Entropia e Desigualdade de Clausius

Prévia do material em texto

78 
 
CAPÍTULO 6 
 
ENTROPIA 
 
• Até este ponto nosso estudo de entropia tem se restringido aos sistemas 
que percorrem um ciclo. Neste capítulo serão introduzidos meios para ana-
lisar processos não cíclicos. 
 
• Energia e entropia são conceitos abstratos. O conceito de energia é mais 
familiar e de uso diário, enquanto o conceito de entropia raramente apare-
ce em publicações diárias e menos ainda nos aspectos quantitativos. 
 
A Desigualdade de Clausius 
 
• A desigualdade de Clausius é aplicada a qualquer ciclo, independente do 
corpo ou dos corpos dos quais o ciclo recebe ou rejeita calor. 
 
• A desigualdade de Clausius fornece as bases para a introdução de duas i-
déias instrumentais para a avaliação quantitativa de sistemas fechados ou 
volumes de controle, de uma perspectiva da 2a Lei da Termodinâmica: a 
propriedade Entropia e o conceito de Geração de Entropia. 
 
A desigualdade de Clausius estabelece que 
 
δ Q
T b



 ≤∫ 0 
• onde ( )δ Q representa o calor transferido em uma parte da fronteira (boun-
dary) do sistema, durante uma porção do ciclo e T é a temperatura absolu-
ta daquela parte da fronteira. 
 
• subscrito “b” serve para lembrar que o integrando é avaliado na fronteira 
(boundary) do sistema que executa o ciclo. 
• símbolo ∫ significa que a integral precisa ser avaliada em toda a fronteira 
e no ciclo completo. 
 79 
 
 
• A igualdade se aplica quando não há irreversibilidades internas e a desi-
gualdade quando há irreversibilidades internas. 
 
• Ilustração usada para mostrar a desigualdade de Clausius. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O Sistema recebe δ Q em uma fronteira a T e realiza um trabalho δ W. Para 
garantir que o calor recebido do Reservatório Térmico não está associado a 
irreversibilidades, supor um ciclo reversível entre o sistema e o reservatório 
térmico. 
 
Este Ciclo recebe δQ’ do reservatório térmico e fornece δQ ao sistema reali-
zando um trabalho δW’. 
 
Pela definição da escala Kelvin de Temperatura temos 
 
δ δQ
T
Q
TRES b
1
=



 
 
Um balanço de energia para o sistema combinado (sistema + ciclo) mostrado 
pela linha pontilhada fornece: 
 
Reservatório a TRes 
Ciclo Intermediário 
δW’ 
δW T Sistema 
δQ
 
δQ’ 
Fronteiras do Sis-
tema combinado 
Fronteiras do Sistema 
 80 
 
dEc
T
QTWc
WWQdEc
b
s
Wc
−




=








+−=
δδ
δδδ
δ
Re
'' 
 
 
Para o sistema combinado realizando um ciclo e o sistema intermediário um 
ou mais ciclos tem-se 
 
 Wc = T
Q
T
dEc T
Q
TRES b
RES
b
δ δ



− =



∫ ∫ 
 
Como o sistema combinado troca calor com um único reservatório térmico 
→ Wciclo ≤ 0 
T
Q
TRES b
δ



≤∫ 0 
 
Esta desigualdade pode ser escrita como 
 
cicloσ
δ
−=





∫
bT
Q
 
 
onde σ ciclo representa o tamanho da desigualdade, sendo que: 
 σ ciclo = 0 não há irreversibilidades dentro do sistema 
 σ ciclo > 0 irreversibilidades presentes dentro do sistema 
 σ ciclo < 0 impossível. 
 
Assim, σ ciclo é uma medida das irreversibilidades que ocorrem dentro do sis-
tema quando este passa por um ciclo. Representa a entropia produzida (gera-
da) pelas irreversibilidades. 
 
 
 
 81 
 
Definição da Variação de Entropia 
 
Uma quantidade é uma propriedade se sua variação entre dois estados for in-
dependente do processo. 
 
Dois ciclos reversíveis executados por um sistema fechado estão representa-
dos na figura abaixo. Os ciclos AC e BC 
 
 
 
 
 
 
 
Para o ciclo AC ciclo
CA T
Q
T
Q σδδ −=




+





∫∫
1
2
2
1 
 
Para o ciclo BC ciclo
CB T
Q
T
Q σδδ −=




+





∫∫
1
2
2
1 
 
σ ciclo = 0 para ambos os ciclos, pois são reversíveis. 
 
Assim, 
δ δQ
T
Q
TA B




=



∫ ∫1
2
1
2
 
 
• Como os valores de δ Q
T




 são os mesmos para os dois ciclos, serão iguais 
para quaisquer outros ciclos reversíveis operando entre os estados 1 e 2. 
 
• Conclui-se que os valores de δ Q
T




 dependem apenas dos estados 1 e 2 e 
representam uma propriedade (pela própria definição de propriedade). 
 
• Esta propriedade é chamada Entropia e é usualmente representada pela le-
tra (S). 
 
B
 
C 
1 
2 
A 
 82 
 
• Dessa forma, a variação de Entropia entre os estados 1 e 2, para um ciclo 
internamente reversível pode ser obtida por: 
 
S S
Q
T2 1 1
2
− =



∫
δ
 
 
• Se tivermos um sistema executando um ciclo irreversível entre os estados 
1 e 2, a variação da Entropia entre 1 e 2 será a mesma pois a entropia é 
uma propriedade e portanto apenas função do estado. 
 
• Entretanto a variação da Entropia não poderá ser calculada pela expressão 
abaixo (quando o processo for irreversível). 
 
elirreversív
2
112
 ∫ 



=−
T
QSS δ . 
 
Entropia de uma substância, pura, compressível simples. 
 
A equação 
vT
QSS
Reint
2
112 ∫ 



=−
δ serve como base para a construção de tabelas e 
diagramas para a avaliação da Entropia. 
 
 
Int.Rev.
∫ 



+=
y
xxy T
QSS δ 
 
Sx é a Entropia do estado de referência, arbitrariamente escolhido. 
 
A utilização dos valores de Entropia relativos a um estado de referência arbi-
trário para o cálculo de variações de entropia é satisfatória porque o valor de 
referência acaba se anulando. 
 
 
 
 
 83 
 
Tabelas de Entropia 
 
As tabelas de Entropia são similares às de h, u, v e os valores de Entropia são 
listados nas mesmas tabelas. Os procedimentos para determinação dos valo-
res da Entropia são os mesmos empregados para determinação das outras 
propriedades. 
 
EXEMPLOS (conforme Moran e Shapiro 4th Edit., pg 243) 
 
1) Considere água em 2 estados, mostrados na figura a seguir: 
 
 s
T
1
2
.
. P2=0,3MPa
P1=3MPa T1=500 C
 
Determinar T2 
 
1 3 4 7 2338
2 0 3
7 2338 183
1 1
2
2 1 2
) . ,
) ,
,
P MP Tab s
kJ
kgK
P MP
s s
kJ
kgK
T C
a
a
= =
=
= = = °
 
 
• Na região de saturação os valores são determinados através do título, e dos 
valores de sg entropia de vapor saturado e sf entropia do líquido saturado. 
( ) ( )fgfgf ssxsxssxs −+=+−= 1 
 
• Para líquidos comprimidos o procedimento é também análogo, ao já visto 
para a energia interna e a entalpia. Se existirem dados tabelados de propri-
edades do líquido comprimido, os valores da entropia são obtidos direta-
mente da tabela. 
 
 84 
 
• Quando essas tabelas não forem disponíveis usam-se os valores do líquido 
saturado à temperatura de saturação. 
 
( ) ( )TsPTs f≅1 
Equações TdS 
 
• As variações de Entropia entre 2 estados podem ser obtidos através da e-
quação 
 
rev. int.
∫ 



+=
y
xxy T
QSS δ 
 
ou através das relações TdS
 
. 
• A importância das relações TdS é entretanto maior que a simples determi-
nação dos valores de entropia. Elas são o ponto de partida para a derivação 
de importantes propriedades para substâncias puras, compressíveis sim-
ples, incluindo meios para a obtenção das tabelas que fornecem u, h e s. 
 
• Considere um sistema constituído por uma substância pura, compressível 
simples, que passa por um processo internamente reversível. A equação da 
1ª lei para esse sistema é 
 
dE = δQ - δW 
 
• Desconsiderando as variações de energia cinética e potencial gravitacio-
nal, dE = dU 
 
 
 85 
 
( ) ( )
( )
( )
δ δ
δ
δ
δ
Q dU WW pdV
dS
Q
T
Q TdS
Assim
TdS dU pdV
H U pV dH dU PdV VdP
dU pdV dH VdP
TdS dH VdP
INT
REV
INT
REV
INT
REV
INT
REV
rev
= +
=
=



 → =
= +
= + → = + +
+ = −
∴ = −
int
 
 
• Por unidade de massa essas relações ficam 
 
Tds = du + pdv 
Tds = dh - vdp 
 
• ou em base molar 
Tds du pdv
Tds dh vdp
= +
= − 
 
• Uma vez que a entropia é uma propriedade, ela depende somente dos esta-
dos inicial e final. Assim, embora essas expressões tenham sido obtidas a 
partir da hipótese de processo internamente reversível elas podem ser uti-
lizadas para calcular as variações de entropia entre dois estados, qualquer 
que tenha sido o processo ligando esses dois estados. 
 
 
Variação de Entropia para um gás Ideal 
 
Partindo das equações 
Tds du Pdv ds
du
T
P
T
dv
Tds dh vdP ds
dh
T
v
T
dP
= + ⇒ = +
= − ⇒ = −
 
 
 86 
 
Para gás ideal 
du Cv T dT T
du
T
Cv T
dT
T
dh Cp T dT T
dh
T
Cp T
dT
T
Pv RT
P
T
R
v
R
P
= ÷ = =
= ÷ = =
= =
=
( ) ( )
( ) ( )
 
v
T
 
Substituindo em ds 
 
ds Cv T
dT
T
R
dv
v
ds Cp T
dT
T
R
dP
P
= +
= −
( )
( )
 
 
Entre dois estados 1 e 2 
 
1
2
11)2,2
2
1
1
2
1122
2
1
ln)(),((
),()(
ln)(),(),(
),()(
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
P
PR
T
dTTCpPTsPTs
PTss
P
dPR
T
dTTCpds
v
vR
T
dTTcvvTsvTs
vTss
v
dvR
T
dTTCvds
T
T
T
T
P
P
T
T
T
T
v
v
−=−
=−=
+=−
=+=
∫
∫ ∫∫
∫
∫ ∫∫
 
• Da mesma forma utilizada para energia interna e entalpia, a avaliação da 
variação de Entropia para os gases ideais pode ser efetuada através de ta-
bulação dos valores. 
 
• Escolhe-se um estado de referência e um valor de referência para a Entro-
pia nesse estado. 
 
• Estado de referência T K sREF REF= =0 0 P atmREF = 1 
 
 87 
 
• Assim, para determinar-se a entropia a uma temperatura T e pressão de l 
atm, tem-se: 
 
( )s T s Cp T dT
T
R
s T s T Cp T
dT
T
T
o
o
T
( , ) , ( ) ln
( , ) ( ) ( )
1 0 1
1
1
1
0
− = −
⇓
= =
∫
∫
 
 0 
 
 Como a pressão está fixada em 1 atm, so depende somente da temperatura. 
Expressando a equação acima em termos de so 
 
Cp T
dT
T
Cp T
dT
T
Cp T
dT
T
s T s T
Tv
T
T
o o
( ) ( ) ( ) )
( ) ( )
= −
= −
∫∫∫ 00
2 1
12
1
2
 
 
 Assim, pode-se escrever 
 
s T P s T P s T s T R
P
P
ou
s T P s T P s T s T R
P
P
o o
o o
( , ) ( , ) ( ) ( ) ln
( , ) ( , ) ( ) ( ) ln
2 2 1 1 2 1
2
1
2 2 1 1 2 1
2
1
− = − −
− = − −
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 88 
 
Variação de Entropia para uma Substância Incompreensível. 
 
Quando o modelo de substância incompressível é adotado (v = constante), o 
calor específico a volume constante fica cv = c(T) e 
 
 
du c T dT
ds
du
T
P
T
dv
ds
c T
T
dT
s s c T
dT
T
substância imcompressível
Admitindo c T cons te
s s c
T
T
T
T
=
= +
=
− =
=
− =
∫
( )
( )
( ) ( )
( ) tan
ln
2 1
2 1
2
1
1
2 
 
Variação de Entropia nos processos internamente reversíveis 
 
 Nesta seção a relação entre variação de Entropia e transferência de calor é 
considerada. 
 
 Inicialmente será tratado o caso de Sistema Fechado, e posteriormente o 
caso de Volume e Controle. 
 
 Quando um sistema passa por um processo internamente reversível, sua 
Entropia pode diminuir, aumentar ou permanecer constante. 
 
dS
Q
T INT
REV
=




δ
 
 
 ( )δ Q TdSINTREV = Se o sistema recebe calor sua Entropia aumenta, se perde 
calor, sua Entropia diminui. Se o processo é adiabático (e internamente re-
versível), não ocorrerá variação na Entropia do sistema. 
 
 89 
 
 Transferência de calor → Transferência de Entropia (possuem a mesma 
direção e sentido) 
 
 Processo adiabático → Calor transferido = 0 (Entropia transf. = 0) 
 
 Se o processo for também internamente reversível ele é dito isoentrópico. 
 
 
Balanço de Entropia para Sistemas Fechados 
 
Como decorrência da desigualdade de Clausius, vimos que 
 
Onde σciclo representa a “magnitude” da desigualdade (o afastamento da con-
dição reversível). Lembrando, ainda, que: 
 
σciclo = 0 → Processo reversível 
σciclo < 0 → Processo impossível 
σciclo > 0 → Processo onde existem irreversibilidades presentes 
 
 
• balanço de entropia é uma expressão da 2a. lei que é particularmente con-
veniente para a análise termodinâmica. 
 
Desenvolvimento do Balanço de Entropia 
 
• A figura a seguir, mostra um ciclo executado por um sistema fechado. O 
ciclo é constituído por dois processos. O processo I no qual pode haver ir-
reversibilidades presentes e o processo R que é um processo internamente 
reversível. 
 
 
 
 
∫ −=




ciclo
bT
Q
σ
δ
 90 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para esse ciclo 
 ∫∫ −=



+




 1
2
Re
2
1
σδδ
v
Intb T
Q
T
Q
 
 
• subscrito “b” da primeira integral serve para indicar que o integrando é 
avaliado ao longo da fronteira do sistema. 
 
• subscrito não é requerido para a segunda integral porque o processo sendo 
internamente reversível a temperatura deve ser uniforme através do siste-
ma, a cada estado intermediário. 
 
• termo σ refere-se somente ao processo I, pois o processo R é internamente 
reversível 
 
Para o processo R 
Para o Processo R + I 
 
1 
2 
R 
I 
∫ −=



1
2 21
Re
ss
T
Q
v
Int
δ
∫ −=−+



2
1 21
σδ ss
T
Q
b
 91 
 
 
 
 
• Se os estados inicial e final estão fixados, a variação de entropia pode ser 
avaliada independentemente dos detalhes do processo. 
 
• Os dois termos do lado direito da equação dependem explicitamente da 
natureza do processo e não podem ser determinados somente a partir dos 
estados inicial e final. 
• termo δ Q
T b



∫1
2 representa a transferência de calor em direção e sinal. 
• termo σ representa a entropia gerada internamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para o sistema constituído pelo gás ou líquido 
 
 
 

entropia
de produção
atransferid
Entropia
2
1
2 e 1 estados os entre
entropia de variação
21 σ
δ
+




=− ∫


bT
Qss
Gás ou Líquido 
Reservatório 
Térmico à 
temperatura 
Tb 
agitador 
Esta parte da fronteira 
se encontra a Tb 
bT
Q 
Q 
∫ +



=−
2
112
s σδ
bT
Qs
 92 
 
Como Tb é constante, 
Para o reservatório: 
 
Como os reservatórios térmicos são internamente reversíveis, por definição 
→ σ = 0, teremos: 
 
O reservatório perde calor e portanto, sua entropia diminui. 
 
• A entropia do Reserv. diminui na mesma quantidade que a entropia do sistema 
aumenta por causa do calor transferido. 
 
No entanto, o aumento da entropia do sistema é maior que a entropia transferida 
pela transferência de calor, devido às irreversibilidades internas. 
 
 
σ
σ
> 0 irreversibilidades presentes dentro do sistema
= 0 sem irreversibilidades internas 
 
A variação global da entropia do sistema pode ser 
s s2 1
0
0
0
−
>
=
<





: 
 
dependendo das magnitudes da entropia gerada internamente e das entropias 
associadas ao fluxo de calor (+ ou -). 
 
 
 
σ+=−
Tb
Q
s 2112s
σ/+=∆
TbRES
RESQS
 
TbRES
QS −=∆93 
 
Formas do balanço de entropia para Sistema Fechado 
 
• balanço de entropia pode ser expresso em várias formas que podem ser 
convenientes para casos particulares. 
 
• Por exemplo, se a transferência de calor ocorre em várias regiões da fron-
teira e não varia com o tempo ou com a posição, a equação fica 
 
s s
Q
T
j
jj
2 1− = +∑ σ 
 
• Para expressar a variação da entropia em função do tempo podemos fazer 
dS
dt
Q
T
j
jj
= +∑

σ 
Na forma diferencial 
dS
Q
T b
=




+
δ
δσ 
 
• Independentemente da forma da expressão para o balanço de entropia, o 
objetivo em muitas aplicações é determinar o valor do termo de produção 
de entropia σ . 
 
• No caso dos sistemas, a produção de entropia de um componente isolado 
não possui muita significância. 
 
• É necessário efetuar os cálculos para todos os componentes e ordená-los 
segundo a produção de entropia, para determinar para aquele sistema quais 
componentes são mais significativos na contribuição para a ineficiência 
global. 
 
 
 
 
 
 
 94 
 
Balanço de Entropia para Sistemas Abertos (Volumes de Controle) 
 
• A entropia é uma propriedade extensiva e portanto depende da massa e as-
sim pode ser transferida para dentro ou para fora do volume de controle. 
 
• Dessa forma o balanço de entropia para v.c. pode ser derivado de modo 
muito similar ao usado para a obtenção do balanço de energia e massa, 
partindo do sistema fechado. 
 
• Balanço de entropia para um sistema fechado, em função do tempo 
 
 
• Para um volume de controle a expressão fica: 
 
 
 
Esta equação representa a forma geral para o balanço de entropia. 
 
No entanto, seus termos podem ser escritos de modo a contemplar não uni-
formidades locais 
 
Análise do volume de controle para Regime Permanente 
 
Balanço de massa 
 
∑ ∑=
i e
ei mm  
 
 
σ

+=∑
j j
j
T
Q
dt
dS

entropia de
produção de Taxa
..
entropia de ncia transferêde Taxaentropia de
 variaçãode Taxa
dt
d
cv
j i e
eeii
j
j
vc vsmsmT
Q
S σ
  



∑ ∑ ∑ +−+=
 95 
 
Balanço de energia 
0
2 2
2 2
= − + + +





 − + +





∑ ∑   Q W m h
V
gZ me h
V
gZVC VC i i
i
i
i
e e
e
e
 
 
Balanço de entropia 
 
 ∑ ∑ ∑ +−+=
j i e
VCeeii
j
j smsm
T
Q
 0 σ

 
 
Essas equações precisam, muitas vezes, ser resolvidas simultaneamente, jun-
to com as relações entre as propriedades. 
 
Massa e energia são quantidades que se conservam. 
 
Entropia, em geral, não se conserva. A taxa de entropia transferida para fora 
do v.c. precisa exceder a taxa de entropia transferida para o v.c. A diferença é 
a taxa de produção de entropia dentro do volume de controle devido às irre-
versibilidades. 
 
Em muitos casos existe somente uma entrada e uma saída de massa no v.c. e 
a expressão para o balanço de entropia assume a forma. 
mT
Q
m
ss VC
j j
j
ie 


σ
+=− ∑1 
 
( )∑ ÷+−+=
j
VCei
j
j mssm
T
Q


σ0
m
ss
T
Q
m
VC
ei
j j
j



σ
+−+= ∑10
 96 
 
Observar que s2 só poderá ser menor que s1 se o fluxo de entropia associado 
ao fluxo de calor que sai for maior que o fluxo de entropia associado ao calor 
que entra mais o fluxo de entropia gerado internamente (que é sempre maior). 
 
Ilustrações 
 
Os exemplos seguintes ilustram a utilização dos balanços de massa, energia e 
entropia para volumes de controle em regime permanente. 
 
Exemplo 1- Vapor entra em uma turbina com a pressão de 30 bar e tempera-
tura de 400ºC, com uma velocidade de 160 m/s. Vapor saturado a 100ºC sai 
com uma velocidade de 100 m/s. Em regime permanente a turbina desenvol-
ve 540 kJ/kg de vapor. Transferência de calor entre a turbina e suas vizinhan-
ça ocorre a temperatura média de superfície de 500K. Determine a taxa de 
produção de entropia dentro da turbina, por kg de vapor que escoa, em kJ/kg 
K. Despreze a variação de energia potencial entre a entrada e a saída. 
 
Hipóteses: 1) V.C. especificado na figura 
 2) Temperatura de transferência de calor conhecida 
 3) ∆PE=0 
 97 
 
( )
( )
( )
( )
( )
kgK
kJ
m
kgK
kJ
kg
kJ
m
ss
Tb
mQ
m
ssm
Tb
smsm
T
Q
kg
m
s
mkg
kg
Nm
kg
J
s
m
kg
kJ
m
Q
s
kg
kJ
m
Q
VVhhW
m
Q
VhVh
m
W
m
Q
mm
VC
VC
VCVC
VC
j
VC
j
j
VC
VC
VC
VC
VCVC
479,0
9212,63549,76,22
500
1
/
Q=0 
0:Entropia de Balanço
..6,22
m7.800- 554,8- 540,0+ 
2
1601009,32301,2676540
2
22
0 :Energia de Balanço
 :massa de Balanço
12
21
VC
2211
22
2
2
2
22
2
1
2
2
12
2
2
2
2
1
1
21
+=






−+





−
−
=
−+−=
+−+
+−+=
====





 −
+−+=





 −
+−++=
−−++−=
=
∑






















σ
σ
σ
σ
σ
 
Obs.: Se a fronteira do v.c. fosse escolhida de modo a conter as vizinhanças 
imediatas até o ponto onde a temperatura é igual a do ambiente, digamos 293 
K, a produção de entropia do v.c. aumentado seria de 

, / .
σVC
m
kJ kgK= 0 511 Expli-
car porque. 
 
Eficiência Isentrópica de Turbinas, Bocais, Compressores e Bombas 
 
• Os engenheiros usam freqüentemente o conceito de eficiência e diferentes 
definições são empregadas para expressar o conceito de eficiência. 
 98 
 
 
• Eficiência isentrópica envolve a comparação entre o desempenho real de 
um dispositivo e o desempenho que esse mesmo dispositivo teria se ope-
rasse em condições idealizadas para o mesmo estado na entrada e mesma 
pressão na saída. 
 
• Considerando: uma turbina que opera entre as pressões P P1 2 e , com o esta-
do (1) definido por P T1 1 e . 
 
: transferência de calor para o ambiente 
 
1 2 0
0

:  
Q
KE PE
=
= =∆ ∆
 
 
Volume de Controle na Turbina para o balanço de 1a. Lei 
 
Balanço de Energia: 
 
 0 2 21 2 1 1
1
2
1 2 2
2
2
2= − + + +





 − + +





   Q W m h
v
gz m h
v
gzVC 
 
Regime Permanente 
 
Conservação da massa 
  


m m m
W
m
h hVC
1 2
1 2
= =
= − 
 
Como o estado (1) está fixado e portanto o valor de h1 está definido, o traba-
lho específico depende apenas do valor de h2 . O trabalho específico será má-
ximo para h2 mínimo. 
 
 
 
 
 99 
 
Balanço de 2a. Lei: R.P. 
 
 
0
0
1 2
1 1 2 2
2 1
= + − +
= − ≥

  


Q
T
m s m s
m
s s
a
VC
VC
σ
σ 
 
Nos casos reais todos os processos resultarão em s s2 1> . 
O menor valor s2 será obtido para um processo internamente reversível com 
σVC = 0 e nesse caso s s2 1= , que corresponde ao ponto (2s) na figura. 
Para essa condição 
 


W
m
h hVC
s
s





 = −1 2 
 
A eficiência isentrópica é definida como a razão entre o processo real e o 
processo isentrópico. 
 
ηt
VC
VC
s
s
W
m
W
m
h h
h h
=












=
−
−




1 2
1 2 
 
Os valores de η t situam-se na faixa 0,7 - 0,9 (70% a 90%). 
Para bocais, usando uma abordagem similar a esta para turbinas obtêm-se 
ηbocais
s
V
V
=






2
2
2
2
2
2
 
 
Lembrar que as condições (estado) de entrada estão fixadas e apressão na 
saída é a mesma. 
 100 
 
 
Bocal operando em regime permanente: (1) entrada e (2) saída 
 
Balanço de massa: R.P.   m m m1 2= = 
 
Balanço de energia: 
 0 2 21 2 1 2 1 1
1
2
1 2 2
2
2
2= − + + +





 − + +





   Q W m h
V
gz m h
V
gz 
 
 ( )h h
V V
1 2
2
2
1
2
2 2
− = −





 
 
Como o objetivo dos bocais é proporcionar a maior velocidade de saída ( )v2 , 
a maior velocidade será obtida para o valor mínimo de h2 , que de um modo 
similar á análise das turbinas será obtido em um processo isoentrópico. 
( )h h V V
V
Vs s
boc
s
1 2
1
2
2
2
2
2
2
22 2
2
2
− + =





 =






η
 
 
Eficiências isentrópicas de 95% ou maiores são comuns para bocais, indican-
do que para os bons projetos as irreversibilidades internas são pequenas. 
 
	CAPÍTULO 6
	ENTROPIA
	A desigualdade de Clausius estabelece que
	Pela definição da escala Kelvin de Temperatura temos
	Definição da Variação de Entropia
	EXEMPLOS (conforme Moran e Shapiro 4th Edit., pg 243)
	Tds = du + pdv
	Tds = dh - vdp
	Variação de Entropia para um gás Ideal
	Partindo das equações
	Para gás ideal
	Entre dois estados 1 e 2
	Variação de Entropia nos processos internamente reversíveis
	Balanço de Entropia para Sistemas Fechados
	A variação global da entropia do sistema pode ser
	Formas do balanço de entropia para Sistema Fechado
	Ilustrações