x).cos(x)>0, para 
x ∈ [0, 2π], é 
3
S (0, ] [ , )
2 2
π ππ ππ ππ π
= ∪ π= ∪ π= ∪ π= ∪ π . 
(04) O período e a imagem da função f, definida 
por 
3
f (x) 1 3sen
2
ππππ    =+= += += +     
    
, x ∈ R, são, 
respectivamente, p = 4π e [-2, 4]. 
(08) A função g definida por g(x) = tg(x), 
x ( , )
2 2
π ππ ππ ππ π
∈ −∈ −∈ −∈ − , é decrescente. 
(16) Se x + y = 60º, então 
2 2 1[cos(x)+cos(y)] +[ sen(x)-sen(y)] - 2 =
2
. 
 
47 – (1º-05) Sobre trigonometria, assinale o que 
for correto. 
(01) 2
x
1 cos(x) 2sen ( )
2
− =− =− =− = . 
(02) A função f definida por f(x)=cos(-x) é impar. 
(04) O período da função f definida por f(x)=sen(2x) 
é 4π. 
(08) O conjunto-imagem da função f definida por 
f(x)=cotg(x) é R – {0}. 
(16) Considerando que 
1
cos(x)
2
==== , então 
x 2k
3
ππππ
= + π= + π= + π= + π , k ∈ Z. 
(32) Em um triângulo ABC, onde a medida do lado 
AB é 4, a medida do lado BC é 5 e a medida 
do ângulo A é 120º, a medida do lado AC é 
( 13 2)−−−− . 
 
 
 
 
 
GABARITO 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
0 C A D C E 17 C B D 
1 D 06 C A C A B A 71 A 
2 A E B A D D D D 03 D 
3 06 26 60 75 15 57 50 42 99 43 
4 06 86 07 89 20 44 05 49 
 
BIBLIOGRAFIA 
CARMO, Manfredo Perdigão do. Trigonometria – 
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DANTE, Luiz Roberto. Matemática contexto & 
aplicações. Volume Único, Editora Ática. 
LIMA, Elon Lages e Outros. A matemática do 
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SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com geometria 
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MARQUES, Paulo. Página na internet 
desenvolvida por Paulo Marques. 
http://www.terra.com.br/matematica/ 
Material apostilado. III Milênio ed. 
Material apostilado. Editora Dom Bosco. 
Material apostilado. Sistema Uno de Ensino. 
Material apostilado. Sistema Maxi de Ensino.