Elipse: Definição e Equações

Prévia do material em texto

FACULDADE INTEGRADA TIRADENTES - FITS
CURSO DE ENGENHARIA DE PETRÓLEO
	
ELIPSE
 
 
 
	
Maceió/AL
2014
FACULDADE INTEGRADA TIRADENTES - FITS
CURSO DE ENGENHARIA DE PETRÓLEO
ELIPSE
Por
Pitágoras Silva de Jesus
Aldo Sergio de Barros
José Luciano Padilha Almeida
		
 
Engenharia de Petróleo – 1 º Período Noturno 
Docente, Prof. Fabiano dos Santos Briao
Maceió/AL
2014
	ELIPSE
   Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1e F2, e sendo 2a um número real maior que a distância entre F1 e F2, chamamos de elipse o conjunto dos pontos do plano  tais que a soma das distâncias desses pontos a F1e F2 seja sempre igual a 2a.
   Por exemplo, sendo P, Q, R, S, F1 e F2 pontos de um mesmo plano e F1F2< 2a, temos:
	
	
   A figura obtida é uma elipse.
Observações:
1ª) A Terra descreve uma trajetória elíptica em torno do sol, que é um dos focos dessa trajetória.
     A lua em torno da terra e os demais satélites em relação a seus respectivos planetas também apresentam esse comportamento.
2ª) O cometa de Halley segue uma órbita elíptica, tendo o Sol como um dos focos.
3ª) As elipses são chamadas cônicas porque ficam configuradas pelo corte feito em um cone circular reto por um plano oblíquo em relação à sua base.
 
Elementos
   Observe a elipse a seguir. Nela, consideramos os seguintes elementos:
· focos : os pontos F1 e F2 
· centro: o ponto O, que é o ponto médio de 
· semi-eixo maior: a
· semi-eixo menor: b
· semidistância focal: c
· vértices: os pontos A1, A2, B1, B2
· eixo maior: 
· eixo menor:
· distância focal: 
Relação fundamental
   Na figura acima, aplicando o Teorema de Pitágoras ao tri6angulo OF2B2 , retângulo em O, podemos escrever a seguinte relação fundamental:
	a2 =b2 + c2
Excentricidade
   Chamamos de excentricidade o número real e tal que:
	
    Pela definição de elipse, 2c < 2a, então c < a e, conseqüentemente, 0 < e < 1.
Observação:Quando os focos são muito próximos, ou seja, c é muito pequeno, a elipse se aproxima de uma circunferência.
 
Equações
   Vamos considerar os seguintes casos:
a) elipse com centro na origem e eixo maior horizontal
   Sendo c a semidistância focal, os focos da elipse são F1(-c, 0) e F2(c, 0):
   Aplicando a definição de elipse , obtemos a equação da elipse:
	
b) elipse com centro na origem e eixo maior vertical
   Nessas condições, a equação da elipse é:
	
		
Elipse de centro na origem (0,0) do plano cartesiano
1 – Definição:
Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que a distancia entre estes pontos seja igual a 2c 0, denomina-se elipse, à curva plana cuja soma das distancias de cada um de seus pontos P à estes pontos fixos F1 e F2 é igual a um valor constante 2a , onde a  c.
Assim é que temos por definição:
PF1 + PF2 = 2 a
Os pontos F1 e F2 são denominados focos e a distancia F1F2 é conhecida com distancia focal da elipse.
O quociente c/a é conhecido como excentricidade da elipse. 
Como, por definição, a  c, podemos afirmar que a excentricidade de uma elipse é um número positivo menor que a unidade.
 2 – Equação reduzida da elipse de eixo maior  horizontal e centro na origem (0,0).
Seja P(x, y) um ponto qualquer de uma elipse e sejam F1(c,0) e F2(-c,0) os seus focos. Sendo 2a o valor constante com c  a, como vimos acima, podemos escrever:
PF1 + PF2 = 2.a
onde o eixo A1A2 de medida 2a, é denominado eixo maior da elipse e o eixo B1B2 de medida 2b, é denominado eixo menor da elipse.
Usando a fórmula da distancia entre dois pontos, poderemos escrever:
Observe que x – (-c) = x + c.
Quadrando a expressão acima, vem:
Com bastante paciência , desenvolvendo a expressão acima e fazendo a2 – c2  = b2 , aexpressão acima depois de desenvolvida e simplificada, chegará a:
b2.x2 + a2.y2 = a2.b2 
Dividindo agora, ambos os membros por a2b2 vem finalmente:
que é a equação da elipse de eixo maior horizontal e centro na origem (0,0).
Notas:
1) como  a2 – c2  = b2 , é válido que: a2 - b2 = c2, onde c é a abcissa de um dos focos da elipse.
2) como a excentricidade e da elipse é dada por e = c/a , no caso extremo de termos b = a, a curva não será uma elipse e sim, uma circunferência, de excentricidade nula, uma vez que sendo b = a resulta c = 0 e, portanto e = c/a = 0/a = 0.
3) o ponto (0,0) é o centro da elipse.
4) se o eixo maior da elipse estiver no eixo dos y e o eixo menor estiver no eixo dos x, a equação da elipse de centro na origem (0,0) passa a ser:
EXERCÍCIOS:
1 – Determine a excentricidade da elipse de equação 16x2 + 25y2 – 400 = 0.
SOLUÇÃO: Temos: 16x2 + 25y2 = 400. Observe que a equação da elipse não está na forma reduzida. Vamos dividir ambos os membro por 400. Fica então:
Portanto, a2 = 25 e b2 = 16. Daí, vem: a = 5 e b = 4.
Como a2 = b2 + c2 , vem substituindo e efetuando,  que c = 3
Portanto a excentricidade e será igual a : e = c/a = 3/5 = 0,60
Resposta: 3/5 ou 0,60.
2 – CESCEA 1969 – Determine as coordenadas dos focos da elipse de equação 
9x2 + 25y2 = 225.
SOLUÇÃO: dividindo ambos os membros por 225, vem:
Daí, vem que: a2=25 e b2=9, de onde deduzimos: a = 5 e b = 3.
Portanto, como a2 = b2 + c2, vem que c = 4.
Portanto, as coordenadas dos focos são: F1(4,0) e F2(-4,0).
3 – Determine a distancia focal da elipse 9x2 +25y2 – 225 =0. 
SOLUÇÃO: a elipse é a do problema anterior. Portanto a distancia focal ou seja, a distancia entre os focos da elipse será:
D = 4 – (- 4) = 8 u.c (u.c. = unidades de comprimento). 
 Aplicação 
Verifique a posição relativa entre as circunferências: 
= x2 + y2 = 4 e = (x – 2)2 + y2 = 16. 
Solução:
→C1 (0,0) e R1 = 2 C2 (2,0) e R2 = 4 
A distância entre seus centros é: 
CÔNICAS OU LUGARES GEOMÉTRICOS
Denominamos lugar geométrico a um conjunto de pontos tais que todos eles (e só eles) possuem uma dada propriedade. A equação de um lugar geométrico do plano cartesiano é uma equação nas incógnitas x e y cujas soluções são os pares de coordenadas (x, y) dos pontos do lugar geométrico. Para obter tal equação, consideramos um ponto P (x, y) genérico e aplicamos a P a propriedade característica dos pontos do lugar geométrico. Neste número do Aprovar, estudaremos apenas a elipse e a hipérbole. 
ELIPSE
É o lugar geométrico dos pontos de um plano tal que a soma de suas distâncias a dois pontos fixos, denominados focos, F1 e F2, é constante, igual a 2a e maior que a distância entre os focos (2a > 2c)
EQUAÇÃO DA ELIPSE COM CENTRO NA ORIGEM
Considere a elipse com as extremidades do eixo maior nos pontos A1(-a, 0) e A2(a, 0), do eixo menor em B1(0, b) e B2(0, -b) e, conseqüentemente, o centro em O (0, 0). Considere também um ponto P (x, y) qualquer da curva. Com isso, obteremos, depois de certos procedimentos matemáticos, a equação reduzida da elipse. 
primeiro passo é entender o conceito de secção cônica chamada de elipse. A elipse é o lugar geométrico de todos os pontos P de um plano tais que a soma das distâncias de P a dois pontos fixos F1 e F2 (focos) é constante.
O segundo passo é construir o gráfico que descreve a elipse, tem-se:
O terceiro passo é construir a equação da elipse, partindo da distância entre um ponto P da elipse e os focos F1 e F2 da mesma e utilizando a formulação para a distância entre dois pontos, vê-se:
Desta forma, tem-se a equação da elipse com centro C(0,0), vê-se:
Para uma elipse de centro C(h,k), tem-se:
Sendo assim, constrói-se a equação da elipse de focos (1,0) e (-1,0) e semieixo maior a = 5.
O quarto passo é encontrar o centro da elipse e para isso, utiliza-se a formulação do ponto médio entre dois pontos, já que o centro fica entre os dois focos, tem-se:
Sabe-se que a elipse tem centro C(0,0) e deve-se utilizar a equação característica para essa situação.
O quinto passo é encontrar os parâmetros a e b, tem-se:
Sexto e último passo, com os parâmetros a e b em mãos obtém-se a equação da elipse que, neste caso, tem centro C(0,0). Tem-se: