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SÉRIES E EQUAÇÕES
Profº Eider Avelar
eider.silva@ceuma.br
SÉRIES INFINITAS 1
SÉRIES INFINITAS
COMPETÊNCIAS/HABILIDADES
Aplicar conhecimentos 
matemáticos, científicos, 
tecnológicos e instrumentais à 
Engenharia.
PARADOXO DE ZENON
SÉRIES INFINITAS 3
SÉRIES INFINITAS
 Séries Infinitas
 Teorema: Limite do termo geral de séries convergentes
 Teorema: Limite da diferença entre somas parciais de séries convergentes
 Teorema: Limite do termo geral de séries divergentes
 Série Geométrica
 Algumas operações com séries
 Caderno de exercícios
 Referências
Em matemática e em ciências, geralmente escrevemos funções 
como polinômios infinitos, tais como
1
1 − 𝑥
= 1 + 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 +⋯+ 𝑥𝑛 +⋯ , 𝑥 < 1
Para qualquer valor de 𝑥, avaliamos o polinômio como uma 
soma infinita de constantes, a qual chamamos de série infinita. 
SÉRIES INFINITAS 4
Séries e Somas Parciais
Como dar significado a uma expressão como 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+⋯ Não devemos somar todos os termos de uma
vez, mas, em vez disso, adicionar os termos um de cada vez a partir do início e procurar um padrão de como as
“somas parciais” crescem.
A primeira coisa a deixar claro sobre uma série infinita é que ela não é simplesmente um exemplo de adição. A
adição de números reais é uma operação binária, o que significa que realmente adicionamos dois números de cada
vez. A única razão para 1 + 2 + 3 ter sentido como “adição” é que podemos agrupar os números e então
adicioná-los dois de cada vez.
Uma soma finita de números reais sempre produz um número real (resultado de um número finito de adições 
binárias), mas uma soma infinita de números reais é algo completamente diferente.
SÉRIES INFINITAS 5
Soma parcial Valor
Primeiro: 𝑠1 = 1 2 − 1
Segundo: 𝑠2 = 1 +
1
2
2 −
1
2
Terceiro: 𝑠3 = 1 +
1
2
+
1
4
2 −
1
4
⋮ ⋮ ⋮
Enésimo: 𝑠𝑛 = 1 +
1
2
+
1
4
+⋯+
1
2𝑛−1
2 −
1
2𝑛−1
Continuando...
Realmente existe um padrão. A soma parcial forma uma sequência cujo enésimo 
termo é
𝑠𝑛 = 2 −
1
2𝑛−1
Essa sequência converge para 2 porque lim
𝑛→∞
1
2𝑛
= 0. Dizemos :
“A soma da série infinita 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+⋯ é 2” 
Observação
A soma de qualquer número finito de termos nessa série é igual a 2 ? Não
Podemos realmente adicionar um número infinito de termos um a um ? Não
Podemos definir sua soma como limite da sequência de somas parciais quando 𝑛 →
∞, nesse caso 2.
SÉRIES INFINITAS 6
continuando...
Definição
Dada uma sequência de números 𝑎𝑛 , uma expressão da forma 
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛 +⋯
é uma série infinita. O número 𝑎𝑛 é o enésimo termo da série.
As somas parciais da série formam uma sequência
𝑠1 = 𝑎1
𝑠2 = 𝑎1 + 𝑎2
𝑠3 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3
⋮
𝑠𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛
⋮
de números reais, cada um definido como uma soma finita.
SÉRIES INFINITAS 7
continuando...
Se a sequência de somas parciais tem um limite 𝑆 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑛 → ∞, dizemos que a 
série converge para a soma 𝑆 e escrevemos
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛 +⋯ = 
𝑘=1
∞
𝑎𝑘 = 𝑆 .
Caso contrário, dizemos que a série diverge.
Quando começamos a estudar uma dada série 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛 +⋯, talvez 
não saibamos se ela converge ou diverge. Em qualquer caso, escreveremos a 
notação sigma para escrever a série como
 
𝑛=1
∞
𝑎𝑛, 
𝑘=1
∞
𝑎𝑘 𝑜𝑢 𝑎𝑛
SÉRIES INFINITAS 8
EXEMPLO
Dada a série infinita
 𝑛=1
∞ 1
𝑛 𝑛+1
a) Determine os quatros primeiros elementos da sequência das somas parciais 𝑠𝑛 ,e
b) Determine a fórmula para 𝑠𝑛 em termos de 𝑛.
Solução
Como 𝑠𝑛 = 𝑠𝑛−1 + 𝑎𝑛
𝑠1 = 𝑎1 ⇒ 𝑠1 =
1
1.2
⇒ 𝑠1 =
1
2
𝑠2 = 𝑠1 + 𝑎2 ⇒ 𝑠2 =
1
2
+
1
2.3
⇒ 𝑠2 =
2
3
SÉRIES INFINITAS 9
Continuando ...
𝑠3 = 𝑠2 + 𝑎3 ⇒ 𝑠3 =
2
3
+
1
3.4
⇒ 𝑠3 =
3
4
𝑠4 = 𝑠3 + 𝑎4 ⇒ 𝑠4 =
3
4
+
1
4.5
⇒ 𝑠4 =
4
5
b) Como 𝑎𝑛 =
1
𝑛(𝑛+1)
, temos por frações parciais, 𝑎𝑛 =
1
𝑛
−
1
𝑛+1
Logo,
𝑎1 = 1 −
1
2
𝑎2 =
1
2
−
1
3
𝑎3 =
1
3
−
1
4
⋯
𝑎𝑛−1 =
1
𝑛 − 1
−
1
𝑛
𝑎𝑛 =
1
𝑛
−
1
𝑛 + 1
Assim, como 𝑠𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 +⋯+ 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛,
SÉRIES INFINITAS 10
Continuando ...
𝑠𝑛 = 1 −
1
2
+
1
2
−
1
3
+
1
3
−
1
4
+⋯+
1
𝑛 − 1
−
1
𝑛
+
1
𝑛
−
1
𝑛 + 1
Eliminando os parênteses e combinando os termos, obtemos
𝑠𝑛 = 1 −
1
𝑛 + 1
𝑠𝑛 =
𝑛
𝑛 + 1
SÉRIES INFINITAS 11
TEOREMAS
LIMITE DO TERMO GERAL DE SÉRIES CONVERGENTES
Se a série 𝑛=1
∞ 𝑎𝑛 é convergente, então lim
𝑛→+∞
𝑎𝑛 = 0.
Observação
A série 𝑛=1
+∞ 1
4𝑛2−1
é convergente e, de fato, lim
𝑛→+∞
1
4𝑛2−1
= 0 ;portanto, a reciproca 
deste teorema não é verdadeira, pois pode ocorrer lim
𝑛→+∞
𝑎𝑛 = 0 e a série ser 
divergente. Um exemplo é a série 𝑛=1
+∞ 1
𝑛
, chamada de série harmônica, que é 
divergente, lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = lim
𝑛→+∞
1
𝑛
= 0.
SÉRIES INFINITAS 12
TEOREMAS
LIMITE DA DIFERENÇA ENTRE SOMAS PARCIAIS DE SÉRIES CONVERGENTES
Se a série 𝑛=1
∞ 𝑎𝑛 é convergente, e 𝑆1, 𝑆2, … , 𝑆𝑛, … , a sequência de somas parciais, então, 
lim
𝑛→+∞
𝑆𝑅 − 𝑆𝑇 = 0.
EXEMPLO – SÉRIE HARMÔNICA
Mostre que a série harmônica 𝑛=1
+∞ 1
𝑛
é divergente.
Solução
Suponhamos, por absurdo, que a série harmônica seja convergente. Seja 𝑆𝑛 𝑛∈𝑁∗ a sequência 
de somas parciais formada com os seus termos.
Tomemos 𝑆𝑛 𝑒 𝑆2𝑛, dois dos termos da sequência de somas parciais:
𝑆𝑛 = 1 +
1
2
+
1
3
+⋯+
1
𝑛
SÉRIES INFINITAS 13
TEOREMAS
e 𝑆2𝑛 = 1 +
1
2
+
1
3
+⋯+
1
𝑛
+
1
𝑛+1
+
1
𝑛+2
+⋯+
1
2𝑛
.
Fazendo 𝑆2𝑛 − 𝑆𝑛, obtemos 𝑆2𝑛 − 𝑆𝑛 =
1
𝑛+1
+
1
𝑛+2
+⋯+
1
2𝑛
Vemos que 𝑆2𝑛 − 𝑆𝑛 =
1
𝑛+1
+
1
𝑛+2
+⋯+
1
2𝑛
>
1
2𝑛
+
1
2𝑛
+⋯+
1
2𝑛
= 𝑛.
1
2𝑛
=
1
2
, isto é,𝑆2𝑛 −
𝑆𝑛 >
1
2
. Portanto, lim
𝑛→+∞
𝑆2𝑛 − 𝑆𝑛 >
1
2
, contrariando o teorema da diferença. A contradição 
ocorreu pelo fato de admitirmos 𝑛=1
+∞ 1
𝑛
convergente. Logo a série harmônica é divergente.
LIMITE DO TERMO GERAL DE SÉRIES DIVERGENTES
Seja 𝑛=1
∞ 𝑎𝑛 uma série. Se lim
𝑛→+∞
𝑎𝑛 ≠ 0,então a série 𝑛=1
∞ 𝑎𝑛 é divergente.
Exemplo
SÉRIES INFINITAS 14
EXEMPLO
EXEMPLO
1. 𝑛=1
+∞ 𝑛+1
𝑛
é divergente, visto que lim
𝑛→+∞
𝑛+1
𝑛
= 1(diferente de zero)
2. 𝑛=1
+∞ −1
𝑛
2
é divergente, visto que lim
𝑛→+∞
−1 𝑛
2
≠ 0(não existe)
3. 𝑛=1
+∞ 1 +
1
𝑛
𝑛
é divergente, visto que lim
𝑛→+∞
1 +
1
𝑛
𝑛
= 𝑒 (diferente de zero)
SÉRIES INFINITAS 15
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
Identifique, pelos teoremas e definição, quais séries são convergentes ou divergentes. 
Nos casos convergentes, obtenha a soma 𝑆.
1. 𝑛=1
+∞ 𝑛
2𝑛+1
2. 𝑛=1
+∞
𝑙𝑛
𝑛+1
𝑛
𝑙𝑛 𝑛+1 .ln 𝑛
3. 𝑛=1
+∞ 𝑛
𝑛2+𝑛+1
4. 𝑛=1
+∞ 𝑛+1− 𝑛
𝑛(𝑛+1)
5. 𝑛=1
+∞
𝑠𝑒𝑛
1
𝑛
1
𝑛
SÉRIES INFINITAS 16
SÉRIE GEOMÉTRICA 
SÉRIES INFINITAS 17
Seja uma série da forma 𝑛=1
+∞ 𝑎𝑞𝑛−1 = 𝑎 + 𝑎𝑞 + 𝑎𝑞2 + 𝑎𝑞3 +⋯+ 𝑎𝑞𝑛−1 +⋯ ,com 
𝑎, 𝑞 ∈ 𝑅.
Definição
Chamamos 𝑛=1
+∞ 𝑎𝑞𝑛−1 de série geométrica de primeiro termo 𝑎 e razão 𝑞.
Estudo da convergência das séries geométricas com 𝒂 ≠ 𝟎 finito.
Seja 𝑆𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑞 + 𝑎𝑞
2 + 𝑎𝑞3 +⋯+ 𝑎𝑞𝑛−1, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑚 𝑛 ∈ 𝑁∗. (𝐼)
multiplicando-se (𝐼) pela razão 𝑞, obtém-se 𝑆𝑛. 𝑞 = 𝑎𝑞 + 𝑎𝑞
2 + 𝑎𝑞3+⋯+ 𝑎𝑞𝑛 𝐼𝐼
Fazendo 𝐼 − 𝐼𝐼 , segue que 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛. 𝑞 = 𝑎 − 𝑎𝑞
𝑛 𝑜𝑢 𝑞𝑢𝑒 1 − 𝑞 𝑆𝑛 = 𝑎 1 − 𝑞
𝑛
SÉRIE GEOMÉTRICA 
SÉRIES INFINITAS 18
Supondo 𝑞 ≠ 1, temos 𝑆𝑛 =
𝑎 1−𝑞𝑛
1− 𝑞
𝑜𝑢 𝑆𝑛 =
𝑎
1−𝑞
−
𝑎.𝑞𝑛
1−𝑞
𝐼𝐼𝐼
Analisemos a sentença 𝐼𝐼𝐼 , consideremos os casos:
Se 𝑞 < 1, −1 < 𝑞 < 1 , 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 lim
𝑛→+∞
𝑞𝑛 = 0.
Temos 𝑆 = lim
𝑛→+∞
𝑎
1−𝑞
−
𝑎.𝑞𝑛
1−𝑞
=
𝑎
1−𝑞
𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 . Logo , a série geométrica é 
convergente e tem soma 𝑆 =
𝑎
1−𝑞
.
Se 𝑞 > 1 𝑞 < −1 𝑜𝑢 𝑞 > 1 , então lim
𝑛→+∞
𝑞𝑛 = +∞ ou não existe.
Temos lim
𝑛→+∞
𝑆𝑛 = lim
𝑛→+∞
𝑎 1−𝑞𝑛
1−𝑞
= ±∞ 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒 𝑜 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑎 ou não existe. A série 
geométrica é divergente.
SÉRIE GEOMÉTRICA 
SÉRIES INFINITAS 19
𝑞 = −1.
A série geométrica tem a forma 𝑎 − 𝑎 + 𝑎 − 𝑎 +⋯ ;logo, 𝑆𝑛 = 0 𝑠𝑒 𝑛 é 𝑝𝑎𝑟, 𝑜𝑢 𝑆𝑛 =
𝑎 𝑠𝑒 𝑛 é í𝑚𝑝𝑎𝑟. Portanto, lim
𝑛→+∞
𝑆𝑛 não existe e a série é divergente.
𝑞 = 1
A série geométrica tem a forma 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 +⋯ ;logo, 𝑆𝑛 = 𝑛𝑎. Portanto, 
𝑆 = lim
𝑛→+∞
𝑆𝑛 = lim
𝑛→+∞
𝑛𝑎 = ±∞ (conforme sinal de a) e a série é divergente.
EXEMPLO 
Obtenha, se possível, a soma das séries:
1. 𝑛=1
+∞ 1
3𝑛−1
= 1 +
1
3
+
1
9
+⋯ É série geométrica de primeiro termo 𝑎 = 1 e razão 
𝑞 =
1
3
; logo é convergente e 𝑆 =
𝑎
1−𝑞
=
1
1−
1
3
=
3
2
.
2. 0,444… =
4
10
+
4
102
+
4
103
+⋯ É série geométrica de primeiro termo 𝑎 =
4
10
e 
razão 𝑞 =
1
10
; logo é convergente e 𝑆 =
𝑎
1−𝑞
=
4
10
1−
1
10
=
 4 10
 9 10
=
4
9
.
3. 1 − 1 + 1 − 1 +⋯ É série geométrica com 𝑎 = 1 e 𝑞 = −1, logo, divergente.
SÉRIES INFINITAS 20
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1. Calcule, se possível, a soma das séries:
a) 𝑛=1
+∞ 1
2𝑛−1
b) 𝑛=1
+∞ 2+ −1
𝑛
3𝑛
c) 𝑛=1
+∞ 3
4
𝑛
d) 𝑛=1
+∞ −1
𝑛
2𝑛
e) 1 +
3
3
+
1
3
+
3
9
+
1
9
+
3
27
+⋯
f) 1 −
5
5
+
1
5
−
5
25
+⋯
SÉRIES INFINITAS 21
TEOREMAS
A) Se 𝑛=1
+∞ 𝑎𝑛 𝑒 𝑛=1
+∞ 𝑏𝑛 são duas séries infinitas, diferindo apenas em seus 𝑚 primeiros 
termos, então ambas convertem ou ambas divergem, ou seja, a convergência ou não de uma 
série não depende de uma quantidade finita de termos iniciais.
B) Seja 𝑐 ≠ 0 uma constante real. Se 𝑛=1
+∞ 𝑎𝑛 é convergente e sua soma é 𝑆, então 𝑛=1
+∞ 𝑐𝑎𝑛
é convergente e sua soma é 𝑐𝑆. Se 𝑛=1
+∞ 𝑎𝑛 é divergente, então 𝑛=1
+∞ 𝑐𝑎𝑛 é divergente.
C) Se 𝑛=1
+∞ 𝑎𝑛 𝑒 𝑛=1
+∞ 𝑏𝑛 são séries convergentes cujas somas são respectivamente, 
𝑅 𝑒 𝑆, então 𝑛=1
+∞ 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 é convergente e tem soma 𝑅 + 𝑆.
D) Se 𝑛=1
+∞ 𝑎𝑛 é convergente e 𝑛=1
+∞ 𝑏𝑛 é divergente , então 𝑛=1
+∞ 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 é divergente.
E) Se 𝑛=1
+∞ 𝑎𝑛 𝑒 𝑛=1
+∞ 𝑏𝑛 são divergentes, a série 𝑛=1
+∞ 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 pode ou não ser 
convergente.
SÉRIES INFINITAS 22
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
Verifique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. E, se possível, encontre a soma 
das que são convergentes.
1) 𝑛=1
+∞ 2𝑛+1
𝑛+1
2) 𝑛=1
+∞ 5
3𝑛−1
3) 𝑛=1
+∞ 2
3𝑛
+
3
2𝑛
4) 𝑛=1
+∞ 𝑙𝑛
1
𝑛+1
5) 𝑛=1
+∞ 1
𝑛2−𝑛
6) 𝑛=1
+∞ 1
2𝑛
+
1
2𝑛
SÉRIES INFINITAS 23
CADERNO DE EXERCÍCIOS
SÉRIES INFINITAS
Expresse a dízima periódica decimal como uma fração ordinária.
1) 0,272727…
2) 1,234234234…
3) 2,0454545…
4) 0,465346534653…
5) A trajetória de cada oscilação de um pêndulo é 0,93 do comprimento da trajetória da 
oscilação anterior (de um lado até o outro). Se a trajetória da primeira oscilação mede 
56 cm de comprimento e se a resistência do ar leva o pêndulo ao repouso, quanto mede o 
caminho percorrido pelo pêndulo até que ele pare? (resposta 8 m)
6) Qual a distância total percorrida por uma bola de tênis até o repouso, se ela cai de uma 
altura de 100 m e se após cada queda ela rebate no chão e volta a uma distância de 
11/20 da altura anterior ? ( resposta 3.100/9 m)
SÉRIES INFINITAS 24
CADERNO DE EXERCÍCIOS
SÉRIES INFINITAS
Escreva os quatro primeiros termos da série infinita dada e determine se ela é 
convergente ou divergente. Se for convergente, obtenha a sua soma.
1. 𝑛=1
+∞ 𝑛
𝑛+1
2. 𝑛=1
+∞ 2𝑛+1
3𝑛+2
3. 𝑛=1
+∞ 2
3
𝑛
4. 𝑛=1
+∞ 3𝑛
2
𝑛2+1
5. 𝑛=1
+∞ −1 𝑛+1
3
2𝑛
SÉRIES INFINITAS 25
CADERNO DE EXERCÍCIOS
SÉRIES INFINITAS
Escreva os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais 𝑆𝑛 e obtenha uma 
fórmula para 𝑆𝑛 em termos de 𝑛. Determine também se a série infinita é convergente ou 
divergente. Caso seja convergente, encontre a sua soma.
1) 𝑛=1
+∞ 1
2𝑛−1 2𝑛+1
2) 𝑛=1
+∞ 5
3𝑛+1 3𝑛−2
3) 𝑛=1
+∞ 2
5𝑛−1
4) 𝑛=1
+∞ 2
𝑛−1
3𝑛
5) 𝑛=1
+∞ 2𝑛+1
𝑛2 𝑛+1 2
SÉRIES INFINITAS 26
REFERÊNCIA
1) Finney, Ross L. Cálculo de George B. Thomas Jr., volume 2/ Ross L. Finney, Maurice 
D. Weir, Franck R. Giordano; tradução Claudio Hirofume Asano; revisão técnica 
Leila Maria Vasconcellos Figueiredo. – São Paulo: Addison Wesley, 2003.
2) Stewart, James. Cálculo, volume 2/ James Stewart; tradução técnica Antonio
Carlos Moretti, Antonio Carlos Gilli Martins; revisão técnicaHelena Maria Ávila 
de Castro. – São Paulo: Cengage Learning, 2013.
SÉRIES INFINITAS 27