GA Resoluções de Hiperbole

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Q. 36. Determine a equação reduzida, o vértice, o foco uma equação da diretriz e uma equação do eixo da parábola?
2x² - 12x - y + 14 = 0
2x² - 12x = y - 14
2(x² - 6x) = y - 14
2(x² - 6x + 9) = y - 14 + 18
2(x - 3)² = y + 4
(x - 3)² = 1/2(y + 4) ===> equação reduzida da parábola
Vértice: V(x0, y0) = V(3, - 4)
Foco: F(x0, y0 + p) = F(3, - 31/8)
Diretriz:
y = y0 - p
y = - 4 - 1/8
y = - 33/8
Equação do eixo:
x = 3
Determinar a equação reduzida, o vértice, o foco, e uma equação da diretriz: y=(x^2/4)-2x-1?
Problema 31 da página 173 do Livro Vetores e Geometria Analitica Paulo Winterle.
Respostas:
Vértice= V(4,5)
Foco = F(4,4)
y=6
Determinar a equação reduzida, o centro, os vertices A1 e A2, os focos e a excentricidade da elipse:?
16x²+9y²-96x+72y+144=0
Lembro a voce que elipse é o lugar geometrico dos pontos cuja a soma das distâncias a dois pontos fixos chamado focos é sempre constante. O que eu estou querendo dizer com isso é que existe uma poligonal fechada que forma uma figura em que a soma das distancias de qualquer ponto que forma a linha da figura a dois pontos fixos, chamados focos e que estão dentro dessa figura é sempre igual (constante). Infelizmente não tem condições de fazer figura pra você entender melhor.
A equação reduzida da elipse é representada por (x - xo)²/a² + (y - yo)²/b² = 1
Temos que representar 16x²+9y²-96x+72y+144=0 de forma que fique nos moldes da equação reduzida, para resolver fazendo comparação.
16x² - 96x+ 9y² +72y+144=0 
16(x² - 6x) + 9(y² +8y) + 144 = 0
16(x² - 2.3.x+9 - 9) + 9(y²+2.4.y + 16 - 16) + 144 = 0
16(x-3)² - 16 . 9 +9(y+4)² - 9 . 16 + 144 = 0
16(x-3)² - 144 +9(y+4)² - 144 + 144 = 0
16(x-3)² + 9(y+4)² = 144, dividindo os dois membros por 144, vem:
(x-3)²/9 + (y+4)²/16 = 1, comparando com (x - xo)²/a² + (y - yo)²/b² = 1
vem:
2a = tamanho do eixo maior; a² = 16, então a = 4
2b = tamanho do eixo menor, b² = 9, então b = 3
2c = distância focal; a² = b² + c² => 16 = 9 + c² => c² = 7 => c=V7
(xo, yo) = coordenadas do centro da elipse (3, -4)
A1 (3,0); A2 (3,-8)
excentricadade = c/a = V7/4
distância focal = 2c = 2V7
focos (3, 4 - V7 ) e ( 3 + 4+V7)
Obs. essa excentricidade mostra o grau de achatamento da figura. Há casos em que a elipse se aproxima de uma circunferência. Há casos em que se aproxima de uma linha. Isso é mais ou menos a idéia de excentricidade. espero ter ajudado.
Escreva a equação reduzida das parábolas com vértice na origem para cada um dos dados abaixo:?
1-Um ponto da diretriz (4,7) e o eixo de simetria: eixo 0x
2-Dois pontos da parábola: (6,18) e (6,-18)
1)
Definições:
F(Fx ; Fy) = foco da parábola
r = reta diretriz
R(Rx ; Ry) = ponto na reta diretriz.
P(x ; y) = um ponto qualquer da parábola
Montagem do gráfico:
O foco e o vértice da parábola devem passar por UMA MESMA RETA, a qual chamaremos de "v".
A reta v é perpendicular a reta diretriz "r"
A reta diretriz é uma reta que está afastada do vértice da parábola (em oposição ao foco) com a mesma distância do foco ao vértice da parábola.
A reta que tangencia o vértice (paralela a reta diretriz) é o eixo de simetria.
Ok até aqui? Espero ter conseguido montar um gráfico para entender os conceitos.
Continuando:
Por definição, a distância do foco F a qualquer ponto P da parábola, é igual a menor distância entre a reta diretriz e este mesmo ponto P.
Conclui-se que a menor distância possível entre a reta diretriz e o ponto considerado da parábola está em uma reta perpendicular à reta diretriz.
Matematicamente:
dPF = dPR
onde,
dPF = distância entre P e F
dPR = distância entre P e R
Resolvendo o seu problema:
dados:
Vértice na origem (0,0)
Como o vértice está na origem, a abcissa do foco vale zero.
F(0, f)
Como um dos pontos da reta diretriz, R(4,7), está acima do eixo 0x que é o eixo de simetria, então o foco estará abaixo do eixo de simetria e a concavidade da parábola será voltada para baixo.
A distância do foco ao vértice f é igual a distância da reta r ao vértice.
Então:
F(0, -f) ordenada negativa porque o foco está abaixo do eixo x
R(x , f) o valor da abcisa valendo "x" para generalizar e ordenada f positiva porque a reta diretriz está acima do eixo x e paralelo a esse.
P(x ,y) ponto qualquer da parábola
A equação dPF = dPR pode ser resolvida pela equação da distância entre 2 pontos:
dAB = rz{(Ax - Bx)² + (Ay - By)²}
onde A e B são dois pontos quaisquer
utilizei a notação rz{valor} para raiz quadrada.
Então:
dPF = rz{(Px - Fx)² + (Py - Fy)²}
dPR = rz{(Px - Rx)² + (Py - Ry)²}
rz{(Px - Fx)² + (Py - Fy)²} = rz{(Px - Rx)² + (Py - Ry)²}
Elevando os dois lados ao quadrado para simplificar a raiz:
(Px - Fx)² + (Py - Fy)² = (Px - Rx)² + (Py - Ry)²
Agora basta colocar os pontos:
(x - 0)² + (y - (-f))² = (x - x)² + (y - f)²
x² + y² + 2yf + f² = y² - 2yf + f²
x² + 2yf = - 2yf
x² = - 4yf
y = - x² / 4f
Agora, a partir do ponto R(4,7) você toma a ordenada 7 que é a distância vertical da reta até o vértice (0,0) e que também é igual a distância do foco ao vértice, ou seja, f=7
Então:
y = - x² / 4.7
Resposta: y = - x² / 28
2) 
Temos 3 pontos para esta parábola:
Vértice: (0,0)
(6,18)
(6, -18)
Se você montar um gráfico com estes pontos, vai notar que a concavidade é voltada para a direita.
Você deverá mudar a função genérica de 2º grau:
ax² + bx + c = y
para:
ay² + by + c = x
Entendeu porque?
Então é o seguinte: Note que você tem 2 valores de y para um mesmo valor de x nunca um único valor de y vai corresponder a 2 valores de x, o que significa que ao invés de y ser função de x, neste caso x é uma função de y.
Isto equivale a você girar o sistema de coordenadas em
-90º, mantendo a parábola na mesma posição e então você vai ter y na horizontal e x na vertical. Se fizer isso, os Pontos (x,y) ficam agora (y , x). Por exemplo (6,18) indicará que y = 6 e x = 18, entendeu?
Ok! Vamos pela equação que é mais fácil:
ay² + by + c = x
a, b e c são coeficientes a determinar.
(0,0):
a0² + b0 + c = 0
c = 0
(6,18)
a18² + b18 + 0 = 6
324a + 18b = 6
(6,-18)
a.(-18)² + b.(-18) + 0 = 6
324a - 18b = 6
Tomando o sistema de equações:
324a + 18b = 6
324a - 18b = 6
Somando as duas:
648.a = 12
a = 12/648
a = 1/54
Para determinar b, pegue qualquer uma das 2 equações anteriores e substitua "a":
324.1/54 - 18b = 6
6 - 18b = 6
b = 0
Então:
a = 1/54
b = 0
c = 0
Substituindo em: ay² + by + c = x
Resposta: x = y² / 54
Note que o foco desta parábola está em F(54/4, 0)
ou F(13,5 ; 0). Dividi por 4 partindo da equação genérica obtida anteriormente (y = - x² / 4f) do outro problema.
Calcule a, b e c de modo que o vértice da parábola representativa da função f(x)=ax²+bx+c seja (1, -16) e que -3 seja um zero da função.
Considere no plano cartesiano xOy, uma reta d (diretriz) e um ponto fixo F (foco) pertencente ao eixo das abcissas (eixo dos x), conforme figura abaixo:
Denominaremos PARÁBOLA, à curva plana formada pelos pontos P(x,y) do plano cartesiano, tais que
PF = Pd onde:
PF = distância entre os pontos P e F
PP' = distância entre o ponto P e a reta d (diretriz).
Importante: Temos portanto, a seguinte relação notável: VF = p/2
3 - Equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem
Observando a figura acima, consideremos os pontos: F(p/2, 0) - foco da parábola, e P(x,y) - um ponto qualquer da parábola. Considerando-se a definição acima, deveremos ter: PF = PP'
Daí, vem, usando a fórmula da distancia entre pontos do plano cartesiano:
Desenvolvendo convenientemente e simplificando a expressão acima, chegaremos à equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem, a saber:
y2 = 2px onde p é a medida do parâmetro da parábola.
3.1 - Parábola de eixo horizontal e vértice no ponto (x0, y0)
Se o vértice da parábola não estiver na origem e, sim, num ponto (x0, y0), a equação acima fica:
(y - y0)2 = 2p(x-x0)
3.2 - Parábola de eixo vertical e vértice na origemNão é difícil provar que, se a parábola tiver vértice na origem e eixo vertical, a sua equação reduzida será: x2 = 2py
3.3 - Parábola de eixo vertical e vértice no ponto (x0, y0)
Analogamente, se o vértice da parábola não estiver na origem, e, sim, num ponto (x0, y0), a equação acima fica: (x - x0)2 = 2p(y - y0)
Exercícios resolvidos
1 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(2,0) e vértice na origem?
Solução: Temos p/2 = 2 \ p = 4
Daí, por substituição direta, vem:
y2 = 2.4.x \ y2 = 8x ou y2 - 8x = 0.
2 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(4,0) e vértice no ponto V(2,0)?
Solução: Como já sabemos que VF = p/2, vem, 2 = p/2 \ p = 4.
Logo, (y - 0)2 = 2.4(x - 2)2 \ y2 = 8(x-2) \ y2 - 8x + 16 = 0, que é a equação da parábola.
3 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(6,3) e vértice no ponto V(2,3)?
Solução: Como VF = p/2, vem: 4 = p/2 \ p = 8.
Daí, vem: (y - 3)2 = 2.8(x - 2) \ y2 - 6y + 9 = 16x - 32 \ y2 - 6y - 16x + 41 = 0, que é a equação procurada.
4 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(0,4) e vértice no ponto V(0,1)?
Solução: Como VF = p/2, vem: 3 = p/2 \ p = 6. Logo,
(x - 0)2 = 2.6(y - 1) \ x2 = 12y - 12 \ x2 - 12y + 12 = 0, que é a equação procurada.
Q. 1 Como calcular vertice da elipse?
x2/25 + y2/9=1
Equação geral da Elipse --> (x-n)²/a² + (y-m)/b² =1
Centro da Elipse = C(n,m), como a sua na sua Elipse não tem m e n, o centro da Elipse é (0,0).
x2/25 + y2/9=1
a²=b²+c²
Compare a equação geral e a sua equação , você verá que a²=25 e que b²=9, logo (a =5 e -5), e (b =3 e -3)
Calculando os Vertices A1, A2
Observe --> os vertices A sempre ficarão no eixo onde o 'a' (a=5) estar, é fácil perceber na equação o 'a' é sempre o maior denominador da fração , veja na equação a²= 25 e b²=9,portanto, o a fica no eixo dos x. Para encontrar este vertices é só somar o "a"(=5 e -5) ao centro C(0,0), pego a coordenada x do centro e somo com o a=5 e com o a=-5 e encontro o Vertice A1 = (5+0, 0)=(5,0) e o ertice A 2 = (-5+0,0)=(-5,0).
Calculando os Vertices B1 e B2.
Se os vertices A1 e A2 estão no eixo x, os vertices B1 e B2 estão no vertice y,Então pego o "b"(= -3 e 3), somo com o cento C(0,0) . Vertice B1=(0,3+0)=(0,3) e B2=(0,0-3)=(0,-3)
Os vertices são:
A1(5,0)
A2(-5,0)
B1(0,3)
B2(0,-3)
Qual é a equação da parábola sabendo que Foco(0,0) ´, eixo de simetria: y=0 e passa pelo ponto A(3,4)?
Tentarei ajudar.
Pela Geometria Analitica, deduz-se 4 equaçoes reduzidas, conforme a escolha da reta diretriz relativa ao sistema de coordenadas. Por ex, se a diretriz for paralela ao eixo Ox (com eixo de simetria Oy), temos (faça um desenho):
F=(0,p) e
r: y=-p
logo a equaçao da parabola sera (veja link na fonte abaixo):
x² = 4p y ou y = x² /4p ........ (1)
Eh dado o ponto A(3,4) da parabola, logo 
3² = 4p 4 ==> p = 9/16
Como o foto tambem é dado F(0,0), logo o vertice da parabola sera:
V(0,-p) ou seja V(0,9/16)
Assim temos os valores dos vertices nos respectivos eixos
xv=0 e yv=-9/16
A equaçao geral da parabola é (para este caso):
y=ax²+bx+c ....(2)
Na equaçao (2) devemos determinar a, b, c
(I) Pela eq (1) temos que o coeficiente angular da parabola sera 
a=1/4p ==> a=4/9
(II) Para xv=0, dai temos que yv=c, entao
c=-9/16
(III) para x=3 e y=4, 
4=a9²+b3+c ....(3)
Pela simetria da parabola temos
para x=-3 e y=4, 
4=a9²-b3+c ....(4)
Pelas eq (3) e (4) obtemos
b=0
Conclui-se que
y=(4/9)x²-9/16
Desta equaçao podemos obter as raizes, ou seja, os valores de x, quando y=0
x=+- 9/8
Faça o mesmo raciocinio para as outras 3 possibilidades;
Como faço pra resolver a equação reduzida da elipse passo a passo?
Detalhes Adicionais: como faço pra chegar até a equação reduzida, ou seja, a conta até chegar em x²/a² + y²/b² ou x²/b² + y²/a²
1ª ) x ² / a ² + y ² / b ² = 1 é a equação da elipse 
quando o eixo maior está contido no eixo x.
2ª ) x ² / b ² = y ² / a ² = 1 é a equação da elipse 
quando o eixo maior está contido no eixo y.
Exemplo:
1- Dada a equação da elipse 4x² + 9y² = 36, determine:
a) as coordenadas dos vértices e dos focos
b) o comprimento do eixo maior e menor
c) a excentricidade
a) Divide-se todos os termos por 36 para transformar em equação reduzida:
4x² / 36 + 9y² / 36 = 36 / 36
x² / 9 + y² / 4 = 1 comparando com x²/a² + y²/b² =1.
verificamos que a > b, o eixo maior da elipse está contida no eixo x.
Logo: a² = 9 ==> a = V9 ===> a = 3
b² = 4 ==> b = V4 ===> b = 2
As coordenadas do vértice são: Aa ( - 3, 0 ) Ab ( 3, 0 )
As coordenadas do fóco são:
a² = b² + c² ===> 3² = 2² + c² ===> c = V5
Fa ( - V5, 0 ) Fb ( V5, 0)
b) Comprimentos dos eixos:
eixo maior: 2a = 2 .3 = 6
eixo menor: 2b = 2 . 2 = 4
c) Excentricidade: e = c / a ===> e = V5 / 3
Fonte(s):
Matematica Fundamental Editora FTD	
Obtenha a equação da parábola de vértice V(2,-1),com eixo de simetria paralelo ao eixo dos y pelo ponto P(-2,-3).
f(x) = ax² + bx + c
Para V(2, -1) => -1 = a(2)² + (2)b + c = 4a+2b+c = -1 ==>(1)
Para V(-2, -3) => -3 = a(-2)² + (-2)b + c = 4a-2b+c = -3 ==>(2)
Subtraindo (2) de (1) :
4b = 2 => b = 1/2
Vx= -b/2a =2 => (-1/2)(1/2a) = 2 => a= -1/8
Vy = -delta/4a = -1 => -1 = -[(1/2)² -4(-1/8)c)] / 4(-1/8) =>
c = -3/2
Resposta => f(x) = -x²/8 + x/2 - 3/2
--------------------------------------…
5-parábola y = (x - 2)*(x - 6)
f(x) = x² - 8x + 12
vertice:
Vx = -b/2a = -(-8)/2 = 4
Vy = f(4) = 16 - 32 + 12 = -4
ponto V(4,-4)
distancia a reta y=(4/3)x +5
3y - 4x - 15 = 0
d = |3(-4) - 4*4 - 15|/√(3² + 4²)
d = |-12 - 16 - 15|/5 = 43/5
Determinar a equaçao da parabola v(0.0) que passa pelos pontos P(-2,5) concavidade para cima.
equação da parábola , a>0 (concavidade p/ cima) 
y= ax² + bx +c
vértice x= -b/2a =0 , logo b=0 
y= ax² +c
no ponto (0,0) , 0= 0 +c , c=0
y= ax²
no ponto (-2,5)
5=a.(-2)²
a= 5/4
logo , y=(5/4).x²
Equação da parábola com v = (0,0) e F=(-1,1)?
para determinar a equação da parábola precisamos encontrar a reta diretriz.
O eixo da parábola passa por F e V.
y = ax+b
Para V(0,0) temos 0 = 0a+b → b = 0
Para F(-1,1) temos 1 = -1a+b → -a+0 =1 → a = -1
Temos o eixo y = -x
A distância do foco ao vértice é igual a distância do vértice a reta diretriz e a diretriz é perpendicular ao eixo, então temos:
O outro ponto do eixo que dista √2 do vértice é a interseção do eixo com a diretriz, então:
d(F,V) = √((-1-0)²+(1-0)²) = √(1+1) = √2
Duas retas são perpendiculares se o produto dos coeficientes angulares é -1.
A reta y = -x tem coeficiente angular -1, então uma reta perpendicular tem coeficiente angular 1, pois:
-1*1 = -1 
A diretriz tem equação y = x+b 
d(D,V) = √((x-0)²+(y-0)²) = √(x²+y²) = √2
√(x²+y²) = √2 elevando os dois membros ao quadrado temos, x²+y² = 2.
Fazendo a interseção com y = -x, temos:
x²+(-x)² = 2
2x² = 2
x² = 2/2
x² = 1
x = √1
x = 1 ou x = -1
Para y = -x Temos os pontos D(1,-1) e F(-1,1)
Agora vamos descobrir o coeficiente b da diretriz
y = x+b
-1 = 1+b → b = -1-1 → b = -2
Logo a reta diretriz é y = x - 2
Antes de determinar a equação da parábola vamos passar a equação da diretriz da forma linear para a forma geral.
y = x - 2 → x-y-2 =0
A parábola é o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes do foco e da reta diretriz, então para um ponto P(x,y) temos:
√((x+1)²+(y-1)²) = l (1*x+(-1)y-2)/√(1²+(-1)²) l
√((x+1)²+(y-1)²) = l (x-y-2)/√2 l
Elevando tudo ao quadrado temos:
(x+1)²+(y-1)² = (x-y-2)²/2 
2((x+1)²+(y-1)²) = (x-y-2)²
2(x²+2x+1+y²-2y+1) = x²-xy-2x-xy+y²+2y-2x+2y+4
2x²+4x+2+2y²-4y+2 = x²-xy-2x-xy+y²+2y-2x+2y+4
Arrumando os termos temos:
2x²+4x+2y²-4y+4 = x²-4x+y²+4y+4-2xy
Eliminando os termos semelhantes temos:
x²+8x+y²-8y = -2xy
Aparentemente não parece com uma parábola, mas lembre que o eixo da parábola é a reta y=-x
Obter a equação da parábola de foco F (0;2) e diretriz x + 2y - 1 = 0.
Seja P(x,y) um ponto genérico daparábola e F(0,2) temos:
√((x-0)^2 )+√((y-2)^2 )
A equação geral da reta d é x + 2y – 1 = 0 
( Distância entre ponto e reta d = (ax + by +c) / (√((a-b)^2 ))/√2 )
Logo,
PR = (x + 2y – 1)/ √2
√(x^2+ y2-4y+4)=(x + 2y-1)/√2 ) elevando tudo ao quadrado
x^2+ y2-4y+4 = x^2 + 4y^2 + 1 – 4xy + 2x + 4y/2 tirando mmc
x^2 - 4y^2 + 4xy + 2x - 4y + 7 = 0 equação da parábola
O exercício pede para achar a equação da parábola que tem eixo de simetria vertical e passa pelos pontos A(0,0), B(2,2) e C(-4,20).
Se o eixo de simetria, é paralelo ao eixos dos Y.
Então a parábola é o gráfico de uma função do segundo grau. 
Ou seja
y = ax² +bx + c
como temos 3 variaveis então 3 pontos definem uma sistema com 3 equações lineares de forma que podemos determinar os valores de a, b e c
Vamos substituir cada um dos pontos na função geral
(i) 0 = a.0 +b.0 + c => c=0
(ii) 2 = a.2² +b.2 + 0 => 
4a + 2b =2 =>
2a + b = 1 => 
b = 1 -2a 
(iii) 20 = a.(-4)² +(1 -2a).(-4) +0
20 =16a - 4 +8a
24a =24
a =1
Substituindo "a" em (ii) temos que b = 1 - 2.1 => b=-1
logo 
y = x² -x 
ou
x² -x -y =0
Considere a cônica de equação x2 + 36y2 – 4x = 32. Determine a sua equação canônica, vértices, focos e classifique-a.
Observe:
x² + 36y² - 4x = 32
Completando quadrado, temos que:
x² - 4x + 4 + 36y² = 32 + 4
( x - 2 )² + 36.( y - 0 )² = 36
.( x - 2 )².. ...36.( y - 0 )².. .....36 
▬▬▬▬ + ▬▬▬▬▬▬ = ▬▬
....36.... ..... ......36...... ..... .36
.( x - 2 )².. ...36.( y - 0 )² 
▬▬▬▬ + ▬▬▬▬▬▬ = 1
....36.... ..... ......36
.............. ....... ▬▬
........... .... .......36
.( x - 2 )².. ...36.( y - 0 )² 
▬▬▬▬ + ▬▬▬▬▬▬ = 1
....36.... ..... ......1
Ou
.( x - 2 )²
▬▬▬▬ + 36.( y - 0 )² = 1 ◄▬▬▬▬ Equação canônica
....36
Comparando com a equação padrão reduzida:
.( x - x₀ )².. ..( y - y₀ )² 
▬▬▬▬ + ▬▬▬▬▬▬ = 1
....a².... ..... ......b²
Temos, o centro é:
R ▬▬▬► C( 2 , 0 )
Foco é dado por :
a² = b² + c²
a² = 36 
b² = 1 
36 = 1 + c²
36 - 1 = c²
c² = 35
c = ± √35
R ▬▬▬► F₁( 2 - √35 , 0 ) e F₂( 2 + √35 , 0 )
R ▬▬▬► Trata-se de uma elipse.
Duas dúvidas:
1) equação da elipse: x2 + 4y2 = 1
x2 + y2/1/4 = 1
Então a=1 (metade do eixo maior), b=1/2 (metade do eixo menor)
C = √3/2 (metade da distância focal)
Se o centro é (0,0), F1 é (-√3/2 , 0) e F2 é (√3/2 , 0) 
A resposta do cara é a=2 e b=1... Quem tá viajando, ele ou eu?
2) Teve um outro que a equação é:
9x2 + 4y2 + 18x – 24y + 9 = 0 
A minha reduzida é (x+1)2/4 + (y-3)2/9 = 1. Tá certo?
Aí a elipse tem o eixo principal paralelo ao das ordenadas. Então o certo não é que 
C = (-1,3)
F1 é (-1+√5 , 3)
F2 é (-1-√5 , 3)
Mas segundo o cara:
F1 é (-1 , 3+√5)
F2 é (-1 , 3-√5)
Onde estou errando?
1- Verdadeira. Todas as afirmações são verdadeiras.
Uma elipse com centro na origem tem equação do tipo.
x²/a² + y²/b² =1
x2 + 4y2 = 1
Por comparação
b = 1/2
a = 1
Como a>b, a elipse tem eixo maior sobre o eixo x.
Para elipses desse tipo temos a expressão.
a² = c² + b²
1 = 1/4 + c²
c = V3/2
c corresponde a distância de cada foco ao centro(origem)Logo.
F1(-V3/2;0) e F2(V3/2;0).
2-
Uma elipse com centro fora da origem tem equação do tipo.
(x-xc)²/a² + (y - yc)/b² = 1 (tirando mmc)
b².(x-xc)² + a²(y-yc)² = a²b²
xc e yc são as coordenadas do vértice.
9x2 + 4y2 + 18x – 24y + 9 = 0 
9(x²+2x) + 4(y²-6y) + 9 =0
9(x+1)² + 4(y-3)² = 36
Comparando com a equação da elipse temos a = 2 e b = 3.
(x+1)²/2² + (y-3)²/3² = 1
Portanto esta elipse tem centro em C(-1;3)
Como a<b, esta elipse tem eixo maior paralelo ao eixo y.
Neste tipo de elipse temos:
b² = a² + c² (neste caso b corresponde ao eixo maior
9 = 4 + c²
c = V5
Então os focos estão V5 unidades acima e abaixo do centro, lembre-se que o eixo maior é paralelo ao eixo y,então as coordenadas da abscissa são as mesmas.
F1(xc;yc+V5)
F2(xc;yc-V5)
F1(-1;3+V5)
F2(-1;3-V5)
Vc deve estar se confundindo na equação da elipse a e b não necessáriamente representam o eixo maior e o menor respectivamente, isso muda de acordo com o valor de cada um, se a>b, isso é verdade, se a<b ocorre o contrário, lembrando que isso muda também para onde o eixo maior se orienta na posição vertical ou horizontal.
Determinar as coordenadas dos focos da elipse de equação 25x²+4y²=100?
OBSERVE:
Dividindo ambos os membros da equação por 100, temos:
25x².....4y².......100
------ + ------ = -------
100....100.......100
x².....y²
-- + ---- = 1
4....25
Perceba que o denominador sob ´´y²`` é maior do que o denominador sob ´´x²``. Isso indica que a elipse tem o eixo maior vertical. Assim,
a² = 25 
b² = 4
a² = b² + c²
25 = 4 + c²
c² = 21
c = √21
Portanto, as coordenadas dos focos são:
R =====> F1( 0 , √21 ) e F2( 0 , - √21 )
Determine a equação da hipérbole equilátera, sabendo que seus focos são F1 ( 8,0) e F2 (-8,0).
geometria analítica...é difícil mesmo, num tem jeito
como falta teoria, vou explicar um pouco:
Chama-se HIPÉRBOLE EQUILÁTERA a toda hipérbole cujos semi-eixos de medidas a e b são iguais.
ou seja;
a=b
(eixo transverso = eixo conjugado)
agora q vc jah sabe, vamos resolver:
a distância entre os focos vale o dobro da distância do vértice até o foco, então...
Dfv = 16/2 = 8
v (0,0) <--- distância desse ponto até os focos são iguais
como os focos estão em x, a equação reduzida da hipérbole será
x²/a² - y²/b² = 1
pela relação geral da hipérbole:
f² = a² + b²
como a = b
f² = 64 = 2a²
a = 32^1/2 = 4*2^1/2 (4 raiz de 2)
substituindo:
(x²--y²)/32 = 1
x² - y² = 32
y² = x² - 32 <--- resposta
Gostaria de saber o que são:
* Hipérbole
* Parábola
* Elipse
Hipérbole- dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que a distancia entre estes pontos seja igual a 2c > 0, denomina-se hipérbole, à curva plana cujo módulo da diferença das distancias de cada um de seus pontos P à estes pontos fixos F1 e F2 é igual a um valor constante 2a , onde a < c. 
Determine a excentricidade da hipérbole de equação 25x2 - 16y2 – 400 = 0.
SOLUÇÃO: Temos: 25x2 - 16y2 = 400. Observe que a equação da hipérbole não está na forma reduzida. Vamos dividir ambos os membro por 400. Fica então:
Portanto, a2 = 16 e b2 = 25. Daí, vem: a = 4 e b = 5.
Como c2 = a2 + b2 , vem substituindo e efetuando que c = Ö 41
Portanto a excentricidade e será igual a : e = c/a = Ö 41 /4 = 1,60
Resposta: 1,60. 
parabola- no plano cartesiano xOy, uma reta d (diretriz) e um ponto fixo F (foco) pertencente ao eixo das abcissas (eixo dos x). PARÁBOLA, à curva plana formada pelos pontos P(x,y) do plano cartesiano.
Qual a equação da parábola de foco no ponto F(2,0) e vértice na origem?
Solução: Temos p/2 = 2 \ p = 4
Daí, por substituição direta, vem:
y2 = 2.4.x \ y2 = 8x ou y2 - 8x = 0. 
Elipse-à curva plana cuja soma das distancias de cada um de seus pontos P à estes pontos fixos F1 e F2 é igual a um valor constante 2a , onde a > c.
Assim é que temos por definição:
PF1 + PF2 = 2 a
Determine a excentricidade da elipse de equação 16x2 + 25y2 – 400 = 0.
SOLUÇÃO: Temos: 16x2 + 25y2 = 400. Observe que a equação da elipse não está na forma reduzida. Vamos dividir ambos os membro por 400. Fica então:
Portanto, a2 = 25 e b2 = 16. Daí, vem: a = 5 e b = 4.
Como a2 = b2 + c2 , vem substituindo e efetuando, que c = 3
Portanto a excentricidade e será igual a : e = c/a = 3/5 = 0,60
Resposta: 3/5 ou 0,60.
	01 – Determinar os vértices A1 e A2, os focos e a excentricidade das elipses dadas. Esboçar o gráfico. 
		a) x2/36 + y2/100 = 1
	
Solução:- O centro da elipse é o ponto (0, 0). O semi-eixo maior é b, tal que b2 = 100 b = 10. 
Vértices: (0, + b) = (0, + 10)
O semi-eixo menor é a, tal que a2 = 36  a = 6.
Neste caso, a elipse tem eixo maior vertical, estando o foco sobre tal eixo. A distância focal “c” , distância de cada foco ao centro é dada por c2 = b2 – a2  c2 = 100 – 36 = 64  c =8.
Excentricidade e = c/b = 8/10 = 4/5.
	
	Resposta: Vértices (0, + 10); Focos (0, + 8), Excentricidade 4/5.
	
	b) 9x2 + 25y2 = 25 
Solução:- Transformando a equação temos: 
9x2/25 + 25y2/25 = 25/25 x2/(25/9) + y2/1 = 1
Semi-eixo maior a2 = 25/9  a = 5/3
Semi-eixo menor b2 = 1  b = 1
Como a > b os focos estão sobre o eixo maior que é horizontal.
Assim, c2 = a2 – b2 = 25/9 – 1 = 16/9  c = 4/3
Excentricidade: e = c/a = (4/3)/(5/3) = 4/5
Resposta: Vértices: (+ 5/3, 0); Focos (+ 4/3, 0); Excentricidade: e = c/a = (4/3)/(5/3) = 4/5.
	
	02 - Determinar a equação da elipse que satisfaz as condições dadas:
a) Centro (0, 0), eixo menor igual a 6, foco no eixo dos x e passa pelo ponto 
P(-25, 2).
Solução:- eixo maior a horizontal pois os focos estão no eixo dos x. 
O semi-eixo menor é b = 6/2 = 3.
A equação terá então a forma x2/a2 + y2/32 = 1. 
Como a elipse passa pelo ponto P(-25, 2), devemos ter:
(-25)2/a2 + 22/32 = 1  20/a2 + 4/9 = 1  180 + 4a2 = 9a2  
5a2 = 180  a2 = 36.
Portanto, a equação é: x2/36 + y2/9 = 1 ou x2 + 4y2 – 36 = 0. 
Resposta:x2/36 + y2/9 = 1
	
	b) Vértices A (0, + 6) e passando por P (3, 2).
Solução:- o eixo maior é vertical, sendo então b = 6 o semi-eixo maior. Como os vértices 
são simétricos em relação à origem, o centro é a origem (0, 0)
Portanto, x2/a2 + y2/62 = 1. Passando pelo ponto (3, 2), 9/a2 + 4/36 = 1  a2 = 81/8.
A equação é então: x2/(81/8) + y2/36 = 1  8x2/81 + y2/36 = 1. 
Resposta: 8x2/81 + y2/36 = 1. 
	
	c) Centro (2, -1), tangente aos eixos coordenados e eixos de simetria paralelos 
aos eixos coordenados.
Solução: Pela figura nota-se que o semi-eixo maior, horizontal, vale 2 unidade e o 
semi-eixo menor vale 1 unidade.
A equação é então:
(x – 2)2/22 + (y + 1)2/12 = 1  (x2 – 4x + 4)/4 + (y2 + 2y + 1)1 = 1  
x2 – 4x + 4 + 4y2 + 8y + 4 = 1  x2 + 4y2 – 4x + 8y + 7 = 0. 
Resposta: x2 + 4y2 – 4x + 8y + 7 = 0. 
	
	03 - Determinar o centro, os vértices A1 e A2, os focos e a excentricidade das 
elipses. Esboçar os gráficos.
a) (x – 2)2/16 + (y + 3)2/9 = 1. 
Solução:- Centro (2, -3). Semi-eixos a = 16 = 4 e b = 9 = 3.
Distância focal: c2 = a2 – b2 = 16 – 9 = 7 c = 7
Focos (2 + 7, -3) e (2 - 7, -3) 
Vértices: (2 – 4, -3) = (-2, -3) e (2 + 4, -3) = (6, - 3).
Excentricidade e = c/a = 7/4. 
Resposta: Vértices (-2, -3) e (6, -3); focos (2 + 7, -3) e (2 - 7, -3); 
excentricidade 7/4.
	
	
	b) 16x2 + y2 + 64x – 4y + 52 = 0 
Solução:- Transformando para a forma reduzida teremos:
16.(x2 + 4x + 4) + (y2 – 4y + 4) = -52 + 16.4 + 4 16.(x + 2)2 + (y – 2)2 = 16 
(x + 2)2/1 + (y – 2)2/16 = 1. 
Da equação tiramos: centro (-2, 2).
Semi-eixo maior b = 16 = 4 e semi-eixo menor a = 1 = 1.
O eixo maior é então vertical.
Distância focal c2 = b2 – a2 = 16 – 1 c = 15.
Focos: (-2, 2 + 15) , vértices (-2, 2 – 4) = (-2, -2) e (-2, 2 + 4) = (-2, 6).
Excentricidade: e = c/b = 15/4. 
Resposta: Vértices (-2, -2) e (-2, 6), focos (-2, 2 + 15), excentricidade 15/4.
	
	
Encontre a equação da elipse que tem como eixo maior a distância entre as raízes da parábola de equação y = x² - 25 e excentricidade e = 3/5.
Resolvendo a equação:
x² - 25 = 0
x² = 25
x = ± 5
Sabendo que a distância entre as raízes da equação é o eixo maior da elipse, podemos concluir que esse eixo esta localizado no eixo x e que seu valor é 10. Assim:
d = 2a = 10
a = 5
Admitindo que e = 3/5, podemos dizer que c = 3
Com os valores de c e a, conseguimos encontrar b. Já que:
a² = b² + c²
25 = b² + 9
b = 4
Então, a equação da elipse é:
x²/25 + y²/16 = 1
Uma elipse tem os focos nos pontos F1(0,3) e F2 (0,-3). Se o comprimento do eixo menor da elipse é 2, determine a equação dessa elipse.
Elipse: x²/b² + y²/a² = 1
2a : eixo maior
2b : eixo menor
2c : distância entre focos
b² = c² - a²
____________________
Então:
2c = 6 → c = 3
____________________
2b = 2 → b = 1
____________________
b² = a² - c² → 1² = a² - 3² → a² = 10
____________________
Finalmente:
x²/b² + y²/a² = 1 →
x² + (y² / 10) = 1
Determine a equação da elipse cujo centro? É C(1, -2), a qual passa pelos pontos A(2, -2) e B(1, -4), possuindo os seus eixos paralelos aos eixos cartesianos.
Os focos F1 e F2 da sua elipse estão sobre o eixo vertical (paralelo ao eixo y). O eixo maior da elipse é também paralelo ao eixo y. Note que o eixo menor, paralelo ao eixo x, contém um dos pontos da sua elipse: A(2,-2).
A coordenada "x" dos focos você também possui, já que o foco está no eixo maior, ou seja, passando por x = 1. Resta determinar a coordenada y do foco. Chamaremos de "yf".
Note que a distância de A até o foco F1 é igual à distância de A até o foco F2 devido ao ponto A estar sobre o eixo menor, simétrico aos focos F1 e F2.
Utilizarei a notação rz{valor} para raíz quadrada do que estiver entre chaves, ok? 
foco1 = F1(1,yf)
foco2 = F2(1,-2+yf)
F1.A = F2.A
Dados: A(2,-2) ; F1(1,yf) e F2(1,-2+yf)
Então, utilizando a fórmula da distância entre dois pontos:
rz{(2-1)² + (-2-yf)²} = rz{(2-1)² + [-2-(-2+yf)]²}
elevando ambos os termos ao quadrado:
(2-1)² + (-2-yf)² = (2-1)² + [-2-(-2+yf)]²
1 + 4 + 4yf + yf² = 1 + [-2+2-yf]²
5 + 4yf + yf² = 1 + yf²
4yf = 1 - 5
yf = -1
Logo:
F1(1,-1)
F2(1,-3)
Sabemos que o ponto B(1,-4) passa pelo eixo maior. Então, a distância do centro até a ordenada do ponto B chamaremos de "a", ou seja, o módulo de "a" é igual a 2.
o comprimento do eixo maior vale, então, 2a.
A equação geral desta elipse, tomando um ponto qualquer da elipse P(x,y), é, então:
PF1 + PF2 = 2a
Dados: F1(1,-1) ; F2(1,-3) ; P(x, y) ; a = 2
Então, utilizando a fórmula da distância entre dois pontos:
rz{(x-1)² + [y-(-1)]²} + rz{(x-1)² + [y-(-3)]²} = 2.2
rz{(x-1)² + (y+1)²} + rz{(x-1)² + (y+3)²} = 4
rz{(x-1)² + (y+1)²} = 4 - rz{(x-1)² + (y+3)²}
Elevando ambos os termos ao quadrado:
(x-1)² + (y+1)² = 16 - 8.rz{(x-1)² + (y+3)²} + (x-1)² + (y+3)²
8.rz{(x-1)² + (y+3)²} = 16 - (y+1)² + (y+3)²
8.rz{(x-1)² + (y+3)²} = 16 - (y² + 2y + 1) + (y² + 6y + 9)
8.rz{(x-1)² + (y+3)²} = 16 - y² - 2y - 1 + y² + 6y + 9
8.rz{(x-1)² + (y+3)²} = 24 + 4y
Dividindo ambos os termos por 4:
2.rz{(x-1)² + (y+3)²} = 6 + y
Elevando ambos os termos ao quadrado:
4.[(x-1)² + (y+3)²] = y² + 12y + 36
4.[x² - 2x + 1+ y² + 6y + 9] = y² + 12y + 36
4x² - 8x +4y² + 24y + 40 = y² + 12y + 36
4y² + 24y + 40 - y² - 12y - 36 = 8x - 4x²
3y² + 12y + 4 = 8x - 4x²
Resposta: 4x² - 8x + 3y² + 12y + 4 = 0
Encontrar a equação da elipse que passa em A(5,0) em B(0,3) e seu centro (0,0) .
É um pouco mais complicado. 
Usemos a equação geral da elipse: 
Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 
onde AC-B^2 > 0. 
Em particular, AC>0 e portanto A e C tem o mesmo sinal e são ambos diferentes de zero. Se A<0 e C<0 então podemos multiplicar a equação por -1 e assim podemos supor sem perda de generalidade que A>0 e C>0.
Como o centro da elipse é (0,0), temos que D=E=0. Como esta elipse não é degenerada, F<0 e portanto, passando F para o segundo membro da equação, e dividindo por -F podemos reduzir a equação à forma: 
ax^2 + 2bxy + cy^2 = 1 
onde ac-b^2>0. 
Usando o fato que (5,0) e (0,3) são pontos da elipse temos: 
a=1/25 e c=1/9 
como ac-b^2>0 temos que -1/15 < b < 1/15
Logo qualquer elipse dada pela equação: 
(x^2)/25 + (y^2)/9 + 2bxy = 1 
onde -1/15 < b < 1/15 é uma elipse com centro em (0,0) e passando por (5,0) e (0,3). 
Obs: A solução NÃO é única, pois os eixos da elipse não precisam estar alinhados com a horizontal e vertical. Por exemplo: 
(x^2)/25 + (y^2)/9 + (xy)/50 = 1
é também uma elipse com centro em (0,0) e passando por (5,0) e (0,3). 
SE os eixos da elipse estiverem alinhados com a horizontal e vertical, então b=0 e equação se reduz a : 
(x^2)/25 + (y^2)/9 = 1
Mas não há nada no enunciado do problema que permita deduzir que os eixos da elipse estão alinhados com a horizontal e vertical.
Obter a equação da elipse cujos focos são F1 (0,3) e F2 (0,-3) e cujoo eixo o maior mede 10?
2a = 10
a =5
c = 3
5² = 3² + b²
b = 4
equação geral(os focos estao no eixo y..entao a² vai "embaixo" de y²)
x²/b² + y²/a² =1
Substituindo,temos:
x²/16 + y²/25 = 1
Outra forma de resolução
2c=6
c=3
2a=10
a=5
a²=b²+c²
25=b²+9
25-9=b²
b²=16
x²/25+y²/9=1
Como achar a equação geral da elipse com F¹(-1,5), F²(-1,-3), e=2/3??
Distância focal:
c=[5-(-3)]/2=4
Semi-eixo maior:
e=c/b=2/3....b=6
Semi-eixo menor:
a²=b²-c²=36-16=20
a=2.raiz(5)
Centro (xo,yo):
xo=(-1-1)/2=-1
yo=(5-3)/2=1
Equação:
(x-xo)²/a²+(y-yo)²/b²=1
(x+1)²/20+(y-1)²/36=1
Resposta:...(x+1)²/20+(y-1)²/36=1
Como achar a equação geral da elipse com F¹(-1,5), F²(-1,-3), e=2/3
Distância focal:
c=[5-(-3)]/2=4
Semi-eixo maior:
e=c/b=2/3....b=6
Semi-eixo menor:
a²=b²-c²=36-16=20
a=2.raiz(5)
Centro (xo,yo):
xo=(-1-1)/2=-1
yo=(5-3)/2=1
Equação:
(x-xo)²/a²+(y-yo)²/b²=1
(x+1)²/20+(y-1)²/36=1
Resposta:...(x+1)²/20+(y-1)²/36=1
Determinar a Equação da Elipse de Centro C(0,0), um foco F(3/4,0) e um vértice A(1,0).?
Como o vértice A é (1,0), logo a = 1. Os focos estarão no eixo X, já que um de seus focos é (3/4,0), e c = 3/4.
Logo:
a² = b² + c²
1 = b² + 9/16
b² = 7/16
A equação da elipse é representada pela forma:
x²/a² + y²/b² = 1
Logo:
x² + 16y²/7 = 1
Determinar a equação da elipse com centro na origem,que passa pelo ponto P(1,1) e tem um foco F(- √ 6 /2,0).?
Solução:
Como a elipse está centrada na origem , ou seja , C( 0 , 0 ) e F₁( - (√ 6 )/2 , 0 ) , logo podemos concluir que F₂( (√ 6 )/2 , 0 ) .Então;
F₁F₂= 2c ( distância focal )
2c = √{ [ (√ 6 )/2 - ( - (√ 6 )/2 ) ]² + ( 0 - 0 )² }
2c = √{ [ (√ 6 )/2 + (√ 6 )/2 ]² } = √(√ 6 )² 
2c = √6 ⇒ c = (√6 )/2 ( semidistância focal )
Obs. Nem precisava dos cálculos feito acima , pois os focos neste caso são do tipo F( ± c , 0 ) , logo a semidistância focal é c = (√6 )/2 .
Por outro lado;
PF₁+ PF₂= 2a
√[ ( x - x₁)² + ( y - y₁)² ] + √[ ( x - x₂)² + ( y - y₂)² ] = 2a
√{ [ 1 - ( - (√6 )/2 ) ]² + ( 1 - 0 )² } + √{ [ 1 - ( (√6 )/2 ) ]² + ( 1 - 0 )² } = 2a
√{ [ ( 2 + √6 )/2 ]² + 1 } + √{ [ ( 2 - √6 )/2 ]² + 1 } = 2a
√{ [ ( 4 + 4√(6) + 6 )/4 ] + 1 } + √{ [ ( 4 - 4√(6) + 6 )/4 ] + 1 } = 2a
√[ ( 4 + 4√(6) + 6 + 4 )/4 ] + √[ ( 4 - 4√(6) + 6 + 4 )/4 ] = 2a
√[ ( 14 + 4√(6) )/4 ] + √[ ( 14 - 4√(6) )/4 ] = 2a
√[ ( 7 + 2√(6) )/2 ] + √[ ( 7 - 2√(6) )/2 ] = 2a
Como ( 7 + 2√(6) ) = ( 1 + √6 )² e ( 7 - 2√6 ) = ( 1 - √6 )² , vem;
√[ ( 1 + √6 )²/2 ] + √[ ( 1 - √6 )²/2 ] = 2a
( 1 + √6 )/(√2 ) + ( 1 - √6 )/(√2 ) = 2a
( 1 + √(6) + 1 - √6 )/(√2 ) = 2a
2/√2 = 2a
a = 1/√2 
a = (√2 )/2 ⇒ a² = 2/4 ⇒ a² = 1/2
Temos ainda;
a² = b² + c²
1/2 = b² + [ (√6 )/2 ]²
1/2 = b² + ( 6/4 )
( 1/2 ) - ( 3/2 ) = b² , O valor de b ( que no caso é a medida do semi-eixo menor , vai dar negativo e como sabemos não é possível !! )
Obtenha a equação reduzida da elipse x²+9y²-8x-36y+43=0?
x²+9y²-8x-36y+43=0
(x²-8x)+(9y²-36x)+43
Completando os quadrados temos:
(x²-8x+(-4)²)-(-4)²+((3y)²+2.(3y).-6)-…‡
(x²-8x+16)+((3y)²+2.(3y).-6)+43-16-36=…‡
(x-4)²+(3y-6)²-9=0
(x-4)²+(3y-6)²=9
Dividindo todos os mebros por 9 temos
((x-4)²/9)+((3y-6)²/9=9/9
((x-4)²/3²)+((3y-6)²/3²=1
Prontinho está aí a equação reduzida da elipse.;)
E de brinde:
((x-4)²/3²)+((3y-6)²/²=1, comparando com (x - xo)²/a² + (y - yo)²/b² = 1
vem:
2a = tamanho do eixo maior; a² = 3², então a = 3
2b = tamanho do eixo menor, b² = 3², então b = 3
2c = distância focal; a² = b² + c² => 3² = 3² + c² => c² =0 
(xo, yo) = coordenadas do centro da elipse (4,6)
Achar as equações das retas tangentes á elípse x²+4y²=20 perpendiculares a reta 2x-2y-12=0?
Equação de reta:
s: y=mx+n
deve ser perpendicular a seguinte reta:
2x-2y-12=0 
2y=2x-12
y=x-6 
m deverá ter coeficiente angular 1: então m= -1
para ser tangente a elipse, s não deve interceptá-la em mais de um ponto.
y=(n-x) => vamos substituir na equação da elipse:
x²+4(n-x)²=20
x²+4n²-8nx+4x²=20
5x²-8nx+4n²-20=0
Se o ∆=0, haverá raízes duplas, ou seja, apenas um valor para x que intercepta a elipse, e conseqüentemente, apenas um ponto para interceptar na elipse.
∆=(-8n)² - 4.5.(4n² - 20) = 0
∆=64n² - 80n² + 400 = 0
∆=-16n² + 400 = 0 => n²=400/16=25 
n=-5 ou n=5. Há duas retas que satisfazem a equação, uma de cada lado da elipse.
===========================
Resposta
y=-x+6
y=-x-6
Achar uma equação da elipse cujos focos se encontram sobre o eixo das abscissas, dispostos simetricamente....? em relação à origem do sistema de coordernadas,e sabendo-se que:
a)O seu eixo maior é 5 e o menor é 2.
b)O seu eixo menor é 24 e a distancia focal é 10.
a) eixo maior = a = 5
eixo menor = b = 2
equação: (x²/a²) + (y²/b²) = 1
(x²/5²) + (y²/2²) = 1
portanto: (x²/25) + (y²/4) = 1
b) eixo menor = b = 24
distância focal = 2c = 10
c = 5
a² = b² + c²
a² = 24² + 5²
a² = 576 + 25
a² = 601
então, temos a equação:
(x²/a²) + (y²/b²) = 1
(x²/601) + (y²/576) = 1
Como encontrar a equação reduzida da elipse da equação geral 9^x + 16^y + 2x - 6y + 36 = 0?
9x² + 16y² + 2x - 6y + 36 = 0
(9x²+2x) + (16y²-6y) + 36=0
[(3x)²+ 2·(3x)·1/2+ 1/4] + [(4y)²- 2·(4y)· 3/4 + 9/16] - 1/4 - 9/16 + 36=0
(3x+1/2)² + (4y-3/4)² = -563/16 !!! Não é uma elipse
Se fosse 9x² + 16y² + 2x - 6y - 36 = 0
[(3x)²+ 2·(3x)·1/2+ 1/4] + [(4y)²- 2·(4y)· 3/4 + 9/16] - 1/4 - 9/16 - 36=0
(3x+1/2)² + (4y-3/4)² = 589/16
9·(x+1/6)² + 16·(y-3/16)² = 589/16
(x+1/6)²/ (589/144) + (y- 3/16)²/ (589/256) = 1 --> Eq. reduzida da elipse.
Determinar a equação reduzida da elipse sabendo que 2b é uma dúzia e a excentricidade é RAIZ DE 5/4?
2b = 12
b = 6
e = √(a²-b²) /a
√5 /4 = √(a²-6²) /a , e elevando tudo ao quadrado
5/16 = (a²-36)/a²
5a² = 16(a²-36)
5a² = 16a² - 576
11a² = 576
a² = 576/11
A equação é portanto x²/(576/11) + y²/36 = 1
Nota : essa equação é para uma elipse de centro na origem.
Se o centro for outro ponto qualquer, (x0,y0) , então a equação será
(x-x0)²/(576/11) + (y-y0)²/36 = 1
Parti também do princípio que o semieixo maior era a.
Se fosse b, a excentricidade já seria e = √(a²-b²) /b
Sabendo que o centro (0,0), o comprimento do eixo menor é 6 e a distância focal é 10, determine a equação geral e reduzida da elipse.
Na equação da Elipse o "a" fica no denominador do eixo maior que é tb onde sempre esta os focos que nesta questão está no eixo "x".
(X - Xo)² . .(Y - Yo)²
----------- + ------------ = 1
. . a² . . . . . . b²
centro (Xo, Yo) = (0, 0)
O eixo menor é 2b = 6 ............. b = 3
A distância focal é 2c = 10 ....... c = 5
É lei na elipse a² = b² + c²
a² = 3² + 5²
a² = 9 + 25
a² = 34 ........... a = √34
A equação reduzida fica
X² . . .Y²
---- + ----- = 1
34 . . . 9
Determine a equação reduzida da elipse;? Com eixo maior sobre o eixo x, excentricidade 1/2 e passa pelo ponto P(2,3)
Como o eixo maior está sobre o eixo dos x,
e = √(a²-b²) /a
1/2 = √(a²-b²) /a , e elevando tudo ao quadrado
1/4 = (a²-b²) /a²
a² = 4a²-4b²
4b² = 3a²
b² = 3a²/4
Sendo a equação reduzida da elipse x²/a² +y²/b² = 1
substituindo o valor de b² encontrado vem
x²/a² +y²/(3a²/4) = 1 , e para x=2 , y=3 (ponto P)
4/a² +9/(3a²/4) = 1
4/a² +12/a² = 1
16/a² = 1
a² = 16 , donde b² = 3a²/4 = 12
a equação é portanto 
x²/16 + y²/12 = 1
Dúvida: equação de uma elipse com centro fora da origem.?
Seguinte, eu tenho a equação: 6x² + 9y² -24x -54y +51 = 0,
e preciso encontrar a excentricidade, centro, foco. 
Bom, eu só sei reduzir equação da elipse com centro na origem do sistema, que é só dividir pelo número no segundo membro da equação e tal, e voce já tem A² e B². Mas como fazer quando está desse jeito? Já pensei de todas formas possíveis :| (menos a certa.)
Tomemos as seguintes incógnitas:
2a = eixo maior
2b = eixo menor
2c = distancia focal
e = excentricidade
Equação da elipse : 
( x-x' )²/a² + ( y-y' )/b² = 1 (com eixo maior paralelo ao eixox )
( x-x' )²/b² + ( y-y' )/a² = 1 (com eixo maior paralelo ao eixo y )
Em ambas as equações x' e y' sao as coordenadas do centro em relação à origem.
Primeiro precisamos "arrumar" a equação para visualizarmos melhor cada ponto da elipse:
6x² + 9y² -24x -54y +51 = 0 ~~>6x² -24x + 24 + 9y² -54y + 81 = 54
6(x-2)² + 9(y-3)² = 54 ~~> [6(x-2)² + 9(y-3)²]/54 = 1 ~~>(x-2)²/9 + (y-3)²/6 = 1
Dai tiramos a equação de nossa elipse :
(x-2)²/9 + (y-3)²/6 = 1
Dela podemos concluir que o centro (C) esta nas coordenadas (x,y) (2,3)
a² = 9 ~~> a = 3
b² = 6 ~~> b = √6
Com base nos valores encontrados podemos encontrar a distancia focal e posteriormente a excentricidade:
c = √(a²-b²) ~~> c = √(9 - 6) ~~> c = √3
e = c/a ~~> e = (√3)/3
Resposta: e = (√3)/3 , C(2,3) , c = ±√3
Determine a equação da elipse com centro na origem do sistema cartesiano e focos no eixo 0x sabendo que...?
a)A sua distância focal é 16 e a sua excentricidade é 4/5.
b)o eixo menor mede 10 e a curva passa pelo ponto (8;3).
Sejam:
a = semi-eixo maior
b = semi-eixo menor
c = semi-distância focal
e = excentricidade
a-) Sabemos que:
e = c/a
4/5 = 8/a
a = 10
E que:
b² + c² = a²
b² = 10² - 8²
b² = 36
b = 6
Logo:
E: x²/100 + y²/36 = 1
b-) E: x²/a² + y²/b² = 1
Substituindo o ponto dado:
3²/b² + 8²/a² = 1
Mas b = 5:
9/25 + 64/a² = 1
9a² + 64 . 25 = 25a²
16a² =64 . 25 
Tirando a raíz dos dois lados:
4a = 8 . 5
a = 10
Logo:
E: x²/100 + y²/25 = 1
Se possivel me responda?
De acordo com os elementos dados, determine a equação padrão de cada cônica a seguir:
(a) Parábola: Diretriz: y = 4, os pontos L(−8,−2) e R(4,−2) são as extremidades do seu latus rectum.
(b) Parábola: Vértice V(−1, 3), Eixo focal paralelo ao eixo y e P(−3, 2) é um ponto da parábola;
(c) Elipse: Eixo focal paralelo ao eixo x, um dos focos no ponto F(−4, 3) e uma das extremidades do eixo
menor no ponto B(0, 0).
(d) Hipérbole: focos F1(−4, 5) e F2(−4,−5) e comprimento do eixo transverso |ET| = 6u.c..
(d) Hipérbole: focos F1(−4, 5) e F2(−4,−5) e comprimento do eixo transverso |ET| = 6u.c..
a) O foco de uma parábola é o ponto médio do seu latus rectum ,
F = (L+R)/2 = (-8,-2)+(4,-2) /2 = (-2,-2)
O vértice da parábola é o ponto que fica a meio caminho entre o seu foco e a sua directriz.
Neste caso , o ponto médio entre F(-2,-2) e D(-2,4)
( o ponto D é chamado pé da perpendicular baixada do foco sobre a directriz)
V = (F+D)/2 = (-2,1)
A equação da parábola será (x-x0)² = -2p (y-y0)
onde (x0,y0) são as coordenadas do vértice , e p (parâmetro da parábola) a distância entre o foco e a directriz
Neste caso p = 6 e (x0,y0) = (-2,1) , logo a equação pedida é
(x+2)² = -12(y-1)
Notas : 
1) Podes verificar que está certo,vendo que os pontos L e R verificam a equação.
2) A equação é da forma x² = -2py porque tem uma directriz horizontal (daí ser x²) e o foco está abaixo da directriz ( daí ser - )
3) O parâmetro p pode ser calculado com p = | y(directriz) - y(foco) |
b) Também esta parábola é da forma (x-x0)² = -2p (y-y0) , já que , se o eixo focal é paralelo ao eixo dos y , a directriz é horizontal , e o ponto dado está abaixo do vértice.
(x+1)² = -2p (y-3) , e substituindo pelas coordenadas de P(-3,2)
(-3+1)² = -2p (2-3)
4 = 2p
p = 2
logo a equação é (x+1)² = -4(y-3)
c) Como o eixo focal é paralelo ao eixo dos x , a elipse é horizontal (a > b) ,portanto o eixo menor está no eixo dos y, e se uma das extremidades do eixo menor é (0,0) e um dos focos é (-4,3) , o centro da elipse é (0,3) .
b = distância de (0,0) a (0,3) = 3
c = distância de (-4,3) a (0,3) = 4
a² = b² + c² = 3² + 4² = 25
e a equação da elipse , (x-x0)² / a² + (y-y0)² / b² = 1
onde (x0,y0) é o centro , fica
x² / 25 + (y-3)² / 9 = 1
d) Os focos estão sobre a recta vertical x = -4 , logo a hipérbole é vertical , e tem centro no ponto (-4,0) (ponto médio dos focos)
Então a sua equação será 
y² / b² - (x+4)² / a² = 1
eixo transverso = 2b = 6 , logo b = 3
c = semidistância focal = 5 (distância de qualquer dos focos ao centro)
c² = a² + b² 
25 = a² +9
a² = 16
y² / 9 - (x+4)² / 16 = 1 é a equação
Determine a excentricidade da elipse de equação 4x²+y²+24x-6y+29=0?
4(x²+6x)+ (y²-6y)+29=0
4(x²+6x+9)+ (y²-6y+9)+29= 36+9=45-29
4(x+3)²+(y-3)²=16
Dividendo todos os menbros por 16
4(x+3)²/16+(y-3)²/16=16/16
(x+3)²/4 +(y-3)²/16=1
a²=4 a=2
b²=16 b=4
a²=b²+c²
4=16-12
E=c/a
e=V12/2
Como encontrar o centro de uma elipse cuja equação é 4x^2+ 16y^2+ 8x – 64y + 4 = 0?
4x²+ 16y²+ 8x – 64y + 4 = 0
4x²+ 8x + 16y²– 64y = - 4 (Dividindo por 4)
x²+ 2x + 4y²– 16y = - 1
x²+ 2x + 4(y²– 4y) = - 1
Completando os quadrados:
x²+ 2x + 1 + 4(y²– 4y + 4)= - 1 + 1 +16
(x + 1)² + 4(y– 2)² = - 1 + 1 +16
(x + 1)² + 4(y– 2)² = 16 (Dividindo por 16)
(x + 1)² /16 + 4(y– 2)² / 16 = 1
(x + 1)² /16 + (y– 2)² / 4 = 1
(x + 1)² / 4² + (y– 2)² / 2² = 1
Centro = C( -1, 2)
Centro (0,0), um foco f(3/4, 0) e um vértice A (1,0) determinar a equação da elipse q satifaz estas condições?
Elipse. Lugar geométrico dos pontos que a soma da distância de dois pontos fixos é uma constante (2a).
Forma genérica:
(x/a)² + (y/b)² = 1
C(0;0) . F1 (3/4 ; 0) e um dos vértices (1 , 0). Desse modo podemos encontrar o outro foco (F2), é muito simples pensar nisso, pois este deve ser diametralmente oposto ao outro:
F2 (- 3/4 ; 0)
A distância de F1 até o ponto do vértice somada a distância do ponto F2 até o vértice é 2a. Portanto:
d[F1V] = 1 + 3/4 = 7/4 u.c.
d[F2V] = 1 - 3/4 = 1/4 u.c.
2a = 8/4
2a = 2
a = 1
Agora facilmente encontramos b, já que a, b e c formam um triângulo retângulo.
a² = b² + c²
b² = 1 - 9/16
b² = 7/16
Equação da elipse:
x² + (16.y²)/7 = 1
Elipse, reduzir equação, ajude-me?
a) x² +9y -10x + 72y + 160 = 0
 
b)25x² + 16y² + 300x - 64y - 186 = 0
 Se der, explique por etapas como você achou o resultado.
a equação de uma elipse é
(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1
a) ache que equação é
a) x² +9y² - 10x + 72y + 160 = 0 (9y²!)
ache o quadrado perfeito com os x
x² - 10x + 25 = (x - 5)²
ache o quadrado perfeito com os y
9y² + 72y = 9*(y² + 8y)
9*(y + 4)² = 9*(y² + 8y + 16) 
temos
(x - 5)² - 25 + 9*(y + 4)² - 144 + 160 = 0
(x - 5)² + 9*(y + 4)² - 169 + 160 = 0
(x - 5)² + 9*(y + 4)² = 9
equação é
(x - 5)²/3² + (y + 4)² = 1
b) 25x² + 16y² + 300x - 64y - 186 = 0
mesmo método
25*(x² + 12x + 36) + 16*(y² - 4y + 4) - 186 = 0
25*(x + 6)² - 900 + 16*(y - 2)² - 64 - 186 = 0
25*(x + 6)² + 16*(y - 2)² = 1150
a equação é
(x + 6)²/(1150/25) + (y - 2)²/(1150/16) = 1
(x + 6)²/6.78² + (y + 2)²/8.48² = 1
Determine a equação da elipse cujos focos são F1(1,0) F2 ( -1, 0) e que passa pelo ponto (2,0)?
Focos (1,0) e (-1,0) implica em focos no eixo x e centro na origem.
Equação da elipse é x^2/a^2 + y^2/b^2=1
Distância focal = 2 = 2c, então c =1
a^2 - c^2=b^2, então a^2=b^2
Ponto (2,0) implica que a=2 , então b=2, dessa maneira a equação fica;
x^2/4 + y^2/4 = 1
Determine a equação da elipse cujo centro está no ponto C(1,4), um foco é o ponto F(5,4) e a excentricidade é 2/3.
A equação de uma elipse é representada, geralmente, dessa forma:
((x - xo)² / a²) + ((y - yo)² / b²) = 1
Sendo que, nesse caso, temos que:
c = 4 (distância entre o foco e o centro)
2/3 = 4/a -> a = 6 (eixo maior)
a² = b² + c² -> 36 = b² + 16 -> b² = 20 -> b = V20 (eixo menor)
Como o foco muda para o centro apenas o x, então a elipse é horizontal.
((x - 1)² / 6²) + ((y - 4)² / V20²) = 1
((x - 1)² / 36) + ((y - 4)² / 20) = 1
(5(x - 1)² / 180) + (9(y - 4)² / 180) = 180 / 180
5x² - 10x + 5 + 9y² - 72y + 144 = 180
5x² + 9y² - 10x - 72y - 31 = 0
Dada a equação da elipse 9x² + 25y² + 30x + 40y -184 = 0 determinar as coordenadas do centro e a excentricidade.
Primeiro vamos transformar a equação da elipse na forma reduzida.
9x² + 25y² + 30x + 40y -184 = 0
9x² +30x + 25 - 25 + 25y² + 40y + 16 - 16 - 184 = 0
(3x + 5)² + (5y + 4)² = 184 + 16 + 25 
(3x + 5)² + (5y + 4)² = 225 
[3(x + 5/3)]² + [5(y + 4/5)]² = 225
9*(x + 5/3)² + 25*(y + 4/5)² = 225 -------(dividindo os membros por 225)
{9*(x + 5/3)²}/225 + {25*(y + 4/5)²}/225 = 225/225
(x + 5/3)²}/25 + (y + 4/5)²}/9 = 1
Logo, o Centro é C (-5/3, -4/5)
e a excentricidade é:
a² = 25 ==> a = 5
b² = 9 ==> b = 3
Calculo da semi-distância focal (c).
a² = b² + c² ==> 25 = 9 + c² ==> c² = 16 ==> c = 4
Logo, 
e = 4/5
Equação da elipse com focos f1(-1,-3) e f2(-1,5) e excentricidade 2/3?
Definição de Elipse:
Dados dois pontos f1 e f2, a distância entre eles é tomada como 2*c.
Elipse, é a curva cujos seus pontos possuem a soma das distâncias a f1 e f2 sempre igual. Esta soma é tomada como 2*a.
A excentricidade é c/a
Agora ficou fácil, né. :)
Seja um ponto qualquer (x,y), tal que a distância dele ao ponto (-1,-3) é d1, e a distância dele ao ponto (-1,5) é d2, assim:
d1 = Raiz[ (x - (-1))² + (y - (-3))² ] = Raiz[ (x+1)² + (y+3)² ]
d2 = Raiz[ (x - (-1))² + (y - 5)² ] = Raiz[ (x+1)² + (y-5)² ] 
d1 = Raiz( x² + 2x + 1 + y² + 6y + 9 ) = Raiz(x² + y² + 2x + 6y + 10)
d2 = Raiz( x² + 2x + 1 + y² - 10y + 25) = Raiz(x² + y² + 2x - 10y + 26)
A distância entre os focos, 2*c:
2*c= Raiz[ (-1 - (-1))² + (-3 -5)² ] = 8
c = 4
Como c/a = 2/3, 4/a = 2/3, logo, a = 6
2*a = d1+d2
12 = Raiz(x² + y² + 2x + 6y + 10) + Raiz(x² + y² + 2x - 10y + 26). Esta é a equação é da elipse solicitada (pode confiar, hehehe, fiz o gráfico), porém, de forma mais compacta, temos que elevando os dois lados ao quadrado:
144 = (x² + y² + 2x + 6y + 10) + (x² + y² + 2x - 10y + 26) + 2*Raiz(x² + y² + 2x - 10y + 26)*Raiz(x² + y² + 2x + 6y + 10)
144 = 2x² + 2y² + 4x - 4y + 36 + 2*Raiz[ (x² + y² + 2x - 10y + 26)*(x² + y² + 2x + 6y + 10) ]
Dividindo por 2:
72 = x² + y² + 2x - 2y + 18 + Raiz[ (x² + y² + 2x - 10y + 26)*(x² + y² + 2x + 6y + 10) ]
Talvez seja possível simplificá-la, mas não vejo necessidade. Qualquer uma das duas equações estão corretas.
Uma elipse, com eixos paralelos aos eixos cartesianos, cujo maior é o triplo do menor, tem o centro na origem?
O enunciado não deixa claro se o eixo maior da elipse é o alinhado ao eixo cartesiano x ou ao y. Farei, pois, os dois casos.
1) O eixo maior da elipse é paralelo eixo Ox.
Seja (m, n) a coordenada do centro da elipse.
Aqui a equação é da forma: (x - m)²/a² + (y - n)²/b² = 1
Como o centro é na origem, m = n = 0. 
Nova Equação: x²/a² + y²/b² = 1
O enunciado nos diz que a elipse passa por (√6, 1): 
(√6)²/a² + 1²/b² = 1 <=> 
6/a² + 1/b² = 1
Também é dito que a = 3b:
6/(3b)² + 1/b² = 1 <=>
6/9b² + 1/b² = 1 <=>
2/3b² + 3/3b² = 1 <=>
5/3b² = 1 <=> b = √15/3 => a = √15
A equação final da elipse é, portanto:
x²/(√15)² + y²/(√15/3) = 1 <=>
x²/15 + 9y²/15 = 1 (Resposta 1)
2) O eixo maior da elipse é paralelo eixo Oy.
Aqui a equação é da forma: x²/b² + y²/a² = 1.
Como a = 3b: x²/b² + y²/9b² = 1.
Como passa por (√6, 1): 
6/b² + 1/9b² = 1 <=>
54/9b² + 1/9b² = 1 <=>
55/9b² = 1 <=> b = √55/3 => a = √55
A equação final da elipse é, portanto:
x²/(√55/3)² + y²/(√55)² = 1 <=> 
9x²/55 + y²/55 = 1 (Resposta 2)~
Em cada um dos seguintes itens, determine a equação da elipse, a partir dos elementos 
dados: 
a) focos F1(3, 8) e F2(3, 2), e comprimento do eixo maior 10; a distância entre os focos é 6. Logo, c = 3 e a = 5
Assim, 5² = b² + 3² ; b = 4
Logo, x²/16 + y²/25 = 1
b) vértices V1(5, -1) e V2(-3, -1), e excentricidade e = ¾; a distância 2a é igual a 5 - (-3) = 8, ou seja, a = 4 como e = c/a, então c = 3. 
Daí, 4² = b² + 3² ; b² = 7
Logo, x²/16 + y²/7 = 1
Determine a equação da elipse. b) centro(0,0), focos no eixo dos x, excentricidade e=2/3 e passa pelo ponto?
A equação reduzida da elipse no eixo x é: x²/a² + y²/b² = 1
E da excentricidade: e= c/a
Relação a,b,c: a² = b² + c²
Com a excentricidade 2/3. c=2 e a=3
3² = b² + 2² --> 9 = b² + 4 --> b² = 9 - 4 b = √5
Então a formula geral é:
x²/9 + y²/5 = 1
Dada a elipse de equação 25x² + 9y² – 90y = 0, centro, dos focos, as medidas do eixo maior e menor e a distância focal, respectivamente.
25x² +9y² -90y = 0
(5x² +0)² + 9y² -90y +225 = 225
(5x² +0)² + (3y -15)² = 225
Centro = (0,5)
O semi-eixo maior será igual ao coeficiente multiplicando a incógnita x e o menor será o coeficiente multiplicando a incógnita y. Ou seja:
a/2 = 5 (Semi-eixo maior)
a = 10 (Eixo maior)
b/2 = 3 (Semi-eixo menor)
b = 6 (Eixo menor)
a² = b² +c² (Equação Fundamental)
c² = a² -b²
c² = 100 -36
c = 8 (Distância focal)
Como a distância focal é 8, ou seja, 4 de cada lado, e o centro é C (0,5), os pontos de foco serão:
F1 (0,1) e F2 (0,9)
Determinar o centro, os vértices A1 e A2, os focos e a excentricidade da elipse: 25x^2+16y^2+50x+64y-311=0?
Você vai completar quadrados, é o seguinte:
25x²+16y²+50x+64y-311=0 (organizando x e y)
25x² + 50x + 16y² + 64y - 311=0
25(x² + 2x) + 16(y² + 4y) = 311 ( o x² e o y² ali São quadrados perfeitos, porem está faltando o ultimo algarismo que vc tem que descobri)
25(x² + 2x+ __² ) + 16(y² + 4y __² ) = 311 (qual números completa esses quadrados?)
25(x² + 2x+ _1_² ) + 16(y² + 4y _2_² ) = 311 ( concorda comigo que seria 1 e 2 ?)
Mas se você adiciona números de um lado da equação tem que adicionar do outro, ali no x você adicionou 1² = 1, mas ta multiplicando o 25 de fora ou seja 25. No y adicionou 2²=4 multiplicado por 16 que é 64. Então devemos adicionas 25 e 64 do outro lado da equação, fica assim:
25(x² + 2x+ 1 ) + 16(y² + 4y 4 ) = 311 +25 + 64 ( colocando de outra forma os quadrados )
25(x+1)² + 16(y + 2)² = 400 ( dividi tudo por 400)
[(x + 1)² / 16] + [(y + 2)² / 25] = 1
De centro C(-1 , -2)
a = 5
b = 4
A1 (-1 , 3)
A2 (-1 , 7)
O foco, vc faz a² = b² + c²
5² = 4² + c²
c = 3
O foco está:
F1 (-1 , 1)
F2 (-1 , 5)
Excentricidade é:
e = (c / a )
e = 3/5 = 0,6
e = 0,6
Achar a equação da elipse com focos sobre ox, centro na origem, distância focal 8 e passa por P(raiz de15,-1).?
x²/a² + y²/b² =1 com
* 2c= 8 <--> c=4 com a²= b²+c² <--> a²= b² + 16
* Pasa por (√15, -1) <--> 15/a² + 1/b² =1 <--> 15/(b²+16) + 1/b² = 1 <-->
15b² + (b²+16) = b²·(b²+16) <--> 16b² + 16 = b^4 + 16b² <--> b^4= 16 <--> b²= 4 e a²=20
==> Elipse: x²/20+ y²/4= 1
Determine a equação da elipse com centro(2;-1), eixo maior = 6 e o foco1(0;-1)?
Centro (2, -1), Foco (0,-1) --> eixo y=-1, 2a=6 --> a=3
c=d(Centro, Foco)= 2 --> b²=a²-c²=9-4=5
==> (x-2)²/9 + (y+1)²/5=1
Qual a equação da elipse que possui focos em F1(3,8) e F2(3,2) e cujo comprimento do eixo maior é igual a 10?
Centro= Ponto médio F1 e F2= (3,5) com c= d(F,Centro)= 3
Eixo maior x=3 , e a=10/2=5
==> b²=a²-c²= 5²-3²=16
Elipse: (x-3)²/16 + (y-5)²/25= 1
Seja a elipse de equação 16x2+25y2=400. Determine:?
Seja a elipse de equação 16x2+25y2=400. Determine:
a)Os comprimentos dos eixos; 
b) Os focos e a excentricidade. 
16x² + 25y² = 400
(16x²)/400 + (25y²)/400 = 400/400
x²/25 + y²/16 = 1
Maior denominador: 25. Logo a² = 25 e o eixo maior da elipse está sobre o eixo dos x porque 25 é denominador de x².
Então,
a)
a² = 25 => a = 5
b² = 16 => b = 4
a² = b² + c²
25 = 16 + c² => c² = 9 => c = 2
b)
Logo, os focos são F_1(-2,0) e F_2(2,0)
E a excentricidade e é:
e = c/a = 2/5
................................
ATENÇÃO!! Corrigindo.
c² = 9 => c = 3
Logo, os focos são F_1(-3,0) e F_2(3,0)
E a excentricidade e é:
e = c/a = 3/5
..............
obs:
a > 0
b > 0
c > 0
Qual a equação da elipse cujos focos são F1 (1,0) e F2 (-1,0) que passa pelo ponto P(2,0)?
Como os focos são (1,0) e (-1,0) o eixo maior da elipse paralelo ao eixo x, logo tem equação:
x²/a² + y²/(a²-c²) = 1
Onde 2c = distância focal.
(2c = F₁F₂) 
2c = √((1-(-1))²+(0-0)²)
2c = √4
2c = 2
c = 2/2
c = 1
E 2a = soma das distâncias do ponto aos focos.
(2a = PF₁ + PF₂)2a = √((2-1)²+(0-0)²) + √((2-(-1))²+(0-0)²)
2a = √1 + √9
2a = 1 + 3
a = 4/2
a = 2
Substituindo na equação x²/a² + y²/(a²-c²) = 1, temos:
x²/2² + y²/(2²-1²) = 1
x²/4 + y²/3 = 1
Seja P(5,8) um ponto de uma elipse de focos F1(2,4) e F2(2,12)...?
Calcule as medidas da distancia focal, do diâmetro maior e menor e da excentricidade dessa elipse. 
É lei na elipse a² = b² + c²
c é distancia focal, a, b distancia do centro aos vértices
Focos sempre estão no eixo maior (diametro), e veja que será vertical. 
O diametro maior é 2a
O diametro menor é 2b
A distância focal 2c é a distnacia dos pontos F1 e F2, 
2c = 12 - 4 = 8 ........... Resposta
Veja um detalhe importante.
O centro é no meio dos focos C(Xo, Yo) = C(2, 8)
Foi dado um ponto da elipse no mesmo alinhamento de centro.
Logo este ponto só pode ser um vétice do eixo menor, 
pois esta horizontalmente distante 3 do centro. Já foi visto que o eixo maior é vertical.
A distancia do vertice menor ao centro é "b"
Logo b = 3, o eixo (diametro) menor 2b = 6 ........... Resposta
a² = b² + c²
a² = 3² + 4²
a² = 9 + 16
a² = 25
a = 5, logo o eixo (diametro) maior 2a = 10 .... Resposta
excentricidade = c/a = 4/5
--------------------------------------… FIM, vamos testar se estar certo
A equação da Elipse é com "a" no denominador dos "y", pois o foco é vertical.
(X - Xo)² . .(Y - Yo)²
----------- + ------------ = 1
. . b² . . . . . . a²
Sustituido o ponto dado e o centro, os valores de a, b
(x - 2)²/3² + (y - 8)²/5² = 1, veja no wolframalpha, 
clique em [properties] do lado da palavra elipse
A equação 9x² + 4y² -18x -16y - 11=0 é de uma elipse. Os semi-eixos maior e menor medem:?
A equação 9x² + 4y² -18x -16y - 11=0 é de uma elipse. Os semi-eixos maior e menor medem:?
9x² + 4y² -18x -16y - 11=0
9x² -18x + 9+ 4y² -16y + 16 = 11 + 9 + 16
(9x² -18x + 9) + (4y² -16y + 16) = 36
[(9x² -18x + 9) / 36] + [(4y² -16y + 16)/36] = 36/36
[(x² - 2x + 1) / 4] + [(y² - 4y + 4)/ 9] = 1
[(x - 1)² / 4] + [(y - 2)² / 9] = 1
b=V4 = 2
a=V9 = 3
Resposta : 3 e 2.
Determine a equação da elipse de excentricidade raiz de 2/2,cujos focos são os pontos da reta y + 6 = 0 sendo B1(3,-1) um dos extremos do seu eixo menor .
Os focos encontram-se sobre a reta horizontal:
y + 6 = 0
y = - 6
e como um dos extremos do seu eixo menor é B1(3,-1), o seu centro está deslocado e é C(3, -6). (Sugiro o esboço do gráfico para observar essas relações facilmente).
A equação dessa elipse é dada na forma:
[(x - h)² / a²] + [(y - k)² / b²] = 1
Onde:
h = 3
k = -6
e
b = 5 (meia distância do eixo menor);
Pela relação da excentricidade, tem-se que:
e = a/c = √2/2
c = 2a/√2
E pela conhecida relação, vem:
c² = a² + b²
(2a/√2)² = a² + 25
a = 5
Logo a equação dessa elipse é:
[(x - 3)² / 25] + [(y + 6)² / 25] = 1
Centro c(0,0) eixo menor mede 6, focos nos eixos dos x e passa pelo ponto p(-2raiz5,2)?
Representação genérica (focos no eixo x):
(x/a)² + (y/b)² = 1
Como os focos estão no eixo das abscissas (x) então, podemos afirmar que b = 3, já que o eixo menor é 6.
C(0;0) e a elipse contém o ponto P(- 2√(5) ; 2)
(x/a)² + (y/3)² = 1
Substituindo o ponto:
(-2√(5)/a)² + (2/3)² = 1
20/a² + 4/9 = 1
20/a² = 5/9
a² = 9 . 4
a = 6
Assim a elipse é:
(x/6)² + (y/3)² = 1
x²/36 + y²/9 = 1 → multiplique tudo por 36
x² + 4y² = 36
Assim:
x² + 4y² - 36 = 0
Escrever a equação da elipse cujo semi-eixo menor é 2√3 e passa pelo ponto (2,3) e o semi eixo maior esta apoiado no eixo dos X:
Como a elipse está sobre o eixo x, a>b na equação abaixo:
x²/a² + y²/b² = 1
x²/a² + y²/(2√3)² = 1
x²/a² + y²/12 = 1
Como (2,3) pertence a elipse:
2²/a² + 3²/12 = 1
4/a² + 3/4 = 1
4/a² = 1/4
a²/4 = 4
a² = 16
Substituindo na equação:
x²/16 + y²/12 = 1
Determine o eixo maior, o eixo menor, a distância focal, a excentricidade, e as coordenadas dos focos da?
Elipse de equação 4x²+9y²-36=0
Primeiramente vamos adequar a equação com a fórmula reduzida :
( x²/a² + y²/b² = 1 )
4x²+9y²-36=0
4x²+9y² = 36 
Dividindo tudo por 36 temos :
4x²/36 + 9y²/36 = 36/36
x²/9 + y²/4 = 1
Agora fica fácil , apenas comparar com a fórmula :
a² = 9
a = 3 ( Semi-eixo maior , portanto esixo maior igual a 2*a = 6 )
b² = 4
b = 2 ( Semi-eixo menor , então eixo menor igual a 2*b = 4 )
a² = b² + c²
9 = 4 + c²
c² = 5
c = √5 
Logo os focos são F1(-√5,0 ) e F2(√5,0)
e = c/a
e = √5/3 ( Excentricidade )
NOTA : O eixo maior está sobre o sixo X , visto que o a²(maior denominador) está sobre o x na equação )
Como passar essa equação: 5x² + 9y² -10x -31=0 , para a equação da elipse ?
Primeiro junta os termos que tem x e os que tem y de um lado e os termos independentes pro outro:
5x² + 9y² - 10x - 31=0
5x² - 10x + 9y² = 31 ==> colocaremos em evidência o termo comum no x
5(x² - 2x) + 9y² = 31 ==> adicionaremos 5 em ambos os lados para formar um quadrado perfeito
5(x² - 2x + 1) + 9y² = 31 + 5
5(x - 1)² + 9y² = 36 ==> dividiremos tudo por 36 para chegarmos à equação da elipse
5(x - 1)²/36 + 9y²/36 = 36/36
(x - 1)²/(36/5) + y²/4 = 1
(x - 1)²/7,2 + y²/4 = 1 ==> essa é a equação geral da elipse
Determinar a equação reduzida da elipse 5x² + 9y² - 30x + 18y + 9 = 0?
Esse tipo de problema resume-se a completar quadrados. Veja:
5x² + 9y² - 30x + 18y + 9 = 0 ⇔ 5(x² - 6x) + 9(y² + 2y) + 9 = 0 ⇔
5(x² - 6x + 9) + 9(y² + 2y +1) + 9 - 5*9 - 9*1 = 0 ⇔ 5(x - 3)² + 9(y + 1)² = 45 ⇔
(x - 3)²/9 + (y + 1)²/5 = 1
Resposta: A equação reduzida da elipse dada é igual a (x - 3)²/9 + (y + 1)²/5 = 1
O ponto p=(-1,3) pertence a uma elipse cujos focos são f1(-3,1) e f2(1,1)?
Calcule a medida dos eixos ,a excentricidade e a equação reduzida da elipse
f2x - f1x = 4
a distância focal 2c = 4
se p pertence à elipse, então 
a = d(p, f1) + d(p, f2)
a é a soma das distâncias dos focos a p
b é obtido pela fórmula
a^2 = b^2 + c^2
a excentricidade acredito que seja a/b
a equação reduzida é:
(x+1)^2/a^2 + (y-1)^2/b^2 = 1
Uma elipse tem como equação x²+4y²-2x+16y+13=0, escrever essa equação sob a forma reduzida e esboce o gráfico.?
x² - 2x + 4y² + 16y + 13 = 0
(x² - 2x) + (4y² + 16y) = -13 (colocando em evidencia cada fator comum temos)
1(x² - 2x + ......) + 4(y² + 4y + .....) = -13 (devemos completar o trinomio quadrado perfeito em cada caso, para isso basta dividir o segundo termo do trinomio e elevar o resultado ao quadrado)
1(x² - 2x + 1 - 1) + 4(y² + 4y + 4 - 4) = - 13
1(x² - 2x + 1) - 1 + 4(y² + 4y + 4) - 16 = - 13
1(x² - 2x + 1) + 4(y² + 4y + 4) = - 13 + 1 + 16
1(√x² - 2x + √1) + 4(√y² + 4y + √4) = 4
1(x - 1)² + 4(y + 2)² = 4
1(x - 1)/4 + 4(y + 2)²/4 = 4/4
1(x - 1)/4 + (y + 2)²/1 = 1
1 - Qual é a cônica representada pela equação 9x² + 16y² - 90x - 160y + 481 = 0? Esboce seu gráfico.
2-Caracterizar a cônica representada pelas equações x= 1/4y² - 1/2y + 5/4 e esboce o gráfico.
Em 1: 
9x² + 16y² - 90x - 160y + 481 = 0? reorganizando a expresão,
9x² - 90x +16y² -160y + 481 =0 colocando em evidência termos comuns
9 (x² - 10x ) +16 (y² -10y ) + 481 =0 criando quadrado perfeito
9(x² - 10x +25 ) +16 (y² -10y +25) + 481 =9 (25)+ 16 (25) 
a expressão torna-se 
.9(x-5 )² + 16(y-5)² : +481 = 25(9 + 16 ) 
.9(x-5 )² + 16(y-5)² : +481 = 625 
.......9(x-5 )² + 16(y-5)² : = 144 a expressão pode ser posta na forma
......9(x-5 )² /144 + 16(y-5)² /144: = 1 ou 
........(x-5 )² / (144/9 ) + (y-5)² /( 144/16): = 1 ou seja:
.........(x-5 )² / (12/3 )² + (y-5)² /( 12/4 )²: = 1 
.........(x-5 )² / ( 4 )² + (y-5)² /( 3 )²: = 1 
Trata-se da equação reduzida da elípse cujo centro C(xc,yc) é (5 , 5) ,
semi-eixo maior a =4 ,
semi-eixo menor b=3 ,
eixo principal paralelo ao Ox no sistema de eixos ortogonais xOy
determinando a distância focal:
Na elípse,a²= b²+c² então (4)² =(3)² +c² resulta c=(7)^1/2
distância focal =2c =2(7)^1/2 
a excentricidade (e) da elípse é : e=c/a =(7)^1/2 /4 
com isso,é possível determinar as coordenadasdos focos e vértices da elípse :
Focos: F1(5-(7)^1/2 ,5) e F2(5+(7)^1/2 ,5)
os vértices V1 (1 ,5) e V2 (9,5)
Equações das diretrizes da elípse são as retas r1 e r2 tais que 
r1 : x =a/e + xcentro, então......... r1: x= 16/(7)^1/2 +5
r2: x = -a/e + xcentro, então .......r2 : x= -16/(7)^1/2 +5
Em 2-
equação : x=( 1/4)y² - (1/2)y + 5/4
criando um quadrado perfeito,
...............x= (1/4)y² - (1/2 )y + +1/4 -1/4 +5/4
...............x= [ (1/2)y - (1/2) ]² -1/4 + 5/4
...............x= [ (1/2)y - (1/2) ]² -1
..... ( x -1 )= [ (1/2)y - (1/2) ]² 
.....( x -1 )= [ (1/2)(y - 1) ]² chega-se à equação 
,,,,, ( x -1 ) = 1/4[ y - 1 ]² 
que representa uma parábola com vértice V(1 ,1 )
e eixo paralelo ao eixo dos x (abscissas)
o parâmetro é 2p=4 logo p=2 ( distância do foco à diretriz )
(é uma parábola com a concavidade para a direita)
A parábola ( x -1 ) = 1/4[ y - 1 ]² tem foco em (xv+p/2,yv)
então f(1+2/2,1) ,resulta f(2,1)
a diretriz d é x=xv-p/2 , d: x=1-1=0 é eixo das ordenadas Ou
Seja a elípse dada pela equação x^2 + 2y^2 - 6x + 4y + 7 = 0. como encontrar as cordenadas do centro?
e as dos vertices, e focos?
Completando os quadrados:
x² -6x +9 -9 +2y² +4y +2 -2 +7 = 0
(x -3)² +2(y + 1)² = 4 (dividindo tudo por 4 vem)
(x -3)² / 4 + (y + 1)² / 2 = 1 (A)
a = 2
b = √2
a² = b² + c² => c = √2
Observe a equação (A) e faça uma comparação com a forma simplificada da equação da elipse:
(X - Xo)² / a² + (Y - Yo)² / b² =1
Vc percebe que Xo= 3 e Yo = - 1 , essa é a coordenada do centro da elipse.Vc deve manipular a equação dada até chegar à equação simplificada, mostrada acima.
a > b, os focos estarão sobre o eixo horizontal,neste caso temos
- excentricidade => e = c/a
- focos (Xo ± c, Yo)
- semi-eixo maior = a e semi-eixo menor = b
- vértices - eixo maior (Xo ± a, Yo) eixo menor (Xo, Yo ± b)
Focos(3±√2, -1)
Vértices
Eixo maior(3±2 , -1) ; Eixo menor (3 , -1 ± √2)
A excentricidade e será igual a : e = c/a =√2/2
Seguinte, eu tenho a equação: 6x² + 9y² -24x -54y +51 = 0, e preciso encontrar a excentricidade, centro, foco.?
6x²+9y²-24x-54y+51 = 0
6x²+9y²-24x-54y=51 ⇒ (/6)
x²-4x+9y²/6-54y/6=-17/2
(x-2)²+9y²/6-54y/6=-17/2+4
(x-2)²+9y²/6-54y/6=-9/2 ⇒(*6)
6(x-2)²+9y²-54y=-27 ⇒(/9)
6(x-2)²/9+y²-6y=-3
6(x-2)²/9+(y-3)²=-3+9
6(x-2)²/9+(y-3)²=6 ⇒ (/6)
(x-2)²/9+(y-3)²/6=1
a=3
b=√6
c=√3²-6 = √9-6 = √3
o centro está na (2,3)
a ser uma elipse horizonta
focos = ((2+√3),3) ((2-√3),3) 
excentricidade e c/a = √3/3
Determine a equação reduzida da elipse 5x^2 + 9x^2 - 30x + 18y + 9 = 0
Acho que você fez uma pequena confusão, o correto é:
5x^2 + 9y^2 - 30x + 18y + 9 = 0
Então, vamos lá
5x^2 + 9y^2 - 30x + 18y + 9 = 0
Completando quadrados:
5(x^2 + 6x + 9) + 9(y^2 + 2y + 1) + 9 - 45 - 9 = 0
5(x + 3)^2 + 9(y + 1)^2 = 45
Dividindo os dois membros por 45:
[(x + 3)^2]/9 + [(y + 1)^2]/5 = 1
Determinar as coordenadas dos focos da elipse 4x^2+16y^2-8x+64y+4=0?
4x²+16y²-8x+64y+4 = (4x²-8x+4)+(16y²+64y+64)-64 = 4(x-1)²+16(y+2)²-64, ∀x∀y∈lR
 Portanto, a equação reduzida da elipse dada é dada por:
 4(x-1)²+16(y+2)² = 64 ⇔ (x-1)²/16+(y+2)²/4 = 1
 Donde se tira que as coordenadas de seu foco são (1,-2).
Provar que o gráfico de 4x²+ 9y² +8x -36 +4=0 é uma elipse de centro em (-1,2)?
Provar que o gráfico de 4x²+ 9y² +8x -36 +4=0 é uma elipse de centro em (-1,2)
4x^2+ 9y^2 +8x -36y +4=0
4x^2 + 8x + 9y^2 - 36y + 4=0
(4x^2 + 8x + 4) - 4 + (9y^2 - 36y + 4 + 32) - 32=0
(2x + 2)^2 + (3y - 6)^2 = 36
((x+1)/3)^2 + ((y-2)/2)^2 = 1
Que é a equação de uma elipse com centro (-1, 2), os semi-eixos da elipse são a = 3 e b = 2
Dados os elementos de uma elipse.. focos(5,4)(-1,4) centro (2,4) A1(-2,4)A2(6,4) achar a equação?
Eixo maior 
2a = 8 
a= 4 
Distância focal 
f = 3 
Sendo assim:
Eixo menor = b
a² = c² + b²
16 - 9 = b²
b = √7
(x - 2)²/16+(y - 4)²/7 = 1
Qual é a equação da elipse de focos f1=(2;4) e f2=(6;4) e eixo maior ou igual a 3?
Deve ser eixo menor=3
2b=3
b=1,5
2c=√(2-6)²+(4-4)²
2c=4
c=2
a²=2,25+4
a²=6,25
a=√6,25
a=2,5
Centro(4;4)
Logo,
(x-4)²/b²+(y-4)²/a²=1
(x-4)²/2,25+(y-4)²/6,25=1
2,25=225/100=(15/10)²=(3/2)²
6,25=625/100=(25/10)²=(5/2)²
(x-4)²/2,25+(y-4)²/6,25=1
(x-4)²/(3/2)²+(y-4)²/(5/2)²=1
(x-4)²/[9/4]+(y-4)²/[5/4]=1
Escreva a equação da seguinte elípse:os focos são:F1=(-1,2) e F2=(3,2) e satisfaz a dist:(P,F1)+dist(P,F2)=6?
a resposta é:5x²+9y²-10x-36y-4=0
Como os focos da elipse dada têm a mesma ordenada, o eixo maior da elipse é paralelo ao eixo x. Nesse caso, uma elipse de eixo medindo 2a, paralelo ao eixo x, com eixo menor 2b e distância entre os focos 2c, cujo centro é o ponto (h,k), tem uma equação da seguinte forma:
(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1 (I)
1) Determonação do ponto (h,k)
Pelas coordenadas dos focos, pode-se encontrar o ponto (h,k), que é o ponto médio do segmento F1F2:
h = (xF1 + xF2)/2 = (- 1 + 3)/2 = 1
k = (yF1 + yF2)/2 = (2 + 2)/2 = 2
Portanto, o centro da elipse é o ponto (h,k) = (1,2) (II)
2) Determinação de 2a, o eixo maior da elipse.
Sabe-se que a elipse é "o lugar geométrico dos pontos P cujas somas das distâncias a dois pontos fixos chamados focos, F1 e F2, é constante e igual a 2a, que é o eixo maior da elipse". Assim, quando o enunciado diz que dist(P,F1) + dist(P,F2) = 6, ele está expressando matematicamente a definição de elipse e dizendo que o eixo maior mede 6:
2a = 6 (III)
3) Determinação de 2c, a distância entre os focos.
Essa informação pode ser extraída do enunciado: é a distância entre F1 e F2. Como eles têm a mesma ordenada, a distância entre eles é facilmente calculada subtraindo as abscissas:
2c = xF2 - x F1 = 3 - (- 1) = 4 (IV)
4) Determinação de 2b, o eixo menor da elipse.
Como a soma das distâncias de qualquer ponto aos focos é igual a 2a, tomemos o ponto da elipse que fica em uma das extremidades do eixo menor. Essas distâncias, nesse caso em particular, são iguais, pois o eixo menor divide a elipse em duas partes iguais. Como já se sabe que a soma dessa distâncias vale 2a, e elas são iguais, conclui-se que a distância de uma das extremidades do eixo menor a um dos focos é igual a "a". Se observarmos no desenho da elipse, veremos que essa distância é a hipotenusa de um triângulo retângulo culos catetos são b e c. Portanto:
a² = b² + c² (V)
De (III) e (IV), temos que a = 3 e c = 2. Substituindo esses valores em (V), temos:
(3)² = b² + (2)²
b = √5 (VI)
Substituindo (II), (III) e (VI) em (I), temos:
(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1
(x - 1)²/9 + (y - 2)²/5 = 1
5(x - 1)² + 9(y - 2)² = 45
5x² - 10x + 5 + 9y² - 36y + 36 = 45
5x² - 10x + 9y² - 36y - 4 = 0
Dada a equação 3x²+4y²+12x-32y+40=0, determine o que se pede:
I- A equação reduzida
II- As coordenadas do centro, dos vértices e dos focos 
III- A excentricidade e a medida de cada latus rectum
IV- Medidas dos eixos maior e menor
V- Equação do eixo maior e menor
3x² + 4y² + 12x - 32y + 40 = 0
3x² + 12x + 4y² - 32y + 40 = 0
3(x² + 4x) + 4(y² - 8y) + 40 = 0
3(x² + 4x + 4) + 4(y² - 8y + 16) = 3 * 4 + 4* 16 - 40
3(x + 2)² + 4(y - 4)² = 12 + 64 - 40
3(x + 2)² + 4(y - 4)² = 36
[(x + 2)²]/12 + [(y - 4)²]/9 = 1 <== Eq. reduzida.
......................................…
elipse
................................
12 > 9 e C(-2, 4), o eixo maior é paralelo ao eixo x.
segue que:
a² = 12 => a = 2√(3)
b² = 9 => b = 3
a² = b² + c² => 12 = 9 + c² => c² = 3 => c = √(3)
Assim, temos:
F_1 (x_0 + c_1y_0) => F_1((-2 + √(3),4)
F_2 (x_0 - c_1y_0) => F_1((-2 - √(3), 4)
......................
comprimento do eixo maior: 2*a = 2*2√(3) = 4√(3)
comprimento do eixo menor: 2*b = 2*3 = 6
......................
vértices: A_1(-2 - 2√ (3)), 4) e A_2(-2 + 2√(3)), 4)) 
......................
Excentricidade: e = c/a = √(3)/2√(3) = ½
Considere a equação representativa de uma elipse. Determine a sua equação reduzida, as coordenadas dos focos e vértices e o valor da sua excentricidade.
Resolução:
Para obtermosa equação reduzida, teremos de transformar a equação que define a elipse do problema numa equação equivalente.
Vem sucessivamente:
que nos mostra que o centro da elipse é o ponto . 
Como e , vem e portanto , pois . 
Para uma elipse geometricamente igual à dada mas com centro em (0,0), os focos seriam os pontos e . Então, para obter os focos da elipse do problema é necessário adicionar o vector (-1,3), donde 
Focos:
Para os vértices faz-se o mesmo raciocínio, logo 
Vértices: 
Excentricidade: .
Com a 6x² + 9y² -24x -54y +51 = 0, e preciso encontrar a excentricidade, centro, foco.?
6x²+9y²-24x-54y+51 = 0
6x²+9y²-24x-54y=51 ⇒ (/6)
x²-4x+9y²/6-54y/6=-17/2
(x-2)²+9y²/6-54y/6=-17/2+4
(x-2)²+9y²/6-54y/6=-9/2 ⇒(*6)
6(x-2)²+9y²-54y=-27 ⇒(/9)
6(x-2)²/9+y²-6y=-3
6(x-2)²/9+(y-3)²=-3+9
6(x-2)²/9+(y-3)²=6 ⇒ (/6)
(x-2)²/9+(y-3)²/6=1
a=3
b=√6
c=√3²-6 = √9-6 = √3
o centro está na (2,3)
a ser uma elipse horizonta
focos = ((2+√3),3) ((2-√3),3) 
excentricidade e c/a = √3/3
Dados os elementos de uma elipse.. focos(5,4)(-1,4) centro (2,4) A1(-2,4)A2(6,4) achar a equação?
Eixo maior 
2a = 8 
a= 4 
Distância focal 
f = 3 
Sendo assim:
Eixo menor = b
a² = c² + b²
16 - 9 = b²
b = √7
(x - 2)²/16+(y - 4)²/7 = 1
5x^2 + y2 - 50x + 12y + 141=0 Qual a equação reduzida da elipse?
Há fórmulas prontas que permitem obter a equação reduzida. Mas fazer passo a passo não é difícil (e evita ficar decorando fórmulas). Vamos lá. 
Comece por agrupar os termos em x e y respectivamente e colocar em evidência. 
5.(x² -10 x) + (y² +12y) + 141 = 0
Complete os quadrados perfeitos, somando e subtraindo 5.(25) e somando e subtraindo 36: 
5.(x² -10 x + 25) + (y² +12y + 36) + 141 - 5.(25) -36 = 0
Ou seja, 
5.(x - 5)² + (y + 6)² - 20 = 0 
Ou seja 
5.(x - 5)² + (y + 6)² = 20
Dividindo por 20 em ambos os membros: 
(x - 5)²/4 + (y + 6)²/20 = 1
Determine a equação da elipse de eixo maior horizontal, centro C(-4,-2) e excentricidade e=2/3, sendo um dos vértices (2,-2)
d(C,V)= ||(6,0)||=6
e=c/a --> 2/3= c/6 --> c= 4 
b²=a²-c²=36-16=20
==>Ellipse: (x+4)²/36 +(y+2)²/20 =1
GEOMETRIA Sabendo que a excentricidade da elipse é e = 3/5 e os focos F2(-3, 0), F1(3, 0)determine sua equação?
Centro= Ponto Medio_focos= (0,0); F em eixo x
c=d(F,Centro)=3
e=c/a=3/5 --> a=5
b²= a²-c²= 25-9=16
==> x²/25 + y²/16 =1 b)
Determine a equaçao da elipse: dados :F1 (-2,-1) F2 (1,2) eixo maior 6?
A distância entre os focos d(F1,F2) é igual a 2c.
Pela fórmula da distância entre pontos:
d(F1,F2) = √[(1+2)² + (2+1)²] = √18 = 3√2
2c = 3√2
c = (3√2)/2
Na elipse temos o seguinte:
c = √(a²-b²)
Onde 2a é o tamanho do eixo maior e 2b do eixo menor.
Logo:
a = 3
a² = 9
(3√2)/2 = √(3²-b²)
elevando os dois termos ao quadrado:
9*2/4 = 9 - b²
b² = 9 - 9/2 = 9/2 (paramos no b², pois é dele que precisamos)
O centro terá como coordenadas a média aritmética dos x e dos y de F1 e F2.
x0 = (-2+1)/2 = -1/2
y0 = (-1+2)/2 = 1/2
Assim:
(x - x0)²/a² + (y - y0)²/b² = 1 ===> (equação da elipse)
(x + 1/2)²/9 + (y - 1/2)²/(9/2) = 1
Determinar a equação da elipse que satisfaz as condições dadas : vértices A1(-1,2), A2(-7,2) e a medida do eixo menor igual a 2.
equação da elipse → x² + 9y² + 8x - 36y + 43 = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
► determinando os eixos da elipse:
Vértices:
A1 = (- 1, 2) = (x1, y1)
A2 = (- 7, 2) = (x2, y2)
eixo menor (dado pelo problema): 2b = 2 
→ b = 1
→ eixo maior (horizontal): 2a = | x2 - x1 | 
2a = | - 7 - ( - 1) | 
2a = | - 7 + 1 | 
2a = | - 6 |
2a = 6 
→ a = 3
. . . . . . . . . . . . . | eixo menor = 2b
. . . . . . . . . . . b |
. . A2__________|_________ A1 → eixo maior = 2a
. . . . . . . a. . . . . |. . . . a. . . . 
. . . . . . . . . . . .b |
. . . . . . . . . . . . . |
► determinando o centro da elipse (xo, yo):
xo = x1 - a = -1 - 3 = - 4
yo = y1 = y2 = 2
→ centro = ( - 4, 2)
► determinando a equação da elipse:
. . (x - xo)² . . (y - yo)²
. . ---------- + ----------- = 1
. . . . a² . . . . . . b²
. . (x + 4)². . (y - 2)²
. . ---------- + ---------- = 1
. . . . 3² . . . . . .1²
. . (x + 4)² . . (y - 2)²
. . ---------- + ---------- = 1
. . . . 9 . . . . . . .1 
. . (x + 4)² + 9*(y - 2)² = 9
. . (x² + 8x + 16) + (9y² - 36y + 36) = 9
. . x² + 9y² + 8x - 36y + 43 = 0
Determinar uma equação da elipse que satisfaça as condições dadas. vertices A (+ou- 10) e excentricidade ½
Solução ===
O enunciado está errado: elipse não possui vértices.
A equação de uma elipse com semi-eixo maior no eixo cartesiano X é:
x²/a² + y²/b² = 1
com ε = √(1 - b²/a²) e f = √(a²-b²)
Resolveremos em 2 casos (correções possíveis para o enunciado):
-------------- -------------- -------------- -------------- -------------- 
Caso 1) Semi-eixo maior de (-10,0) a (10,0) e ε = 1/2
Neste caso, a=10. Calculemos a² e b²:
a² = 10² = 100
ε = √ (1 - b²/a²) = 1/2
1 - b²/100 = 1/4
100 - b² = 25
b² = 75
=== Resposta Caso 1) ===
A equação então fica:
x²/100 + y²/75 = 1
ou
x² + 4y²/3 = 10²
-------------- -------------- -------------- -------------- -------------- 
Caso 2) Focos em (-10,0) e (10,0) e ε = 1/2
f = √(a²-b²) = 10
ε = √(1 - b²/a²) = 1/2
√(a² - b²)/a = 1/2
f/a = 1/2
10/a = 1/2
a = 20
a² = 20² = 400
f = √(a²-b²) = 10
400-b² = 100
b² = 300
=== Resposta Caso 2) ===
A equação então fica:
x²/400 + y²/300 = 1
ou
x² + 4y²/3 = 20²
Determinar a equação reduzida, o centro, os vertices A1 e A2, os focos e a excentricidade da elipse:?
16x²+9y²-96x+72y+144=0
Lembro a voce que elipse é o lugar geometrico dos pontos cuja a soma das distâncias a dois pontos fixos chamado focos é sempre constante. O que eu estou querendo dizer com isso é que existe uma poligonal fechada que forma uma figura em que a soma das distancias de qualquer ponto que forma a linha da figura a dois pontos fixos, chamados focos e que estão dentro dessa figura é sempre igual (constante). Infelizmente não tem condições de fazer figura pra você entender melhor.
A equação reduzida da elipse é representada por (x - xo)²/a² + (y - yo)²/b² = 1
Temos que representar 16x²+9y²-96x+72y+144=0 de forma que fique nos moldes da equação reduzida, para resolver fazendo comparação.
16x² - 96x+ 9y² +72y+144=0 
16(x² - 6x) + 9(y² +8y) + 144 = 0
16(x² - 2.3.x+9 - 9) + 9(y²+2.4.y + 16 - 16) + 144 = 0
16(x-3)² - 16 . 9 +9(y+4)² - 9 . 16 + 144 = 0
16(x-3)² - 144 +9(y+4)² - 144 + 144 = 0
16(x-3)² + 9(y+4)² = 144, dividindo os dois membros por 144, vem:
(x-3)²/9 + (y+4)²/16 = 1, comparando com (x - xo)²/a² + (y - yo)²/b² = 1
vem:
2a = tamanho do eixo maior; a² = 16, então a = 4
2b = tamanho do eixo menor, b² = 9, então b = 3
2c = distância focal; a² = b² + c² => 16 = 9 + c² => c² = 7 => c=V7
(xo, yo) = coordenadas do centro da elipse (3, -4)
A1 (3,0); A2 (3,-8)
excentricadade = c/a = V7/4
distância focal = 2c = 2V7
focos (3, 4 - V7 ) e ( 3 + 4+V7)
Obs. essa excentricidade mostra o grau de achatamento da figura. Há casos em que a elipse se aproxima de uma circunferência. Há casos em que se aproxima de uma linha. Isso é mais ou menos a idéia de excentricidade. espero ter ajudado.
Determine as coordenadas do centro, dos focos, e dos vértices da elipse de equação x²-2x+4y²-8y+1=0?
Resolução::
x²-2x+4y²-8y+1=0
x²-2x+1+4y²-8y+4-4=0
(x-1)²+4[y²-2y+1]-4=0
(x-1)²+4(y-1)²-4=0
(x-1)²+4(y-1)²=4 (:4)
(x-1)²+.(y-1)²
------..-----..=.1
...4......1
a²=4 ==>a=±2
b²=1 ==>b=±1
a²=b²+c²
4=1+c² ==>c=±√3
Centro:(1,1)
Vertices:
A1=(1+a,1)=(3,1) 
A2=(1-a,1)=(-1,1) 
B1=(1,1+b)=(1,2)
B2=(1,1-b)=(1,0)
Focos:
F1=(1+c,1)=(1+√3,1)
F2=(1-c,1)=(1-√3,1)
Determinar o centro, os vertices A1 e A2, os focos e a excentricidade da elipse: 25x^2+16y^2+50x+64y-311=0?
Você vai completar quadrados, é o seguinte:
25x²+16y²+50x+64y-311=0 (organizando x e y)
25x² + 50x + 16y² + 64y - 311=0
25(x² + 2x) + 16(y² + 4y) = 311 ( o x² e o y² ali