Geometria_Analítica_-_Cônicas_-_Exercícios

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Matemática 3 Cônicas
Elipse
1. O gráfico abaixo representa uma elipse E de focos
F1 e F2.
Determine:
(a) a medida do eixo maior de E ;
(b) a distância focal de E ;
(c) a medida do eixo menor de E ;
(d) a excentricidade de E .
2. Obtenha a equação reduzida da elipse E de cen-
tro C e eixos A1A2 e B1B2, em cada um dos ca-
sos.
(a)
(b)
(c)
3. Esboce o gráfico da elipse E , em cada um dos
casos.
(a)
(x− 9)2
25
+
(y − 6)2
6
= 1
(b)
(x+ 4)2
16
+
y2
9
= 1
(c)
x2
16
+
y2
36
= 1
4. Determine a excentricidade da elipse E de focos
F1 e F2.
5. Obtenha a equação reduzida da elipse de focos
F1e F2.
6. Obtenha a equação reduzida da elipse de excen-
tricidade e = 0, 8 e focos F1(−4, 0) e F2(4, 0).
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7. Obtenha a equação reduzida da elipse que passa
pelo ponto P (2, 5) e tem como eixo maior o seg-
mento de extremos A1(0, 2) e A2(0, 8).
8. Em uma elipse, os focos são F1(3, 2) e F2(11, 2),
e o eixo menor mede 4 unidades. Obtenha a
equação reduzida dessa elipse.
9. Dê a equação reduzida da elipse E , em cada um
dos casos.
(a) (E) 5x2 + 3y2 = 15
(b) (E) 4(x− 1)2 + 9(y + 4)2 = 36
(c) (E) x2 + 16y2 − 6x− 7 = 0
(d) (E) 4x2 + 9y2 − 16x− 20 = 0
(e) (E) 4x2 + 25y2 − 50y − 75 = 0
10. Represente graficamente a elipse de equação
4x2 + 9y2 − 16x− 20 = 0.
11. Considerando a reta r e a elipse E de equações
2x + y − 10 = 0 e (x− 5)
2
3
+
y2
6
= 1, respectiva-
mente:
(a) Represente graficamente r e E ;
(b) Determine, se existirem, os pontos comuns a
r e E .
Hipérbole
12. O gráfico a seguir representa uma hipérboleH de
focos F1 e F2.
(a) Determine a medida do eixo retal de H;
(b) Determine a distância focal de H;
(c) Determine a medida do eixo imaginário deH;
(d) Determine a excentricidade de H;
(e) Determine as coordenadas do centro C deH;
(f) Desenhe o retângulo referência de H;
(g) Desenhe as assı́ntotas de H;
(h) Obtenha as equações das assı́ntotas de H.
13. Um fio suspenso une os topos de dois postes
verticais, cada um com 15 m de altura, e suas
bases estão em um mesmo plano horizontal a
uma distância de 24 m uma da outra. Admitindo
que o formato do fio seja um arco de hipérbole
cujo centro é um ponto do solo distante 12 m de
cada poste e o vértice esteja a 12 m de altura em
relação ao solo, concluı́mos que um dos focos da
hipérbole está:
A. 12,5 de altura, em relação ao solo.
B. 13 de altura, em relação ao solo.
C. 13,5 de altura, em relação ao solo.
D. 15 de altura, em relação ao solo.
E. 20 de altura, em relação ao solo.
14. Obtenha a equação reduzida da hipérbole H de
centro C e eixo real A1A2 e focos F1 e F2, em
cada um dos casos.
(a)
(b)
15. Esboce o gráfico da hipérboleH, em cada um dos
casos.
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(a)
(x− 6)2
16
− (y − 2)
2
9
= 1
(b)
(y + 3)2
36
− (x− 1)
2
64
= 1
(c)
(x+ 4)2
8
− y2 = 1
(d) x2 − y2 = 1
16. Determine a excentricidade da hipérbole H de fo-
cos F1 e F2 e centro C.
17. Determine a equação reduzida da hipérbole H de
centro C e focos F2 e F2, representada a seguir.
18. (UFMA) Determine a equação da hipérbole
equilátera de centro na origem, cuja distância fo-
cal é 2c = 8 e cujo eixo real é horizontal.
19. Obtenha a equação das assı́ntotas da hipérbole
nos seguintes casos:
(a) x2 − y2 = 1
(b)
x2
4
− y2 = 1
(c)
y2
16
− (x− 4)
2
9
= 1
20. Escreva a equação reduzida da hipérbole de ex-
centricidade e = 1, 25 e focos F1(−5, 0) e F2(5, 0).
21. Represente, pela equação reduzida, a hipérbole
que passa pelo ponto P (2, 3) e tem como focos
os pontos F1(−2, 0) e F2(2, 0).
22. Dê a equação reduzida da hipérbole H, em cada
um dos casos:
(a) 4x2 − 3y2 = 12
(b) 5(x− 2)2 − 2(y + 3)2 = 10
(c) x2 − 4y2 − 6x+ 5 = 0
(d) c2 − y2 − 6x+ 4y + 4 = 0
(e) 4y2 − 9x2 − 8y + 18x− 41 = 0
23. Represente graficamente a hipérbole de equação
9y2 − 16x2 − 160x− 544 = 0.
24. Exiba as equações das assı́ntotas da hipérbole
representada por 4x2 − y2 − 16x+ 6y − 9 = 0.
25. Considerando a reta r e a hipérbole H de
equações x − y − 2 = 0 e (x− 3)
2
4
− y2 = 1, res-
pectivamente.
(a) Represente graficamente r e H;
(b) Determine, se existirem, os pontos comuns a
r e H.
Parábola
26. O gráfico abaixo mostra uma parábola P de foco
F e diretriz r, paralela ao eixo Ox.
Obtenha:
(a) a equação da diretriz de P;
(b) o parâmetro de P;
(c) a equação do eixo de simetria de P;
(d) a ordenada do ponto que pertence à
parábola e tem abscissa 1.
27. Obtenha a equação reduzida da parábola P de
vértice V , foco F e diretriz r, nos seguintes casos:
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(a)
(b)
(c)
28. Esboce o gráfico da parábola P, representando
também o foco, a diretriz e o(s) ponto(s) de
interseção com os eixos coordenados, nos se-
guintes casos:
(a) (P) x2 = 8(y − 10)
(b) (P) (x− 3)2 = −20(y − 1)
(c) (P) (y − 3)2 = 16(x− 6)
(d) (P) (y + 3)2 = −12(x+ 4)
29. A parábola P, abaixo, tem vértice V e eixo de
simetria perpendicular ao eixo Ox. Exiba a sua
equação reduzida.
30. Escreva na forma reduzida a equação da
parábola P em cada um dos casos.
(a) y = 3x2 + 6x− 5
(b) x = y2 − 6y + 7
(c) y =
x2
4
− x− 3
31. Obtenha o vértice V da parábola de equação y =
x2 − 8x+ 1.
32. Qual é o parâmetro da parábola de equação x =
y2 + y?
33. Considerando a reta r e a parábola P de
equações x − 4y − 9 = 0 e (y + 3)2 = x − 1, res-
pectivamente:
(a) represente graficamente r e P;
(b) determine, se existirem, os pontos comuns a
r e P.
34. Para o estudo de um cometa, cuja órbita é uma
parábola com o Sol como foco, um astrônomo
imaginou um sistema cartesiano ortogonal o
plano dessa órbita, adotando nos eixos uma uni-
dade u, conveniente para grandes distâncias. Em
relação a esse sistema, a equação da trajetória
do cometa é x2 = 12(y− 4). No momento em que
o cometa passar pelo ponto (8, 1), sua distância
ao Sol será igual a:
A. 25 B. 10 C. 12 D. 144 E. 5
35. (Uff) As equações y−2x = 0, y+x2 = 0 e y2−x2+
1 = 0 representam no plano, respectivamente:
A. uma reta, uma hipérbole e uma parábola
B. uma parábola, uma hipérbole e uma reta
C. uma reta, uma parábola e uma elipse
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D. uma elipse, uma parábola e uma
hipérbole
E. uma reta, uma parábola e uma hipérbole
36. (FGV) Em cada sentença a seguir, assinale V se
ela for verdadeira e F se for falsa. Caso assinale
F, justifique a resposta.
A. dx
2
9
+
y2
4
= 1, no plano cartesiano, é a
equação de uma elipse com excentrici-
dade igual a 0,6.
B. No plano cartesiano, a equação x2 −
y2 = 0 representa uma hipérbole
equilátera.
C. No plano cartesiano, a equação x2+y2−
2x − 4y + 6 = 0 representa uma circun-
ferência.
D. No plano cartesiano, a equação |2x −
y| = 3 representa um par de retas pa-
ralelas.
37. (Unirio) As equações x2 − 9y2 − 6x− 18y − 9 = 0,
x2 + y2 − 2x + 4y + 1 = 0 e x2 − 4x − 4y + 8 = 0
representam, respectivamente, uma:
A. hipérbole, uma elipse e uma parábola.
B. hipérbole, uma circunferência e uma
reta.
C. hipérbole, uma circunferência e uma
parábola.
D. elipse, uma circunferência e uma
parábola.
E. elipse, uma circunferência e uma reta.
38. (Mackenzie) A reta de menor coeficiente angular,
que passa por um dos focos da elipse 5x2+4y2 =
20 e pelo centro da circunferência x2 + y2 − 4x −
6y = 3, tem equação:
A. 3x− y − 3 = 0
B. 2x− y − 1 = 0
C. x− 3y − 7 = 0
D. x− 2y − 4 = 0
E. x− y + 1 = 0
39. (Uff) Considere a equação
(m+ n− 1)x2 + (m− n+ 1)y2 + 2x+ 2y − 2 = 0
Pode-se afirmar que:
A. Se m = 0 e n = 2 então a equação re-
presenta uma elipse.
B. Se m = n = 0 então a equação repre-
senta uma reta.
C. Se m = 0 e n = 1 então a equação re-
presenta uma parábola.
D. Se m = 1 e n = 2 então a equação re-
presenta uma hipérbole.
E. Se m = n = 1 então a equação repre-
senta uma circunferência.
40. Considereas equações apresentadas na coluna
da esquerda e os nomes das curvas planas des-
critas na coluna da direita.
(I)
x2
4
+
y2
3
= 1 ( ) Elipse
(II)
x
4
+
y
9
= 1 ( ) Hipérbole
(III)
x2
4
+
y
9
= 1 ( ) Reta
(IV)
y2
3
− x
2
4
= 1 ( ) Circunferência
(V)
x2
9
+
y2
9
= 1 ( ) Parábola
A associação que relaciona corretamente a
equação ao tipo de curva plana na sequência de
cima para baixo, é:
A. I, IV, II, V e III B. I, V, III, IV e II C. II, III, V,
I e IV D. III, II, IV, I e V E. IV, II, V, I, e III
GABARITO
1. (a) 6
(b) 4
√
2
(c) 2
(d) 2sqrt2
3
2. (a) (x−6)
2
16
+ (y−3)
2
4
= 1
(b) (x−7)
2
4
+ (y+4)
2
9
= 1
(c) x
2
36
+ y
2
49
= 1
3.
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4. 2
5
5. (x−2)
2
8
+ y
2
4
= 1
6. x
2
25
+ y
2
9
= 1
7. x
2
4
+ (y−5)
2
9
= 1
8. (x−7)
2
20
+ (y−2)
2
4
= 1
9. (a) x
2
3
+ y
2
9
= 1
(b) (x−1)
2
9
+ (y+4)
2
4
= 1
(c) (x−3)
2
16
+ y2 = 1
(d) (x−2)
2
9
+ y
2
4
= 1
(e) x
2
25
+ (y−1)
2
4
= 1
10.
11. (a)
(b) r ∩ E = {(6,−2), (4, 2)}
12. (a) 4
(b) 8
(c) 4
√
3
(d) 2
(e) (0, 0)
(f)
(g)
(h) (r) y =
√
3x/ (s) y = −
√
3x
13. E
14. (a) x
2
9
− (y−2)
2
16
= 1
(b) (y−3)
2
4
− (x−2)
2
5
= 1
15.
16. 5
3
17. (x−6)
2
16
− (y−5)
2
20
= 1
18. x
2
8
− y2
8
= 1
19. (a) x+ y = 0 e x− y = 0
(b) x+ 2y = 0 e x− 2y = 0
(c) 4x+ 3y − 16 = 0 e 4x− 3y − 16 = 0
20. x
2
16
+ y
2
9
= 1
21. x2 − y2
3
= 1
22. (a) x
2
3
− y2
4
= 1
(b) (x−2)
2
2
− (y+3)
2
5
= 1
(c) (x−3)
2
4
− y2 = 1
(d) (x− 3)2 − (y − 2)2 = 1
(e) (y−1)
2
9
− (x−1)
2
4
= 1
23.
24. 2x+ y − 7 = 0 e 2x+ y − 1 = 0
25. (a)
(b) r ∩H = ∅
26. (a) y − 1 = 0
(b) p = 3
(c) x− 2 = 0
(d) 8
3
27. (a) (x+ 2)2 = 16(y − 5)
(b) x2 = 12(y + 1)
(c) (y − 6)2 = −20(x− 1)
28.
29. (x+ 3)2 = 8(y − 1)
30. (a) (x+ 1)2 = 1
3
(y + 8)
(b) (y − 3)2 = x+ 2
(c) (x− 2)2 = 4(y + 4)
31. V (2,−7)
32. 1
10
33. (a)
(b) r ∩ P = {(5,−1)}
34. B
35. E
36. (a) F
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(b) F
(c) F
(d) V
37. C
38. E
39. E
40. A
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