Notas-Matrizes e Determinantes

Prévia do material em texto

1 Matriz Inversa
Definic¸a˜o 1
Se A e´ uma matriz quadrada de ordem n, ou seja, do tipo n×n. A e´ dita
invers´ıvel se existe uma matriz B onde:
A.B = B.A = In
Essa matriz B e´ definida como a matriz inversa de A e e´ denotada por
A−1.
Exemplo 1
Se A =
(
1 3
0 2
)
, determine A−1
Soluc¸a˜o
Pela definic¸a˜o, A−1 =
(
a b
c d
)
tal que AA−1 = I2:(
1 3
0 2
)(
a b
c d
)
=
(
1 0
0 1
)
Ou seja,
{
a + 3c = 1
2c = 0
e
{
b + 3d = 0
2d = 1
Logo, A−1 =
(
1 −3/2
0 1/2
)
Propriedades
Sejam A,B matrizes de ordem n.
1. A−1 e´ u´nica
2. (A−1)−1 = A
3. (AB)−1 = B−1A−1
Exemplo 2
Resolva a equac¸a˜o matricial: AXB = (AB)2
Soluc¸a˜o
A−1AXB = A−1ABAB
InXB = InBAB
XBB−1 = BABB−1
XIn = BAIn
X = BA
1
Teorema 1 An×n e´ invers´ıvel se, e somente se, A e´ equivalente a In.
Exemplo 3
Determine a inversa de A, se existir:
a) A =
 1 2 10 1 2
−1 1 1

Soluc¸a˜o 1 2 1 | 1 0 00 1 2 | 0 1 0
−1 1 1 | 0 0 1
 L3→L3−L1∼
 1 2 1 | 1 0 00 1 2 | 0 1 0
0 −1 0 | −1 0 1
 L3→L3+L2∼ 1 2 1 | 1 0 00 1 2 | 0 1 0
0 0 2 | −1 1 1
 L3→ 12L3∼
 1 2 1 | 1 0 00 1 2 | 0 1 0
0 0 1 | −1/2 1/2 1/2
 L2→L2−2L3∼ 1 2 1 | 1 0 00 1 0 | 1 0 −1
0 0 1 | −1/2 1/2 1/2
 L1→L1−2L2∼
 1 0 1 | −1 0 20 1 0 | 1 0 −1
0 0 1 | −1/2 1/2 1/2

L1→L1−L3∼
 1 0 0 | −1/2 −1/2 3/20 1 0 | 1 0 −1
0 0 1 | −1/2 1/2 1/2

Portanto, A−1 =
 −1/2 −1/2 3/21 0 −1
−1/2 1/2 1/2

b) A =
 1 2 20 1 2
1 3 4

Soluc¸a˜o 1 2 2 | 1 0 00 1 2 | 0 1 0
1 3 4 | 0 0 1
 L3→L3−L1∼
 1 2 2 | 1 0 00 1 2 | 0 1 0
0 1 2 | −1 0 1
 L3→L3−L2∼ 1 2 2 | 1 0 00 1 2 | 0 1 0
0 0 0 | −1 −1 1

Portanto, na˜o existe A−1
2
2 Determinantes
Definic¸a˜o 2
O determinante de uma matriz A, denotado por detA ou por |A| e´ o
nu´mero real obtido definido a seguir:
• det(a11) = a11.
•
∣∣∣∣ a11 a12a21 a22
∣∣∣∣ = a11.b22 − a12a21
•
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = a11 a22 a33 +a12 a23 a32 +a13 a22 a33− (a13 a22 a31 +
a12 a23 a32 + a13 a22 a33)
Exemplo 4
det(−4) = −4
Exemplo 5
Seja A a matriz: (
1 2
3 4
)
detA = 1.4− 2.3 = 4− 6 = −2.
Exemplo 6
∣∣∣∣∣∣
2 3 5 | 3 5
1 7 4 | 7 4
6 9 8 | 9 8
∣∣∣∣∣∣
= 2.7.8 + 1.9.5 + 6.3.4− (5.7.6 + 4.9.2 + 8.3.1) = −77
Definic¸a˜o 3
3
Sejam A uma matriz quadrada de ordem n e Aij a matriz obtida de A
eliminado a i-e´sima linha e j-e´sima coluna.
O cofator de um elemento aij da matriz A e´ denotado por Aij e definido
por: ∆ij = (ij)
i+j.Aij.
Para calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem n, basta
escolher uma linha qualquer (ou coluna) e somar o produto dos elementos
dessa linha (ou coluna) pelos respectivos cofatores.
Desenvolvimento de Laplace:
detA = ai1∆in + ai1∆in + · · ·+ ain∆in
=
n∑
j=1
aij(−1)i+j det(Ain)
Exemplo 7
Seja
A =
 2 8 9−3 9 0
−2 1 3

enta˜o,
A =
∣∣∣∣∣∣
2 8 9
−3 9 0
−2 1 3
∣∣∣∣∣∣ = (−2)∆12 + 1∆22 + (−1)∆32 = 5
Pois,
∆12 = (−1)1+2.
∣∣∣∣ 2 −1−2 2
∣∣∣∣ = −2
∆22 = (−1)2+2.
∣∣∣∣ 1 3−2 2
∣∣∣∣ = 8
∆32 = (−1)3+2.
∣∣∣∣ 1 32 −1
∣∣∣∣ = 7
4
Exemplo 8
∣∣∣∣∣∣∣∣
2 0 0 −3
0 −1 0 0
7 4 3 5
−6 2 2 4
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 2(−1)
1+1
∣∣∣∣∣∣
−1 0 0
4 3 5
2 2 4
∣∣∣∣∣∣+ (−3)(−1)1+4
∣∣∣∣∣∣
0 −1 0
7 4 3
−6 2 2
∣∣∣∣∣∣
= 2(−1)(−1)1+1
∣∣∣∣ 3 52 4
∣∣∣∣+ 3(−1)1+2 ∣∣∣∣ 7 3−6 2
∣∣∣∣
= −2.2 + 3.32 = 92
Ou:
∣∣∣∣∣∣∣∣
2 0 0 −3
0 −1 0 0
7 4 3 5
−6 2 2 4
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−1)(−1)
1+1
∣∣∣∣∣∣
2 0 −3
7 3 5
−6 2 4
∣∣∣∣∣∣
= −(24− 42− 54− 20) = 92
Propriedades
Considere A,B matrizes de ordem n.
1. O determinante independe da linha (ou coluna) escolhida.
2. Se A possui todos os elementos de uma linha (ou coluna) iguais a zero,
enta˜o det(A) = 0.
3. det(A) = det(At).
4. Se B e´ obtida de A pela permutac¸a˜o de duas linhas, enta˜o det(B) =
−det(A).
5. Se B e´ obtida de A pela multiplicac¸a˜o de uma linha por k 6= 0, enta˜o
det(B) = kdet(A).
6. det(kA) = kndet(A).
7. Se A tem duas linhas iguais,det(A) = 0.
8. Se B e´ obtida de A pela substituic¸a˜o de uma linha pela soma dessa
linha com um mu´ltiplo k 6= 0 de outra (Li → Li+kLj), enta˜o det(B) =
det(A).
5
9. det(AB) = det(A)det(B)
10. det(In) = 1
11. Se A e´ invers´ıvel, enta˜o det(A−1) = 1/det(A).
Notas:
1) se det(A) = 0 , na˜o existe a matriz inversa A−1.
2) se detA 6= 0 , enta˜o a matriz inversa A−1 existe e e´ u´nica.
Exemplo 9
Suponha que A,B e C sejam matrizes 3×3 com |A| = 2, B = 5A e C = 3B−1.
Calcule |C|.
|C| = |3B−1| = 33|B−1| = 3
3
|B| =
33
|5A| =
33
53|A| =
33
53.2
6