PROJETO MONTANHA RUSSA - SLIDE

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PROJETO MONTANHA RUSSA
CALCULO 1.
	Suponha que lhe peçam para projetar a primeira subida e descida de uma montanha-russa. Estudando fotografias de suas montanhas-russas favoritas, você decide fazer a subida com inclinação 0,8 e a descida com inclinação -1,6. Você decide ligar esses dois trechos retos y=L1(x) y=L2(x) com parte de uma parábola y=f(x)= ax²+bx+c, em que x e f(x) são medidos em metros. Para o percurso ser liso, não pode haver variações bruscas na direção, de modo que você quer que os segmentos L1 e L2 sejam tangentes á parábola nos pontos de transição P e Q. Para simplificar as equações, você decide colocar a origem em P.
1)
a)Suponha que a distância horizontal entre P e Q seja 30m. Escreva equações em a, b e c que garantam que o percurso seja liso nos pontos de transição.
Desenhamos o gráfico, na seguinte função Y=f(x)=ax²+bx+c;
Calculamos a primeira derivada para achar as pendentes;
Calculamos a pendente de subida em sua origem;
Em seguida, calculamos a pendente de descida no ponto 30;
b)Resolva as equações da parte(a) para a,b e c para encontrar uma fórmula para f(x).
Substituindo os valores de a, b e c em F(x), encontramos a equação da parábola.
Em seguida, utilizando a equação anterior, encontraremos o valor de y no ponto x=30;
c)Trace L1, f e L2 para verificar graficamente que as transições são lisas.
Utilizando a equação da reta tangente, encontraremos as equações de L1 e L2;
(y-y0)=f’(x)(x-x0)
2)A solução do Problema 1 pode parecer lisa, mas poderia não ocasionar a sensação de lisa, pois a função definida por partes [que consiste em L1(x) para x<0, f(x) para 0<=x<=30, L2(x) para x>30] não tem uma segunda derivada continua. Assim, você decide melhorar seu projeto, usando uma função quadrática q(x)=ax²+bx+c apenas no intervalo 3<=x<=27 e conectando-a as funções lineares por meio de duas funções cúbicas:
g(x)=kx³+lx²+mx+n - 0<=x<3.
H(x)=px³+qx²+rx+s - 27<x<=30.
A) Escreva um sistema de equações de 11 incógnitas que garanta que as funções e suas primeiras duas derivadas coincidam nos pontos de transição.
X=0
X=3
X=27
X=30
L1(0)=G(0)
G(3)=Q(3)
Q(27)=H(27)
H(30)=L2(30)
L1’(0)=G’(0)
G’(3)=Q’(3)
Q’(27)=H’(27)
H’(30)=L2’(30)
L1’’(0)=G’’(0)
G’’(3)=Q’’(3)
Q’’(27)=H’’(27)
H’’(30)=L2’’(30)
B) Resolva as equações da parte (A) com um sistema de computação algébrica para encontrar fórmulas para q(x), g(x) e h(x).
N=0
M=0.8
L=0
-9a-3b-c+27k=-2.4
-6a-b+27k=-0.8
-2a+18k=0
729a+27b+c-19.683p-729q-27r-s=0
54a+b-2187p-54q-r=0
2a-162p-2q=0
27.000p+900q+30r+s=-12
2.700p+60q+r=-1.6
180p+2q=0
ORGANIZAMOS AS INCÓGNITAS EM ORDEM ALFABÉTICAS.
A
B
C
K
L
M
N
P
Q
R
S
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
-9
-3
-1
27
0
0
0
0
0
0
0
-6
-1
0
27
0
0
0
0
0
0
0
-2
0
0
18
0
0
0
0
0
0
0
729
27
1
0
0
0
0
-19.683
-729
-27
-1
54
1
0
0
0
0
0
-2.187
-54
-1
0
2
0
0
0
0
0
0
-162
-2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
27.000
900
30
1
0
0
0
0
0
0
0
2.700
60
1
0
0
0
0
0
0
0
0
180
2
0
0
A
B
C
K
M
P
Q
R
S
0
0
0
0
1
0
0
0
0
-9
-3
-1
27
0
0
0
0
0
-6
-1
0
27
0
0
0
0
0
-2
0
0
18
0
0
0
0
0
729
27
1
0
0
-19.683
-729
-27
-1
54
1
0
0
0
-2.187
-54
-1
0
2
0
0
0
0
-162
-2
0
0
0
0
0
0
0
27.000
900
30
1
0
0
0
0
0
2.700
60
1
0
0
0
0
0
0
180
2
0
0
RESULTADOS
A=-0.0444444			L=0
B=0.9333333			N=0
C=-0.1333333
K=-0.0049383
M=0.8
P=0.0049383
Q=-0.4444444
R=11.733333
S=-97.333333
C) Trace L1, G, Q, H e L2, e compare com o gráfico do problema 1 (c).
Após as substituições dos valores nas devidas equações, obtivemos:
L1(x)=0.8x		
L2(x)=-1.6x+36		
G(x)=0.0049383x³
H(x)=0.0049383x³+0.4444444x²+11.733333x-97.333333
Q(x)=-0.0444444x²+0.9333333x-0.1333333
L1= ]-∞,0]; L2=[30,+∞[; G(x)=[0,3]; H(x)=[27,30]; Q(x)=[3,27].
GRACIAS MUCHACHOS!
#énoesdarussa